一元二次方程之求根公式
一元二次方程式的求根公式
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。
幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。
一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。
它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。
而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。
为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。
一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。
那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。
而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。
这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。
首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。
如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。
判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。
接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。
如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。
通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。
在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。
无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。
在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着一定的关系。
设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的两个根分别记为x₁和x₂。
根据求根公式，方程的两个根可以通过以下公式计算得出：
x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)
从以上公式可以发现，方程的两个根与系数a、b、c之间存在着一定的关系。
具体来说：
1. 系数b的正负会影响根与根之间的大小关系。
当b>0时，根x₁<根x₂；当b<0时，根x₁>根x₂。
2. 系数c的正负会影响根的正负。
当c>0时，根为两个正数；当c<0时，根为两个负数。
3. 系数a的正负会影响抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
总之，一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着密切的关系，系数的改变将会影响根与根之间的大小关系、根的正负以及抛物线的开口方向。
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根公式推导过程
一元二次方程求根是数学中的一个常见问题，它的数学表达式为
ax²+bx+c=0，这里a、b、c是未知数，且a≠0。
要求解这个方程，就要根据a、b、c来求解二次方程的两个根。
解求方法增添一个变量Δ，Δ=b²-4ac，可以有三种不同的情况。
第一种是，Δ>0，此时二次方程有两个不相等的实数根，其求根
公式为x₁= [-b+√Δ]/2a、x₂= [-b-√Δ]/2a。
第二种情况下，Δ=0，此时二次方程有一个重根，求根公式为x= -b/2a 。
第三种情况，Δ<0，此时二次方程没有任何实数根，只有复根，
即无解。
因此，一元二次方程求根公式就是这样的，当Δ>0时，根为
x₁=[-b+√Δ]/2a、x₂=[-b-√Δ]/2a；当Δ=0时，根为x=-b/2a；
当Δ<0时，方程无实数根。
通过改变a、b、c的值，可以实际求解一
元二次方程的根。
九年级数学一元二次方程根与系数的关系
根与系数关系1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；2、熟练应用根与系数的关系.结论：【知识梳理】1、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。
2、 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）有两个实数根。
（2）有两个正实数根。
（3）有一个正数根和一个负数根。
（4）两个根都小于2。
答案：(1) 253k ≤;(2) 2503k ≤＜; (3) 0k ＜;(4) 无解。
变式训练1、已知关于x 的方程022=+-a ax x 。
（1）求证：方程必有两个不相等的实数根； （2）a 取何值时，方程有两个正根；（3）a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大； （4）a 取何值时，方程到少有一根为零？ 答案：(1) 证240b ac -＞;(2) 0a ＞; (3) 0a ＜;(4) 0a = 知识点四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值．例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求m 的值。
变式训练1、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。
知识点五：综合运用例5、方程x 2-6x-k=1与x 2-kx-7=0有相同的根，求k 值及相同的根．例6、已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，则ααβα22++的值为_0__例7、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1＋ 5 。
答案：2240x x --=例8、已知两个数的和等于８，积等于7，求这两个数． 答案：1、7变式训练1．求一个一元二次方程使它的两个根是1、5． 答案：2650x x -+=2．已知αβ≠，则2370αα+-=，2370ββ+-=，试求11αβ+的值．答案：37。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
高中数学一元二次方程求根公式是什么
高中数学一元二次方程求根公式是什么高中数学一元二次方程求根公式一、一元二次方程的概述1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.2、求根公式：x=?b±b2?4ac√2a(b2?4ac≥0)x=?b±b2?4ac2a(b2?4ac≥0)。
3、一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2ax2是二次项，aa 是二次项系数;bxbx 是一次项，bb 是一次项系数;cc 是常数项.4、一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.5、一元二次方程的常见解法：(1)直接开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法(5)利用根与系数的关系高三提高数学成绩的窍门1、培养良好的学习兴趣常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣2、培养良好的学习习惯很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中高考数学备战攻略每一个知识点都应该被认真对待。
在数学复习中，一个常见情况是同学们更关注相对较难的知识点，而对选择，填空题中的知识点相对放松。
然而，这些知识点的重要性并不亚于难点。
同样的，强点上的精益求精值得追求，但这更应该建立在消除弱点的基础上。
强点的巩固有时意味着从九到十，而弱点的加强则是从零到一。
一元二次方程的求根公式
教学目标：
1、会用配方法解方程ax2+bx+c=0 （a≠0）
2、理解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式
复习： 用配方法解方程2x -5x+2=0
2
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 2
2
系数化为1 移项 配方
5 移项，得 x x 1 2 2
2
2
5 25 5 配方，得 x x 1 2 16 4
5 9 x 即 4 16
2
5 3 开方，得 x 4 4
，x2=2
开方
1 x2 2
∴ x1 2
定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 当b2-4ac≥0 时
一元二次方程的求根公式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式为：
利用这个求根公式可 以求出所有一元二次 方程的根。
总结：
1、配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程的求根公式的推导。
一元二次方程两个实数根公式
一元二次方程两个实数根公式一元二次方程是咱们初中数学里挺重要的一块儿内容。
说起这一元二次方程的两个实数根公式，那可得好好说道说道。
先给大家来个公式瞅瞅：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$），它的两个实数根$x_1$和$x_2$可以用公式$x = \frac{-b ±\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$来求得。
就拿我之前教过的一个学生小明的事儿来说吧。
有一次上课，我正讲到这一元二次方程的根的公式，小明那一脸迷茫的样子，我到现在都记得清清楚楚。
我在黑板上写了个例子：$x^2 - 5x + 6 = 0$，然后问大家怎么用公式来求根。
其他同学都开始动笔算了，可小明还在那咬着笔头发呆。
我走到他身边，轻声问他：“怎么啦，小明，哪里不明白？”他不好意思地挠挠头说：“老师，这公式看着太复杂，我都不知道从哪儿下手。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
先看看这个方程里，$a = 1$，$b = -5$，$c = 6$，然后把这些值带进公式里。
”小明听了，试着动笔算了起来，可算着算着又卡住了。
我一看，原来是他开平方的时候算错了。
我耐心地给他又讲了一遍开平方的方法，还给他出了几个简单的开平方的小练习。
经过一番努力，小明终于算出了这道题的两个根是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
他脸上那兴奋的表情，就好像解开了一个超级大谜团一样。
从那以后，小明对一元二次方程的根的公式算是掌握得比较扎实了。
咱们再回到这公式上来哈。
这个公式可神奇啦，只要知道了方程里$a$、$b$、$c$的值，就能算出方程的根。
比如说$2x^2 + 3x - 5 = 0$，这里$a = 2$，$b = 3$，$c = -5$，带进去算一算，就能得出根来。
在实际解题的时候，用这个公式要特别注意判别式$\Delta = b^2 -4ac$的值。
如果$\Delta > 0$，那就有两个不相等的实数根；如果$\Delta = 0$，就有两个相等的实数根；要是$\Delta < 0$，那就没有实数根。
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一元二次方程之求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a
ac
b b x 242
2,1-±-=
内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运
算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A ． 一4
B ．8
C ．6
D ．0
【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a ．
【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d
c c
b b
a =+=+=+=+1111， 试求x 的
值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；
(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．
解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如
222
x x x
==．
巩固练习
1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．
2．已知0232
=--x x ，那么代数式1
1)1(23-+--x x x 的值是 ．
3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ． 4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a
5．当分式
4
312
++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )
A ．1-<x
B ．4>x
C ．41<<-x
D ．1-≠x 且4≠x 6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．解下列关于x 的方程：
(1)03)12()2(2=-+-++m x m x m ；
(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．
8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．
9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若0152=+-x x ，则1
53922
2++
+-x x x ＝ ． 11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．
12．已知a 是方程020002
=--x x 的一个正根。
则代数式a
20001200012000
3+
+
+的值为 ．
13．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A ．1 n ．2 C ．3 D ．2．5 14．自然数n 满足16
16247
2
)
22()
22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．4 15．已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b
a b a ，那么a b 的值是( )
A ．
215+ B ．251- C ．2
5
1+- D ．251-- 16．已知3819-=x ，求15
823
18262
234+-++--x x x x x x 的值．
17．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求
)82002)(62000(22++++n n m m 的值．
18．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，
若小正方形面积为3281
1
，求n 的值．
19．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值．
20．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS
，其中n 为不小于3的自然数．求证：
AB
BS
需为无理数．。