北京市朝阳区2015-2016学年高二上学期期末考试数学文试题
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高二年级统一考试数学文科试卷 2016.1（考试时间100分钟 满分120分）一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项) （1）设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11a b<”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件（2）下列选项中，满足焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线的标准方程为（ ）A ． 2212x y -=B ． 2212x y -= C ． 2212y x -=D ． 2212y x -= （3）若函数3()f x x ax =-在2x =处取得极小值，则a =（ ） A ．6B ． 12C ． 2D ． 2-(4)圆22240x y x y +-+=的圆心到直线0x y -=的距离为（ ） A ．22B ．1C ．2 D ．322(5)已知圆1O ：2244410x y x y +-+-=，圆2O ：22+1+24x y -=（）（），则两圆的位置关系为( )A ．外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切(6)已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线022=--y x 上，则此抛物线的标准方程是( ).A.x y 82=B. y x 42=C. x y 82= 或y x 42-=D. x y 82=或y x 42=(7)设1F 、2F 是椭圆C ：22221(0)x ya b a b +=>>的左、右焦点， P 为直线43x a =-上一点, △12F PF 是底角为30 的等腰三角形，则此椭圆C 的离心率为（ ）A ．23 B ．12 C ．34 D ．8922侧视图42正视图俯视图NC1D1B1A1CADBM(8)某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3(9)若()elnf x x x=-，0ea b<<<，则下列说法一定正确的是( )A. f(a)<f(b)B. f(a)> f(b)C. f(a)>f(e)D. f(e) >f(b)(10)如图，正方体1111ABCD A BC D-中，N为1CD中点，M为线段1BC上的动点（M不与,B1C 重合），以下四个命题：（1）1CD⊥平面BMN；（2）//MN平面11AB D；（3）△1D MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D MNC-的体积有最大值其中真命题的个数为（）A 1B 2C 3D 4二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上) （11）命题“2,220x x x ∀∈++>R ”的否定是_______________.（12）从点20（，）引圆221x y +=的切线,则切线长为（13）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第x h时，原油的温度（单位 C）为2()715y f x x x ==-+（08x ≤≤），则第4 h 时原油温度的瞬时变化率是_______________C /h；在第4 h 时附近，原油的温度在_______________.(此空填上升或下降)（14）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是_ _；此三棱锥的最长棱的长度为 _ .（15）已知,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不同平面，则以下命题不成立．．．的是_______ （1）若//αβ,m α⊂,n β⊂，则 //m n （2）若//m β，βα⊥，则 m α⊥ （3）若m α⊥，m β⊂，则 αβ⊥ (4) 若//m α，//n β，//m n ，则 //αβ(16)已知圆C ：2240xy x +-=与直线+y x b =相交于,M N 两点，且满足CM CN ⊥(C 为圆心)，则实数b 的值为_______.221 1正视图侧视图俯视图三、解答题(本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上) 17. （本题满分12分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在区间(0,]t （0t >）上的单调性.18. （本题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，AP ⊥平面PBC ,//AB DC ，112AP AD DC AB ====，120ADC ∠= ，,E F 分别为线段AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面EFD ； （Ⅱ）求证：平面EFD ⊥平面APC ； （III ）求锥体P ADC -的体积．19. （本题满分14分）椭圆W 的中心在坐标原点O ，以坐标轴为对称轴，且过点03(,)，其右焦点为10F (，).过原点O 作直线1l 交椭圆W 于,A B 两点，过F 作直线2l 交椭圆W 于,C D 两点,且AB //CD.（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程； （Ⅱ）求证：24AB CD =.北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高二年级统一考试数学文科答案 2016.1BEFCDPA一、选择题（满分50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABBDDCABCB二、填空题（满分30分）题号 1112131415 16答案2000,220x x x ∃∈++≤R3 1;上升43;3 ①②④0或4-三、解答题（满分40分） 17. （本题满分12分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞, '()1ln f x x =+.这个函数的图象在1x =处的切线的斜率为(1)1k f '==. 把1x =代入()ln f x x x =中得(1)0f =，即切点坐标为()1,0.则这个函数的图象在1x =处的切线方程为1y x =-. ……………………5分 （Ⅱ）令'()1ln =0f x x =+，得1ex =. （1） 当10e t <≤时，在区间(0,]t 上，()0f x '≤成立，所以函数()f x 为减函数. （2）当1e t >时，在区间10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x '<，()f x 为减函数；在区间1,e t ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 为增函数.……………………12分 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ）设AC DE O = ，连接,OF EC ， 由于E 为线段AB 的中点，12AD DC AB ==且//AB DC ， 所以//AE DC ，AE DC =.所以四边形ADCE 为菱形，故O 为AC 中点， 又F 为PC 中点，因此，在△APC 中，//AP OF又OF ⊂平面EFD ，AP ⊄平面EFD ，所以//AP 平面EFD ……………………5分（Ⅱ）由题意，//BE CD ，BE CD =，所以四边形BCDE 为平行四边形所以//BC ED .而AP ⊥平面PBC ，所以AP BC ⊥，故AP ED ⊥. 因为四边形ADCE 为菱形，所以AC ED ⊥， 又AP AC A = ，,AP AC ⊂平面PAC ， 所以ED ⊥平面PAC ，又ED ⊂平面EFD ，所以平面EFD ⊥平面APC . ……………………10分 （III ）在△ADC 中，1AD CD ==，120ADC ∠=，所以3AC =. 因为AP ⊥平面PBC ，所以AP PC ⊥，又1AP =，所以222PC AC AP =-=.所以11212222APC S AP PC =⨯⨯=⨯⨯=. 又ED ⊥平面PAC ，所以D 点到平面APC 的距离为12DO =. 131122.32212P ADC D APCAPC V V DO S --==⨯⨯=⨯⨯= ……………………14分19. （本题满分14分）（Ⅰ）因为已知焦点在x 轴上，设椭圆W 的标准方程为：22221y xa b+=，0a b >>.由题意：31b c ==，,则24a =.所求椭圆W 的标准方程为：22143y x +=. ……………………4分 （Ⅱ）当直线1l 垂直于x 轴时，则直线2l 也垂直于x 轴，把1x =代入椭圆W 的方程，得32y =±，即此时=3CD ，而23AB =，所以24AB CD =. 当直线1l 不垂直于x 轴时，设直线1l 的斜率为k ,则依题意2l 的斜率也为k ，其方程为1y k x =-（）.设点00,)A x y （，00,)B x y --（，11,)C x y （，22,)D x y （. 则()222004AB x y =+.把1y k x =-（）代入椭圆方程中，整理得，()22224384120k x k x k +-+-=. 显然0∆>，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+. 则222121212=))=1+CD x x y y k x x -+--（（=21+k 21212)4x x x x +-（.即=CD 21+k222144(1)(43)k k ++=2212(1)43k k ++. 由()222004AB x y =+，且00,)A x y （在椭圆上，得222200043(1)=4+344x x AB x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（）. 则2AB 243k +（）=222200434836k x x k +++.因为直线1l 过原点，所以00y kx =，则2AB 243k +（）=22200434836y x k +++.因为00,)A x y （在椭圆上，所以22003412x y +=,所以2AB 243k +（）2=481k +（）. 所以2AB 243k +（）=24121)k ⨯+（，即24AB CD =. ………………14分。
高二数学文科—2015-2016北京海淀高二(上)期末文科(含解析)
圆心和半径分别为 1,0 ， 2 ．
故选 D．
2.【答案】B
【解析】根据
x2
2 py
的焦点为
0,
p 2
，准线方程为
y
p 2
，可知抛物线
x2
4y
的焦点为
0,1 ，准线为 y 1 ，所以距离为 2 ．
故选 B．
3.【答案】A
【解析】由方程可知，a2 4 ，b2 1，解得 a 2 ，b 1 ，由 c2 a2 b2 5 ，解得 c 5 ，
(说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)
17.
【解析】（Ⅰ）由已知可得
(6
a2 16 r2 a)2 16
r
2
，
解得 a 3 ， r 5 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 4)2 25 ．
圆心到直线 4x 3y m 0 的距离为 d | 24 m | ， 5
（Ⅰ）若椭圆 G 的焦点在 y 轴上，求 m 的取值范围；
（Ⅱ）若 A0,1 在椭圆上，且以 BC 为直径的圆过点 A ，求直线 l 的方程.
北京市海淀区 2015-2016 学年高二上学期期末 数学文科试卷答案
一、选择题：本大题共 10 小题, 每小题 4 分，共 40 分.
DBACB DADCB 二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.
AB 中点. （Ⅰ）求证： BC A1C ； （Ⅱ）求证： BC1∥平面 A1CE ； （Ⅲ）若 AA1 3 ， BP a ，且 AP A1C ，写出 a 的值（不需写过程）．
19.（本小题共 12 分） 已知直线 l ： y x n 与椭圆 G ： (3 m)x2 my2 m(3 m) 交于两点 B ， C ．
2015—2016学年第二学期高二数学(文科)试卷
2015—2016学年第二学期期中试卷高二数学（文科）注意事项：⑴答题前考生务必将自己的姓名和学号写在答题卡和答题页规定的位置上。
⑵答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅰ卷一、 选择题（本小题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1． 计算（5-5i ）+（-2-i ）-（3+4i ）=（ ）A -2iB -2C 10D -10i2． 在复平面内，复数2(1)对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3． 在一次实验中，测得(),x y的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A y=2x+1B y=x+2C y=x+1D y=x-14．下面对相关系数r 描述正确的是（ ）A r ＞0表明两个变量负相关B r ＞1表明两个变量正相关C ︱r ︱越接近于0，两个变量相关关系越弱D r 只能大于零5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为( )A 推理形式错误B 大前提错误C 小前提错误D 非以上错误 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°时，反设正确的是（ ）A 假设三内角都大于60°B 假设三内角至多有两个大于60°C 假设三内角至多有一个大于 60°D 假设三内角都不大于 60° 7． 设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A (3，π45)B (23-，π45)C (23，π43)D (-3，π43)8. 曲线的极坐标方程为θρsin 4=化成直角坐标方程为( )A 4)2(22=-+y xB 4)2(22=++y xC 4)2(22=+-y xD 4)2(22=++y x 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 16B.2524C. 34D.111210. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( ) A 31 B 30 C 25 D 6111. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A 1=ρB θρcos =C θρcos 1= D θρcos 1-=12． 对于任意的两个实数对（a , b ）和(c, d),规定（a , b ）＝(c, d)当且仅当a ＝c,b ＝d; 运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p则=⊕),()2,1(q p ( )A )2,0(B )0,4(C )0,2(D )4,0(-输入xIf x ≤50 Theny = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x -50) End If 输出y第二部分（非选择题、共90分）二、填空题（共4小题、每题5分）13．复数1,1z i=+ 则z =___________. 14. 在同一平面直角坐标系中，直线21x y -=变成直线42='-'y x 的伸缩变换是____________________；15. 已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 16．观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为_____________________ _____ _.三、解答题（共6小题，总分70分，解答写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题10分）:0,a >>已知 18．（本小题12分）实数m 取什么值时，复数z=(m 2+m-12)+(m 2-3m)i 是（1）虚数？（2）实数？（3）纯虚数？ 19．（本小题12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，31=a ,满足)N (261*+∈-=n a S n n ， （1）求432,,a a a 的值；（2）猜想n a 的表达式。
2015-2016北京东城高二(上)期末数学理(含解析)
北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知(1,3)A --，(3,5)B 则直线AB 的斜率为（ ）．A ． 2B ． 1C ．12D ． 不存在2． 圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -的圆的方程是（ ）． A ． 22(3)(2)5x y -+-= B ． 22(3)(2)5x y ++-= C ． 22(3)(2)25x y -+-=D ． 22(3)(2)25x y ++-=3． 已知直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则m =（ ）． A ． 1-B ．14C ．1D ． 44． 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）． A ． 若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ． 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ． 若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ． 若m α∥，m n ⊥，则n α⊥5． 双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）．A ． 2B ． 22C ． 4D ． 426． 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 47． 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ）．A ． 13-B ． 12-C ． 1D ．28． 已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ）． A ． 1B ． 2C ． 4D ． 89． 过点P (3,1)--的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）． A ． (0,]6π B ． (0,]3π C ． [0,]6π D ． [0,]3π10． 点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（ ）． A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11． 双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为__________．12． 以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，若等腰直角三角形的直角边长为1，则所得圆锥的侧面积等于__________．13． 已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，则|2|a b -=__________． 14． 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽__________米．15． 设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线32x a =上一点，21F PF △是底角为30的等腰三角形，则C 的离心率为__________．16． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P ∥平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB =，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CD ∥平面PAB ； （Ⅱ）求证：PE AD ⊥．已知圆C 经过(1,3)A ，(1,1)B -两点，且圆心在直线y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(2,2)-，且l 与圆C 相交所得弦长为23，求直线l 的方程．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为10x y +-=，340x y -+=，且它的对角线的交点为(3,3)M ，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．如图，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，并求PDPC的值．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；△的面积；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求POQM m，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存（Ⅲ）在线段OF上是否存在点(,0)在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【试题答案】 一、选择题 1． A2． D3． C 4． B 5． C6． B 7． A8． A9． D10． D二、填空题 11． 34y x =±12． 2π 13． 17 14． 2615．3416． 325[,]42三、解答题17． 解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形， 所以CD AB ∥． 又因为CD ⊄平面PAB ，且AB ⊂平面PAB ， 所以CD ∥平面PAB ． （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ， PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ， 所以PE AD ⊥．18． 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,)a a ． 依题意，有2222(1)(3)(1)(1)a a a a -+-=++-， 即226921a a a a -+=++，解得1a =． 所以222(11)(31)4r =-+-=，所以圆C 的方程为22(1)(1)4x y -+-=．（Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， 所以直线2x =符合题意．设直线l 的方程为2(2)y k x +=-，即220kx y k ---=， 则2|3|11k k +=+，解得43k =-．所以直线l 的方程为42(2)3y x +=--，即4320x y +-=．综上，直线l 的方程为20x -=或4320x y +-=．19． 解：联立两条直线的方程，得到方程组 10340x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解此方程组，得3474x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．如图，平行四边形ABCD 的一个顶点是37(,)44A -．设00(,)C x y ，由题意，点(3,3)M 是线段AC 的中点， 所以03432x -=，07432y +=， 解得0274x =，0174y =．由已知，直线AD 的斜率3AD k =， 因为直线BC AD ∥， 所以，直线BC 的方程为17273()44y x -=-， 即3160x y --=．由已知，直线AB 的斜率为1AB k =-．因为直线CD AB ∥， 所以，直线CD 的方程为1727()44y x -=--， 即110x y +-=．因此，其他两边所在直线的方程是3160x y --=，110x y +-=．20． 解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥， 因为AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又AM ⊂平面PAB ， 所以AM BC ⊥，因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥， 又PB BC B =，所以AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，在平面ABC 内，作AZ BC ∥， 则AP ，AB ，AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)P ，(0,2,0)B ，(0,2,1)C ，(1,1,0)M ． (2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM =，设平面APC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩．令1y =，则2z =-， 所以(0,1,2)n =-．由（Ⅰ）可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设n ，AM 的夹角为α，则10cos 10α=， 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为1010．（Ⅱ）设(,,)D u v w 是线段PC 上一点，且(01)PD PC λλ=≤≤， 即(2,,)(2,2,1)u v w λ-=-， 所以22u λ=-，2v λ=，w λ=， 所以(22,22,)BD λλλ=--， 由0BD AC ⋅=，得45λ=．因为4[0,1]5∈，所以在线段PC 上存在点D ，使得BD AC ⊥，此时，45PD PC λ==． 21． 解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为22221(0)x y a b a b+=>>．因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2， 所以1b c ==，2a =所求椭圆方程为2212x y +=．（Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点(1,0)F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =-．设11(,)P x y ，22(,)Q x y由22221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，23210y y +-=，解得11y =-，213y =．所以1212112||||||223POQ S OF y y y y =⋅-=-=△． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点(,0)(01)M m m <<，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直， 所以设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=， 因为4222164(12)(22)8(1)0k k k k ∆=-+-=+>， 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 点为00(,)N x y ，所以202212k x k =+，0212k y k -=+ 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN PQ ⊥，1MN k k ⋅=-， 所以222121212MN k k k k k k m k -+⋅=⋅=--+， 整理得222221212k k m k k -=-+++， 2222221212k k k m k k -+==++． 所以22(0)12k m k k =≠+，所以102m <<．选填解析一、 选择题1．【答案】A【解析】直线AB 的斜率()()53231k --==--． 故选A ．2．【答案】D【解析】∵圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -，∴圆的半径()()2231215r =--++=， 则圆的方程为22(3)(2)25x y ++-=．故选D ．3．【答案】C【解析】∵直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直， ∴()1220m ⨯+-=，解得1m =．故选C ．4．【答案】B【解析】A ．若m α∥，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错； B ．若m α⊥，n α⊂，则由线面垂直的性质得m n ⊥，故B 正确； C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n α⊂，故C 错；D ．若m α∥，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n α⊂，故D 错．故选B ．5．【答案】C【解析】双曲线2228x y -=，可化为22148x y -=， ∴2a =，∴双曲线2228x y -=的实轴长是4．故选C ．6．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122⨯⨯⨯=， 由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形 由于此侧棱长为13，对角线长为2，故棱锥的高为()221323-=，此棱锥的体积为12323⨯⨯=． 故答案为B ．7．【答案】A【解析】由约束条件220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得()3,1M -， ∴直线OM 斜率的最小值为13k =-． 故答案选A8．【答案】A【解析】抛物线C ：2y x =的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =， ∴005144x x =+， 解得01x =．故答案选A ．9．【答案】D【解析】由题意可得点(3,1)P --在圆221x y +=的外部， 故要求的直线的斜率一定存在，设为k ，则直线方程为()13y k x +=+，即310kx yk -+-=．根据直线和圆有公共点可得2003111k k -+-+≤， 即2232311k k k +-+≤，解得03k ≤≤，故直线l 的倾斜角的取值范围是[0,]3π． 故答案选D ．10．【答案】D【解析】如图，A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆 半径AP 的中点，故AM MP =，此时M 的轨迹为以A 圆心，半径为AM 的圆．如图，以1F 为定圆的圆心，1F P 为其半径，在1F P 截得MP MA =， 设1PF r =，∴111MF PM MF MA r F A +=+=>， 由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以1F 、A 为焦点， 以1F A 为焦距，以r 为长轴的椭圆．如图，以1F 为定圆的圆心，1F P 为其半径，过P 点延长使得MP MA =， 则有1MF PM r -=，∴1MF MA r FA -=<，由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以1F ，A 为焦点的双曲线的右支． 若M 落在以A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件，此时轨迹为一条射线，不是直线．故答案选D ．二、 填空题 11．【答案】34y x =± 【解析】∵双曲线221169x y -=的4a =，3b =，焦点在x 轴上， 而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±． 故答案为34y x =±．12．【答案】2π 【解析】∵等腰直角三角形的斜边长为2，∴圆锥的母线2l =． ∵圆锥的底面半径1r =，∴圆锥的侧面积2s rl =π=π． 故答案为2π．13．【答案】17【解析】∵(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，∴()23,2,2a b -=-， ∴|2|94417a b -=++=． 故答案为1714．【答案】26【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将()2,2A -代入2x my =，得2m =﹣， ∴22x y =﹣，代入()03B x ,-得06x =， 故水面宽为26． 故答案为26．15．【答案】34【解析】设32x a =交x 轴于点M ，∵21F PF △是底角为30的等腰三角形 ∴21120PF F ∠=，221||PF F F =，且222||PF F M =， ∵P 为直线32x a =上一点，∴3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解之得34a c =， ∴椭圆C 的离心率为34c e a ==． 故答案为3416．【答案】325[,]42【解析】如图所示：分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，连接1BC ，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴1MN BC ∥，1EF BC ∥，∴MN EF ∥，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴MN ∥平面AEF ；∵1AA NE ∥，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形， ∴1A N AE ∥，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴1A N ∥平面AEF ，又1A N MN N =，∴平面1A MN ∥平面AEF ， ∵P 是侧面11BCC B 内一点，且1A P ∥平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在11Rt A B M △中，21112115142A M B B A M ++===， 同理，在11Rt A B N △中，求得152A N =， ∴1A MN △为等腰三角形， 当P 在MN 中点O 时1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于M 、N 处时1A P 最长， 21125132484AO M O A M -+===，1152A M A N ==， 所以线段1A P 长度的取值范围是325[,]42． 故答案为325[,]42．。
北京市朝阳区高二上期末数学试题(理)(含答案)
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12．已知������(8,0),������(0,6),������(0,0) ,则������������������������的外接圆的方程是
.
【答案】(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25 【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段 OA 与线段 OB 的垂直平分线的交 2 2 点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径 r=5,所以，所求圆的标准方程为(������ ‒ 4) + (������ ‒ 3) = 25
A. 2 【答案】B 【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式.以 B.2 C. 6 D.2 2
������������1、������������2为邻边作菱形，由������1������2与������������1 + ������������2分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为 |������1������2| ≥ |������������1 + ������������2|,所以������������1、������������2的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线 l 的距离小于等于 2，由 |������| 点到直线的距离公式可得 ≤ 2,所以 ‒ 2 ≤ ������ ≤ 2，则实数������的最大值是 2 2
向量中与������1������相等的向量是
A. ‒ ������ + ������ + ������
1 2
1 2
B. ������ + ������ + ����� ������ ‒ ������ + ������ 2 2
2015-2016年北京市顺义区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0B．2x﹣y﹣6=0C．x﹣2y﹣6=0D．x﹣2y+5=0 3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π4．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β5．（5分）“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．（5分）如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．10．（5分）如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．11．（5分）给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p ∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是．（填上所有正确命题的序号）12．（5分）直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．13．（5分）抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．14．（5分）已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．16．（13分）已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，C1，AB的中点．，E，F分别是A（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．19．（13分）已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．20．（14分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP （O是坐标原点）的斜率的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选：A．2．（5分）直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0B．2x﹣y﹣6=0C．x﹣2y﹣6=0D．x﹣2y+5=0【解答】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选：B．4．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β【解答】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．5．（5分）“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．6．（5分）方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称【解答】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选：A．7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．8．（5分）如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（±，0）渐近线方程为y=±2x．【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．10．（5分）如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．【解答】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3a•a=1•（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．11．（5分）给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p ∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是（4）．（填上所有正确命题的序号）【解答】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，故答案为：（4）12．（5分）直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3．【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．13．（5分）抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（﹣4，）．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4，因此，点P的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．（5分）已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）．【解答】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．【解答】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…（3分）因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（5分）（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…（7分）又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…（10分）又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…（12分）又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…（13分）16．（13分）已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…（3分）因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为．…（6分）因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．所以圆心到直线l的距离为，…（9分）因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．…（11分）所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…（13分）17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．【解答】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，．（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点．∴FM∥PC．∵AB∥FD，FD=AB，∴ABFD为平行四边形．∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．∴B，E，M，F四点共面．∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，∴PC∥平面BEM．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，C1，AB的中点．，E，F分别是A（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．【解答】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以，BB1⊥BC．又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B，所以，BC⊥平面A1ABB1．因为BC⊂平面BCE，所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．因为E，F分别是A1C1，AB的中点，所以，FD∥AC且．因为AC∥A1C1且AC=A1C1，所以，FD∥EC1且FD=EC1．所以，四边形FDC1E是平行四边形．所以，EF∥C1D．又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，所以，EF∥平面B1BCC1．（III）解：因为，AB⊥BC所以，．过点B作BG⊥AC于点G，则．因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1所以，平面A1ACC1⊥底面ABC．所以，BG⊥平面A1ACC1．所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积．19．（13分）已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…（2分）由消y并整理，得…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，所以p=1…（6分）（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1）．…（7分）由方程组（1）可得ky2﹣2y+4k﹣2=0（2）…（8分）当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．把y=﹣1代入y2=2x，得．这时．直线m与抛物线只有一个公共点．…（9分）当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k（4k﹣2）．由△＞0，即4﹣4k（4k﹣2）＞0，亦即4k2﹣2k﹣1＜0．解得．于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…（12分）因此，所求m的取值范围是．…（13分）20．（14分）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP （O是坐标原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．∴点在椭圆G上，又离心率为，∴，解得∴椭圆G的方程为．（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组消去y0，并整理得．又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组消去y0，并整理得．由﹣1＜x0＜0，得m2＞，∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），由﹣＜x0＜﹣1，得，∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．。
2015-2016年北京市朝阳区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）下列选项中，满足焦点在y轴上且离心率为的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．3．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，则a=（）A．6B．12C．2D．﹣24．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心到直线x﹣y=0的距离为（）A．B．1C．D．5．（5分）已知圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切6．（5分）已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则此抛物线的标准方程是（）A．y2=8x B．x2=4yC．y2=8x或x2=﹣4y D．y2=8x或x2=4y7．（5分）设F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．9．（5分）若f（x）=x﹣elnx，0＜a＜e＜b，则下列说法一定正确的是（）A．f（a）＜f（b）B．f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（e）D．f（e）＞f（b）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1⊥平面BMN；（2）MN∥平面AB1D1；（3）△D1MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D﹣MNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为．12．（5分）从点（2，0）引圆x2+y2=1的切线，则切线长为．13．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第xh时，原油的温度（单位℃）为y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第4h时原油温度的瞬时变化率是℃/h；在第4h时附近，原油的温度在．（此空填上升或下降）14．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是；此三棱锥的最长棱的长度为．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，则以下命题不成立的是（1）若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n（2）若m∥β，β⊥α，则m⊥α（3）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β（4）若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CM ⊥CN（C为圆心），则实数b的值为．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t＞0）上的单调性．18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，AB∥DC，AP=AD=DC=AB=1，∠ADC=120°，E，F分别为线段AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFD；（Ⅱ）求证：平面EFD⊥平面APC；（Ⅲ）求锥体P﹣ADC的体积．19．（14分）椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，过F作直线l2交椭圆W于C，D两点，且∥．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）求证：|AB|2=4|CD|．2015-2016学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）下列选项中，满足焦点在y轴上且离心率为的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：焦点在y轴上的双曲线，可知选项A，C，不满足题意．对于选项B，可知a=1，b=，可得c=，离心率为：，满足题意．选项D的离心率为：．故选：B．3．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，则a=（）A．6B．12C．2D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x3﹣ax，∴f′（x）=3x2﹣a，∵f（x）=x3﹣ax在x=2处取得极小值，∴f′（2）=3×4﹣a=0，解得a=12，经验证a=12符合在x=2处取得极小值，故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心到直线x﹣y=0的距离为（）A．B．1C．D．【解答】解：圆心（1，﹣2）到直线x﹣y=0距离为=．故选：D．5．（5分）已知圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，则两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：由于圆O1：x2+y2﹣4x+4y﹣41=0，即（x﹣2）2+（y+2）2=49，表示以C1（2，﹣2）为圆心，半径等于7的圆．圆O2：（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以C2（﹣1，2）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于=5=7﹣2．故两个圆相内切．故选：D．6．（5分）已知顶点为原点，对称轴为坐标轴的抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，则此抛物线的标准方程是（）A．y2=8x B．x2=4yC．y2=8x或x2=﹣4y D．y2=8x或x2=4y【解答】解：∵焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点的坐标为A（0，﹣1），或（2，0），若抛物线以y轴对称式，设方程为x2=﹣2py，=1，求得p=2，∴此抛物线方程为x2=﹣4y；若抛物线以x轴对称式，设方程为y2=2px，=2，求得p=4，∴此抛物线方程为y2=8x；故选：C．7．（5分）设F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则此椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线交x轴于点M，∵△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，∴∠PF1F2=120°，|PF1|=|F1F2|，且|PF1|=2|F1M|．∵P为直线x=上一点，∴，解得3c=2a，∴椭圆C的离心率e==．故选：A．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一半，圆锥的底面半径为为2，高为4．∴几何体的体积V==．故选：B．9．（5分）若f（x）=x﹣elnx，0＜a＜e＜b，则下列说法一定正确的是（）A．f（a）＜f（b）B．f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（e）D．f（e）＞f（b）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1﹣，∴当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∵0＜a＜e＜b，∴f（a）＞f（e），f（b）＞f（e），f（a）与f（b）无法比较大小．故选：C．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为CD1中点，M为线段BC1上的动点（M不与B，C1重合），以下四个命题：（1）CD1⊥平面BMN；（2）MN∥平面AB1D1；（3）△D1MN的面积与△CMN的面积相等；（4）三棱锥D﹣MNC的体积有最大值其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）CD1与BM不垂直，所以CD1⊥平面BMN，不正确；（2）平面BMN∥平面AB1D1，所以MN∥平面AB1D1，正确；（3）两个三角形等底等高，△D1MN的面积与△CMN的面积相等，正确；（4）M与B重合，三棱锥D﹣MNC的体积最大，不正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）11．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为∃x∈R，x2+2x+2≤0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定为：命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”．故答案为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．12．（5分）从点（2，0）引圆x2+y2=1的切线，则切线长为．【解答】解：圆心坐标为O（0，0），半径r=1，P（2，0）则OP=2，则切线长为=，故答案为：．13．（5分）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第xh时，原油的温度（单位℃）为y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则第4h时原油温度的瞬时变化率是1℃/h；在第4h时附近，原油的温度在上升．（此空填上升或下降）【解答】解：∵y=f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），∴f′（x）=2x﹣7（0≤x≤8），∴当x=4时f′（4）=2×4﹣7=1，即第4h时原油温度的瞬时变化率是1°C/h；又f′（4）=1＞0，∴在第4h时附近原油的温度在上升．故答案为：1，上升．14．（5分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积是；此三棱锥的最长棱的长度为3．【解答】解：作出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，由三视图可知P在底面的投影D为AB的中点，AB⊥BC，AB=AC=PD=2，∴三棱锥的体积V==．由勾股定理可得：BC=2，PA=PB=，CD=，∴PC==3．∴三棱锥的棱中PC最长．故答案为，3．15．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，则以下命题不成立的是（1）（2）（4）（1）若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n（2）若m∥β，β⊥α，则m⊥α（3）若m⊥α，m⊂β，则α⊥β（4）若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，知：在（1）中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平面或异面，故（1）错误；在（2）中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故（2）错误；在（3）中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故（3）正确；在（4）中，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故（4）错误．故答案为：（1）（2）（4）．16．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0与直线y=x+b相交于M，N两点，且满足CM ⊥CN（C为圆心），则实数b的值为0或﹣4．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x=0可化为圆（x﹣2）2+y2=4，圆心坐标为（2，0），半径为2∵CM⊥CN，∴圆心到直线的距离d=∴b=0或﹣4．故答案为：0或﹣4．三、解答题（本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）17．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（0，t]（t＞0）上的单调性．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx．这个函数的图象在x=1处的切线的斜率为k=f′（1）=1．把x=1代入f（x）=xlnx中得f（1）=0，即切点坐标为（1，0）．则这个函数的图象在x=1处的切线方程为y=x﹣1．…（5分）（Ⅱ）令f′（x）=1+lnx=0，得．（1）当时，在区间（0，t]上，f′（x）≤0成立，所以函数f（x）为减函数．（2）当时，在区间上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；在区间上，f′（x）＞0，f（x）为增函数．…（12分）18．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PBC，AB∥DC，AP=AD=DC=AB=1，∠ADC=120°，E，F分别为线段AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFD；（Ⅱ）求证：平面EFD⊥平面APC；（Ⅲ）求锥体P﹣ADC的体积．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）设AC∩DE=O，连接OF，EC，由于E为线段AB的中点，且AB∥DC，所以AE∥DC，AE=DC．所以四边形ADCE为菱形，故O为AC中点，又F为PC中点，因此，在△APC中，AP∥OF又OF⊂平面EFD，AP⊄平面EFD，所以AP∥平面EFD…（5分）（Ⅱ）由题意，BE∥CD，BE=CD，所以四边形BCDE为平行四边形所以BC∥ED．而AP⊥平面PBC，所以AP⊥BC，故AP⊥ED．因为四边形ADCE为菱形，所以AC⊥ED，又AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，所以ED⊥平面PAC，又ED⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面APC．…（10分）（III）在△ADC中，AD=CD=1，∠ADC=120°，所以．因为AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，又AP=1，所以．所以．又ED⊥平面PAC，所以D点到平面APC的距离为．V P﹣ADC=V D﹣APC=×DC×S△APC==…（14分）19．（14分）椭圆W的中心在坐标原点O，以坐标轴为对称轴，且过点，其右焦点为F（1，0）．过原点O作直线l1交椭圆W于A，B两点，过F作直线l2交椭圆W于C，D两点，且∥．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）求证：|AB|2=4|CD|．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为已知焦点在x轴上，设椭圆W的标准方程为：，a＞b ＞0．由题意：，则a2=4．所求椭圆W的标准方程为：．…（4分）（Ⅱ）当直线l1垂直于x轴时，则直线l2也垂直于x轴，把x=1代入椭圆W的方程，得，即此时|CD|=3，而，所以|AB|2=4|CD|．当直线l1不垂直于x轴时，设直线l1的斜率为k，则依题意l2的斜率也为k，其方程为y=k（x﹣1）．设点A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），C（x1，y1），D（x2，y2）．则．把y=k（x﹣1）代入椭圆方程中，整理得，（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．显然△＞0，，．则=．即|CD|==．由，且A（x0，y0）在椭圆上，得．则|AB|2（4k2+3）=．因为直线l1过原点，所以y0=kx0，则|AB|2（4k2+3）=．因为A（x0，y0）在椭圆上，所以，所以|AB|2（4k2+3）=48（k2+1）．所以|AB|2（4k2+3）=4×12（k2+1），即|AB|2=4|CD|．…（14分）。
高二数学文科—2015-2016北京西城高二(上)期末文科(含解析)
由点到直线的距离公式，得 CD 3 4 4 3 m m ，
32 42
5
所以 m 3 ， 5
解得 m 15 ．
17.（本小题满分 14 分）
【解析】（Ⅰ）连接 BD 交 AC 于 O ，连接 EO ． 因为 E ， O 分别为 QD 和 BD 的中点，则 EO∥QB ．
又 EO 平面 AEC ， QB 平面 AEC ，
19.（本小题满分 13 分） 如图1 ，在△ABC 中，ABC 90 ，D 为 AC 中点，AE BD 于 E ，延长 AE 交 BC 于
F ．将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A1 BCD ，如图 2 所示．
（Ⅰ）若 M 是 A1C 的中点，求证： DM∥平面 A1EF ；
（Ⅱ）若平面 A1BD 平面 BCD ，试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直？并说明理由．
y2
b2
1 （ a b 0 ）的两个焦点分别为 F1 ， F2 ，
F1F2
2c ．若点
P 在椭圆上，且 F1PF2 90 ，则点 P 到 x 轴的距离为（ ）．
A. b2 a
B. b2 c
C. c2 a
D. c2 b
8.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 6 ，BC 4 ， AA1 2 ，P ，Q 分别为棱 AA1 ，C1D1 的
17.（本小题满分 14 分） 如图，矩形 ABCD 所在的平面与正方形 ADPQ 所在的平面相互垂直， E 是 QD 的中点． （Ⅰ）求证： QB∥平面 AEC ； （Ⅱ）求证：平面 QDC 平面 AEC ； （Ⅲ）若 AB 1 ， AD 2 ，求多面体 ABCEQ 的体积．
18.（本小题满分 13 分） 已知抛物线 y2 2 px ( p 0) 的准线方程是 x 1 ． 2 （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）设直线 y k(x 2) （ k 0 ）与抛物线相交于 M ， N 两点，O 为坐标原点，证明： OM ON ．
2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(文科)含答案
2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．B． C．f（x）=e x D．f（x）=sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是（）A．若α∥β，则m∥n B．若m⊥β，则α⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若α⊥β，则m⊥n6．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x7．（5分）已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|=（）A． B．C．2 D．48．（5分）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）计算：i（1﹣i）=（i为虚数单位）．10．（5分）双曲线x2﹣=1的两条渐近线方程为．11．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=；sinA=．12．（5分）已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是，侧面积为．14．（5分）在△ABC中，AB=AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则△ABC面积的最大值为（用l表示）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=3，a2+b2=14，a3+a4+a5=b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．16．（13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最小值．17．（13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）19．（13分）已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，k∈R．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当k=e时，试判断函数f（x）是否存在零点，并说明理由；（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．2015-2016学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【解答】解：因为集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x≤1}，所以A∩B={0，1}，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（）A．B． C．f（x）=e x D．f（x）=sinx【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数．B．函数为奇函数，由=0得方程无解，即函数没有零点．C．f（x）=e x为增函数，函数为非奇非偶函数，且没有零点．D．f（x）=sinx是奇函数，且存在零点，满足条件．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．（5分）在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列说法正确的是（）A．若α∥β，则m∥n B．若m⊥β，则α⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若α⊥β，则m⊥n【解答】解：由m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m ⊂α，n⊂β，知：在A中：若α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中：若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中：若m∥β，则α与β平行或相交，故C错误；在D中：若α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：B．6．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选：C．7．（5分）已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|=（）A． B．C．2 D．4【解答】解：设圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9与y轴交于A，B两点，取线段AB 的中点D，则由弦的性质可得CD⊥AB，且=，故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离．∴圆心C到AB的距离为d=||=，由于圆的半径为r=3，故AB=2=，故选：A．8．（5分）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）计算：i（1﹣i）=1+i（i为虚数单位）．【解答】解：i（1﹣i）=1+i．故答案为：1+i．10．（5分）双曲线x2﹣=1的两条渐近线方程为．【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=1，b2=3，得a=1，b=∵双曲线的渐近线方程为y=∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x故答案为：y=±x11．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c=2；sinA=．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2；∵cosC=，C为三角形内角，∴sinC==，∴由正弦定理=得：sinA===．故答案为：2；．12．（5分）已知正数x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2）．令t=2x+y，化为y=﹣2x+t，由图可知，当直线y=﹣2x+t过A时，t有最大值为4．∴的最小值为．故答案为：．13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是12，侧面积为27．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△==，S△CBP==．CDP∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．四棱锥的体积V=S正方形•PA==12．ABCD故答案为12，27．14．（5分）在△ABC中，AB=AC，D为线段AC的中点，若BD的长为定值l，则△ABC面积的最大值为（用l表示）．【解答】解：cosA==﹣，∴S=b2=≤，△ABC故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=3，a2+b2=14，a3+a4+a5=b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q ＞0．依题意有，由a1=b1=3，又q＞0，解得∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1，n∈N*．，n∈N*．（Ⅱ）∵，∴前n项和S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=（3+5+…+2n+1）+（31+32+…+3n）==．∴前n项和．16．（13分）已知函数的图象过点．（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得==．∵函数f（x）的图象过点，∴．解得．∴函数f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵，∴．∴．∴当即时，函数f（x）取最小值17．（13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设“选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．【解答】解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个．…（4分）（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，所以，事件M发生的概率．…（8分）（Ⅱ）事件N包含的基本事件有{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，所以，事件N发生的概率．…（13分）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…（5分）（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD所以CD⊥AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）（Ⅲ）解：不存在．…（14分）19．（13分）已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，k∈R．（Ⅰ）当k=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当k=e时，试判断函数f（x）是否存在零点，并说明理由；（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：函数f（x）的定义域：x∈（0，+∞），f′（x）=，（Ⅰ）当k=1时，f（x）=lnx++2x，f′（x）=，有f（1）=ln1+1+2=3，即切点（1，3），k=f′（1）=2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程是y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1．…（4分）的（Ⅱ）若k=e ，f （x ）=（2e ﹣1）lnx ++2x ，f′（x ）=，令f′（x ）=0，得x 1=﹣e （舍），．则．所以函数f （x ）不存在零点．…（8分） （Ⅲ）．当﹣k ≤0，即k ≥0时，f （x ） ↘ 极小↗当，即时，当，即时，当，即时，综上，当k≥0时，f（x）的单调增区间是；减区间是．当时，f（x）的单调增区间是（0，﹣k），；减区间是．当时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当时，f（x）的单调增区间是，（﹣k，+∞）；减区间是．…（13分）20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．=1．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．。
北京市怀柔区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)资料
2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1 B．￢p：∃x∈R，x≤1 C．￢p：∀x∈R，x＜1 D．￢p：∃x∈R，x＜12．双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．13．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．4．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣C．﹣6 D．5．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．168．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为．10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是．11．抛物线x2=4y的焦点坐标为．12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于．13．一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为．14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，BC⊥AC，D、E分别是SC、BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面SAB；（Ⅱ）求证：BC⊥平面SAC．16．已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．18．已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．已知：四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，CD，点F在线段PC上运动．（1）当F为PC的中点时，求证：BF∥平面PAD；（2）设，求当λ为何值时有BF⊥CD．20．已知直线过点M（﹣3，0），且倾斜角为30°，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），离心率．（Ⅰ）求直线l和椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l和椭圆C有两个交点；（Ⅲ）设直线l和椭圆C的两个交点为A，B，求证：以线段AB为直径的圆经过点F1．2015-2016学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1 B．￢p：∃x∈R，x≤1 C．￢p：∀x∈R，x＜1 D．￢p：∃x∈R，x＜1 【考点】命题的否定．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤1，故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．双曲线﹣y2=1的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a=2，即可得到双曲线的实轴长2a．【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=2，则双曲线的实轴长为2a=4，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查实轴的概念，考查运算能力，属于基础题．3．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（）A．2 B．C．1 D．【考点】点到直线的距离公式．【专题】计算题．【分析】点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0的距离：d=，由此能求出点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：d==，故选B．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行求解．4．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a=（）A．﹣3 B．﹣C．﹣6 D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，由此解得a的值．【解答】解：由于直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，故它们的斜率相等，故有﹣=3，解得a=﹣6，故选C．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题．5．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．6．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可．【解答】解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义是解决本题的关键．比较基础．7．已知点P（x，y）为圆C：x2+y2﹣6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．16【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】将圆C化为标准方程，找出圆心与半径，作出相应的图形，所求式子表示圆上点到原点距离的平方，根据图形得到当P与A重合时，离原点距离最大，求出所求式子的最大值即可．【解答】解：圆C化为标准方程为（x﹣3）2+y2=1，根据图形得到P与A（4，0）重合时，离原点距离最大，此时x2+y2=42=16．故选D【点评】此题考查了圆的一般式方程，两点间的距离公式，利用了数形结合的思想，熟练运用数形结合思想是解本题的关键．8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与另外的四个面都相交．【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查空间中线面间位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上）9．直线y=2x+1的斜率为2．【考点】直线的斜率．【专题】对应思想；定义法；直线与圆．【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可．【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用直线方程求直线斜率的应用问题，是基础题目．10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是若﹣1＜x＜1，则x2＜1．【考点】四种命题．【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据逆命题的定义进行求解，注意分清命题的题设和结论．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆命题是：若﹣1＜x＜1，则x2＜1，故答案为：﹣1＜x＜1，则x2＜1．【点评】此题主要考查逆命题的定义，是一道基础题；11．抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于4．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．【解答】解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：故答案为4．【点评】本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．13．一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为6．【考点】球的体积和表面积．【专题】常规题型；计算题．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：6【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，解题的关键是对球的体积公式和表面积公式的掌握程度，是基础题．14．平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k ＞1．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请写在答题卡上）15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，BC⊥AC，D、E分别是SC、BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面SAB；（Ⅱ）求证：BC⊥平面SAC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知利用中位线的性质可得DE∥SB，从而判定DE∥平面SAB．（Ⅱ）由SA⊥平面ABC，可得BC⊥SA，又BC⊥AC，且SA∩AC=A，即可判定BC⊥平面SAC．【解答】（本题满分13分）证明：（Ⅰ）因为D、E分别是SC、BC的中点，所以DE∥SB．因为SB⊂平面SAB，且DE⊄平面SAB，所以DE∥平面SAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为SA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以BC⊥SA．又因为BC⊥AC，且SA∩AC=A．所以BC⊥平面SAC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．已知点A（0，﹣6），B（1，﹣5），且D为线段AB的中点．（Ⅰ）求中点D的坐标；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由已知条件求出AB的中点坐标为（，﹣），（Ⅱ）求出k AB=1，由此能求出线段AB的垂直平分线的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，﹣6），B（1，﹣5），∴AB的中点D坐标为（，﹣），（Ⅱ）k AB==1，∴线段AB的垂直平分线的斜率是﹣1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+=﹣（x﹣），整理，得x+y+5=0．【点评】本题考查线段AB的垂直平分线的方程的求法，是基础题，解题时要注意中点坐标公式和直线与直线垂直的性质的合理运用．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC．（Ⅰ）证明：AB⊥PC；（Ⅱ）证明：平面PAB∥平面FGH．【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AB⊥面PEC，即可证明：AB⊥PC；（Ⅱ）根据面面平行的判定定理即可证明平面PAB∥平面FGH．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接EC，则EC⊥AB又∵PA=PB，∴AB⊥PE，∴AB⊥面PEC，∵BC⊂面PEC，∴AB⊥PC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）连结FH，交于EC于O，连接GO，则FH∥AB在△PEC中，GO∥PE，∵PE∩AB=E，GO∩FH=O∴平面PAB∥平面FGH﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查空间直线垂直以及面面平行的判断，根据相应的判定定理是解决本题的关键．18．已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．【点评】本题考查直线、圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．19．已知：四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，CD，点F在线段PC上运动．（1）当F为PC的中点时，求证：BF∥平面PAD；（2）设，求当λ为何值时有BF⊥CD．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）取CD中点E，连接EF，先证明平面BEF∥平面PAD，方法是由EF∥平面PAD 和BE∥平面PAD，线面平行推出面面平行，再由面面平行的定义可得所证线面平行（2）由（1）可知BE⊥CD，若BF⊥CD，则定有CD⊥平面BEF，而CD⊥平面PAD，故有平面BEF∥平面PAD，从而由面面垂直的性质定理可推知EF∥PD，从而断定F为PC中点，即λ=1【解答】解：（1）取CD中点E，连接EF．∵是PC中点，∴EF∥PD．∵EF⊄平面PAD，PD⊆平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵，AB∥CD，∴DE∥AB且DE=AB，∴BE∥AD．∵BE⊄平面PAD，AD⊆平面PAD，∴BE∥平面PAD．∵EF⊆平面BEF，BE⊆平面BEF，EF∩BE=E，∴平面BEF∥平面PAD．而BF⊆平面BEF，∴BF∥平面PAD．（2）当λ=1，即F为PC中点时有BF⊥CD．∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD．∵∠A=90°，AB∥CD，∴CD⊥AD．∵PA⊆平面PAD，AD⊆平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．由（1）知平面PAD∥平面BEF，∴CD⊥平面BEF．∵BF⊆平面BEF，∴CD⊥BF．【点评】本题考察了线面平行的证明方法，及空间垂直关系的证明与应用，解题时要熟练的在线线、线面、面面关系中互相转换．20．已知直线过点M（﹣3，0），且倾斜角为30°，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），离心率．（Ⅰ）求直线l和椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：直线l和椭圆C有两个交点；（Ⅲ）设直线l和椭圆C的两个交点为A，B，求证：以线段AB为直径的圆经过点F1．【考点】椭圆的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由直线l倾斜角为30°，直线l过点M（﹣3，0），能求出直线l的方程；由椭圆的焦点坐标和离心率求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线与椭圆联立，得2x2+6x+3=0．由此利用根的判别式能证明直线l和椭圆C有两个交点．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理推导出F1A⊥F1B，由此能证明以线段AB 为直径的圆经过点F1．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由直线l倾斜角为30°，知直线l的斜率为，又直线l过点M（﹣3，0），得直线l的方程为y=（x+3），即x﹣=0．∵椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣2，0），离心率，∴由题意知，c=2，e=，得a=，∴b2=6﹣4=2，∴椭圆C的方程为．证明：（Ⅱ）由方程组，得2x2+6x+3=0．△=62﹣4×2×3=12＞0，∴直线l和椭圆C有两个交点．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣3，．∵====﹣1，∴F1A⊥F1B，∴以线段AB为直径的圆经过点F1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆有两个交点的证明，考查以线段AB为直径的圆经过点F1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线方程等知识点的合理运用．2016年3月14日。
北京一零一中学2015-2016学年高二上学期期末数学(文)试题
北京一零一中2015-2016学年度第一学期期末考试高二数学 文科命题：高二数学备课组 审核：张燕菱一选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）321p p p =<（C ）132p p p =< （D ）123p p p ==2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为12310,,,...,x x x x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（A ） x ，22100s + （B ）100x +，22100s +（C ） x ，2s （D ）100x +，2s 3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出i 的值是（ ）（A ）27 （B ）31 （C ）15 （D ）634. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)12,13 ，[)13,14，[)14,15，[)15,16，[]16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…… ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）（A ） 6 （B ）8 （C ）12 （D ）18 5. 下列结论中正确的个数是（ ）① 命题“x R ∃∈，20x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”；② 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题； ③ 若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件；④ x R ∀∈，不等式2243x x x +>-均成立.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 6. 若区间()0,1上任取一点b ，则方程20x x b ++=有实根的概率为（ ）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）347. 函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）（A ）()1,1- （B ）()1,-+∞ （C ）(),1-∞- （D ）(),-∞+∞8. 已知动圆C 经过点()0,1F ，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积有（ ）（A ）最大值π （B ）最小值π （C ）最大值4π （D ）最小值4π二、填空题：本大题共6小题，共30分。