高等数学反例集

7. 函数 f ( x) 在 x0 点附近有界，但 lim f ( x ) 不存在。
x → x0
函数如果在某一点的极限存在，则在该点附近一定有界，但是反之结论不真。 例
⎧− x + 1, 0 < x < 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 0, x=0 ⎪− x − 1, − 1 < x < 0 ⎩
在（-1，1）内恒有 f ( x) < 1 ，但是
可见函数在区间上上单调只是存在反函数的充分条件，并非必要。 6. 由于使用极限“ ε ─ δ ”定义不准确产生的反例。 函数 f ( x) 定义在 ( a, b) 上， x0 ∈ ( a, b) ，对任给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 x − x 0 < δ 时，恒 有 f ( x) − A < ε ，其中 A 是常数。但是 lim f ( x ) ≠ A 。
2
n→∞
n→∞
12. lim x n = a , 而 lim x n ≠ a 的数列.
n→∞ n →∞
例： x n = sin( nπ +
π
4
) .
lim x n = lim sin(nπ +
n→∞ n →∞
π
4
) =
2 , 但是 lim x n 不存在. 因为 n →∞ 2 2 , 2
n = 2k , k = 1,2,......时，x n =
目
录
高等数学部分： 第一章 函数与极限……………………………………………………………………… 2 第二章 一元函数的连续性………………………………………………………………11 第三章 一元函数的导数…………………………………………………………………15 第四章 中值定理与导数的应用…………………………………………………………20 第五章 多元函数…………………………………………………………………………28 第六章 积分………………………………………………………………………………40 第七章 级数…………………………………………………………………………‥…48
n →∞
4
⎧ n ⎪ x n = (−1) , 1 ⎪ n 例： 数 ⎨ y n = ( −1) − ⎪ 1n n z = ( − 1 ) + ⎪ n n ⎩
n=1,2,3,……
有 y n ≤ x n ≤ z n , n = 1,2,....., lim( z n − y n ) = lim
n →∞
g ( x) =
1 f ( x) ， 两函数均在区间 ( 0,1) 内无界， 而 = x 却在区间 ( 0,1) 2 x g ( x)
5. 有单值反函数的非单调函数。
2
例： f ( x ) = ⎨
⎧ x, x为有理数; ⎩− x, x为无理数.
f ( x) 是非单调函数，但是存在单值反函数；
⎧ x, x为有理数; f −1 ( x) = ⎨ ⎩− x, x为无理数.
2 = 0, n →∞ n
但是极限 lim x n = lim ( −1) 不存在.
n n→∞ n →∞
本例说明,极限存在准则 1 中条件 lim y n = lim z n 不能更换成 lim( z n − y n ) = 0,
n→∞ n →∞ n→∞
9. lim ϕ ( x) = A, limψ ( x) = B, 但是 limψ (ϕ ( x)) ≠ B 的复合函数.
=
1 1 1 1 1 1 n −1 + lim[( − )+( − ) + ...... + ( − )] k →∞ n n n +1 n +1 n + 2 k k +1 n −1 1 = + =1 . n n 1 n+i
n=1,2,……, i 是确定的正整数． 当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小
1 ⎧ ⎪ 1− i2 , ⎪ n −1 例１： x ni = ⎨( n + 1) ⎪ 1 ⎪ n ⎩
因此
limψ (ϕ ( x)) 不存在.
x →0 n→∞
10.数列 x n 收敛于零, y n 是另一数列,而 lim x n y n = k ≠ 0 例： x n =
n→∞
1 , yn = 2n n 2
n →∞ n →∞
显然 lim x n = 0, lim y n 不存在 , 然而 lim x n y n = 1 , 即数列 x n y n 收敛于 1. 11.两数列 x n , y n , 有 lim x n y n = 0 , 但是数列 x n , y n 都不收敛于零.
p , 其中 p,q 为互质整数,且 q>0, q
则 ϕ ( x) − 0 = 对于
p 1 ≤ = x − 0 < δ = ε , 所以 lim ϕ ( x) = 0 . x →0 q q
n→0
ψ ( x), 显然有 limψ ( x) = 1, 然而
⎧1 x为有理数; ⎩0 x为无理数
ψ (ϕ ( x)) = ⎨
区间 ( 0,1) 内有界。 例 2： f ( x ) = tan x,
⎛ π⎞ g ( x) = cot x ， 两函数均在区间 ⎜ 0, ⎟ 内无界， 而 f ( x) g ( x) = 1 却 ⎝ 2⎠
在区间 ⎜ 0,
⎛ π⎞ ⎟ 内有界。 ⎝ 2⎠ 1 , x
例 3：f ( x) = 内有界。
⎧1 x为有理数 , 它以任意有理数（或无理数）为周期，从而 为无理数 x 0 ⎩
g ( x) = cos x. f ( x)以1为周期，g(x)以2π 为周期， 而f ( x) +
g ( x) = x − [ x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。 例 1：f ( x ) = 0,
x →a n→ A x→a
例：
p ⎧1 ⎪ , x = , p, q是互质整数, q > 0; ϕ ( x) = ⎨ q q ⎪ x为无理数 ⎩ 0,
ψ ( x) = ⎨
⎧1, x ≠ 0; ⎩0, x = 0.
因为对任给 ε > 0, 存在 δ = ε , 对 a = 0 的 δ 邻域内的任何一点 x, 若 x 为无理数,则 ϕ ( x) − 0 = 0 − 0 = 0 < ε ; 若 x 为有理数
n→∞
两个数列对应项乘积作成的新数列收敛于零, 并不意味着这两个数列本身也必须收敛于
5
零. 因为乘积趋于无穷小,往往只需其中一个因子趋于无穷小, 而另一个保持有界就足够了. 例： x n = 1 + cos nπ , y n = 1 − cos nπ . 数列 x n , y n 都不收敛, 但是 lim x n y n = lim sin nπ = 0 .
g ( x) = x ， 在区间 ( −∞, +∞ ) 内 f ( x) 有界， g ( x) 无界， 而 f ( x) g ( x) = 0
却在区间 ( −∞, +∞ ) 内有界。 例 2： f ( x ) = e ,
−x
g ( x) = x ，在区间 ( 0, +∞ ) 内 f ( x) < 1 , 而 g ( x) 是无界的，
x →+∞
f ( x) g ( x) = xe − x ，因为 lim xe − x = 0 ，从而易见 f ( x) g ( x) 在区间 ( 0, +∞ ) 内是有界的。
4. 无界函数之和（差，积，商）未必无界。 例 1： f ( x ) = 1 −
1 , x
g ( x) =
1 ，两函数均在区间 ( 0,1) 内无界，而 f ( x) + g ( x) = 1 却在 x
n = 2k + 1, k = 1,2,......时，x n = −
2 2
13. 关于无穷小量、非无穷小量四则运算的反例． a. 由无限多个无穷小量之和生成的非无穷小量． 有限多个无穷小量之和是无穷小量， 这个性质不能推广到无限多个． 将无限多个无穷小量累 加起来，就可能根本改变它们原有的特性．
⎧ 1 ⎪ ⎪ i (i + 1) 例１： xni = ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎩ n
x → x0
例： f ( x) = sin x, A = 1 在 x0 = 0 点，对作给 ε > 0, 存在 δ > 0, 当 x − x 0 < δ 时，总有
f ( x) − A = sin x − 1 ≤ 0 < ε
但是 lim f ( x ) = sin 0 = 0 ≠ 1 。
x → x0
上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。
所以由连续函数的介值定理知存在 x n ∈ ⎢
⎡ 1 1 ⎤ , ⎥ ，使得 f ( x n ) = a ⎣ 2k nπ 2k n −1π ⎦
n→∞
显然，对于数列 {x n } 有 lim x n = 0, 且 lim f ( x n ) = a,
n→∞
1) 满足 lim x n ≠ ∞ 的无界数列。
时 x n =0，即 x n 不收敛，所以 lim x n ≠ ∞ 。
n→∞
2) 数列 {x n } ， { y n } ， {z n } 存在关系： y n ≤ x n ≤ z n , n = 1,2,....., lim( z n − y n ) = 0, 但是
n →∞
极限 lim x n 却不存在.
n→∞
n≤i
n=1,2,……, i 是确定的正整数．
n>i
显然 lim x ni = 0 ． 当 i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量 x n1 , x n 2 ,...... ．但是这无限 多个无穷小量的和