2021 “双一流”高校自主招生物理好题精选全解全析 第04章 抛体与万有引力问题(逐题详解版)

“双一流”高效自主招生好题精选4.抛体与万有引力问题1．斜抛运动由运动合成原理，可以把斜抛运动看作两个直线运动的合成。

常见的两种分解方法是：(1)如图所示，以抛射点为坐标原点，在竖直平面内建立直角坐标系，则斜抛运动的方程的分量形式为 v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ－gt ， x ＝v 0cos θ·t ，y ＝v 0sin θ·t －12gt 2，表明，斜抛运动可看成沿x 轴方向速度为v 0cos θ的匀速直线运动和沿y 轴方向初速度为v 0sin θ、加速度为g 的竖直抛体运动。

令v y ＝0，最大高度H ＝v 02sin 2θ2g 。

令y ＝0，最大水平射程L ＝v 02sin 2θg。

设θ1、θ2为同一射程的两个抛射角，显然有关系θ1＋θ2＝π2。

(2)在讨论沿斜面向上(或向下)物体的斜抛运动时，通常令直角坐标系的x 、y 轴分别指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更为简便，此时x 、y 轴方向的运动均为匀变速直线运动。

2．速度关联(1)对于用不可伸长的绳连接的质点：通过分解成沿绳方向和垂直绳方向的两个分运动。

在同一时刻两质点沿绳方向的分运动的速度大小相等，加速度大小也相等。

(2)固定在同一刚体上的两质点：通常将它们的运动分解为沿它们连线方向和垂直它们连线方向的两个分运动。

在同一时刻，它们在沿连线方向的分运动的各运动学量大小相等，垂直连线方向上角速度及角加速度相等。

(3)始终保持接触的两物体：将两物体接触处的运动沿接触面法线方向和切线方向分解，则它们在同一时刻沿法线方向的分速度相等。

(4)对于线状物的交叉点：在求两线状物的交叉点的速度时，将两线状物的运动沿双方切线方向分解，则交叉点的速度就是两线状物沿对方切向分量的矢量和。

3．万有引力定律的两个推论(1)质量为m 1、半径为R 的均匀球壳对距球心为r 、质量为m 2的质点的万有引力为 F ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (r <R )Gm 1m 2r2 (r >R )(2)质量为m 1、半径为R 的均匀球体对距球心为r 、质量为m 2的质点的万有引力为F ＝⎩⎨⎧Gm 1m 2r 2 (r ≥R )Gm 1r m2r 2(r <R )其中m 1r ＝r 3m 1R3。

4．万有引力势能质量为m 1、半径为R 的均匀球壳对距球心为r (>R )、质量为m 2的质点，相互作用的引力势能为E p ＝－Gm 1m 2r (r >R )。

对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即E p ＝－Gm 1m 2R (r ≤R )，就像球体质量全部集中在球心一样。

1．(“卓越”自主招生)一质量为m 的质点以速度v 0运动，在t ＝0时开始受到恒力F 0作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v 1＝12v 0。

质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为( )A.3mv 028F 0B.6mv 028F 0C.3mv 024F 0D.21mv 028F 02．(“华约”自主招生)如图所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在水平杆OC 上的小环M 运动。

运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的加速度将( )A ．逐渐增大B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．逐渐减小3．(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R 0，在地球表面测得重力加速度为g 0，设g 为离开地球表面的高度达h 时的重力加速度。

当h 比R 0小得多时，g 和g 0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式：当x ≪1时，(1＋x )n ≈1＋nx 。

)( ) A ．g ＝g 0 B ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－hR 0C ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－2h R 0D ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－3h R 04.平面上两直线夹角为θ(θ＜90°)，若它们各以垂直于自身的速度v 1、v 2在该平面上作如图所示的横向运动，求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每一直线的速率。

5．(浙江大学自主招生)如图所示，连通器有三根竖直开口的细管A 、B 、C ，两管之间的距离为L 。

现向连通器中注入适量的水，并让它绕中间的细管B 转动起来，当转动角速度为ω时，中间细管B 内的水面恰与横管内水面相齐。

则A 管中水面的高度h 为多大？6.在仰角α＝30°的雪坡上举行挑台滑雪比赛，如图所示。

运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳。

最后落在坡上B点，坡上OB两点距离L 为此项运动的记录。

已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦和阻力，则最远可跳多少米？此时起跳角为多大？7．(“北约”自主招生)设一天的时间为T，地面上的重力加速度为g，地球半径为R0。

(1)试求地球同步卫星P的轨道半径R P。

(2)赤道城市A的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P。

①设P的运动方向突然偏北转过45°，试分析判断当地居民一天内有多少次机会可看到P掠过城市的上空。

②取消①问中偏转，设P从原来的运动方向突然偏西北转过105°，再分析判断当地居民一天能有多少次机会可看到P掠过城市上空。

(3)另一个赤道城市B的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星Q自东向西掠过该城市上空，试求Q的轨道半径R Q。

8．(“北约”自主招生)两质量均为m的小球，放在劲度系数为k，原长为l的弹簧两端，自由静止释放。

设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上，小球半径r≪l。

(1)问仅在两球间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量为多大？(2)若体系整体绕中心以角速度ω旋转，要求弹簧保持原长，ω应为多大？“双一流”高效自主招生好题精选4.抛体与万有引力问题1．斜抛运动由运动合成原理，可以把斜抛运动看作两个直线运动的合成。

常见的两种分解方法是：(1)如图所示，以抛射点为坐标原点，在竖直平面内建立直角坐标系，则斜抛运动的方程的分量形式为 v x ＝v 0cos θ，v y ＝v 0sin θ－gt ， x ＝v 0cos θ·t ，y ＝v 0sin θ·t －12gt 2，表明，斜抛运动可看成沿x 轴方向速度为v 0cos θ的匀速直线运动和沿y 轴方向初速度为v 0sin θ、加速度为g 的竖直抛体运动。

令v y ＝0，最大高度H ＝v 02sin 2θ2g 。

令y ＝0，最大水平射程L ＝v 02sin 2θg。

设θ1、θ2为同一射程的两个抛射角，显然有关系θ1＋θ2＝π2。

(2)在讨论沿斜面向上(或向下)物体的斜抛运动时，通常令直角坐标系的x 、y 轴分别指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更为简便，此时x 、y 轴方向的运动均为匀变速直线运动。

2．速度关联(1)对于用不可伸长的绳连接的质点：通过分解成沿绳方向和垂直绳方向的两个分运动。

在同一时刻两质点沿绳方向的分运动的速度大小相等，加速度大小也相等。

(2)固定在同一刚体上的两质点：通常将它们的运动分解为沿它们连线方向和垂直它们连线方向的两个分运动。

在同一时刻，它们在沿连线方向的分运动的各运动学量大小相等，垂直连线方向上角速度及角加速度相等。

(3)始终保持接触的两物体：将两物体接触处的运动沿接触面法线方向和切线方向分解，则它们在同一时刻沿法线方向的分速度相等。

(4)对于线状物的交叉点：在求两线状物的交叉点的速度时，将两线状物的运动沿双方切线方向分解，则交叉点的速度就是两线状物沿对方切向分量的矢量和。

3．万有引力定律的两个推论(1)质量为m 1、半径为R 的均匀球壳对距球心为r 、质量为m 2的质点的万有引力为 F ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (r <R )Gm 1m 2r2 (r >R )(2)质量为m 1、半径为R 的均匀球体对距球心为r 、质量为m 2的质点的万有引力为F ＝⎩⎨⎧Gm 1m 2r 2 (r ≥R )Gm 1r m2r 2(r <R )其中m 1r ＝r 3m 1R3。

4．万有引力势能质量为m 1、半径为R 的均匀球壳对距球心为r (>R )、质量为m 2的质点，相互作用的引力势能为E p ＝－Gm 1m 2r (r >R )。

对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即E p ＝－Gm 1m 2R (r ≤R )，就像球体质量全部集中在球心一样。

1．(“卓越”自主招生)一质量为m 的质点以速度v 0运动，在t ＝0时开始受到恒力F 0作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v 1＝12v 0。

质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为( )A.3mv 028F 0B.6mv 028F 0C.3mv 024F 0D.21mv 028F 0【答案】D【解析】根据题述，质点做类斜抛运动。

由质点最小值为v 1＝12v 0，可知质点初速度方向与恒力F 0方向夹角为150°。

可把质点的初速度沿力F 0方向和垂直力F 0方向分解，质点加速度a ＝F 0m ，沿力F 0方向的反方向位移y ＝(v 0sin 60°)22a ＝3mv 028F 0。

质点速度减小到最小值需要时间t ＝v 0sin 60°a ＝3mv 02F 0，垂直力F 0方向位移x ＝v 0cos60°·t ＝3mv 024F 0。

质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为s ＝x 2＋y 2＝21mv 028F 0，选项D 正确。

2．(“华约”自主招生)如图所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在水平杆OC 上的小环M 运动。

运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的加速度将( )A ．逐渐增大B ．先减小后增大C ．先增大后减小D ．逐渐减小【答案】A【解析】令∠OAB ＝ωt ，则AB ＝hcos ωt，环的速度由M 指向C ，M 相对于AB 杆速度为M 指向B ，杆上的M 绕A 点做圆周运动。

所以v M ＝ωAB cos ωt ＝ωh cos 2ωt 。

M 点的加速度a M 等于速度对时间的变化率，所以a M ＝2ω2hcos 3ωt sin ωt 。

ωt 变大，角速度ω不变，加速度变大。

3．(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R 0，在地球表面测得重力加速度为g 0，设g 为离开地球表面的高度达h 时的重力加速度。

当h 比R 0小得多时，g 和g 0可能的变化关系近似式为(有数学近似公式：当x ≪1时，(1＋x )n ≈1＋nx 。

)( ) A ．g ＝g 0 B ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－hR 0C ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－2hR 0D ．g ＝g 0⎝⎛⎭⎫1－3h R 0【答案】C【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G Mm R 02＝mg 0，G Mm (R 0＋h )2＝mg 。