第四讲：曲线运动习案—2021届高中物理一轮复习
2021版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天学案
第四节 万有引力与航天【基础梳理】提示：椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量m 1和m 2的乘积 它们之间距离r 的二次方G m 1m 2r2 质量分布均匀GM RgR【自我诊断】1．判一判(1)所有物体之间都存在万有引力．( )(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( )(5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．( )(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( ) 提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．做一做(1)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( )A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝kT2提示：选D.由万有引力定律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，联立M ＝ρ·43πR 3 和r ＝R ，解得ρ＝3πGT 2，3πG为一常数，设为k ，故D 正确．(2)(2020·安徽安庆二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地的预选着陆区．存在“月球背面”是因为月球绕地球公转的同时又有自转，使得月球在绕地球公转的过程中始终以同一面朝向地球．根据所学物理知识，判断下列说法中正确的是( )A ．月球绕地球公转的周期等于地球自转的周期B ．月球绕地球公转的周期等于月球自转的周期C ．月球绕地球公转的线速度大于地球的第一宇宙速度D ．月球绕地球公转的角速度大于地球同步卫星绕地球运动的角速度提示：选B.由题意知，月球绕地球一周的过程中，其正面始终正对地球，据此可知，月球公转一周的时间内恰好自转一周，故形成人们始终看不到月球背面的原因是月球绕地球的公转周期与其自转周期相同，故A 错误，B 正确；根据万有引力提供向心力得线速度为v ＝GM r，地球的第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，所以月球绕地球公转的线速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；根据万有引力提供向心力得角速度为ω＝GM r 3，月球绕地球公转的半径大于地球同步卫星绕地球运动的半径，所以月球绕地球公转的角速度小于地球同步卫星绕地球运动的角速度，故D 错误．开普勒行星运动定律与万有引力定律[学生用书P78]【知识提炼】1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋mg ，所以mg ＝F －F 向＝GMm R 2－mRω2自.2．星体表面上的重力加速度(1)设在地球表面附近的重力加速度为g (不考虑地球自转)，由mg ＝GmM R 2，得g ＝GM R 2.(2)设在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，由mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2所以gg ′＝（R ＋h ）2R 2.3．求天体质量和密度常用的估算方法使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r、v GMmr2＝mv2r M＝rv2Gv、TGMmr2＝mv2rT＝2πrvM＝v3T2πG利用天体表面重力加速度g、R mg＝GMmR2M＝gR2G密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝43ρπR3ρ＝3πr3GT2R3当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝43ρπR3ρ＝3g4πGR(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图象是D.[答案] D【迁移题组】迁移1 开普勒定律在椭圆轨道上的应用1．(多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：选CD.在海王星从P 到Q 的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C 正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 04，A 错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 正确．迁移2 星球附近重力加速度的求解2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R 约为45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 22G (其中c ＝3×108 m/s ，G 为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( )A ．108 m/s 2B ．1010 m/s 2C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2解析：选C.黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g ，对黑洞表面的某一质量为m 的物体，有GMm R 2＝mg ，又有M R＝c 22G，联立解得g ＝c 22R，代入数据得重力加速度约为1012 m/s 2，故C 正确．迁移3 天体质量和密度的计算3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于或等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．卫星运行规律及特点[学生用书P79]【知识提炼】1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星的特点：六个“一定”3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不考虑中心天体自转影响时，万有引力等于重力，即G MmR2＝mg ，整理得GM ＝gR 2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2rT2＝ma n . 【典题例析】(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R地<R 火，由此可以判定()A ．a 金>a 地>a 火B ．a 火>a 地>a 金C ．v 地>v 火>v 金D ．v 火>v 地>v 金[解析] 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G Mm R 2＝ma ，解得a ＝G MR 2，结合题中R 金<R 地<R 火，可得a 金>a 地>a 火，A 正确，B 错误；同理，有G Mm R 2＝m v 2R，解得v ＝GM R，再结合题中R 金<R 地<R 火，可得v 金>v 地>v 火，C 、D 均错误．[答案] A【迁移题组】迁移1 卫星运行参量的比较1．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )A ．F 1＝F 2＞F 3B ．a 1＝a 2＝g ＞a 3C ．v 1＝v 2＝v ＞v 3D ．ω1＝ω3＜ω2解析：选D.地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v ＝ωr 和a ＝ω2r 可知，v 1＜v 3，a 1＜a 3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即G Mm r 2＝mω2r ＝mv 2r＝ma 可得v ＝GMr ，a ＝G Mr2，ω＝GM r 3，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v 2＞v 3，a 2＞a 3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v 2＝v ，其向心加速度等于重力加速度，即a 2＝g ；所以v ＝v 2＞v 3＞v 1，g ＝a 2＞a 3＞a 1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F ＝ma ，所以F 2＞F 3＞F 1.由以上分析可见，A 、B 、C 错误，D 正确．迁移2 同步卫星的运行特点2．(多选)(2020·甘肃兰州理一诊)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )A ．它们均位于赤道正上方B ．它们的周期小于近地卫星的周期C ．它们离地面的高度都相同D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯解析：选AC.所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A 正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B 错误；根据G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C 正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就可能实现全球通讯，故D 错误．迁移3 宇宙速度问题3．(2020·广西高三上学期跨市联合调研)天文兴趣小组查找资料得知：某天体的质量为地球质量的a 倍，其半径为地球半径的b 倍，表面无大气层，地球的第一宇宙速度为v .则该天体的第一宇宙速度为( )A ．vabB ．vb aC.abvD.b av解析：选A.设地球质量为M ，半径为r ，某天体的质量是地球质量的a 倍，其半径是地球半径的b 倍，卫星沿地球表面做匀速圆周运动的速度为v ，则由万有引力提供向心力得：G Mm r 2＝m v 2r，解得地球的第一宇宙速度v ＝GM r，同理得该天体的第一宇宙速度v 天体＝G ·aM br＝va b，A 正确．双星及多星模型[学生用书P80]【知识提炼】1．模型特征(1)多星系统的条件①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量两星转动方向相同，周期、角速度相等—【跟进题组】1．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．2.(多选)2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A 的轨道半径大于黑洞B 的轨道半径，两个黑洞的总质量为M ，两个黑洞间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )A ．黑洞A 的质量一定大于黑洞B 的质量B ．黑洞A 的线速度一定大于黑洞B 的线速度C ．两个黑洞间的距离L 一定，M 越大，T 越大D ．两个黑洞的总质量M 一定，L 越大，T 越大解析：选BD.设两个黑洞质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m BL 2＝m A ω2R A ，Gm A m BL 2＝m B ω2R B ，R A ＋R B ＝L ，得m A m B ＝R B R A，黑洞A 的质量小于黑洞B 的质量，A 错误；v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确；又由M ＝m A ＋m B 得GM ＝ω2L 3，又因为T ＝2πω，故T ＝2πL 3GM，C 错误，D 正确．卫星的变轨问题[学生用书P81]【知识提炼】1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2<mv2r GMmr2>mv2r变轨结果转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小动能减小、势能增大、机械能增大动能增大、势能减小、机械能减小【典题例析】如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为v A，则v1＜v AC．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为a A，则a A ＜a1＜a3D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率v B＞5GM8R[解析] 2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜v A，又因v1＜v4，所以v1＜v A，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是a A＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R ，OB ＝1.6R ，3轨道上的线速度v 3＝5GM8R，又因v B ＜v 3，所以v B ＜5GM8R，D 错误． [答案] B【迁移题组】迁移1 卫星变轨过程中运动参量的变化分析1．(2020·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对发射地球同步卫星的过程进行分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/sB ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/sD ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s解析：选C.第一宇宙速度是卫星在近地轨道的线速度，根据G Mm r 2＝m v 2r可知v ＝GM r，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A 错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B 错误；P 点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P 点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度，C 正确；在Q 点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q 点加速，即轨道Ⅱ上经过Q 点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q 点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于第一宇宙速度，D 错误．迁移2 卫星的追及、相遇问题2．(2020·江西重点中学联考)小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )A．10π5Rg－6π3Rg B．6π3Rg－4π2RgC．10π5Rg－2πRg D．6π3Rg－2πRg解析：选B.当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有GMm r2＝m4π2rT2，r＝3R，则有T＝2πr3GM＝6π3R3GM.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得GM＝gR2，所以T＝6π3Rg①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有T2（3R）3＝T21（2R）3＝T22（3R）3②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…)③，联立①②③式得t＝6πn 3Rg－4π2Rg(其中n＝1、2、3、…)，当n＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t min＝6π3Rg－4π2Rg.[学生用书P82]卫星运动规律分析【对点训练】1．(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )A．周期为4π2r3GM B．动能为GMm2RC．角速度为Gmr3D．向心加速度为GMR2解析：选A.嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有GMmr2＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r＝ma，解得ω＝GMr3、v＝GMr、T＝4π2r3GM、a＝GMr2，则嫦娥四号探测器的动能为E k＝12mv2＝GMm2r，由以上可知A正确，B、C、D错误．2．(2019·高考江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )A ．v 1>v 2，v 1＝GM r B ．v 1>v 2，v 1>GM rC ．v 1<v 2，v 1＝GM rD ．v 1<v 2，v 1>GM r解析：选B.“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v 1>v 2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G Mm r 2<m v 21r，解得v 1>GM r，B 正确，A 、C 、D 错误．[学生用书P323(单独成册)] (建议用时：40分钟)一、单项选择题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝81，C 正确． 2．(2020·山东聊城一模)嫦娥四号探测器平稳落月，全国人民为之振奋．已知嫦娥四号探测器在地球上受到的重力为G 1，在月球上受到月球的引力为G 2，地球的半径为R 1，月球的半径为R 2，地球表面处的重力加速为g .则下列说法正确的是( )A ．月球表面处的重力加速度为G 1G 2gB ．月球与地球的质量之比为G 1R 22G 2R 21C ．若嫦娥四号在月球表面附近做匀速圆周运动，周期为2πR 2G 1gG 2D ．月球与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 2G 2 R 1解析：选C.嫦娥四号绕月球表面飞行时受到月球的引力为G 2，由G 2＝mg ′，解得月球表面的重力加速度为：g ′＝G 2m ＝G 2G 1g ，故A 错误；嫦娥四号的质量为：m ＝G 1g ，根据万有引力等于重力得：G M 地mR 21＝mg ，解得地球质量为：M 地＝gR 21G ，月球对飞船的引力为：G 2＝G M 月m R 22，解得月球的质量为：M 月＝G 2R 22Gm＝G 2R 22g GG 1，则月球与地球质量之比为：M 月M 地＝G 2R 22G 1R 21，故B 错误；根据G 2＝m4π2T 2R 2得探测器沿月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为：T ＝2πR 2G 1gG 2，故C 正确；根据G MmR 2＝mg 得第一宇宙速度为：v ＝gR ，则月球与地球的第一宇宙速度之比为v 月v 地＝g ′R 2gR 1＝G 2R 2G 1R 1，故D 错误．3．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2R，可得v ＝GM R，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 错误；又T ＝2πRv，则周期T 不变，A 错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 正确；向心加速度a ＝GM R 2，不变，D 错误．4.(2020·北京顺义二模)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度．已知地球和月球的半径之比为4∶1，表面重力加速度之比约为6∶1.则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是( )A ．地球的密度与月球的密度之比为3∶2B ．地球的质量与月球的质量之比为64∶1C ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8∶1D ．苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力之比为60∶1解析：选A.由G Mm R 2＝mg 得M ＝R 2g G ，则M 地M 月＝4212×61＝961，B 错误；由M ＝R 2g G 、V ＝43πR 3、ρ＝MV 得：ρ＝3g4πRG ，则ρ地ρ月＝61×14＝32，A 正确；由G Mm R 2＝m v 21R 和G Mm R 2＝mg 得v 1＝gR ，则v 1地v 1月＝61×41＝261，C 错误；由F ＝G Mm R 2得F 苹地F 苹月＝M 地M 月×R 2月R 2地＝961×1242＝61，D 错误．5．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km ，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，则土星的质量约为( )A ．5×1017 kgB ．5×1026 kgC ．7×1033 kgD ．4×1036 kg解析：选B.卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星质量为M ：GMm R 2＝m4π2T 2R ，解得M ＝4π2R 3GT2，代入数据计算可得：M ≈5×1026 kg ，故B 正确，A 、C 、D 错误． 6．(2020·江苏淮安质检)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2～3万亿之间．目前在银河系。
(统考版)高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第4讲 万有引力与航天学生用书
第4讲万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律——轨道定律所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律——面积定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的________．3．开普勒第三定律——周期定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________、与它们之间距离r的二次方成________．2．表达式F＝G m1m2，G为引力常量，其值通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.r23．适用条件(1)公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是________的距离．三、宇宙速度1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随________而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是________的．(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是________的．,生活情境1.我国的“天链一号”是地球同步卫星，在发射变轨过程中有一椭圆轨道如图所示，A 、B 是“天链一号”运动的远地点和近地点．(1)根据开普勒第一定律，“天链一号”围绕地球运动的轨迹是椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上．( )(2)根据开普勒第二定律，“天链一号”在B 点的运动速度比在A 点小．( ) (3)“天链一号”在A 点的加速度小于在B 点的加速度．( )(4)开普勒第三定律a 3T 2＝k 中，k 是只与中心天体有关的物理量．( )(5)开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律．( )教材拓展2.[人教版必修2P 48T 3改编]火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球的第一宇宙速度为v ，则火星的第一宇宙速度约为( )A ．√55v B ．√5v C ．√2v D ．√22v关键能力·分层突破考点一 万有引力定律与开普勒定律1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．(1)在赤道处：G MmR 2＝mg 1＋m ω2R .(2)在两极处：G MmR 2＝mg 2.2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G Mm R 2，得g ＝GMR 2.(2)在地球上空距离地球表面h处的重力加速度为g′：mg′＝G Mm(R+h)2，得g′＝GM(R+h)2，所以gg′＝(R+h)2R2.例1. [2021·全国甲卷，18]2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m．已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( ) A．6×105 m B．6×106 mC．6×107 m D．6×108 m跟进训练1.[2021·山东卷，5]从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )A．9∶1 B．9∶2C．36∶1 D．72∶12．如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运行轨道，A、B、C、D是轨道上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远．B和D是弧线ABC和ADC的中点．下列说法正确的是( )A．卫星在C点的速度最大B．卫星在C点的加速度最大C．卫星从A经D到C点的运动时间为T2D ．卫星从B 经A 到D 点的运动时间为T2考点二 天体质量和密度的估算1．计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．2．天体质量和密度的估算方法(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .①由G MmR 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.②天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.③GM ＝gR 2称为黄金代换公式．(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r . ①由GMm r 2＝m4π2T 2r 得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2.②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M43πR3＝3πr 3GT 2R 3. 例2. [2021·广东卷，2]2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )A ．核心舱的质量和绕地半径B ．核心舱的质量和绕地周期C ．核心舱的绕地角速度和绕地周期D ．核心舱的绕地线速度和绕地半径跟进训练 3.如图所示，“嫦娥五号”探测器包括轨道器、返回器、上升器、着陆器四部分．探测器自动完成月面样品采集，并在2020年12月17日凌晨安全着陆回家．若已知月球半径为R ，“嫦娥五号”在距月球表面为R 的圆轨道上飞行，周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．月球的质量为4π2R 3GT 2B ．月球表面的重力加速度为32π2R T 2C ．月球的密度为3πGT 2D ．月球第一宇宙速度为4πR T4．[2021·全国乙卷，18]科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为( )A ．4×104M B ．4×106MC ．4×108MD ．4×1010M考点三 卫星运行规律及特点角度1宇宙速度的理解与计算例3. 我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度角度2卫星运行参量的比较做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供其所需向心力，由GMm r 2＝m v 2r ＝mr ω2＝m4π2T 2r ＝ma 可推导出：v = √GMrω= √GMr 3T = √4π2r 3GM a =G M r 2}⇒当r 增大时{ v 减小ω减小T 增大a 减小例4. [2021·湖南卷，7](多选)2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道．根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造．核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的116，下列说法正确的是( )A ．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的(1617)2B ．核心舱在轨道上飞行的速度大于7.9 km/sC ．核心舱在轨道上飞行的周期小于24 hD角度3同步卫星问题地球同步卫星的五个“一定”例5. [2022·北京石景山模拟]研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A ．距地面的高度变大B ．向心加速度变大C ．线速度变大D ．角速度变大角度4卫星变轨问题例6.[2021·天津模拟]2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹．天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星．经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P ，则天问一号探测器( )A ．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B ．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C ．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P 处要加速D ．沿轨道Ⅰ向P 飞近时速度增大[思维方法]人造卫星问题的解题技巧(1)一个模型卫星的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． (2)两组公式①GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m4π2T 2r ＝ma n .②mg ＝G MmR 2(g 为星体表面处的重力加速度)．(3)a n 、v 、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较最终归结到半径的比较．跟进训练5.(多选)2021年6月17日，神舟十二号载人飞船采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱前向端口，与此前已对接的天舟二号货运飞船一起构成三舱组合体．组合体绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，该轨道离地面的高度约为389 km.下列说法正确的是( )A ．组合体在轨道上飞行的周期小于24 hB ．组合体在轨道上飞行的速度大于7.9 km/sC ．若已知地球半径和表面重力加速度，则可算出组合体的角速度D ．神舟十二号先到达天和核心舱所在圆轨道，然后加速完成对接6．[2021·浙江6月，10]空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化．空间站安装有发动机，可对轨道进行修正．图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站( )A．绕地运行速度约为2.0 km/sB．绕地运行速度约为8.0 km/sC．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒考点四双星或多星模型素养提升1．双星模型(1)结构图(2)特点：①各自所需向心力由彼此间的万有引力提供，即G m1m2L2＝m1ω12r1，G m1m2L2＝m2ω22r2.②两颗星运行的周期及角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③两颗星的运行轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.2．多星系统(1)多星的特征：所研究星体间的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力．除中央星体外，各星体的周期相同．(2)多星的形式(如三星模型)例7. [2022·潍坊模拟](多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X 1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )A ．它们间的万有引力大小变大B ．它们间的万有引力大小不变C ．恒星做圆周运动的线速度变大D ．恒星做圆周运动的角速度变大跟进训练7.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统．由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T ，恒星A 的质量为M ，恒星B 的质量为3M ，引力常量为G ，则下列判断正确的是( )A ．两颗恒星相距 √GMT 2π23B ．恒星A 与恒星B 的向心力之比为3∶1C ．恒星A 与恒星B 的线速度之比为1∶3D ．恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为√3∶18．宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M 的星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R ，并绕其中心O 做匀速圆周运动．如果忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G ，以下对该三星系统的说法中正确的( )A ．每颗星做圆周运动的角速度为3√GMR 3B ．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关C ．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2倍，则角速度变为原来的2倍D ．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2倍，则线速度大小不变第4讲 万有引力与航天必备知识·自主排查一、1．椭圆 焦点 2．面积 3．公转周期 二、1．正比 反比3．(1)质点 (2)两球心间 三、7．9 匀速圆周 11.2 地球 16.7 太阳 四、1．(1)运动状态 (2)相同 2．(1)不同 (2)不变 生活情境1．(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× 教材拓展 2．答案：A关键能力·分层突破例1 解析：设火星的半径为R 1、表面的重力加速度为g 1，质量为m 1的物体绕火星表面飞行的周期为T 1，则有m 14π2T 12 R 1＝m 1g 1，设椭圆停泊轨道与火星表面的最近、最远距离分别为h 1、h 2，停泊轨道周期为T 2，根据开普勒第三定律有R 13 T 12 ＝(ℎ1+2R 1+ℎ22)3T 22 ，代入数据解得h 2＝√2g 1R 12T 22 π23－2R 1－h 1≈6×107m ，故选项A 、B 、D 错误，选项C 正确．答案：C1．解析：悬停时二力平衡，即F ＝G Mm R 2∝MmR 2，得F 祝F 兔＝M 火M 月×m 祝m 兔×(R 月R 火)2＝91×21×(12)2＝92，B 项正确． 答案：B2．解析：卫星绕地球沿椭圆轨道运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A 点速度最大，在距离地球最远的C 点速度最小，故A 错误；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，有a ＝GMr 2，因卫星在A 点与地球的距离最小，则卫星在A 点的加速度最大，故B 错误；根据对称性可知t ADC ＝t CBA ＝T2，故C 正确；卫星在近地点A 附近速度较大，在远地点C 附近速度较小，则t BAD ＜T2，t DCB ＞T 2，故D 错误．答案：C例2 解析：根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得GMm r 2＝m v 2r ，解得M ＝v 2r G，D 正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A 、B 错误；已知核心舱的绕地角速度，由GMm r 2＝m ω2r 得M ＝ω2·r 3G，且ω＝2πT，r 约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C 错误． 答案：D 3．解析：“嫦娥五号”探测器在距月球表面为R 的轨道上运行，万有引力提供向心力，有G Mm (2R )2＝m 4π2T 22R ，得月球质量为M ＝32π2R 3GT 2，A 错误；月球密度ρ＝M V＝M43πR3＝24πGT 2，C 错误；对月球表面的物体m ′，有G Mm ′R 2＝m ′g ，得月球表面的重力加速度g ＝GM R 2＝32π2R T 2，B 正确；设月球第一宇宙速度为v ，则G MmR 2＝m v 2R ，得v ＝ √GM R＝4√2πR T，D 错误．答案：B4．解析：由1994年到2002年间恒星S2的观测位置图可知，恒星S2绕黑洞运动的周期大约为T 2＝16年，半长轴为a ＝1 000 AU ，设黑洞的质量为M 黑，恒星S2质量为m 2，由万有引力提供向心力可得GM 黑m 2a 2＝m 2a (2πT 2)2；设地球质量为m 1，地球绕太阳运动的轨道半径为r＝1 AU ，周期T 1＝1年，由万有引力提供向心力可得GMm 1r 2＝m 1r (2πT 1)2，联立解得黑洞质量M 黑≈4×106M ，选项B 正确．答案：B例 3 解析：当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A 正确；第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B 错误；万有引力提供向心力，则有GMm R 2＝mv 12 R，解得第一宇宙速度为v 1＝ √GM R，所以火星的第一宇宙速度为v 火＝ √10%50%v 地＝ √55v 地，所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；万有引力近似等于重力，则有GMm R 2＝mg ，解得火星表面的重力加速度g 火＝GM 火R 火2＝10%(50%)2g 地＝25g 地，所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误．故选A.答案：A例4 解析：根据万有引力公式F ＝GMm r 2可知，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与轨道半径的平方成反比，则核心舱进入轨道后所受地球的万有引力与它在地面时所受地球的万有引力之比F ′F 地＝R 2(R+R 16)2，解得F ′＝(1617)2F 地，A 正确；根据GMm R 2＝mv 2R可得，v ＝ √GM R＝7.9 km/s ，而核心舱轨道半径r 大于地球半径R ，所以核心舱在轨道上飞行的速度一定小于7.9 km/s ，B 错误；由GMm r 2＝m4π2T 2r 得绕地球做圆周运动的周期T 与√r 3成正比，核心舱的轨道半径比同步卫星的小，故核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h ，C 正确；根据G Mmr 2＝m v 2r 可知空间站的轨道半径与空间站的质量无关，故后续加挂实验舱后，轨道半径不变，D 错误．答案：AC例5 解析：同步卫星的周期等于地球的自转周期，根据GMm r 2＝m (2πT)2r 可知，卫星的周期越大，轨道半径越大，所以地球自转变慢后，同步卫星需要在更高的轨道上运行，A 正确；又由GMm r 2＝m v 2r＝m ω2r ＝ma 可知：r 增大，则v 减小、ω变小、a 变小，故B 、C 、D 均错误．答案：A例6 解析：天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A 错误．轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，天问一号探测器在轨道Ⅰ的运行周期比在Ⅱ时长，故B 错误．天问一号探测器从较高轨道Ⅰ向较低轨道Ⅱ变轨时，需要在P 点点火减速，故C 错误．天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P 飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D 正确．答案：D5．解析：组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由开普勒第三定律可知其周期小于24 h ，A 项正确；环绕地球表面做圆周运动的近地卫星的速度为7.9 km/s ，组合体的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，由v ＝ √GM r可知组合体的速度小于7.9 km/s ，B 项错；若已知地球半径和表面重力加速度，则有GM ＝gR 2，对组合体则有G Mm(R+h )2＝m ω2(R ＋h )，两式联立可得出组合体的角速度，C 项正确；若神舟十二号先到达天和核心舱所在圆轨道再加速，则做离心运动，不能完成对接，D 项错．答案：AC6．解析：设空间站离地面高度为h ，空间站在运行过程中万有引力提供其做圆周运动的向心力，有G Mm (R+h )2＝m v 2(R+h )，则运行速度v ＝√GMR+h ，由题图可知卫星绕地球做离地高约420 km左右的近地轨道运动，故环绕速度略小于第一宇宙速度7.9 km/s ，A 、B 错误；4月份中某时刻轨道高度突然减小，是由于受到了外层大气稀薄空气的影响，机械能减小，C 错误；5月中轨道半径基本不变，故机械能可视为守恒，D 正确．答案：D例7 解析：设质量较大的恒星为M 1，质量较小的黑洞为M 2，则两者之间的万有引力为F ＝GM 1M 2L 2，由数学知识可知，当M 1＝M 2时，M 1·M 2有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M 2吞噬质量较大的恒星M 1，因此万有引力变大，故A 正确，B 错误；对于两天体，万有引力提供向心力，即G M 1M 2L 2＝M 1ω2R 1＝M 14π2T 2R 1，GM 1M 2L 2＝M 2ω2R 2＝M 24π2R T 2R 2，解得两天体质量表达式为M 1＝ω2L 2GR 2＝4π2L 2GT 2R 2，M 2＝ω2L 2GR 1＝4π2L 2GT 2R 1，两天体总质量表达式为M 1＋M 2＝ω2L 3G＝4π2L 3GT 2，两天体的总质量不变，两天体之间的距离L 不变，因此天体的周期T 和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M 2的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据v ＝2πR 2T可知，恒星的线速度增大．故C 正确，D 错误．答案：AC7．解析：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力来源于恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即M4π2T 2r A ＝3M4π2T 2r B ，解得恒星A 与恒星B 的轨道半径之比为r A ∶r B ＝3∶1，选项B 、D 错误；设两恒星相距为L ，即r A ＋r B ＝L ，则有M 4π2T 2r A ＝G 3M 2L 2，解得L ＝ √GMT 2π23，选项A 正确；由v ＝2πTr 可得恒星A 与恒星B 的线速度之比为3∶1，选项C 错误．答案：A8．解析：任意两星之间的万有引力为F 0＝G MM R 2，则任意一星所受合力为F ＝2F 0cos 30°＝2×GMM R 2×√32＝√3G MM R2，任意一星运动的轨道半径r ＝23R cos 30°＝23×R ×√32＝√33R ，万有引力提供向心力，有F ＝√3G MMR 2＝M ω2r ，解得每颗星做圆周运动的角速度ω＝ √√3GM·√33R ＝√3GM R 3，A 错误；万有引力提供向心力，有F ＝√3GMM R2＝Ma ，解得a ＝√3GMR 2，则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B 错误；根据题意可知ω′＝ √3G·2M(2R )3＝12 √3GM R 3＝12ω，C 错误；根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为v ＝ωr ＝ √3GM R 3·√33R ＝ √GM R，则变化后为v ′＝ √2GM 2R＝v ，D 正确．答案：D。
浙江专版2021年高考物理一轮复习第四章曲线运动第4讲万有引力与航天考点突破练含解析
第4讲万有引力与航天考点1中心天体质量和密度的估算（c）【典例1】(2018·浙江4月选考真题)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图）,每16天绕土星一周,其公转轨道半径约为1.2×106 km,已知引力常量G=6。
67×10—11 N·m2/kg2,则土星的质量约为（)A.5×1017 kg B。
5×1026 kgC。
7×1033 kg D.4×1036 kg【解题思路】解答本题应注意以下三点:关键点（1）土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。
(2)轨道半径和周期的单位要换算为米和秒。
(3)警示点:计算时单位统一使用国际单位.【解析】选B。
卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力,设土星质量为M：=m R,解得M=。
代入计算可得：M=kg=5×1026 kg，故B正确,A、C、D 错误。
1。
通过观测冥王星的卫星,可以推算出冥王星的质量。
假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。
这两个物理量可以是（）A。
卫星的速度和质量B.卫星的质量和轨道半径C。
卫星的质量和角速度D。
卫星的运行周期和轨道半径【解析】选D.根据线速度和角速度可以求出半径r=,根据万有引力提供向心力:=m,整理可以得到：M==,故选项A、B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则=m(）2r，整理得到:M=,故选项D正确。
2.“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的,加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面。
卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测,并获取了月球部分区域的影像图。
假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H,绕行的周期为T M；月球绕地球公转的周期为T E ,半径为R0。
地球半径为R E，月球半径为R M。
若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响,则月球与地球质量之比为(）A。
高考第一轮复习教案04-曲线运动概要
11 第页12 第页13 第页14 第页15 第页高中物理授课纸授课日期年月日 N0 m2 球由最高点到最低点机械能守恒 m 2 g 2 R + 1 1 2 m2 v12 = m2 v0 ⋯③又N1=N2……④ 2 2 【小结】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。
找出其中的联系就能很好地解决问题。
【例 5】如图所示，赛车在水平赛道上作900 转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为 r1 和 r2，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是μ．试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？赛车在平直道路上行驶时，转弯时，车做圆周运动，分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为 vm。
转弯时，车做圆周运动，其赛车在平直道路上行驶时其速度值为其所能达到的最大值，向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小．为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值走完弯路后，车道的选择，走完弯路后，又要加速直至达到 vm。
车道的选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定．来确定．对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为 v2 ，则应有mv2 /r2=μmg 解得 v2= µ r2 g 2 如图所示，设车自 M 点开始减速，至 N 点其速度减为 v2，且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为a=μmg/m=μg 此减速过程中行驶的路径长度（即 MN 的长度）为x2= 2 2 vm − v2 v2 r = m － 2 2 µg 2 2a 车沿弯道到达 A 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为 x2 的路程上加速，才能达到速度 vm。
2021版高考物理一轮复习课件第4章曲线运动专题(04)五类热点”问题
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆 B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
解析：第一宇宙速度等于卫星的轨道半径与中心天体的半径相等时的卫星的速度，
由万有引力充当向心力知GRM2m＝mRv2得 v＝
GM R
所以v金＝ v地
M金×R地＝ M地 R金
0.82×0.195≈0.93
v 金＝0.93×7.9 km/s≈7.3 km/s.
答案：7.3 km/s
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C 关键 能力 突破
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1．(对宇宙速度的理解)(多选)2019 年 10 月 11 日，中国火星探测器首次公开亮相，
暂命名为“火星一号”，并计划于 2020 年发射．已知火星的质量约为地球质量的19，火
速度，根据牛顿第二定律有 GMRm2 ＝mvR2，由此得第一宇宙速度 v＝
GRM，即 v∝
M R.
设月球上的第一宇宙速度为 v1，地球上的第一宇宙速度为 v2，则有vv12＝
MM21·RR21＝
810×41＝105，接近29，可知 B 正确．
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4．(人教版必修 2·P48·T3 改编)金星的半径是地球的 0.95 倍，质量为地球的 0.82 倍．金 星的第一宇宙速度是多大？(已知地球第一宇宙速度为 7.9 km/s)
考点一 对宇宙速度的理解及应用
自主学习
1．第一宇宙速度的推导 方法一：由 GMRm2 ＝mvR21，得 v1＝ GRM＝7.9×103 m/s. 方法二：由 mg＝mvR21，得 v1＝ gR＝7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速
2021高考物理一轮复习第四单元曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力定律及应用学案新人教版
第4讲万有引力定律及应用考纲考情核心素养►万有引力定律及其应用Ⅱ►环绕速度Ⅱ►第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ►经典时空观和相对论时空观Ⅰ►行星运动的规律：开普勒行星运动三定律．►行星运动的动力学规律：万有引力充当向心力．►宇宙速度的概念.物理观念全国卷5年8考高考指数★★★★★►运用万有引力定律和圆周运动的知识分析天体运动问题．►构建双星、多星的运动模型.科学思维知识点一开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律(面积定律)对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等．3．开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.直观展示知识点二万有引力定律1．万有引力定律内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比公式F ＝G m 1m 2r2适用 条件(1)两质点间的作用(2)可视为质点的物体间的作用 (3)质量分布均匀的球体间的作用数值6.67×10－11N·m 2/kg 2测定人 英国物理学家卡文迪许于1798年利用扭秤测定(续表)物理意义数值上等于两个质量都是1 kg 的物体相距1 m 时的相互引力测定意义(1)有力地证明了万有引力的存在(2)使定量计算得以实现(3)开创了测量弱相互作用的新时代知识点三 宇宙速度 时空观1．三种宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v 1＝7.9 km/s ，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度第二宇宙速度 (脱离速度) v 2＝11.2 km/s ，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度 (逃逸速度)v 3＝16.7 km/s ，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度直观展示(1)在经典力学中，物体的质量不随速度的改变而改变．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．3．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增大而增大，用公式表示为m ＝m 01－⎝ ⎛⎭⎪⎫v c 2.(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是相同的．1．思考判断(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( × )(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( √ ) (3)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( × ) (4)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( × )(5)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( × ) (6)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( √ )2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( C ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得r 3火T 2火＝r 3木T 2木，故T 2火T 2木＝r 3火r 3木，C 正确．3．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( B ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A 错误，选项B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D 错误．4．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以下说法正确的是( AB )A ．5颗同步卫星的轨道半径都相同B ．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内C ．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度D ．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小解析：所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，A 、B 均正确；由v ＝GMr可知，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，且运行轨道半径越大，周期越大，C 、D 均错误．5．已知月球质量与地球质量之比约为180，月球半径与地球半径之比约为14，则月球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近( B )A ．9 2B ．29C ．181D ．118解析：第一宇宙速度等于卫星的轨道半径与中心天体的半径相等时的卫星的速度，根据牛顿第二定律有G Mm R 2＝m v 2R，由此得第一宇宙速度v ＝GMR ，即v ∝ MR；设月球上的第一宇宙速度为v 1，地球上的第一宇宙速度为v 2，则有v 1v 2＝ M 1M 2·R 2R 1＝ 180×41＝510，接近29，可知B 正确．考点1 开普勒行星运动定律的理解和应用1．为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( C )A ．2 1B ．4 1C ．81D ．161解析：地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设地球和卫星的质量分别为M 、m ，根据牛顿第二定律有G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得卫星的周期为T ＝4π2r3GM，即卫星P与Q 的周期之比T 1T 2＝r 31r 32＝8，选项C 正确，A 、B 、D 错误． 2.(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( CD )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：根据开普勒第二定律可知，海王星在近日点速度最大，在远日点速率最小，所以从P 到M 所用的时间小于T 04，A 错误；从Q 到N 阶段，只有万有引力做功，机械能守恒，B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段海王星速率逐渐变小，C 正确；从M 到N 阶段，海王星速率先减小后增大，则万有引力对它先做负功后做正功，D 正确．3.(多选)如图所示，某次发射远地圆轨道卫星时，先让卫星进入一个近地的圆轨道Ⅰ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R 1、周期为T 1；然后在经过P 点时点火加速，进入椭圆转移轨道Ⅱ，在此轨道运行的卫星的周期为T 2；到达远地点Q 时再次点火加速，进入远地圆轨道Ⅲ，在此轨道运行的卫星的轨道半径为R 3、周期为T 3(轨道Ⅱ的近地点为Ⅰ上的P 点，远地点为轨道Ⅲ上的Q 点)．已知R 3＝2R 1，则下列关系式正确的是( AC )A ．T 3＝22T 1B ．T 2＝368T 1C ．T 2＝338T 3D ．T 3＝346T 1解析：根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，可知T 23T 21＝R 33R 31＝81，解得T 3T 1＝22，即T 3＝22T 1，故A正确，D 错误；由几何知识可知椭圆轨道Ⅱ半长轴为R 1＋R 32，则有T 22T 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 1＋R 323R 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32R 1R 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323，解得T 2＝364T 1＝338T 3，故B 错误，C 正确．考点2 万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所示．(1)在赤道处：G MmR 2＝mg 1＋mω2R . (2)在两极处：G Mm R2＝mg 2.(3)在一般位置：万有引力G Mm R2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即G Mm R2＝mg .2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)：mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度g ′：mg ′＝GMmR ＋h2，得g ′＝GM R ＋h2，所以g g ′＝R ＋h 2R 2.题型1 万有引力与重力的关系1．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g 1，“极点”处的重力加速度为g 2，若已知自转周期为T ，则该天体的半径为( C )A.4π2g 1T 2B.4π2g 2T2C.g 2－g 1T 24π2D.g 1＋g 2T 24π2解析：对于处在“极点”处的物体，万有引力等于重力，则有G MmR2＝mg 2，对于处在“赤道”处的同一物体，则有G Mm R 2－mg 1＝m 4π2T 2R ，由以上两式可解得R ＝g 2－g 1T 24π2，C 正确． 2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G ，则地球的密度为( B )A.3πg 0－gGT 2g 0B.3πg 0GT 2g 0－gC.3πGT2D.3πg 0GT 2g解析：物体在地球的两极时，有mg 0＝G Mm R2，物体在赤道上时，有mg ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，又V ＝43πR 3，M ＝ρV ，联立解得：地球的密度ρ＝3πg 0GT 2g 0－g ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．题型2 万有引力随高度的变化3．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图象是( D )解析：本题考查万有引力定律在天文学上的应用．设地球半径为R ，地球质量为M ，探测器质量为m ，探测器在远离地球的过程中，其所受地球的引力大小为F ＝GMm R ＋h2，由此可知，随着h 的增大，F 逐渐减小，但F 随h 不是均匀减小的，故D 正确．4．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，地球表面质量为m 的物体受到的重力近似等于万有引力，故mg ＝G MmR2；设矿井底部处的重力加速度为g ′，“等效地球”的质量为M ′，其半径r ＝R －d ，则矿井底部质量为m 的物体受到的重力mg ′＝GM ′m R －d 2，而M ′＝M 43πR3·43π(R －d )3，故g ′g ＝R －d R ＝1－d R，选项A 正确．名师点睛万有引力定律的两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点m 受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体M ′对其万有引力，即F ＝考点3 天体质量和密度的计算1．“自力更生”法(g —R )利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .(1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G.(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.(3)GM ＝gR 2称为黄金代换公式． 2．“借助外援”法(T —r )测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r .(1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得天体的质量M ＝4π2r3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度．(多选)下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量G 和表中选择的一些信息可以完成的估算是( )信息 序号 ①② ③ ④ ⑤信息 内容地球一年约365天地表重力加速度约为9.8 m/s 2火星的公转周期约为687天日地距离大约是1.5×108km地球半径约为6 400 kmB ．选择①④可以估算太阳的密度C ．选择①③④可以估算火星公转的线速度D ．选择①②④可以估算太阳对地球的吸引力【解析】 本题通过题给数据结合万有引力定律考查物理估算．根据mg ＝G MmR2可知选择②、⑤中的g 和R ，可以估算地球质量M ，故A 正确；根据G Mm r2＝m ⎝⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，则选择①中的地球公转周期T 和④中的日地距离r 可以估算太阳的质量，但是由于太阳的半径未知，故不能估算太阳的密度，故B 错误；选择①、③、④可利用开普勒第三定律，求出火星公转半径r 火，再根据v 火＝2πr 火T 火可估算火星公转的线速度，故C 正确；因为选择①、②、④不能确定地球的质量，故不可以估算太阳对地球的吸引力，故D 错误．【答案】 AC 高分技法环绕法估算天体质量和密度问题 1卫星的轨道半径与中心天体的半径不要混淆，只有近地卫星的轨道半径才近似等于天体半径.2搞清“以谁为研究对象，谁是中心天体”“受力特点”“谁做圆周运动”等问题，明确一般只能求解中心天体的质量和密度，不能求解环绕天体的质量和密度.3估算天体质量的两种方法①如果不考虑星球的自转，星球表面的物体所受重力等于星球对它的万有引力，②利用环绕行星运转的卫星，万有引力提供卫星运转的向心力，1．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( D )A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝k GT 2解析：本题考查天体密度的计算．研究火星探测器绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式G Mm r 2＝m 4π2T2r ，由于探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，则轨道半径r 即为火星的半径，得M ＝4π2r 3GT 2，则火星的密度ρ＝M 43πr 3，解得火星的平均密度ρ＝3πGT2＝kGT 2(k 为某个常数)，D 正确． 2.宇宙中有两颗相距无限远的恒星s 1、s 2，半径均为R 0.右图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与公转半径r 3的关系图象，则( B )A ．恒星s 1的质量大于恒星s 2的质量B ．恒星s 1的密度小于恒星s 2的密度C ．恒星s 1的第一宇宙速度大于恒星s 2的第一宇宙速度D ．距两恒星表面高度相同的行星，s 1的行星向心加速度较大解析：根据公式G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2，r3T2越大，M 越大，由题图可以看出，s 2的质量大于s 1的质量，故A 错误；两颗恒星的半径相等，则它们的体积相等，根据M ＝ρV ，所以质量大的恒星s 2的密度大于恒星s 1的密度，故B 正确；根据万有引力提供向心力，则G MmR 20＝m v 2R 0，所以v ＝GMR 0，由于恒星s 1的质量小于恒星s 2的质量，所以恒星s 1的第一宇宙速度小于恒星s 2的第一宇宙速度，故C 错误；距两恒星表面高度相同的行星，它们的轨道半径相等，它们的向心加速度a ＝GM r2，所以s 1的行星向心加速度较小，故D 错误．考点4 双星及多星模型1．双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视天体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A．质量之积 B．质量之和C．速率之和 D．各自的自转角速度【解析】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示：每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得Gm1m2l2＝m1ω2r1①Gm1m2l2＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得G m 1＋m 2l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得v 1＝ωr 1 ④v 2＝ωr 2 ⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解． 【答案】 BC 高分技法 多星问题的处理宇宙中的双星系统及多星系统问题的核心是系统的稳态、系统中各天体的平衡及匀速圆周运动的动力学问题，解题的关键是抓住研究对象的运动特征并列出各自的动力学方程进行分析．对于双星问题需要抓住以下几点：(1)它们相互间的万有引力提供向心力，受力大小相等； (2)它们共同绕它们连线上某点做匀速圆周运动，角速度相等； (3)轨道半径之比等于质量的反比：r 1r 2＝m 2m 1； (4)它们运行的角速度满足G m 1＋m 2L2＝ω2L ，其中L 为它们之间的距离．3．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( B )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2D ．四颗星的周期均为2πa2a 4＋2Gm解析：四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 22a2＋2Gm2a2＝m4π2T2·2a2，解得T ＝2πa 2a 4＋2Gm，故D 正确．4．我国发射的“悟空”号暗物质粒子探测卫星，三年来对暗物质的观测研究已处于世界领先地位．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心匀速转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且T 理论T 观测＝k (k >1)．因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质(已知质量分布均匀的球体对外部质点的作用，等效于质量集中在球心处对质点的作用)，两星球的质量均为m .那么暗物质的质量为( B )A.k 2－28mB.k 2－14mC ．(k 2－1)mD ．(2k 2－1)m解析：双星均绕它们连线的中点做匀速圆周运动，令它们之间的距离为L ，由万有引力提供向心力得G m 2L 2＝m 4π2T 2理论·L2，解得T 理论＝πL2LGm.根据观测结果，星体的运动周期T 理论T 观测＝k ，这种差异可能是由双星之间均匀分布的暗物质引起的，又均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′(位于球心处)的质点对双星系统的作用相同，有G m 2L 2＋G mm ′L 22＝m 4π2T 2观测·L2，解得T 观测＝πL2L Gm ＋4m ′，所以m ′＝k 2－14m ，选项B正确．。
课标版21高考物理一轮复习专题四曲线运动课件
答案 (1)20 m/s (2)41.7 m/s
二、平抛运动的两个推论 推论一 做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处,设其末速
度方向与水平方向的夹角为θ,位移与水平方向的夹角为φ,则tan θ=
2 tan φ。
证明:如图甲所示,由平抛运动规律得
tan θ= v = gt ,tan φ= y = 1 gt2 = gt ,
改变,所以是变速运动,必具有加 线运动是变加速曲线运动(或非
速度
匀变速曲线运动),如圆周运动
(4)合外力F始终指向运动轨迹
的内侧
三、运动的合成与分解 1.合运动与分运动的关系
等时性 独立性
等效性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相同 一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进 行,不受其他分运动的影响 各分运动叠加起来与合运动有相同的效果
10
考点二 抛体运动
考向基础
一、平抛运动
1.平抛运动
(1)定义:水平抛出的物体只在重力作用下的运动叫做平抛运动。
(2)性质:加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动,轨迹是抛物线。
(3)研究方法:平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向
上的自由落体运动。
(4)运动时间和射程
t=
2h g
仅取决于竖直下落的高度;射程x=v0
(1)水平方向:v0x=v0·cos θ,F合x=0。 (2)竖直方向:v0y=v0·sin θ,F合y=mg。
考向 平抛运动
考向突破
一、平抛运动的分解与实例
方法
内容
实例
斜面
分解 速度
分解 位移
水平vx=v0 竖直vy=gt 合速度v=
高三物理第一轮复习 学案4 曲线运动
第4单元 曲线运动第一部分 知识复习1．基本概念（1）做曲线运动的条件：质点有一定的初速度v 0，且质点所受的合外力ΣF 与v 0不在一条直线上。
（2）曲线运动中物体的速度方向是时刻改变的，它在某一点或某一时刻的瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
（3）曲线运动的特点：路程大于位移大小；一定是变速运动（匀变速或变速、匀速率或变速率）；所受合外力（和加速度）一定不为零，且指向曲线弯曲的内侧。
2．研究曲线运动的方法——运动的合成和分解所谓运动的合成，就是几个运动叠加为一个合运动；所谓运动的分解，就是一个运动分解为几个分运动。
（1）合运动与其分运动的基本性质同时性：合运动与其分运动总是同时开始、同时进行、同时结束独立性：各分运动独立进行、互不干扰 （2）合运动性质的判定A ．两个匀速直线运动的合运动，是匀速直线运动或静止B ．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动，是初速度为零的匀加速直线运动或静止说明：A 、B 中如指明v 1≠v 2、a 1≠a 2或互成角度，则无静止的可能性。
C ．一个匀速直线运动与一个初速度为零的匀加速直线运动的合运动，一定是匀变速（直线或曲线）运动D ．两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动，是直线运动还是曲线运动，要看合加速度与合初速度的方向关系（3）应用：船过河问题（三个极值）设船在静水中的速度为v 1，水速为v 2，船对岸的速度为v A ．时间最短根据合运动与分运动的等时性，船过河的运动可分解为v 1、v 2两个分运动。
对v 1这个分运动来说，t min =1v L ，其中L 为河的宽度，此时v 1与岸垂直。
所以，当船头垂直岸过河时，渡河时间最短。
B ．位移最小当v 1>v 2、合速度v 方向垂直岸时，s min =L 。
船头斜向上游，与岸的夹角为θ=arccos12v v 。
当v 1<v 2时，v 不可能垂直岸，那么，v 与岸的夹角越大，s 就越小。
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第四讲：曲线运动习案近三年真题统计命题热点1、物体做曲线运动条件的理解2、关联速度问题3、平抛与类平抛问题4、圆周运动的概念与圆周运动中的临界问题知识与能力储备1、阅读理解与建模能力2、分析推理和计算能力3、数理结合、立体思维一、真题赏析K物体做曲线运动的条件例题1・在卢瑟福的a粒子散射实验中，某一&粒子经过某一原子核附近时的运动轨迹如图中实线所示•图中P、Q为轨迹上的点，虚线是过P、Q两点并与轨迹相切的直④』般线和轨迹将平而分为四个区域•不考虑其他原子核对该Q粒子的作用，那么关于该原子核約位浹说法中正确的是A.可能在①区域B.可能在②区域C.可能在③区域D.可能在④区域2、曲线运动的处理方法例题2.随着人们生活水平的提髙，髙尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐运动.如图所示，某人从髙出水平地面力的坡上水平击出一个质量为加的高尔夫球，由于恒龙的水平风力作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为厶的A穴，则（）A.球被击出后做平抛运动B.由于水平风力的原因球在空中运动的时间大于C.球被击出后受到的水平风力大小为器D.球被击出时的初速度大小为L拓例题3.在校运动会三级跳远比赛中，某同学的跳跃过程可简化为如图的情况。
该同学在空中过程只受重力和沿跳远方向恒定的水平风力作用，地而水平、无杂物、无障碍，每次和地面的作用时间不计，假设人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，假设张明同学从A点开始起跳到D 点的整过程中均在同一竖直平而内运动，下列说法正确的是（）风0eA.每次从最髙点下落过程都是平抛运动B.每次起跳到着地水平位移AB：BC： CD=1： 3： 5C.从起跳到着地三段过程中水平方向速度变化量相等D.三段过程时间相等例题4. 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用系列不同半径的小圆弧来代替.如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆左义为：在曲线上某一点A 点和邻近的另外两点分別做一圆，当邻近的另外两点无限接近人点时，此圆的极线位置叫做曲线A 点处的曲率圆，英曲率圆半径尺叫做人点的曲率半径.现将一物体沿与水平而成°角的方向以速度D抛岀，如图乙所示.不计空气阻力，则在其轨迹最高点P处的曲率半径厂是（）vjsin2^二、常见速度关联问题1 •模型特点沿绳（杆）方向的速度分量大小相等。
2.分解思路研究对彖合运动亠沿着绳（杆）突破口绳与物或杆与物的接触点方向分解沿绳或杆的分速度大小相等->接触点的运动―►垂直绳（杆）方向分解例题5・如图所示，一根长为厶的轻杆，0端用铁链固总，另一端固定着一个小球A,轻杆靠在一个髙为力的物块上。
若物块与地而摩擦不计，则当轻杆以不变的角速度。
顺时针转动至轻杆与水平方向夹角为&时，物块与轻杆的接触点为乩下列说法正确的是（）A.小球A的线速度大小为一-sin 0B.A点与B点角速度相同C.物块向右运动的速度v = -^-sin2（9D.随着轻杆与水平方向夹角变小，物体的速度先增大后减小例题6・如图所示，长为厶的轻直棒一端可绕固立轴0转动，另一端固定一质量为加的小球，小球搁在水平升降台上，升降平台以速度『匀速上升。
下列说法正确的是（）A.小球做匀速圆周运动B.当棒与竖直方向的夹角为a时，小球的速度为」一cos aC.棒的角速度逐渐增大VD.当棒与竖直方向的夹角为。
时，棒的角速度为一L sin a三、平抛运动例题7•如图所示，从倾角为&的斜而顶点A将一小球以初速度勺水平抛岀，小球经过f落在斜而上B点，重力加速度为幻斜而足够长，不计空气阻力，则下列说法正确的有（）5 / 12A・从A到B的运动时间为辿巴纟8B.朋的长度为警穿C.初速度”0变为2倍，抛岀到落在斜而的时间『变为2倍D.改变初速度仏大小，小球落在斜而上时速度与斜而的夹角大小不变例题8・如图所示，abed是倾角为&的光滑斜而，已知ah//de. ad. be均与“b垂直.在斜面上的"点，将甲球以速度vo沿"方向入射的同时，在斜而上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是（）A.甲、乙两球不可能在斜而上相遇B.甲、乙两球一立在斜而上相遇C.甲、乙两球在斜而上运动的过程中，总是在同一水平线上D.甲、乙两球在斜而上运动的过程中，在相同时间内速度的改变总是相同例题9・在一次投球游戏中，小明同学以一立的力度，将球从A点以斜向上45。
角向勢筐B投去，结果球沿弧线飞到勢筐前方（如图所示），已知A. B等髙，且不考虑阻力的影响，小明所处的位置不变。
小明欲将球投入發筐.下列可行的措施是（）A.保持抛出速度不变，增大抛射角B.保持抛出速度不变，减小抛射角C.保持抛射角不变，增大抛出速度D.保持抛射角不变，减小抛出速度四、圆周运动例题10•如图所示，一轻杆一端固左在o点，杆的中点固圧一小球，小球绕O点在竖直平而内以速率V做匀速圆周运动，在转过的圆心角为&的时间内杆的端点通过的弧长为S，下列说法正确的是A.杆长柏B.小球转动的角速度大小为竺sCTT” — Z3C.小球转动的周期为話D.小球的向心加速度为例题11・有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（）A.如图4汽车通过拱形桥的最髙点时处于超重状态B.如图山是一圆锥摆，增大&，保持圆锥的髙不变，则圆锥摆的角速度不变C.如图c,质量相同的两球在光滑圆锥筒内4、3位置做匀速圆周运动，则它们的角速度相等D.如图丛火车转弯超过规泄速度大小行驶时，内轨对火车轮缘会有挤压作用例题12 •质量为加的小球由轻绳“和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳“与水平方向成0角.绳方在水平方向且长为/，当轻杆绕轴以角速度。
匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）A.a绳的张力一定比小球的重力大B.“绳的张力随角速度的增大而增大C.若b绳突然被剪断，则"绳的弹力一左发生变化D当角速度Q馬时'〃绳将出现弹力例题13.如图所示，两个质呈均为m的小木块a和b,（可视为质点）放在水平圆盘上，之间用轻质细线连接，且a, b之间的距离恰等于线长，a与转轴OCT的距离为L, b与转轴的距离为2L,木7 / 12块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动。
用3表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）A.b—泄比a先开始滑动B.当时，细线突然断开，a立即做离心运动C.当时，a所受摩擦力的大小为kmgD・当时，b受到的静摩擦力达到最大值参考答案例题1. AA.如果原子核在①区域，可能会出现题图所示的轨迹，A正确。
.BC.如果原子核在②、③区域，a粒子会向①区域偏转：BC错误。
D a粒子带正电，原子核也带正电，对靠近它的a粒子产生斥力，且曲线运动的物体合外力应指向轨迹的凹侧；故原子核不会在④区域：D错误。
例题2. CA.小球击出后，受重力和风力作用，不是平抛运动，故A错误；B.小球在竖直方向上做自由落体运动，根据h =占gf得，可得『=水平风力的作用不影响竖直方向的运动，故运动时间不变为故B错误:CD.球竖直进A穴可知水平方向做匀减速直线运动，有“争2/解得水平初速度为v0= —而水平加速度大小为" = •根据牛顿第二立律得，风力为F = ma = ^故C正确，D错误。
例题3. CDA.平抛运动要求只受重力，而题目中说明有风力，每次从最髙点下落过程都不是平抛运动，A错误；BCD.由题意可知，人着地反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变方向相反，每一次起跳的速度方向和第一次相同，由八=2"可知每次起跳高度相同，由h=-gt2知，每次起跳在空中的2时间相同，而水平方向每次起跳都是匀加速直线运动，则三段过程中速度的变化量相等，由于水平方向的初速度不为零，则水平位移不满足1： 3： 5的关系，B错误，CD正确。
例题4. D例题5. BCA.当轻杆以不变的角速度血顺时针转动时，根据厂初•可知小球A的线速度大小为型，选项A错B.A点与B点同轴转动，则角速度相同，选项B正确；\ XC.如图所示°------- 匕--------------根据运动的合成与分解可知，物块接触点B的实际运动为合运动，可将B点运动的速度VBR沿垂直于杆和沿杆的方向分解成也和力，其中V2=VBsin9=i j sm9为B点做圆周运动的线速度。
当杆与水平方向夹角为&时03 =—B点的线速度为V2=OB-CO =选项C正确:D.根据一可知，随着轻杆与水平方向夹角的减小，物块速度逐渐变大，选项D错误。
siir 0例题6. DA.小球受重力、平台的弹力和杆的作用力，因为升降平台以速度『匀速上升，平台的弹力和杆的作用力变化，即小球受到的合力大小变化，小球做的不是匀运动，A错误：BCD.棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于左上，如图所示速圆周棒指向沿竖直向上方向上的速度分量等于-v = coLs\na所以V实= ，3 =sin a Lsina平台向上运动，夹角增大，角速度减小.BC错误D正确。
例题7. ACD丄2AC.根据位移偏角的正切值tan 0=y=x吋=2v（）2v n tan 0小球在空中飞行的时间t =」——由于位移的偏角&不变，若初速度心变为2倍，则小球抛出到落在斜而的时间/变为2倍，故AC正确；B.小球的水平位移％= 迎小°所以初的长度为L = —=兰£?cos& gcos&故B错误；D.做平抛运动的小球，速度偏角的正切值是位移偏角正切值的2倍，而小球落在斜而上位移的偏角& 不变，则位移偏角正切值不变，速度偏角的正切值也不变，所以改变初速度心大小，小球落在斜面上时速度与斜而的夹角大小不变，故D正确。
例题8. CDABC、甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，与类平抛运动沿斜而向下方向上的运动规律相同，可知甲乙两球在斜而上运动的过程中，相同时间内沿斜而向下的位移相同，即总是在同一水平线上，若斜而足够长，两球一泄会在斜而上相遇，但是斜而不是足够长，所以两球不一泄在斜而上相遇，故A、B错误，C正确：D、因为甲乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，故D正确：例题9. C将运动视为水平方向的匀速运动和竖直方向的上抛运动，记初速度为％,和水平方向夹角为&, AB距离为$。
则水平速度= v0 cos0落回原高度的运动时间为/ = '匸= 2v（>sin6?g g门2v n sin 0当水平位移牙=匕）cos 0・ --------- =sg时恰好投入寥筐。