静电场习题解答

习题 2

2-1 两个点电荷q 和-q 分别位于+y 轴和+x 轴上距原点为a 处，求：

（1）z 轴上任一点处电场强度的方向a E ； （2）平面y = x 上任一点的a E 。 解：（1）源点坐标q （0，a ，0）、-q （0，a ，0），场点坐标（0，0，z ）

3

030π4)(π4)(-

-

++'-'--'-'-=

r r r r r r r r E εεq q 3

030π4)(π4)(a z a z q a

z a z q x z x z y z y z a a a a a a a a -----=εε 2

/3220)(π4)(a z qa y x +-=

εa a

)(2

2

E y x E a a E a -==

（2）位于平面y = x 上任一点的场点坐标（x ，x ，z ）,电场为

3

030π4)(π4)(-

-

++'-'--'-'-=

r r r r r r r r E εεq q 3

03

0π4)(π4)

(a

z x x a z x x q a

z x x a z x x q x z y x x z y x y z y x y z y x a a a a a a a a a a a a a a a a -++-++-

-++-++=

εε

2

/322

2

0]

)([π4)(z a x x qa y x +-+-=

εa a

)(2

2E y x E a a E a -==

2-2 xy 平面上半径为 a 圆心位于原点的半圆环关于 x 轴对称，且开口朝向+x 轴。若半环

上电荷线密度为ρl ，求位于原点的点电荷 q 所受到的作用力。

解：⎰⎰+===2/3π2/π20

20d π4)sin cos (d π4ϕεϕϕρερa q l R q q y x l l R

l a a a E F a q a q l

x y x l 03ππ/

2

/π2

0π2π4)cos sin (ερεϕϕρa a a =-= 2-3 卢瑟福在1911年采用的原子模型为：半径为r a 的球体积中均匀分布着总电量为- z e 的电

子云，球心有一正电荷z e （z 为原子序数， e 是质子的电量），试证明他得到的原子内的电场和电位的表示式：

230e 1r

a z r r r πε⎛⎫

=- ⎪⎝⎭E a

230e 13422a a z r r r r Φπε⎛⎫=-

+ ⎪⎝⎭

证明：球内的体电荷均匀分布，密度为3f π3

4e

a r z -=ρ

由高斯定律，取同心球面为高斯面，得

()⎰∑⎰+-=

=

∙ττρεεd e 1

1

d f 0

0z q S

S E

()330

02302

1e d π4)π34e (e 1)(π4a

r a r r r z r r r z z E r -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰εεr

于是得球内任意点的电场强度为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==3201π1)(a r

r r r r r E εa r a E

球外的电场强度为零。

取无穷远处为电位参考点，则球内的电位分布为

r r r r a r r a r d 1π1d 320⎰⎰⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

∙=∞

εΦ

r E ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=3022314πe a a r r r r z ε 2-4 如图题2-4所示的两个轴线平行的无限长圆柱面之间有体电荷密度为ρf 的电荷均匀分布，其

余部分为空气，无电荷，b c a <+。求空间各点的电场强度。

解：该电荷分布的电场可看做是体电荷密度为ρf 的大圆柱的电场和体电荷密度为-ρf 的小圆柱的电场的叠加，显然两种场分别具有轴对称性。大圆柱取高斯面为以O 1为轴线的单位长度的闭合圆柱面，小圆柱取高斯面为以O 2为轴线的单位长度的闭合圆柱面，则由高斯定律

⎰⎰=

∙τ

τρεd 1

d f 0S

S E

大柱内： 21f 0

1b 11π1

)(π2ρρερρ=E

10f 1f 01b 1221)(1

ρa E ερ

ρρερρ== 大柱外： 2f 0

1b 21π1

)(π2b E ρερρ=

1

21

02f 2

f 101b 2221

)(1

ρa E ρερρρερρb b == 小柱内： 22f 0

2a 12π1

)(π2ρρερρ-

=E

20

f 2f 02a 1221)(2

ρa E ερ

ρρερρ-=-= 小柱外： 2f 0

2a 22π1

)(π2a E ρερρ-=

2

22

02f 2

f 202a 2221

)(2

ρa E ρερρρερρa a -=-= 由叠加定理b a E E E

+=，可得各部分空间的电场强度分别为

空腔内（a b ≤<21 ,ρρ）：

c ρρE E E 0

f 210f 2a 111b 1

2)(2)()(ερερρρ=-=

+= 两柱之间（a b ≥≤21

,ρρ）：

)(2)()(222

2

10f 2a 211b 2ρρE E E ρερρρa -=+=

大柱外（a b >≥21 ,ρρ）：

)(2)()(222

2

12120f 2a 212b 3ρρE E E ρρερρρa b -=+=

2-5 计算在电场x y y x a a E +=中把一个μC 2-的电荷沿以下两种路径从点（2，1，-1）移

到（8，2，-1）电场力所做的功： （1）沿曲线2

2y x =； （2）沿连接该两点的直线。 解： ⎰

⎰∙=∙=l

l

q W l E l F d d

⎰

⎰+-=+∙+-=l l

y x y x y x x y y x x y d d 2)d d ()(2a a a a

（1）μJ 2822d 2)d(222

1

321

22-=⨯-=+-=⎰y y y y y W

（2）两点间直线方程为46-=-y x

μJ 28)46(2d )46()46d(22

1

22

1

-=-⨯-=-+--=⎰y y y y y y W

2-6 大气中各点电场强度的经验分布为)e e (0z z z B A E βα--+-=a E

，z 为从当地的地平面算

起的高度；所有的经验常数A 、B 、α、β 皆为正数。求大气中电荷密度的经验分布，并问它是正电荷还是负电荷？

解：由高斯定律的微分形式，电荷密度为

)e e (000

0f z z z

B A E z

E βαβαεεερ--+=∂∂=∙∇=E 因A 、B 、α、β 皆为正数，因此0f >ρ，是正电荷。

2-7 已知空间电场分布如下，求空间各点的电荷分布：

（1）⎪⎩

⎪⎨⎧<<≤⎪⎭

⎫

⎝⎛=)( 0)0(

3

0ρρρρa a a E a E