经济数学基础应用题

经济数学基础应用题

1.设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？解：（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

q q q C 625.0100)(2++=，625.0100)(++=q q

q C ，65.0)(+='q q C ． 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C ， 5.1861025.010

100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C ． （2）令 025.0100)(2=+-='q

q C ，得20=q （20-=q 舍去）． 因为20=q 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当q =20时，平均成本最小．

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p （q 为需求量，p 为价格）。试求：1）成本函数，收入函数；2）产量为多少吨时利润最大？

解 1）成本函数C （q ）=60q+2000.因为q=1000-10p ，即p=100-q 10

1， 所以收入函数R （q ）=p ⨯q=（100-q 10

1）q=100q-2101q （2）因为利润函数L （q ）=R （q ）-C （q ）=100q-210

1q -（60q+2000） =40q-2101q -2000且'L (q)=（40q-210

1q -2000）'=40-0.2q 令'L （q ）=0，即40-0.2q=0，得q200,它是L （q ）的最大值点，即当产量为200吨时利润最大。

3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元，又已知需求函数q=2000-4p ，其中p 为价格，q 为产量。这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润。

解：C （p ）=50000+100q=50000+100（2000-4p ）=250000-400p

R(p)=pq=p （2000-4p ）=2000p-42p 利润函数L （p ）=R （p ）-C （p ）=2400p-42p -250000，且另'L （p ）=2400-8p=0 得p=300，该问题确实存在最大值，所以，当价格为p=300元时，利润最大。最大利润L （300）=2400×300-42300⨯-250000=11000（元）

4.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少

解：由已知收入函数 201.014)01.014(q q q q qp R -=-==

利润函数 22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 于是得到 q L 04.010-=' 令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大．且最大利润为

1230

125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 5.某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C （q ）=0.52q +36q+9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解：因为C （q ）=q q c )(=0.5q+36+q

9800（q ＞0） 'C （q ）=（0.5q+36+q 9800）′=0.5-29800q

另'C （q ）=0，即0.5-29800q

=0，得1q =140，2q =-140（舍去） 1q =140是C （q ）在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值。所以1q =140是平均成本函数C （q ）的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应

为140件，此时的平均成本为C （140）=0.5×140+36+140

9800=176（元/件） 6. 设某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为402)(+='q q C （万元/百台）．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

⎰+=∆6

4d )402(q q C =6

42)40(q q += 100（万元） 又 q c q q C q C x ⎰+'=00

d )()(=q

q q 36402++=q q 3640++ 令 0361)(2=-='q

q C ， 解得6=q ． 所以当6=q 时可使平均成本达到最小．

7.生产某产品的边际成本为()8C q q '= (万元/百台)，边际收入为()R q '=100-2q （万元/百台），其中q 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

解：()()()L q R q C q '''=-= (100 – 2q ) – 8q =100 – 10q 令()0L q '=，得 q = 10（百台） 又q = 10是L (q )的唯一驻点，故q = 10是L (q )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 12121010()d (10010)d L L q q q q '∆==-⎰⎰20)5100(12102-=-=q q

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

8. .已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(223q q c =-+

当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q

又平均成本函数为 q q q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='q

q A ， 解得q = 3 (百台) 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为