倒易点阵

§2.3倒易点阵与爱瓦尔德球图解法

一、倒易点阵的概念

X 射线衍射晶体结构分析工作是通过衍射花样（包含衍射方向和强度信息）反推出衍射晶体的结构特征。通过衍射花样反推晶体结构是复杂而困难的工作。1921年爱瓦尔德（P.P. Ewald ）

通过倒易点阵可以把晶体的衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。也可以说，电子衍射斑点就是与晶体相对应的倒易点阵中某一截面上阵点排列的像。

倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的三维空间（倒易空间）点阵，它是一个虚拟点阵（通常将晶体点阵称为正点阵）。它的真面目只有从它的性质及其与正点阵的关系中才能真正了解。

一、 倒易点阵中基本矢量的定义

设正点阵的原点为O ，基矢为a 、b 、c ，

倒易点阵的原点为O *，基矢为a *、b *、c *（图2-9），

则有

V b a c V a c b V c b a ⨯=⨯=⨯=***,, （2-11） 式中，V 为正点阵中单胞的体积：

)()()(b a c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= 图2－9 倒易基矢和正空间基矢的关系

二、 倒易点阵的性质

a ） 根据式（2-11）有（因为00cos *=⋅⋅=⋅=⋅

b a b a b a θ）

0******=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅b c a c c b a b c a b a （2-12）

1***=⋅=⋅=⋅c c b b a a （2-13）

b ） 在倒易点阵中，由原点O *指向任意坐标为hkl 的阵点的倒易矢量g hkl 为

***lc kb ha g hkl ++= （2-14）

Φ3

在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵，以倒易原点O*为端点作入射波的波矢量k ，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即λ1

=k ，以O 为中心，1/λ

为半径作一个球，这就是爱瓦尔德球。若有倒易阵点G （指数为hkl ）正好落在爱瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl ）与入射束的方向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是，或者写成衍射波的波矢量k ´，其长度也等于反射球的半径1/λ。

根据倒易矢量的定义，g G O =*，于是我们得到

g k k =-' （2-17）

由图2-11的简单分析即可证明，式（2

－17）与布拉格定律是完全等价的。由O 向

O*G 作垂线，垂足为D ，因为g 平行于（hkl ）晶面的法向N hkl ，所以OD 就是正空间中

（hkl ）晶面的方位，若它与入射束方向的

夹角为θ，则有

θsin **OO D O = 即 θs i n 2k g = 由于 λ1,1==

k d g 故有 λθ=sin 2d

同时，由图可知，k ´与k 的夹角（衍射角）等于2θ，这与布拉格定律的结果也是一致的。 图2-11 爱瓦尔德球作图法

图2-11中应注意矢量g hkl 的方向，它和衍射晶面的法线方向一致。因为已经设定g hkl 矢量的模是衍射面面间距的倒数，因此位于倒易空间中的g hkl 矢量具有代表正空间中（hkl

爱瓦尔德球内的三个矢量

间的相对关系。在以后的衍射分析中，会常用到爱瓦尔德球图解法这个有效的工具。

§2.4 X 射线衍射方法

布拉格方程包含着d 、θ及λ三个参量。设想采用单一波长的X 射线去照射不动的单晶体，对于间距为d 的某种晶面而言，λ、d 已属恒定，而该晶面相对于X 射线的掠射角θ也不可变。这样三个固定的参量一般是不会满足布拉格关系的，从而不可能获得衍射。为使衍射能够发生，必须设法使θ或λ连续可变。

X 射线衍射方法的分类见图2-12。

图2-12 X射线衍射方法

一、劳埃法

采用连续X射线照射不动的单晶体。因X射线的波长连续可变，故可从中挑选出其波长满足布拉格关系的X射线使产生衍射。连续谱的波长有一段范围，从λ0到λm，对应的反射球也有一整套，其半径从1/λ0连续变化到1/λm。凡是落到这两个球面之间区域的倒易结点，均满足布拉格条件，它们将与对应某一波长的反射球面相交而获得衍射。

劳埃法是劳埃在1912年首先提出的，是最早的X射线分析方法，他用垂直于入射线的平底片记录衍射线而得到劳埃斑点。图2－13示意地描绘了这一方法。目前劳埃法多用于单晶体取向测定及晶体对称性的研究。

单色X

图2－13劳埃法图2－14 周转晶体法

二、周转晶体法

采用单色X射线照射转动的单晶体，并用一张以旋转轴的圆筒形底片来记录，其示意图见图2－14。

如前所述，当晶体处于静止状态时，一般不能产生衍射。如若晶体转动，则某晶面

与入射X射线的夹角θ将连续变化，并在某特定位置满足布拉格关系而产生一个衍射斑点。衍射花样呈层线分布。通常选择晶体某一已知点阵直线为旋转轴，通过层线可计算该方向上的点阵周期，测定多个方向上点阵周期之后就可确定晶体的结构。

三、粉末法

采用单色X射线照射多晶体。试样是由数量众多、取向混乱的微晶体组成。各微晶体中某种指数的晶面在空间占有各种方位，这与运动的单晶体某种晶面在不同瞬时占

书将在第三章及第四章开头处作较详细的分析。

直接用作试样，

进行物相定性、定量分析，精确测定晶体的点阵参数以及材料的应力、织构、晶粒大小的测定等。

粉末法是各种多晶体X射线分析法的总称，其

记录衍射花样，图2－15为其示意图。较重要的还有聚焦照相法等。亦可用平底片记录，此法惯称针孔法。

这就是