第五章 刚体的定轴转动

单位: 单位:rad / s 角速度
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
vi = ωr i
v r iz
θ
O
v mi ri⊥
v F αi i⊥
Liz = mrvi = (mri2 )ω i i i
Lz = ∑ (mri2 )ω i
i
v r oi
刚体到转轴的转动惯量 Jz
= ∑ mri Mz = = Jz dt dt
刚体定轴转动定律 刚体定轴转动定律 与牛顿第二定律对比
从开始制动到静止飞轮的角位移 从开始制动到静止飞轮的角位移θ 为
1 2 1 = 50π ×50 ×π ×502 θ =θ θ0 = ω0t + at 2 2 =1250π rad ω0 θ 1250π 则转速: 则转速: N= = = 转 625 2π 2π
2,t=25s 时飞轮的角速度为 O
ω = ω0 +αt = (50π π ×25)
r
r
dV = 2 rldr π
R
R
o
l
dr
环的质量: π 环的质量: dm = ρ2 rldr
J = ∫ r dm ∫ 2πρr3ldr =
2
0
延伸: 延伸:
πlρR4 = 1 mR2 =
2
2
实心圆柱对该轴的转动惯量也为 1 mR2
2
例: 一均匀细棒长 l 质量为 m 1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒; 过棒的中心且垂直于棒; 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒; 过棒一端且垂直于棒; 上述两种情况下的转动惯量. 求: 上述两种情况下的转动惯量. 解: 棒质量的线密度 Z1
§5.1 刚体的运动
刚体最简单的运动形式是平动和转动. 刚体最简单的运动形式是平动和转动. 平动和转动 一,刚体的平动 当刚体运动时,如果刚体内任何一条连接两质元直线, 当刚体运动时,如果刚体内任何一条连接两质元直线, 在运动中始终保持平行,这种运动叫平动. 在运动中始终保持平行,这种运动叫平动.
刚体的平动过程
2. 线量与角量关系
dS = r dθ
v a
dv dω =r = rα 切向分量 at = dt dt v2 2 法向分量 an = = rω r
匀变速定轴转动 O
ds v= = rω dt
z
ω
v
dS
P
r
dθ
匀变速直线运动
dS v= dt dv at = dt
v = v0 + at 1 2 S = v0t + at 2 2 v2 v0 = 2aS
= a + 3bt 4ct d dω 2 3 = (a + 3bt 4ct ) a= dt dt
2 3
= 6bt 12ct
飞轮做的是变速转动. 飞轮做的是变速转动.
2
/min,受到制动后均匀地减速, 例:一飞轮转速n =1500r/min,受到制动后均匀地减速,经 t=50s后静止. =50s后静止 后静止. 求角加速度和飞轮从制动开始到静止转过的转数; 1,求角加速度和飞轮从制动开始到静止转过的转数; =25s时飞轮的角速度 时飞轮的角速度; 2,求制动开始后t=25s时飞轮的角速度; 求在t=25 3,设飞轮半径r=1m,求在t=25s时边缘上一点的速度和加 速度. 速度. 解: 1,设初角速度为ω0,方向如图
有关转动惯量计算的几个定理 ① 平行轴定理 d C z
Jz = Jc + md 2
是通过质心轴的转动惯量, Jc 是通过质心轴的转动惯量, m 是刚体质量 d 是 c 到 z 的距离, 是刚体质量, 的距离,
Jz
是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量. 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量. 证明: 证明:
c c c c
a a c c a a a b c a b a b bb b b
刚体在平动时,在任意一段时间内, 刚体在平动时,在任意一段时间内,刚体中所有质元的位 移都是相同的.而且在任何时刻, 移都是相同的.而且在任何时刻,各个质元的速度和加速度也 都是相同的.所以刚体内任何一个质元的运动, 都是相同的.所以刚体内任何一个质元的运动,都可代表整个 刚体的运动. 刚体的运动. 二,刚体的转动 定轴转动:最简单的转动 定轴转动: 各质元均做圆周运动, 各质元均做圆周运动,而且各圆的圆心都在一条固定不动 的直线上,这条直线叫转轴. 的直线上,这条直线叫转轴. 刚体上各质元都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动, 刚体上各质元都绕同一固定转轴作不同半径的圆周运动,且 不同半径的圆周运动 在相同时间内刚体上各质元都转过相同的角度. 在相同时间内刚体上各质元都转过相同的角度. 定点转动:转轴始终通过同一参考点的刚体运动. 定点转动:转轴始终通过同一参考点的刚体运动.
dθ ω= dt
ω = ω0 +αt
1 2 θ = ω0t + αt 2 2 ω2 ω0 = 2αθ
dω α= dt
一飞轮在时间t 例: 一飞轮在时间t内转过角度θ=at+bt3-ct4 , 都是常量.求它的角加速度. 式中a,b,c 都是常量.求它的角加速度. 解: θ为飞轮上某点的角位置
dθ d 3 4 ω= = (at + bt ct ) dt dt
v vi
v ri
v F v i F iz
m i
v F αi i⊥
v v v v = r × F⊥ + r × F⊥ i i iz i v v v v +r × Fz + rz × Fz i i i i
v r iz
O
v ri⊥
v roi
rF Miz = i i⊥ sinαi
Mz = ∑Miz = ∑ rF⊥ sinαi i i
J =
∫
= R2 ∫ dm r dm
2
= mR2
对同一转轴转动惯量J 对同一转轴转动惯量J具有可叠加性 J = 薄壁圆筒对其轴的转动惯量也为mR2
∑J
i
i
薄壁圆筒
求质量为m 半径为R 例 求质量为m,半径为R,厚为 l 的均匀圆 注:m = π R2lρ 盘的转动惯量.轴与盘面垂直并通过盘心. 盘的转动惯量.轴与盘面垂直并通过盘心. 解: 在圆盘上取一半径为r,宽 度为dr的圆环 设圆盘的质量体密度为ρ 环的体积: 环的体积:
dm = λdx dx
o
l + 2
1) JZ1 = ∫
2) Jz2 = ∫
l 2 l 2 +
m λ= l 1 2 x λdx = ml 2 12
l 2
x
Z2
dm = λdx dx
l
l
0
1 2 2 x λdx = ml 3
o
x
J z2 > J z1
所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义. 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义.
ω0
ω0=2π×1500/60=50π rad/s, =2π× π×1500/60=50 rad/s,
此过程是匀减速转动 应用以角量表示的运动方程
O
w= w0 + at
所以
而t=50s时,ω =0 =50s时
2
a = ω ω0 t = 50π 50 = 3.14 rad / s
α的方向与ω0相反. 相反.
对固定轴M
= Jα
i
M轴外 = Jα
v v F = ma 外
J = ∑ mri2 i
对比刚体的角动量和质点的动量 对比刚体的角动量和质点的动量
L = Jω
转动惯量的物理意义: 转动惯量的物理意义
p = mv
J 与 m对应
1. 刚体转动惯性大小的量度 2. 转动惯量与刚体的质量有关 3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关 4. J与转轴的位置有关 与转轴的位置有关
Lz = ∑Liz = ?
v v v Li = roi ×mvi i
dLz Mz = dt
z
ω
v L i
L iz
v v v v = m r ×vi +m r ×vi i iz i i