球壳万有引力场的积分说明
Lei Jiazhi1, Geng Biao1, Lei Jiaqiang2
1 School of Informarion and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou (221116)
空间直角坐标下的三重积分来求：
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z )
3 dxdydz
Ω
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
+R
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x
2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+R
2π
R2 −z2
= Gmρ ∫ (r − z)dz ∫ dθ ∫
ρdρ
3
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z) 3 dxdydz + ∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
=
2π Gmρ
⎡ ⎢⎣2r
+
1 6r 2
(
R
−
r )3
−
1 6r 2
2 School of Material Science and Engineering, Shandong Universiry, Jinan (250100)
Abstract Although Newton's law of gravitation gives the general expression, but in fact the law of gravity is difficult to understand, and it itself there are some insurmountable flaws. This departure is based on Newton's law of universal gravitation, using the triple integral tool of space to get some of the conclusions of sphere gravitational field, and then proceed to consider these findings from the spherical shell at any point in space produced by the gravitational field, and draw the appropriate conclusions. Key words: spherical shell;gravitational field;points
体在空间所产生的万有引力场。设有一个半径为 R 的均匀球体，密度为 ρ 球体外有一质量
为 m 的质点 A，它离球心的距离为 r ，F 为球体对质点 A 的万有引力。以球心为坐标原点 O ， JJJK OA 为 z 轴的方向，建立直角坐标系。根据对称性，容易知道 Fx = Fy = 0 ，对于 Fz ，利用
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内径为γ ，外径为 r 的球壳，D2 为内径为γ ，外径为 R 的球壳。那么根据上面的结论，D1 、
JDK 2 在 C 点所产生的万有引力场强度均为零，所以球壳 D 在 C 点所产生的万有引力场强度 g =0。
图 2 空间点 C 位于球壳外的情况
+r −R
(r
−
z)
⋅
⎡ ⎢ ⎣
r
1 −
z
−
R2
+
1 r2
−
2rz
⎤ ⎥ ⎦
dz
∫+r ⎡
= 2π Gmρ ⎢1− −R ⎣
R2
r +
−z r2 −
2rz
⎤ ⎥dz ⎦
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢ ⎣
R
+
r
+
1 6r2
R2 − r2
3 2
−
R2
−
r2
2r 2
R2
−
r2
−
1 6r2
(R
+
r )3
+
R2 − r2 2r 2
−R
0
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
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∫ ∫ ∫ = 1 Gmρ +R (r − z)dz2π dθ
2
−R
0
( ) R2 −z2
d
⎡ ⎣
ρ
2
+
z−r
2⎤ ⎦
3
0
⎡⎣ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ ∫ +R
= π Gmρ (r − z)dz
如果点 C 位于球壳JKD 的外部，同样可以根据上面的结论，很快的求出球壳 D 在 C 点所 产生的万有引力场强度 g ，如图 2 所示。设球壳 D 是均匀的，密度为 ρ ，质量为 M ，球壳
D 外有一点 C ，它距离球壳中心的距离为 r 。同样，不妨假设球壳 D 的空心出填满了与球
壳 D 同样材料的物质，这样就形成了两个球体，设内部填充的球体的质量为 M1 ，整个球体
(r
−
R )3
+
r2 − R2 2r 2
(
r
−
R)
−
1 6r 2
(
r
+
R )3
−
r2 − R2 2r 2
(r
+
R )⎤⎥
⎦
Gmρ ⋅ 4 π R3
=
3
r2
设M
为球体的质量，则
Fz
=
G
Mm r2
，
JK 在万有引力场中引入万有引力场强度 g
Fz 的方向为 z JK
= F ，其中 m
轴的负方向。 为质点的质量，
(R
+
r )⎤⎥
⎦
同理可得，
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢r ⎣
−
R
−
1 6r 2
R2 − r2
3 2
+
R2
−
r2
2r 2
所以，
R2
−
r2
+
1 6r 2
(R−
r )3
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥
⎦
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的一个理想模型，以它为研究对象来考虑万有引力场会给问题带来方便。对于球壳在空间任
何一点所产生的万有引力场的强度这一问题，需要我们去推究。
2 分析及解答
球壳是从球的模型中引出的一个理想模型，即为一个外径 R ，内径 r 的空心球体。由于
球壳是从球的模型中引出的，所以要想搞清楚球壳所产生的万有引力场，就必须先弄清楚球
1 引言
牛顿从普朗克三定律出发，发现了万有引力定律。牛顿万有引力指出，空间质量为 m1 、
m2
的质点之间的万有引力的
JK F
=
G
m1m r3
2
⋅
K r
，其中
K r
为两质点间的矢量。这也就是说空间
两质点间的万有引力的大小，与各个质点的质量成正比，与质点间连线的距离的平方成反比。
牛顿万有引力定律虽然具有普遍意义，但是应用它确实很复杂的。球壳是从球的模型中引出
Fz = ∫∫∫
3 dxdydz − ∫∫∫
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+r
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x2
+
为 z 轴的负方向。再根据万有引力场强度的概念，很容易求出质量为 M 的均匀球体在球体
均匀球体对质点的万有引力的计算及应用
均匀球体对质点的万有引⼒的计算及应⽤均匀球体对质点的万有引⼒的计算及应⽤湖州中学竺斌⽜顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引⼒之后，进⼀步把这个规律推⼴到⾃然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引⼒定律：⾃然界中任何两个物体都是相互吸引的，引⼒的⼤⼩跟这两个物体的质量的乘积成正⽐，跟它们的距离的⼆次⽅成反⽐。
即：2r MmGF =引①这⾥的两个物体指的是质点。
万有引⼒定律只给出了两个质点间的引⼒。
⽽对于⼀般不能看成质点的物体间的万有引⼒，需将物体分成许多⼩部分，使每⼀部分都可视为质点，根据①式求出物体1各⼩部分与物体2各⼩部分之间的引⼒，每个物体所受的引⼒就等于其各部分所受引⼒的⽮量和。
但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引⼒仍然可以⽤上式计算，其中r 表⽰两球球⼼的距离，引⼒沿两球球⼼的连线。
这⼀点在⾼中教材、教学参考书都没有给出证明，只是⽤简单的⼏句话带过。
我⽤两种⽅法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引⼒时，可以把其看成质量都集中在球⼼的质点。
”并计算均匀球壳对其内部质点的引⼒和均匀球对其内部的引⼒，仅供⼤家参考。
⼀、有关引⼒的计算 1．⽤微积分法。
)1(．质点与均匀球体间的万有引⼒。
若质点质量为m ，与球⼼的距离为R 。
设球的半径为a ，密度为v ρ，质量为334a M v πρ?=。
建⽴如图所⽰的坐标系。
根据对称性可知，球对质点的引⼒必沿z ⽅向，x ，y ⽅向上合⼒为0。
球上取⼀微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为θθd d r d r s i n 2。
对质点的万有引⼒。
θ??ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 222-+= （R ＞a ）在z ⽅向上的分⼒为：θραd drd rR R r r R r m GdF dF v z 23222)cos 2(sin )cos (cos -+-=?=Oφ (r,θ,φ)dr d d rR R r r R r m GF F v a zθρππ23222020)cos 2(sin )cos (-+-==?合222222220202322220cos 2cos 2(212)cos 2(sin )cos (RMm G rR R r R r rR R r rR dr r Gm d rR R r r R dr r d Gm a v a v =-+-+-+?=-+-=??πππ??πρ?φθρ所以均匀球体对球外⼀点的万有引⼒好象球体的质量全部集中在球⼼⼀样。
球壳万有引力等效于球心证明
球壳万有引力等效于球心证明球壳万有引力等效于球心的证明分为两个部分：第一部分是证明球壳在内部产生的引力场是等效于在球心处产生的引力场的；第二部分是证明球壳在外部产生的引力场也是等效于在球心处产生的引力场的。
第一部分：我们考虑一个球壳，将其划分为许多非常小的区域，每个区域都可以看作一个质量为dm的点。
由于球壳是一个具有球对称性的物体，我们可以通过对所有区域的引力合成来求得球壳在内部某点处产生的引力。
对于任意一个区域，我们考虑其产生的引力在该点的x、y、z三个方向上的分量。
由于球壳对称，这些分量在相应的方向上的贡献是相等的。
而对于球心的引力场来说，质点在x、y、z方向上的分量也是相等的。
现在我们要比较球壳和球心在该点处引力的大小。
考虑球壳上一点处的引力，由于球面上所有的非常小的区域都对其产生了引力，所以这些引力矢量相互之间的和是一个合力矢量，它的大小与球壳上的面积正比，与球壳上非常小区域的质量dm无关。
而对于球心来说，这个合力矢量的大小只与球心的质量有关，与球面上的分布无关。
现在我们比较球壳和球心在该点处引力矢量的方向。
球壳上各个非常小区域的引力矢量都指向球面上的点，而球面上各个点处的引力矢量指向球心。
所以球壳上的合力矢量也指向球心。
综上所述，球壳在内部某点处产生的引力场是等效于球心处产生的引力场的。
第二部分：接下来我们考虑球壳在外部的引力场。
我们依然将球壳划分为许多非常小的区域，每个区域都可以看作一个质量为dm的点。
同样由于球壳是一个具有球对称性的物体，我们可以通过对所有区域的引力合成来求得球壳在外部某点处产生的引力。
与第一部分类似，球壳上的所有非常小区域对外部某点的引力矢量合成之后得到的合力矢量大小与球壳上的面积正比，与质点的分布无关。
而球心的合力矢量的大小则只与球心的质量有关，与球面上的分布无关。
在方向上，球壳上的各个非常小区域对外部某点的引力矢量指向球壳上的点，而球面上的点对外部某点的引力矢量指向球心。
万有引力做功公式微积分推导
万有引力做功公式微积分推导
1. 万有引力公式。
- 设两个质点质量分别为M和m，它们之间的距离为r，根据万有引力定律，两质点间的万有引力F = G(Mm)/(r^2)（其中G为引力常量）。
2. 万有引力做功的微积分推导。
- 假设质量为m的物体在质量为M的天体的引力场中运动，取天体M所在位置为坐标原点，当物体从r_1运动到r_2时，计算万有引力做的功。
- 我们把物体的运动路径分成许多小段Δ r_1,Δ r_2,Δ r_3,·s。
- 在每一小段位移Δ r上，近似认为万有引力F是不变的。
当物体位于距离r 处时，万有引力F = G(Mm)/(r^2)。
- 对于一小段位移Δ r，万有引力做的功Δ W≈ F·Δ r，这里F = G(Mm)/(r^2)，所以Δ W≈ - G(Mm)/(r^2)Δ r（这里加负号是因为万有引力方向与物体位移方向（沿r 增大方向）相反）。
- 那么从r_1到r_2过程中，万有引力做的总功W就是这些小段功的累加，即W=∑Δ W。
- 当Δ rto0时，这个累加就变成了积分，W =-∫_r_{1}^r_2G(Mm)/(r^2)dr。
- 对∫_r_{1}^r_2(1)/(r^2)dr进行积分，根据积分公式∫ x^ndx=frac{x^n +
1}{n+1}+C（n≠ - 1），这里n=-2，则∫(1)/(r^2)dr=-(1)/(r)+C。
- 所以W=- G Mm<=ft(-(1)/(r))<=ft.rvert_r_{1}^r_2=GMm<=ft((1)/(r_2)-
(1)/(r_1))。
球壳万有引力场的积分说明
(R
+
r )⎤⎥
⎦
同理可得，
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢r ⎣
−
R
−
1 6r 2
R2 − r2
3 2
+
R2
−
r2
2r 2
所以，
R2
−
r2
+
1 6r 2
(R−
r )3
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥
⎦
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3 总结
本文通过空间坐标系下的三重积分来考虑球壳在空间任何一点所产生的万有引力场，并 且从球体出发，根据球体万有引力场的结论来解决球壳的万有引力场这一问题，从而得出球 壳的万有引力场的一般结论。
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参考文献
［1］同济大学应用数学系.高等数学[M]．5 版.北京：高等教育出版社，2001. ［2］程守洙，江之永.普通物理学[M]．6 版.北京：高等教育出版社，2001. ［3］高增禹.对万有引力场的讨论［J］.鞍山师专学报，1993，03：95～99. ［4］唐淑红.高斯定理在万有引力场中的应用［J］. 湘潭师范学院学报，2008，03：14～16. ［5］吴永汉.万有引力场是虚数场［J］.云南大学学报 ，2004 , 26 ( 4) : 335～337 ［6］李兴赘. 高斯定理在力学中的推广及应用［J］. 湖北民族学院学报，1998 ，16 (6) :83～85.
球壳的场强球体极坐标的三重积分
题目：球壳的场强球体极坐标的三重积分在学习物理学和数学的过程中，我们经常会遇到关于场强、球体极坐标和三重积分的概念。
本文将围绕着这些概念展开讨论，旨在帮助读者更深入地理解这些内容。
1. 场强的概念在物理学中，场强是描述场的强度和方向的物理量。
它可以是电场、磁场或重力场等。
场强的大小和方向在空间中的每一点都有所不同，我们可以通过场强来描述场的特性和行为。
2. 球体极坐标球体极坐标是一种描述三维空间中点的坐标系统。
它使用半径、极角和方位角来确定点的位置。
在球体极坐标系中，点的位置由三个参数唯一确定，这为我们在三维空间中进行定位和计算提供了方便。
3. 三重积分三重积分是对三维空间中的函数进行积分的数学工具。
它可以用来计算物体的体积、密度分布、质心等物理量。
三重积分在物理学、工程学和数学建模中都有广泛的应用。
场强、球体极坐标和三重积分都是物理学和数学中重要的概念。
它们互相联系，相互影响，通过它们我们可以更全面地理解和描述空间中的事物和现象。
在了解了这些概念的基本含义之后，我们来探讨一下球壳的场强球体极坐标的三重积分。
球壳是指一个空心的球体壳，其内部为空，只有外部表面上存在场。
我们将以电场为例，来讨论在球体极坐标系中计算球壳电荷引起的场强的过程。
我们需要了解球壳上的电荷分布情况，即在球壳表面上各点的电荷密度。
我们需要确定场点距离球壳各部分的距离，并在球体极坐标系下，对球壳的整个表面进行坐标变换和积分。
我们将利用三重积分的方法来计算球壳内外产生的电场强度。
在计算的过程中，我们需要考虑球壳的对称性，根据不同的情况选取合适的坐标系以简化计算。
在具体计算时，我们可以将球壳分成许多微小的面元，利用球体极坐标系下的微元体积和微元面积来进行积分。
最终得到球壳内外的电场分布情况和大小。
通过以上的分析和计算，我们可以得出球壳的场强球体极坐标的三重积分的数学表达式，并据此对球壳场强进行深入的理论研究和实际应用。
这为我们理解、分析和应用电场理论提供了有力的数学工具和支持。
微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零
微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零段石峰(长沙市周南中学ꎬ湖南长沙４１０２０１)摘㊀要:万有引力普遍存在ꎬ但万有引力公式只适用于质点之间ꎬ牛顿证明了球状物体之间的万有引力.高中物理熟知 均匀球壳对壳内质点的万有引力为零 这个结论ꎬ但教学中通常忽视对它的严格证明ꎬ仅仅用微积分的思想作定性说明ꎬ缺乏严谨的科学论证.微元法是从微积分降解出来的初等方法ꎬ利用微元法从不同的视角证明以上结论ꎬ揭示出结论背后隐藏的普遍性规律和深层次物理原理ꎬ从根本上反映了平方反比规律具有的必然结论ꎬ促进学生科学思维的发展.关键词:高中物理ꎻ初等方法ꎻ微元法ꎻ万有引力定律ꎻ平方反比规律中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－０１１１－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:段石峰(１９９２－)ꎬ男ꎬ湖南省常宁人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀万有引力定律堪称物理学中普适性的经典楷模ꎬ赢得了后世无数科学家的赞赏.万有引力普遍存在于自然界中任何两个物体之间ꎬ因此是 万有 的ꎬ但万有引力公式Ｆ＝ＧＭｍｒ２只适用于两个质点之间ꎬ因为只有两个点之间的距离ｒ才能确定.当实际的物体不能看作质点时ꎬ如何求解它们之间的万有引力ꎬ这在牛顿时代是个不小的难题ꎬ然而ꎬ牛顿自己发明了微积分把它解决了.即便如此ꎬ微积分方法也只能求解质量分布已知的情况ꎬ特别是质量分布具有某种对称性的情况.后来数学家高斯创立了一个定理 高斯定理ꎬ可以非常简捷地处理具有一定对称性分布的问题[１].质量分布均匀的球壳具有球对称性(绕球心任意旋转都是相同的)ꎬ球壳对壳内外质点的万有引力都可以用微积分或高斯定理求解[２]ꎬ而球体是一层层同心球壳的叠加ꎬ因此只要解决球壳的问题ꎬ那么相关的一系列问题都迎刃而解.其中有一个很重要的结论:均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.这个结论还可以借助空间 立体角 的概念进行证明ꎬ但这些方法都属于高等数学.高中物理通常把这个结论不加证明地告诉学生ꎬ尽管不碍于问题的解决ꎬ却难免有 强行灌输 之嫌ꎬ终究给学生留下 知其然而不知其所以然 的疑惑和缺憾ꎬ这不利于学生思维能力的发展.虽然高中阶段对微积分不作要求ꎬ但由它派生出来的微元法属于初等方法ꎬ并且非常巧妙地实现了降解.微元法是高中物理处理问题的重要方法ꎬ基本思路是 先无限分割ꎬ再累积求和 ꎬ即先把物体分割成足够小的质量微元ꎬ求出它们之间的万有引１１１力ꎬ再求力的矢量和就可得到物体之间的万有引力.本文利用微元法从两种不同的视角ꎬ证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.１用微元法处理的基本思路当物体不能看作质点时ꎬ物体之间的万有引力如何计算?基本思路是将物体进行分割ꎬ当分割得足够细时ꎬ每一部分都可以看作质点[３].如图１所示ꎬ首先把Ａ㊁Ｂ两个物体分割成很多小块ꎬ每一小块的体积都很小ꎬ可以看作质量为Δｍ的质点ꎬＡ㊁Ｂ物体上任意两个质点间的万有引力为Ｆｉｊ＝ＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ图１㊀微元法基本思路然后求出Ｂ物体上所有质点对Δｍａｉ的万有引力ꎬ将这些力进行矢量求和ꎬ得到Ｂ对Ａ上任意质点Δｍａｉ的万有引力为ＦｉＢ＝ðｊＦｉｊ＝ðｊＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ最后把Ｂ对Ａ上每一个质点的万有引力进行矢量求和ꎬ得到Ａ㊁Ｂ两物体之间的万有引力为ＦＡＢ＝ðｉＦｉＢ＝ðｉｊＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ即Ａ㊁Ｂ之间的万有引力等于Ａ的每一部分与Ｂ的每一部分的万有引力的矢量和.然而对于体积不规则的物体ꎬ求和过程很难计算ꎻ对于具有对称性的物体ꎬ可以利用对称性简化求和过程.２用微元法证明的两种视角２.１视角一:用圆锥截取如图２所示ꎬ质量为ｍ的质点处在球壳内的任意位置Ｐ点ꎬ过Ｐ点任意作一条直线与球壳的交点为Ａ点和Ｂ点.以Ｐ点为顶点㊁以直线ＡＢ为对称轴任意作一对顶角很小的圆锥ꎬ圆锥在球壳上截取两个面积很小的球面ꎬ可以看作以Ａ点和Ｂ点为圆心的圆平面ꎬ圆的面积分别为Ｓ１和Ｓ２.图２㊀用圆锥截取的球面示意图设球壳单位面积的质量为σꎬ截取的两个质量微元ｍ１和ｍ２可以看作位于Ａ点和Ｂ点的质点ꎬ它们到Ｐ点的距离分别为ｒ１和ｒ２ꎬ对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向相反ꎬ大小分别为Ｆ１＝Ｇｍ１ｍｒ２１＝ＧσＳ１ｍｒ２１ꎬＦ２＝Ｇｍ２ｍｒ２２＝ＧσＳ２ｍｒ２２分别过Ａ点和Ｂ点作垂直于ＡＢ的圆锥底面圆ꎬ半径分别为Ｒ１和Ｒ２ꎬ面积分别为Ｓ１ᶄ和Ｓ２ᶄ.设øＯＡＢ＝øＯＢＡ＝θꎬ则圆面Ｓ１与Ｓ１ᶄ的夹角为θꎬ圆面Ｓ２与Ｓ２ᶄ的夹角也为θꎬ它们的关系为Ｓ１ᶄ＝πＲ２１＝Ｓ１ｃｏｓθꎬＳ２ᶄ＝πＲ２２＝Ｓ２ｃｏｓθ由于垂直于ＡＢ的两个圆锥底面圆相互平行ꎬ所以存在相似三角形关系ꎬ由对应边成比例可得Ｒ１ｒ１＝Ｒ２ｒ２联立以上各式可得Ｆ１＝Ｆ２ꎬ即Ｆ１和Ｆ２的矢量和为零.现将对顶圆锥绕Ｐ点旋转ꎬ所截取的每一对质量微元对Ｐ点处质点的万有引力的矢量和都为零ꎬ并且可以截取到整个球壳ꎬ所以整个球壳对Ｐ点处质点的万有引力为零ꎬ于是证明了均匀球壳对壳内任意位置质点的万有引力为零[４].㊀２１１２.２视角二:用环带分割如图３所示ꎬ质量为ｍ的质点处在球壳内的任意位置Ｐ点ꎬ以Ｐ点为顶点㊁以过Ｐ点的直径为对称轴任意作一对圆锥ꎬ圆锥母线与对称轴的夹角为θꎬ此角增大Δθ(Δθң０)的过程中ꎬ圆锥在球壳上扫出两条环带ꎬ两环带到Ｐ点的距离分别为ｒ１和ｒ２ꎬ宽度分别为ｒ１Δθ和ｒ２Δθꎬ半径分别为Ｒ１和Ｒ２ꎬ则两环带的面积分别为Ｓ１＝２πＲ１ ｒ１ΔθꎬＳ２＝２πＲ２ ｒ２Δθ图３㊀用环带分割示意图设球壳单位面积的质量为σꎬ则两环带的质量分别为ｍ１＝σＳ１ꎬｍ２＝σＳ２将两环带再分割为质量微元Δｍ１和Δｍ２ꎬ对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向具有对称性ꎬ与对称轴的夹角为θꎬ大小分别为ΔＦ１＝ＧΔｍ１ｍｒ２１ꎬΔＦ２＝ＧΔｍ２ｍｒ２２那么两环带对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向沿对称轴相反ꎬ大小分别为Ｆ１＝Ｇｍ１ｍｒ２１ｃｏｓθꎬＦ２＝Ｇｍ２ｍｒ２２ｃｏｓθ由于两环带所在的圆平面相互平行ꎬ所以存在相似三角形关系ꎬ由对应边成比例可得Ｒ１ｒ１＝Ｒ２ｒ２联立以上各式可得Ｆ１＝Ｆ２ꎬ即Ｆ１和Ｆ２的矢量和为零.现将角θ从０增大到π２的过程中ꎬ所分割的每一对环带对Ｐ点处质点的万有引力的矢量和都为零ꎬ并且可以覆盖到整个球壳ꎬ所以整个球壳对Ｐ点处质点的万有引力为零ꎬ于是证明了均匀球壳对壳内任意位置质点的万有引力为零[５].３结束语从证明的过程来看ꎬ之所以分割的每一对质量微元对球壳内任意质点的万有引力为零ꎬ是因为万有引力具有一个很明显的特点ꎬ那就是它与距离的平方成反比.换句话说ꎬ 均匀球壳对壳内质点的万有引力为零 这个结论并非偶然ꎬ而是平方反比规律的必然结果.既然如此ꎬ由于库仑定律同样遵循平方反比规律ꎬ那么本文的证明方法和结论也同样适用于库仑力ꎬ即 电荷分布均匀的球壳对壳内任意位置点电荷的库仑力为零 .只不过带电体产生的静电场容易与物质发生相互作用ꎬ引起明显的静电感应现象或电介质极化现象ꎬ导致电荷的分布难以保证具有球对称性.参考文献:[１]赵凯华ꎬ罗蔚茵.新概念物理教程 力学[Ｍ].第２版.北京:高等教育出版社ꎬ２００４:３３８.[２]叶玉琴.为什么质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零:２０１２年高考全国新课标卷第２１题[Ｊ].中学物理ꎬ２０１３ꎬ３１(０４):７３－７４.[３]秦建云.高中物理原理与方法 力学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１２:１９４.[４]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程 力学篇[Ｍ].第２版.合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０１３:３０２－３０３.[５]周建丽ꎬ陈钢. 均匀球壳对壳内物体引力为０证明问题的探讨[Ｊ].物理教师ꎬ２０１３ꎬ３４(０９):６０－６１.[责任编辑:李㊀璟]３１１。
万有引力定律-开普勒三大定律-同步卫星
万有引力定律◆知识精要1、万有引力定律（1）内容：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
（2）公式：F=G ，其中G=6.67×10-11N·m2/kg2（3）万有引力定律适用于一切物体，而该公式在中学阶段只能直接用于质点间的万有引力的计算（匀质球体或匀质球壳亦可）。
（4）万有引力是一种场力在空间只要存在有质量的物体，它就会在周围空间建立起引力场。
任何一个有质量的物体进入这个引力场，就会受到万有引力的作用，这是由于进入引力场的物体也在周围空间形成自己的引力场，并通过引力场与其它物体相互作用。
2、地球上物体重力变化的原因（1）自转的影响当物体位于纬度F处时，万有引力为F=G ，向心力为F n=mω2RcosF，则重力mg= 当物体位于赤道时，F=0°，mg=F－F n=G －mω2R；当物体位于两极时，F=90°，mg=F=G 。
可见，物体的重力产生于地球对物体的引力，但在一般情况下，重力不等于万有引力，方向不指向地心，由于地球自转的影响，从赤道到两极，物体的重力随纬度的增大而增大。
（2）地面到地心的距离R和地球密度r的影响由于地球是椭球体，质量分布也不均匀，根据F=G = ρGRmr可知，随着R和r 的变化，重力也会发生变化。
说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力变化为千分之五；地面到地心的距离R每增加一千米，重力减少不到万分之三。
所以，在近似计算中，mg≈F。
3、万有引力定律的应用（1）重力加速度g=M（2）行星绕恒星、卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知：G =ma n又a n= =w2r=（）2r，则：v= ，w= ，T=2p（3）中心天体的质量M和密度r由G =m（）2r可得M= ，r=当r=R，即近地卫星绕中心天体运行时，r= 。
4、人造地球卫星（1）发射速度、宇宙速度和环绕速度发射速度（v0）是从地面将人造卫星沿切线方向送入轨道的初速度；宇宙速度（v n）是最小发射速度，如第一宇宙速度v1=7.9km/s是发射人造卫星的最小发射速度；环绕速度（v）是人造卫星在轨道上运行的线速度。
球体万有引力的计算
球体间万有引力计算的探究南京市第12中学 杨伟高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
”这种表达是很不严密的。
因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。
对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：““两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。
如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。
”（其中加下划线的三个“间”是本人加上去的）牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。
我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。
于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。
”方法一：微积分方法。
这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。
命题1。
质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。
设环质量为m 1 ,质点质量为m 2 ,环半径为r , 环中心到质点的距离为x ,把环分成许多小段, 任取一小段可视为质点,其质量为d m ,它对质 点的引力为d F ,再把其分解为沿轴和垂直于轴 的两个分量d F1和d F2 ,由于质量分布均匀,由对称性可知环上所有d m 对质点引力的d F2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为: F=11m dF ⎰,而d F1=d F cos ө=()21212132222222cos Gm dm Gm dm Gm xdm r x r xrxθ=•=+++ .所以()12131222F m Gm m xF d rx==+⎰ .命题2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.设圆面质量为M 1 ,质点质量为m 2 ,圆面半径为R, 圆心到质点的距离为x , 在圆面内任取一半径为r 宽为d r 的同心圆环,则由命题1得此圆环对质点m 2的 引力为()()1221233222222222r r F M G rd m xGM m xrd R d r x R r x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭==++()()()()()1232002222212320222122122212122222121RR R RGM m x r F dF dr Rx r GM m x d x r Rx r GM m x x r R GM m x R x R -==+=++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎰⎰⎰正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力.设球的质量为M,质点的质量为m, 球心到质点的距离 为L,球半径为r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取一半径为R 厚度为dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点m 的距离为x. 则由命题2可得该圆片对质点的引力为:为了计算()()()()()()231222213222222132221322213222243131231223122322L r L r L r L r M G R dx m r x dF R x R GMm x dx r x R R r L x GMm x dF dx rr L Lx GMm x F dx r r L Lx GMm x dx d r r L Lx ππ+-+-⎛⎫⎪ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎢⎥+⎣⎦=--⎡⎤⎢⎥∴=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦=+-+⎰⎰2L r L r L rL rx dx r+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎰⎰()12222L rL rxdxrL Lx +--+⎰所以32222(2).3r Mm r r G L L⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦33GMm F=2r这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。
微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零
微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零
段石峰
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()4
【摘要】万有引力普遍存在,但万有引力公式只适用于质点之间,牛顿证明了球状物体之间的万有引力.高中物理熟知“均匀球壳对壳内质点的万有引力为零”这个结论,但教学中通常忽视对它的严格证明,仅仅用微积分的思想作定性说明,缺乏严谨的科学论证.微元法是从微积分降解出来的初等方法,利用微元法从不同的视角证明以上结论,揭示出结论背后隐藏的普遍性规律和深层次物理原理,从根本上反映了平方反比规律具有的必然结论,促进学生科学思维的发展.
【总页数】3页(P111-113)
【作者】段石峰
【作者单位】长沙市周南中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.为何质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零
2.均匀球壳对质点的引力计算
3.蜗壳轴流泵蜗壳内二元流动边界元法研究
4.“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”结论的证明及应用
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用微积分推导Newton的万有引力定律
⋅
1
r2 p
T2 b2 r2
a3 1 = −4π2 ⋅ T 2 ⋅ r 2 。
（3）
Kepler 第三定律：椭圆的半长轴 a 的三次方和运行周期
a3 T 的平方成正比，即 T 2 = 常数，记太阳的质量为 M ，有
F
=
ma
= m(r−rω2)r0
4π2 = −(
M
a3 ⋅ )⋅ T2
Mm r2
r0
r =(r cos θ, r sin θ) 。
先从 Newton 第二运动定律 F = ma 入手
将 r 分解成水平分量 r cos θ 和垂直分量 r sin θ ，利用运动
的独立性原理，用 Newton 第二运动定律
F
=
ma
=
d2 r dt2
，
分别求它们的二阶导数后再合成。
记行星沿极径方向的速度:
a
=
d2 r dt2
= ( r−rω2) r 0
+
(
2rω + ω
r ω
)
r 0
（1）
为了得到行星运动规律，必须求出 r− rω2
与
2rω + rω ω，
而求这两个量只能借助其它的关系式
试着将 Kepler 的行星运动第二定律用数学形式表达出来：
Kepler 第二定律：单位时间中，极径扫过的那块椭圆的 面积是常数。
圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
以太阳为极点，椭圆的长轴 为极轴建立极坐标，则行星的轨
r sin θ
r
θ
r cos θ
道方程为
r
=
1
−
p e cos
θ
，