基于傅立叶级数和模糊马尔可夫链的小样本时间序列建模方法_訾书宇

统计与决策２０1 5 年第 6 期·总第 426 期
理论新探
再通过累减还原得：
x̂ (n + 1) = x̂ (n + 1) - x̂ (n)
(0) (1) (1)
（4）
2
基于傅立叶级数和模糊马尔可夫链的小样本 GM(1,1)
时间序列模型 2.1 一次残差序列的傅立叶级数模型 首先， 通过式 （4） 获取小样本时间序列数据的变化趋 势 x̂ = ( x̂ (2) x̂ (3) x̂ (n)) ， 且其一次残差序列
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基于傅立叶级数和模糊马尔可夫链的 小样本时间序列建模方法
訾书宇， 林名驰， 谢 力
（海军工程大学 装备经济管理系， 武汉 430033） 摘 要： 为克服传统时间序列预测方法在处理小样本数据方面的不足， 文章引入傅立叶级数和模糊马尔可 夫链方法， 并结合灰色 GM(1,1)模型对小样本时间序列数据进行动态建模。实例结果表明， 预测方法与传统的 时间序列预测方法相比， 具有较高的预测精度， 说明该方法对于小样本时间序列的预测是有效的。 关键词： 非线性非平稳时间序列； 小样本； 灰色预测； 傅立叶级数； 模糊马尔可夫链 中图分类号： N941;O211 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2015） 06-0024-03
(m) ͂ kj M
͂ k(m) M
(m) 其中：p kj 为状态 E͂ k 经 m 步转移到状态 E͂ j 的转移概
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将 {ε (t)} ， t = 2 3 n 按上述隶属函数分成 s 个 状态： E͂ 1 E͂ 2 E͂ s ， 从而得到如下的模糊状态矩阵 E͂ ：
é f1(ε′(0) (2)) ê ′(0) ͂ E = ê f1(ε (3)) ê ê ′(0) f ( ε (n)) ë1
(0) (0) (0) (0)
é- x(1) (2) 1ù ê (1) ú (0) (0) (0) ú； B = ê- x (3) Y N = ( x (2) x (3) x (n))T 。 ê 1ú ê (1) ú ë- x (n) 1û 步骤 4 模型求解。将 a 和 b 的数值代入方程 （2） ， 初
态设为 x (1) ， 则有：
（8）
= (ε (2) ε (3) ε (n))T ， 其中 ε (k ) = x (k ) - x̂ (k ) 。
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
其 中 ：α1 2 = g 2 (cent 2 - g 2) β ，α3 4 = g3 (cent3 - g3) β ， …，
α 2s - 3 2s - 2 = g s (cent s - g s) β ，β = [0% 100%] ， α 2s - 3 2s - 2 为
其次， 采用傅立叶级数捕捉一次残差序列中隐含的周 期现象， 建模如下[9]：
(0) ε̂ (k ) = 1 a 0 + å (ai cos( i2π k ) + bi sin( i2π k )) k = 2 3 n 2 T T i=1 ka
区间边界点。参数 β 用于调整隶属函数区间可重叠的百 分比， 图 1 为 β = 50% 的隶属函数。当 β = 0% ， 退化为硬 性划分状态， 对应的状态向量为布尔型。
(0) (0) (0) (0)
(0)
(0)
(0)
(0)
pk =
(m)
͂ k(m) M ͂k M å k=1
n-m s (m)
=
͂ k(m) M n-m
（12）
ε′ (k ) = x (k ) - x̂ (k ) - ε̂ (k ) 。根 s ， 并按等概率原则划分 为 概 率 各 为 1 s 的 s 个 区 间 ：(g1 g 2] ，(g 2 g3] ， ， 各区间的中心点分别为 cent1 cent 2 cent s ， 为 (g s g s + 1] ， 避免硬性划分容易丢失时序信息的不足， 本文构造梯形模 糊隶属函数 进行状态划分： ì1 i £ α1 ï α -i ï f1(i) = í 2 α1 < i £ α 2 ， ï α 2 - α1 ï0 i > α 2 î
(1) (0) x̂ (n + 1) = ( x (1) - b )e-an + b a a
(0)
（3）
基金项目： 国家社会科学基金资助项目 （11GJ003072） ； 海军工程大学自然科学基金资助项目 （HGDQNJJ12043） 作者简介： 訾书宇 （1983-） ， 男， 河北南皮人， 博士， 讲师， 研究方向： 复杂系统建模与仿真、 智能预测技术。 林名驰 （1978-） ， 男， 湖北武汉人， 讲师， 研究方向： 装备价格管理。 谢 力 （1980-） ， 男， 湖北天门人， 博士， 讲师， 研究方向： 装备经济管理、 系统工程。 24
(0)
得了较好的效果。最被广泛使用的灰色时间序列预测模 型是 GM(1,1)模型[8]。 假 设 小 样 本 时 间 序 列 数 据 为 其中 x ( j) 表示第 x = ( x (1) x (2) x ( j)x (n)) ，
j 时间的数据， n 表示数据量。GM(1,1)的运算法则是预测
点， 其在小样本时间序列预测中得到了较广泛的应用， 取 0 引言 时间序列预测在工业过程控制、 经济和财政数据处 理、 生物医学工程等领域中有着非常重要的应用。对于平 稳时间序列建模， 特别是线性模型的研究较多， 有许多较 成熟的技术和方法[1]。但线性、 平稳时间序列的概念出自 于对实际问题的理想化， 由于大量随机事件的影响， 实际 生产、 生活中的时间序列表现出明显的非线性和非平稳 性。对于大样本非线性非平稳时间序列建模问题， 国内外 学者针对特定的领域问题进行了大量研究， 取得了很多研 究成果， 比如双线性模型[2]、 门限自回归模型[3]、 自回归异方 差模型[4]、 神经网络模型[5]和支持向量机模型[6]等。但是对 于小样本非线性非平稳时间序列预测问题而言， 则鲜有研 究， 且上述模型也不适用， 因为样本量小， 模型参数将得不 到足够的训练和优化， 进而导致预测稳定性较差。诸多预 测实践证明， 灰色理论在小样本时间序列预测建模中具有 较高的预测精度[7]， 也取得了比较令人满意的效果， 但是其 在非线性非平稳时间序列预测中效果还不是很好。因此， 本文在 GM(1,1)模型的基础上， 通过整合傅立叶级数和模 糊马尔可夫链方法， 来试图解决非线性非平稳小样本时间 序列预测问题， 以提高预测精度。 1 GM(1,1)时间序列模型 灰色系统理论通过对原始时间序列数据进行累加生 成， 来寻求数据的变化规律， 用生成的新数列建立微分方 程模型， 求解方程参数， 从而建立预测模型。由于灰色理 论模型具有理论坚实、 对小样本较为适应和高精度的特
f 2 (ε′ (2)) f 2 (ε′ (3)) (0) f 2 (ε′ (n))
(0)
(0)
(0) f s (ε′ (2))ù ú (0) f s (ε′ (3))ú ú ú ′(0) f s (ε (n))û
（9）
设 {ε′ (t)} 数据系统进行了 m 步状态转移， 序列由
（5） 其中： （周 期） ， 等于 T 表示一次残差序列的长度 为 (n - 1) ； k a 指 傅 立 叶 级 数 的 最 小 展 开 频 率 [10]，
[((n - 1)/2) - 1] 的整数部分。用最小二乘法求解参数 ai 和
公式如下： bi ，
C = ( P T P )- 1 P T ε
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
步骤 2 确定参数 a 和 b 。对 x 建立一阶微分方程模 型
dx (t) (1) + ax (t) = b dt 其中： 参数 a 为发展系数， b 为灰作用量。
(1)
(1)
（1）
步骤 3 估计 a 和 b 的数值。 a 和 b 的数值通过最小 二乘法拟合得到： éaù = (BT B)-1 BT Y N ëbû 其中： （2）
(0) (0) (0) (0) (0)
计算步骤如下： x (n + 1) 的值， 步骤 1 建立一次累加生成列。 x (k ) 是 x (k ) 的一次 累 加 生 成 数 据 ，x (k ) ＝ å x ( j) ， 一次累加生成序列
(1) (0) j=1 k (1) (0)
(0)
x = ( x (1) x (2) x ( j)x (n)) 。
移
到
͂ k(m) 为 序 列 ε (2 + m) ε (3 + m) ε (n) 。 定 义 M
中， 不可避免的存在很多干扰因素， 用傅立叶级数对一次 残差序列进行处理， 可以最大限度地过滤掉高频信号 （干 扰因素） ， 保留低频信号， 因而具有较好的预测性能。 2.2 两次残差序列的模糊马尔可夫链模型 在非平稳的小样本时间序列数据中， 数据分布必然存 在某种随机性， 且随机性主要反映在两次残差序列 ε′
(0) T
（6）
′(0)
图 1 β = 50% 时的模糊隶属度
其中： C = [a 0 a1 b1 a 2 b 2 a ka b ka] ；
é 1 2 cos( 2π ´ 1 2) sin( 2π ´ 1 2) ê ê T T ê ê 2 π ´ 1 2 π ê 1 2 cos( 3) sin( ´ 1 3) P= ê T T ê ê ê ê ê ê 1 2 cos( 2π ´ 1 n) sin( 2π ´ 1 n) T T ë 2π ´ k 0 2π ´ k 0 ù 2) sin( 2)ú ú T T ú 2π ´ k 0 2π ´ k 0 ú ú cos( 3) sin( 3)ú T T ú ú ú 2π ´ k 0 2π ´ k 0 ú ú cos( n) sin( n)ú T T û （7） cos(