几何相关知识专题复习 学案-2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学中考复习
2.5.1三角函数的应用教案2022-2023学年鲁教版(五四制)数学九年级上册
2.5.1 三角函数的应用教案2022-2023学年鲁教版（五四制）数学九年级上册教学目标1.掌握三角函数的概念和基本性质。
2.理解三角函数在解决实际问题中的应用。
3.能够灵活运用三角函数解决与高度、距离、角度等有关的问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和实际运用能力。
教学准备1.教材：鲁教版（五四制）数学九年级上册。
2.教具：黑板、粉笔、计算器。
教学过程第一步：概念讲解1.引入：三角函数是数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
今天我们将学习三角函数的应用。
2.介绍三角函数的概念：三角函数是角的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
3.讲解三角函数的基本性质：正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]；余弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]；正切函数的定义域是实数集，值域是(-∞, +∞)。
4.给出三角函数的图像及其特点：正弦函数的图像是一条波浪线，周期为360°（或2π），对称轴为y轴；余弦函数的图像是一条波浪线，周期为360°（或2π），对称轴为x轴；正切函数的图像是一条连续的抛物线曲线，周期为180°（或π）。
第二步：实际应用1.引入：三角函数在解决实际问题中有着广泛的应用，比如在测量高度、距离、角度等方面。
下面我们来学习一些具体的例子。
2.例题：某校图书馆的书架高度为2.5米，一位学生站在距离书架底部3米的地方，他抬头向上看书架，设他的眼睛离地面的高度为1.6米。
问他的仰角是多少？3.解题思路：根据题意，可以建立一个直角三角形，其中一个角是仰角，另外两个边分别是2.5米和3米。
根据三角函数的定义和性质，我们可以得到正切函数的应用公式：tanθ = 对边/临边。
4.计算：根据所建立的直角三角形，对边为1.6米，临边为3米，所以tanθ = 1.6/3，求得仰角θ的大小为tan^(-1)(1.6/3) ≈ 29°。
5.结论：学生的仰角约为29°。
2021-2022学年鲁教版(五四制)九年级数学上册-2
2021年鲁教版九年级数学上册《2.6利用三角函数测高》同步优生辅导训练（附答案）1．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米2．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里3．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A 的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向250米处D．南偏西60°方向250米处4．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．5．如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A 的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于千米．（结果保留根号）6．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B 在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．7．已知点B位于点A北偏东30°方向，点C位于点A北偏西30°方向，且AB＝AC＝8千米，那么BC＝千米．8．为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它[填“能”或“不能”]到达Q 处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？9．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里后达到点B处，测得岛C在其北偏东45°方向上．已知岛C周围10海里内有暗礁．问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．10．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）11．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上，小岛A离港口P有多少海里？12．如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）13．如图，海中有一个小岛A，该岛的四周10海里的范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向东航行．到达B处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处．如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明．14．如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）15．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.4，≈1.7）17．如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．18．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C 处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击，一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处，以每小时10千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．试问：（1）台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米？（2）温州市A是否受台风影响？若不会受到，请说明理由；若会受到，求出温州市受台风严重影响的时间．20．如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45°方向上，测得树B在北偏东36°方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，cot36°≈1.376）21．如图，海中有一个小岛A，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．如图，MN是一条东西方向的海岸线，在海岸线上的A处测得一海岛在南偏西32°的方向上，向东走过780米后到达B处，测得海岛在南偏西37°的方向，求小岛到海岸线的距离．（参考数据：tan37°＝cot53°≈0.755，cot37°＝tan53°≈1.327，tan32°＝cot58°≈0.625，cot32°＝tan58°≈1.600．）23．某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．参考答案1．解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝5千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC＝（千米），故选：C．2．解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．3．解：如图所示：∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，故选：A．4．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．5．解：如图，作CD⊥AB于点D．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC•sin∠CAD＝4×＝2（km），AD＝AC•cos30°＝4×＝2（km），∵Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝2（km），∴AB＝AD+BD＝2（km），故答案是：（2+2）．6．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，AC＝100m，∴AD＝100•sin∠ACD＝100×0.5＝50（m），CD＝100•cos∠ACD＝100×＝50（m），在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝50m，则AB＝AD+BD＝50+50（m），即A、B之间的距离约为（50+50）米．故答案为：（50+50）．7．解：依照题意画出图形，如图所示．（方法一）∵∠BAD＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°．又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AC＝8千米．故答案为：8．（方法二）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝8千米，∴BD＝4千米．同理，CD＝4千米，∴BC＝BD+CD＝8千米．故答案为：8．8．解：（1）如图1所示：由题意得：AB＝28×＝14（海里），∠P AB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠P AB，∴PB＝AB＝14（海里），∵BC∥PD，∴∠BPD＝∠PBC＝30°，∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，∵PQ＝PB＝14，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PBQ＝60°，∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，∴A、B、Q三点共线，∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：由（1）得：∠PBH＝60°，在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB＝×14＝7，∵7＞12，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．9．解：无触礁危险，理由如下：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝45°，∴∠ACB＝15°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD．∵AB＝8，∴AD＝8+CD＝．∴DC＝≈10.9＞10，∴船继续向东航行无触礁危险．10．解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM＝x，∵在Rt△CDM中，CD＝DM•tan∠CMD＝x•tan22°，又∵在Rt△ADM中，∠MAC＝45°，∴AD＝DM，∵AD＝AC+CD＝100+x•tan22°，∴100+x•tan22°＝x，∴x＝≈≈167.79，答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）作∠DMF＝30°，交l于点F．在Rt△DMF中，DF＝DM•tan∠FMD＝DM•tan30°＝DM≈×167.79≈96.87米，∴AF＝AC+CD+DF＝DM+DF≈167.79+96.87＝264.66＜300，所以该轮船能行至码头靠岸．11．解：作AE⊥PB于E，由题意得，PB＝12×1.5＝18海里，设AE＝x海里，∵∠APE＝45°，∴PE＝AE＝x，∵∠ABE＝60°，∴BE＝x，由题意得，x﹣x＝18，解得，x＝27+9，则AP＝27+9，答：小岛A离港口P有（27+9）海里．12．解：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，∴AD＝BD，∵AC＝200，∴BD﹣BD＝200，∴BD＝＝100（+1），∴BC＝BD＝100（+1）×≈386米，答：此时游轮与灯塔C的距离为386米．13．解：过点A作直线BC的垂线，垂足为D，由题意，得∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝30°，又∵∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC，∵BC＝20，∴AC＝BC＝20（海里），在Rt△ACD中，（海里），由题意知：以海岛A为圆心，半径长为10海里范围内有暗礁．这里，，所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险．14．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．在Rt△P AD中，∠ADP＝90°，∠P AD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝xkm．∵BD+AD＝AB，∴x+x＝2，x＝﹣1，∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝1km．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，∴点C与点B之间的距离为km．15．解：如图作CH⊥AD于H．设CH＝xkm，在Rt△ACH中，∠A＝37°，∵tan37°＝，∴AH＝＝，在Rt△CEH中，∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x，∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，∴＝，∵AC＝CB，∴AH＝HD，∴＝x+5，∴x＝≈15，∴AE＝AH+HE＝+15≈35km，∴E处距离港口A有35km．16．解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM＝海里．在Rt△AMC中，tan C＝，∴CM＝≈≈＝4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．17．解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴＝∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．∴＝∴CD＝4≈6.928＞6．∴船继续向东航行无触礁危险．18．解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B＝，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B＝，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝，∴CH＝≈5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．19．解：（1）过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB＝300，∠ABD＝30°∴AD＝AB＝150（km）；（3分）（2）∵150＜200∴温州市点A受到台风严重影响设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则在Rt△ADE中，AE＝200，AD＝150∴DE＝＝∴EF＝2DE＝∴温州市A受台风严重影响的时间为．（6分）20．解：过点C作CH⊥AB，垂足为点H，由题意，得∠ACH＝45°，∠BCH＝36°，BC＝200，在Rt△BHC中，，∴，∵sin36°≈0.588，∴BH≈117.6，又，∴．∵cos36°≈0.809，∴HC≈161.8，在Rt△AHC中，，∵∠ACH＝45°，∴AH＝HC，∴AH≈161.8，又AB＝AH+BH，∴AB≈279.4，∴AB≈279（米），答：A、B之间的距离为279米．21．解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠BAH＝60°，∠CAH＝45°，BC＝10．（设AH＝x，则CH＝x．在Rt△ABH中，∵，∴，∴，解得，∵13.65＞11，∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．22．解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，设CD＝x米，∵AB＝BD﹣AD，∴x tan37°﹣x tan32°＝780，解得：x＝6000，答：小岛到海岸线的距离6000米．23．解：如图，由题意知∠CAB＝75°、∠CAP＝45°、∠PBD＝60°，∴∠P AH＝∠CAB﹣∠CAP＝30°，∵∠PHA＝∠PHB＝90°，PH＝50，∴AH＝＝＝50，∵AC∥BD，∴∠ABD＝180°﹣∠CAB＝105°，∴∠PBH＝∠ABD﹣∠PBD＝45°，则PH＝BH＝50，∴AB＝AH+BH＝50+50，∵60千米/时＝米/秒，∴时间t＝＝3+3≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速。
2.5三角函数的应用(2)教案2022-2023学年鲁教版(五四制)九年级上册数学
2.5 三角函数的应用(2)教案2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级上册数学一、教学目标1.理解正弦函数与余弦函数的性质。
2.能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题。
二、教学重点1.正弦函数与余弦函数的性质。
2.实际问题中的三角函数应用。
三、教学内容本课程将重点介绍正弦函数与余弦函数的性质，并通过实际问题进行应用。
A. 正弦函数与余弦函数的性质1.通过图像分析正弦函数与余弦函数的周期性特点。
2.探索正弦函数与余弦函数的幅值和正负变化规律。
3.理解正弦函数与余弦函数的相位差。
B. 实际问题中的三角函数应用1.学习如何利用正弦函数与余弦函数解决实际问题。
2.探索利用三角函数求解地理、物理等领域中的相关问题。
3.运用三角函数求解航空、测量、机械等工程技术问题。
四、教学过程本课程将通过以下步骤进行教学：第一步：正弦函数与余弦函数的性质1.呈现正弦函数与余弦函数的图像，并分析其周期性特点。
2.引导学生发现正弦函数与余弦函数的幅值和正负变化规律。
3.解释正弦函数与余弦函数的相位差概念及其应用。
第二步：实际问题中的三角函数应用1.呈现一些实际问题，如航空、测量、机械等领域的问题。
2.引导学生运用正弦函数与余弦函数解决实际问题。
3.给予学生足够的实践机会，加深他们对三角函数应用的理解。
五、教学方法1.演示法：通过展示正弦函数与余弦函数的图像来引发学生的兴趣。
2.探究法：引导学生发现和理解正弦函数与余弦函数的性质和应用方法。
3.实践法：通过实际问题的解答来巩固学生的学习成果。
六、教学评价在教学过程中，应注重对学生的综合评价，包括以下方面：1.学生对正弦函数与余弦函数性质的理解程度。
2.学生对实际问题中三角函数应用的掌握情况。
3.学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
七、教学反思在教学结束后，教师应对本次教学进行反思，总结教学中的亮点和不足之处，并思考在以后的教学中如何改进和完善。
八、教学拓展在教学结束后，可以鼓励学生进一步拓展与应用三角函数的知识，如研究其他三角函数的性质，探索更复杂的三角函数应用问题。
专题8几何图形变化—8.1平移之概念性质-2021届鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练
一、平移(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。
(2)平移的性质：①对应点的连线平行(或共线)且相等②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。
（从坐标来讲：向正方向平移为加，逆方向平移为减）(4)平移的两个要素：平移方向、平移距离(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。
类型一：平移的坐标特点【经典例题1】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，3)，(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，3)，则点E的坐标为.【解析】由题意知:A，B两点的横坐标差为4-3=1，由平移性质可知:E，D两点横坐标之差与B，A两点横坐标之差相等，设E点横坐标为a，∴a-6=1，∴a=7，∴E点坐标为(7，0).练习1-1(2020四川成都)在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向下平移2个单位长度得到的点的坐标是()A.(3，0)B.(1，2)C.(5，2)D.(3，4)练习1-2 (2020上海)如果存在一条线把一个图形分割成两部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形是()A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆【解析】过平行四边形对边中点的直线，把平行四边形分成两部分，将其中一部分平移后能与另一部分重合，在等腰梯形、正六边形、圆中不存在这样的直线．故选A.练习1-3(2020·台州中考)如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C(0，－1)对应点的坐标为DA．(0，0) B．(1，2) C．(1，3) D．(3，1)(第1题图)练习1-4(2020河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(－2，6)和(7，0)，将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2)【解析】如解图，∵A(－2，6)，B(7，0)，∴C(－2，0)，OC＝2，即正方形OCDE的边长为2，∴D1E1＝E1O1＝O1C1＝2，BC＝9，AC＝6，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ACBC＝69＝23，∴O1B＝O1E1tan∠ABC＝3.∴O1O＝OB－O1B＝7－3＝4，∴ED1＝OC1＝4－2＝2，∴点D1的坐标为(2，2)，即当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2，2)．所以此题选B练习1-5如图，A，B两点的坐标分别为(－2，0)，(0，1)，将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1(b，1)，B1(－1，a)，则b－a＝________．练习1-6（2020上海）（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【解析】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．练习1-7在直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形的格点上，△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1，以△ABC与△A1B1C1组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形（1）观察以上图形并填写下列各点坐标：A1（，），A2（，），...，A m（，）（m 为正整数）（2）若△A m B n C k是这组图形中的一个三角形，当n=2019时，则m= ，k= . 【解析】（1）2,2；6,2；4m-2,2（2）1010,1009类型二：平移的简单计算【经典例题2】(2020青海省卷)如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________．【解析】∵△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，∴AD＝CF＝2，AC＝DF，∵△ABC的周长为8，∴AB＋BC＋AC＝8，∴AB＋BC＋DF＝8，∴四边形ABFD的周长＝AB＋BC＋CF＋DF＋AD＝C△ABC＋AD＋CF＝8＋2＋2＝12.练习2-1如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与AB相交于点P，等腰直角△DEF的顶点D在射线CP上，且EF∥AB，连接PE，PF。
2020-2021学年最新鲁教版五四制九年级数学上册《解直角三角形复习课》教学设计-评奖教案
《解直角三角形》复习教案一、复习目标：1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。
2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。
3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。
4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。
二、复习重点：先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。
三、复习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
四、复习过程： （一）知识回顾 1.三角函数定义:我们规定 ①斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦.记作斜边的对边A A ∠=sin②斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦.记作斜边的邻边A A ∠=cos③的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切.记作tanA=的邻边的对边A A ∠∠2.特殊角的三角函数值CBA 的对边 ∠A 的邻边3.互为余角的函数关系式:90°-∠A 与∠A 是互为余角.有A A cos )90sin(=-A A sin )90cos(=-通过这两个关系式,可以将正,余弦互化.如 50cos 40sin = 8451sin 2138cos '=' 4.三个三角函数性质当∠A 从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从21增到22,再增到23.说明正弦值随着∠A 的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如 48sin 50sin >.同理正切函数也具有相同的性质,如tan53°>tan40°比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小. （二）综合运用：例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<<比如αααααcos sin ,23cos ,21sin ,30<==. 再如50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴<所以ααααsin cos |cos sin |-=-例2. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=5，BD=2，B求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。
《动态几何综合题研究》-2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学中考专题复习
动态几何综合题研究一、关于动态几何综合题的理解以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称之为动态几何问题。
动态几何综合题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置，数量关系的“变”与“不变”的综合试题。
动态几何综合题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力。
有较好的区分度，同时依托图形的变化能很好的考查学生的综合应用、探索归纳、逻辑推理等能力，是中考的一个必考题型。
二、动态几何综合题的题型分类动态几何综合题分类：动点类；平移、旋转、折叠类；类比拓展类（一）动点类动点类探究题以运动的点为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在满足一定条件下，进行相关几何计算和综合解答，解决此类问题的思考方向为：1.第（1）问一般起点低，且此类题一般常会用到“从特殊到一般”思想，那么学生需要在准确把握题意的基础上联想相似或全等来解题，更重要的是明确解此类题的方法和思路；2.动静结合找界点：利用动点位置进行分类，得出发生变化的临界点是难点更是关键点，尤其还要了解到点动则图动继而所求量也变，所谓牵一发而动全身，学会运用转化思想将几何问题转化为函数和方程等问题。
1．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12cm，BD＝16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为t（s）（t＞0），以点M为圆心，MB长为半径的⊙M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN．（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；【思维教练】要求BF的长，由题图知BF为圆中的弦，因此想到过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形，菱形ABCD的对角线AC、BD长已知，将构造的直角三角形与△AOB结合，利用相似三角形进行求解。
或者是连接MF．将构造的△MBF与△ABD结合，利用相似三角形，解方程即可。
九年级数学上册《解直角三角形》复习学案 鲁教版
《解直角三角形》复习学案构建网络1、根据三角函数定义： sinA ＝cosA ＝tanA ＝ sinB ＝cosB ＝tanB ＝2、△ABC 中，∠C=90°，则五个元a 、b 、c 、∠A 、∠B 之间有哪些等量关系 （1）锐角之间的关系： （2）三边之间的关系：（3）角与边之间的关系：sinA ＝= ，sinB ＝= , ，tanA ＝，tanB ＝ 3、填写特殊角三角函数值：4、仰角和俯角的含义 仰角是所成的锐角 俯角是所成的锐角 画出示意图5、坡角： ．通常指锐角或直角．坡度i(或称坡比)∶坡面的垂直高度h 与水平宽度L 的比。
设坡角为α， 则坡度i ＝，坡度越大(α角越大)，坡面就． 巩固网络1已知在Rt △ABC 中∠C=90°，AC=5，AB=13，则cosB=2在△ABC 中∣sin C —22∣+（23-cosB 2)=0则∠A=（ ） (A). 100° (B).105° (C). 90° (D). 60°3 Rt △ABC 中∠C=90°，CD 是斜边上的高，下列线段 中，不等于cosA 的是（ ） （A ）．AC AD (B)．AB AC (C)．BC BD (D)．BCCD回思：这三道题涉及了哪些知识？在做这类题时应注意什么？4一斜坡的坡度为1∶3，高为2米，则斜坡的坡面长为米5如图，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角а＝30 º，飞行高度AC ＝1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（ ） A.1200米 B. 2400米C.D.6一艘轮船从A 地以16海里/时的速度向东北方向航行，另一艘轮船从A 地以12海里/时的速度向东南方向航行，它们离开A 地一小时后的距离是（ ）A 、15海里B 、20海里C 、153海里D 、103海里回思：解直角三角形的三角函数应用到了那些方面？ 解这类题的关键是什么？X 例尝试1．如图△ABC 中，∠B=300，∠C=450AB-AC=2-2，求BC 的长回思：此题运用了什么数学思想？思路是什么？2．一艘渔船在海中自西向东航行，速度为28海里/小时，船在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向，半小时后渔船到达B 点，测得灯塔C 在北偏东30CBAＡＣＢ回思：1 求最近距离做辅助线应注意什么？2 解决实际问题的基本思路是什么？3.某市区公路旁有一棵枯树，为了美化市容，城管部门欲将它锯掉，距枯树AB水平距离12米的C处有一土坡CD，坡度i＝3：2，坡长DC＝4135，在坡顶D处测得树顶B的仰角为33 º，CF之间是宽为1.5米的人行道。
鲁教版九年级数学上册第二章： 解直角三角形 复习课学案
解直角三角形复习课导学案【复习目标】1.掌握锐角三角函数定义，知道30°，45°，60°角的三角函数值；2.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题；3.在分析解决问题的过程中发展数学应用意识和数学建模、用数学模型解决问题能力.【复习重、难点】重点：利用解直角三角形的知识解决实际问题. 难点：如何把实际问题转化为数学问题来解决.【知识梳理】（一）锐角三角函数定义sinA= ,cosA= , tanA= . 跟踪练习一：1.如图，sinA 的值等于（ ）. （A ）12（B ）2 （C ）5 （D2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，如果BC=3，AC=4，那么 cos ∠BCD 的值是（ ）.（A ）34 （B ）43 （C ）35 （D ）45※3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是_____.（二）特殊角的三角函数值1.填表（特殊角的三角函数）：跟踪练习（二）1.已知△ABC 中，∠C=90°，b=32，c=4 ，则∠A=____， a=____.2.在Rt △ABC 中，cosB=12,则tanA= . ※3. 如图，在△ABC 中，∠A 为锐角，AC=4,sinA=12则BC= .AC第2题B1第1题Bb Ca（三）三角函数的应用：1.仰角与俯角：请将仰角和俯角填入图1对应位置.2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），一般用i 表示. 即ｉ＝ ＝ . 3.方位角：位于点O 北偏东30°的是点 ；位于点O 南偏东60°的是点 ；位于点O典例解析：如图，小明想测山高和索道的长度，他在B 处仰望山顶A ，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°,已知山高180米． 求BC 的长．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）变式练习(2014年青岛中考) 如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）※拓展提高（2019年青岛中考）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【感悟反思】 知识：方法思想：注意问题：【检测反馈】1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若cos A=45 ，则tanB 的值为（ ） ．A ．35B ．54C ．34D ．43 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA=21,BC=6，则AC= ．※3.如图，一楼房AB 后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E 点处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，求楼房AB 的高．。
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七年级上册几何相关知识专题复习
专题一 共顶点的等腰三角形问题
类型一 共直角顶点的等腰直角三角形
下面我们先观察两个共直角顶点的等腰直角三角形组合的基本图形： 如图一，在Rt△ABC 和Rt△CDE 中,∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC 、 EC=DC, 那么线段AE 与BD 有怎样的关系？
将等腰Rt △DCE 绕点C 顺时针或逆时针旋转一定的角度， 就得到以下的两个图形，请问以上关系还成立吗？
通过改变D 点的位置，使图形发生相应变化。
(1)如图四:点D 在边AB 边上时， AE 与BD 的数量及位置关系还成立吗？
(2)如图五，当点D 在边AB 的反向延长线上时, AE 与BD 的数量及位置关系还成立吗？并说
明理由。
跟踪练习：改变△ABC 的形状使CA≠CB，∠ACB≠90°， 但∠CAB=45°，△CDE 仍为等腰直角三角形。
请判断线段AE 与BD 的位置关系，并说明理由。
E
图五
B
类型二：共顶点的等边三角形 基本模型
将图一的两个等腰直角三角形都变成等边三角形，
画出了右面的图：此时线段AE 和BD 还相等吗？AE 和BD 的位置关系怎样？
将等腰Rt △DCE 绕点C 顺时针或逆时针旋转一定的角度，就得到以下的两个图形，请问以上关系还成立吗?
归纳总结共顶点的等腰三角形：
（1）必有全等三角形，全等三角形的第三边相等； （2）第三边所夹的锐角与等腰三角形的顶角相等； 练习：在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，
证明：（1）△ABE ≌△DBC
（2）AE=DC
（3）∠AHD=60°
（4）△AGB ≌△DFB
（5）△EGB ≌△CFB
（6）GF ∥AC
2.将等腰直角三角形变成等边三角形后，点D 在边AB 上又出来两道变式题，如
A
E
B
D
C
图九
图七
图八
下：△ABC、△DCE、△DCF都是等边三角形，图十一中线段BD、AE有什么数量关系？图十二中三条线段AE、BF、AB有什么关系？
若D点在BA的延长线上呢？三条线段AE、BF、AB有什么关系？
与共顶点的等腰三角形有关的题型汇总
1. 已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以斜边和一直角边在∠ACB内作等边三角形ABD和等边三角形BCE(或等边三角形ACE）
(1)如图十四，直线DE交边AC于点F，求证：CF=EF
(2)如图十五，直线DE交边,CB的延长线于点F，线段BF,DE,EF之间的数量关系？并给出证明。
2.如图，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点O 重合），以线段AP为一边在AP右侧作等边三角形△APC.
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABC的大小是否发生改变？若不改变，请说明理由，并求出其大小；若改変请说明理由.
（3）连接OC，当OC∥AB时，求P点的坐标y
O
C B
P A
x
F E
D B
A
C
图十四图十五
拓展延伸：
1如图十七，四边形ABCD 中，BD=5，BC=2，AD=CD ，90ADC ∠=,45DBC ∠=，求AB 的长 .
2．如图十八，在 ABC ∆中，AB=AC ，∠CAB=90° ，∠CDA=45°，CD=3，AD=4，求BD 的长
专题二 “一线三等角”问题
知识点间介：
“一线三等角”是指有三个相等的角的顶点在同一条直线上，多出现在三角形全等，相似中，是一种常见的几何模型。
不同地区对此有不同的称呼，“K 型图”“弦图”，我们称之为“一线三等角” 基本模型
类型一：如图一，AD ⊥DE 于D ，BE ⊥DE 于E ，点C 在DE 上，且AC ⊥CB ，AC=BC ，求证：AB=AD+BE
例题中∠ACB ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，若是这三个角仅仅是相等，不等于90°，那会出现什么情况 变一变:如图二，已知，∠ACB ＝∠D ＝∠E ，且都是锐角时，AC ＝BC ，判断上述两个图中线段 AD ，BE ，DE 之间的关系，并说明理由.
变一变：如图三，已知，∠ACB ＝∠D ＝∠E ，且都是鈍角时，AC ＝BC ，判断上述两个图中线段 AD ，BE ，DE 之间的关系，并说理由。
图十七
B
A
C
D
图十八
图一
在第一个类型中，∠ACB=∠ADC =∠BEC=90°，也可以理解为∠ACB 分别于与∠ADC ，∠BEC 互补， 若是∠ACB 不是直角，而是一般角呢？会不会也有类型一的结论？。
已知∠ADC =∠BEC ，∠ACB+∠ADC =180°
判断上述两个图中线段AD,BE,DE 之间的关系，并说明理由。
模型应用:
1.在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线l 经过点C ，且l AE ⊥于点E ，l BF ⊥于点F .
（1）当直线l 绕点C 旋转到如图六的位置时， ○
1图中有几对相等的锐角？ ○
2求证：AEC ∆≌CFB ∆； ○
3试探究AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线L 绕点 C 旋转到如图七的位置时，试探究 AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）当直线L 绕点C 旋转到如图八的位置时，试探究 AE 、BF 、EF 之间的数量关系，并说明理由.
E
B
C
D A
E D B
C
A
这类问题的巧妙之处在于已知的等角处，分别可以用平角定义和三角形内角和定理得到两个180°.一线三等角的基本图形，若两个三角形中有一组边对应相等，则两个三角形全等.
27【问题发现】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90o，AB=AC, 直线MN经过点A，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D，E，则线段DE,BD,CE之间的数量关系满足DE=BD+CE.（不需写出证明过程）
【类比探究】如图2，将【问题发现】中的条件改为：△ABC是等边三角形，直线MN经过点D，A，E三点，且∠BDA=∠AEC=60o，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】如图3，点D，E是经过点A的直线MN上的两个动点（D,A,E三点不重合），点F是∠BAC平分线上一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状并写出证明过程.
27.【类比探究】
解：成立．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC, ∠BAC=60o.
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC.
∵∠DBA+∠BAD=180o-∠BDA=180o -60o =120 o，
∠CAE+∠BAD=180o-∠BAC=180o -60o =120 o，∴∠DBA+∠BAD=∠CAE+∠BAD.
∴∠DBA=∠CAE.
∴△BAD≌△ACE.
∴BD=AE，AD=CE.
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE.
【拓展延伸】
解：由【类比探究】知，△BAD≌△ACE ，
∴BD=AE.
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BF=AF，∠ABF=∠CAF=60o.
∵∠DBA=∠EAC，∴∠ABF+∠DBA =∠CAF+∠EAC.
∴∠DBF=∠EAF.
∴△DBF≌△EAF.
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=∠AFD+∠BFD=60o .
∴△DEF是等边三角形.
拓展提高
1如图十二，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，将点C绕点D逆时针旋转90°到点E，若AD=2，△AD E面积等于3，求BC的长.
图十二。