北京市一零一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试卷
2021北京101中学高二(上)期中数学(教师版)
2021北京101中学高二（上）期中数 学考生须知：1.本试卷满分100分。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题须用2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）已知直线l 过点(0,3)A ，且与直线10x y ++=平行，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=2．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．（5分）已知点(1,1)A -，(1,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．222x y +=B ．22x y +=C ．221x y +=D ．224x y +=4．（5分）设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB BC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AB AD ⋅=，M 为BC 中点，则AMD ∆是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定5．（5分）已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )A ．2B ．C ．D ．66．（5分）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有(OP xOA yOB zOC x =++，y ，)z R ∈，则“2x =，2y =-，1z =”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件7．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，设1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-．使A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．AC BD '⊥B ．90BAC ∠'=︒C ．CA '与平面A BD '所成的角为60︒ D ．四面体A BCD '-的体积为138．（5分）在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线40x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( ) A ．4πB ．2πC ．πD ．12π9．（5分）如图，在三棱锥P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为( )A B C ．25D 10．（5分）在平面斜坐标系xoy 中45xoy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为：“若0102OP x e y e =+（其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为0(x ，0)y ”．若1(1,0)F -，2(1,0)F ，且动点(,)M x y 满足12||||MF MF =，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．0x -=B ．0x +=C 0y -=D 0y +=二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）过点(2,1)P 且倾斜角比直线101y x =-的倾斜角小4π的直线的方程是 ． 12．（5分）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-．对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD ．其中正确的是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,3)A -，(9,4)B -，现沿x 轴将坐标平面折成90︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为 ．14．（5分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，2AC =，13BB =，D 是11A C 的中点，点F 在线段1AA 上，当AF = 时，CF ⊥平面1B DF ．15．（5分）已知点P 为圆22:4O x y +=上任意一点，过点P 作两直线分别交圆OA ，B 两点，且60APB ∠=︒，则22||||PA PB +的取值范围是 ．三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
精品解析：北京市一零一中学2019-2020学年度高二第一学期期中考试数学试题(原卷版)
北京一零一中2019-2020学年度第一学期期中考试一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（1）某学校为了了解2019年高考数学学科的考试成绩在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本；（2）从10名家长中抽取3名参加座谈会.①简单随机抽样法；②系统抽样法；③分层抽样法.问题与方法配对正确的是（）A.（1）③、（2）①B.（1）①、（2）②C.（1）②、（2）③D.（1）③、（2）②2.若两直线1l ，2l 的斜率分别是1k ，2k ，倾角分别是1α，2α，且满足120k k >>，则（）A.1290αα︒>>B.2190αα︒>>C.2190αα>︒> D.1290αα>︒>3.以点()3,2-为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程是（）A.()()22329x y ++-=B.()()22324x y +++=C.()()22324x y ++-= D.()()22329x y -++=4.下列命题正确的是（）A.互斥事件不能同时发生，但对立事件可以同时发生B.若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题C.“求证平行四边形的对角线互相平分”是一个命题D.已知命题p ：x R ∃∈，210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x +-≥5.“直线30kx y -+=与圆221x y +=相切”是“k =”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.点P 是圆221x y +=上的动点，它的定点()3,0所连线段的中点的轨迹方程是（）A.223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ B.22312x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭C.()2234x y ++= D.()2231x y -+=7.过点()3,1P -且斜率为52-的光线经过直线2y =-反射后与x 轴交点的坐标为（）A.()2,0- B.()1,0-C.()1,0 D.()0,28.圆1C ：()2214x y -+=与圆2C ：()()22139x y ++-=相交弦所在直线为l ，则l 被圆O ：224x y +=截得的弦长为（）A. B.4 C.13 D.83913第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若直线310ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于__________．10.某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示.1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s _______2s .（填“>”“<”或“＝”）11.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．12.将2红2白共4个球随机排成一列，则同色球均相邻的概率为__________．13.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∆的面积为__________．14.已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过点A ，B 分别做l 的垂线与x轴交于C ，D 两点，若AB =，则||CD =__________．三、解答题：共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.15.求经过点()2,4P ，且与点()2,3A -，()4,5B -距离相等的直线的方程.16.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4第一小组的频数是5.（1）求第四小组的频率和该组参加这次测试的学生人数；（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位效落在第几小组内？（3）从第一小组中选出2人，第三小组中选出3人组成队伍代表学校参加区里的小学生体质测试，在测试的某一环节，需要从这5人中任选两人参加测试，求这两人来自同一小组的概率.17.已知命题p ：221122x y m m +=-+表示椭圆，命题q ：x R ∃∈，2220x mx m ++-=若“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.18.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，(),0A a ，()0,B b ，()0,0O ，ABO ∆的面.（1）求椭圆C 的方程；（2）设p 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM 为定值.19.如图，圆C 与x 轴相切于点()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且||2AB =.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 作任一条直线与圆O ：221x y +=相交于M ，N 两点.①求证：||||MA MB 为定值，并求出这个定值；②求BMN ∆的面积的最大值.。
2020-2021学年北京市101中学高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（5分）在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（5分）点（0，1）到直线y＝kx﹣1距离的最大值为（）A．1B．C．D．24．（5分）直线l1：（a+2）x+（1﹣a）y﹣1＝0与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y+2＝0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣1或1D．以上都不对5．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或06．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（5分）设复数z满足，则|z|的最大值为（）A．B．2C．D．49．（5分）通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角．已知l1：2x﹣3y﹣3＝0，l2：2x+y+1＝0，则l1，l2夹角的余弦值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，点C（cosθ，sinθ），且＝，＝，则直线AB与圆x2+y2＝1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能二、填空题（共5小题）.11．（5分）复数z＝，则|z|＝．12．（5分）已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D的坐标为．13．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4与直线l：y＝k（x+1），则圆心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k＝．14．（5分）直线l：y＝kx+与圆O：x2+y2＝1相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k＝．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H﹣AC﹣P的余弦值的取值范围是．三、解答题共5小题，共45分。
北京市怀柔一中2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试题及答案
怀柔一中2020—2021学年度第一学期期中检测试题高二数学试卷一、选择题（满分50分）1、直线1=y 的倾斜角是（ ）A ．00B ．450C ．900D ．18002、已知直线123,,l l l 的斜率分别是123,,k k k ，如图所示，则（ ）A ．123k k k <<B ．321k k k <<C ．132k k k <<D ．312k k k <<3、椭圆22124x y +=的长轴的长等于（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．44、两条平行线1:10l x y +-=与2:10l x y ++=之间的距离为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．35、已知直线310ax y +-=与320x y --=互相垂直，则a =（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．16、两圆02662:221=--++y x y x C 和圆0424:222=-+-+y x y x C 的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．外切D ．内含7、直线L 1： 310ax y ++=, L 2： 2(1)10x a y +++=, 若L 1∥L 2, 则a =（ ）A ．-3B ．2C ．-3或2D ．3或-2 8、设点M(,)x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3 9、已知点)0)(,(≠ab b a M 是圆222r y x =+内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2r by ax =+，则（ ）A.l 平行于m 且l 与圆相交B.m l ⊥且l 与圆相切C.l 平行于m 且l 与圆相离D.m l ⊥且l 与圆相离10、与圆02422=+-+x y x 相切且在x 轴、y 轴上截距相等的直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题（满分30分）11、已知直线l 经过两点(1,0)A -，(0,3)B ，则直线l 的斜率为 . 12、已知两个不同的平面,αβ的法向量分别是1(1,2,2)n =和2(3,6,6)n =，则平面,αβ的位置关系是13、圆心为(0,1)，且与x 轴相切的圆的方程是 .14、已知椭圆的两个焦点的坐标分别是12(4,0),(4,0)F F -，并且该椭圆上一点M 到点12,F F 的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 .15、已知方程22224610x y mx my m +-++-=表示圆，则实数m 的取值范围是 .16、已知点(2,0)M -，N(2,0)，直线:340l x y m +-=上存在点P ，满足PM PN ⊥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（满分70分）17、（本题满分17分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求1D E 的长；（Ⅱ）求异面直线AE 与1BC 所成的角的余弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1AD E 所成的角的正弦值．18、（本题满分17分）已知圆C:224x y +=，（Ⅰ）写出该圆的圆心坐标和半径；（Ⅱ）倾斜角为060的直线m 与圆C 相切，求切线m 的方程；（Ⅲ）过点P (1,1)-作直线l ，被圆C 截下的弦长为22l 的方程.19、（本题满分18分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =， AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==（Ⅰ）证明：AB PD ⊥（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面PCD 的距离.20、（本题满分18分）已知椭圆C:221 42x y+=，（Ⅰ）求椭圆的离心率.（Ⅱ）已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标.（Ⅲ）已知点(0,M，P是椭圆C上的动点，求PM的最大值及相应点P的坐标.怀柔一中高二年级2020—2021学年度第一学期数学期中检测参考答案一.选择题：ACDA ，DBAB ，CC二.填空题：11.3,12.//αβ,13.22(1)1x y +-=,14.221259x y +=,15.(1,1)-,16.[10,10]- 三.解答题：17（Ⅰ）以1,,AD AB AA 的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，1(2,0,2),(0,2,1)D E 3分13D E == 5分（Ⅰ）1(0,0,0),(0,2,1),(0,2,0),(2,2,2)A E B C 71(0,2,1),(2,0,2)AE BC == 8分设异面直线AE 与1BC 所成的角为θ， 所以111cos cos ,AE BC AE BC AE BCθ•=<>==10== 10分（Ⅲ）1(0,0,0),(2,0,2),(0,2,1),(0,2,0)A D E B ，1(2,0,2),(0,2,1)AD AE == 11分设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，由100n AD n AE ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩， 13分令1x =，得1(1,,1)2n =-，(0,2,0)AB = 15分设直线AB 与平面1AD E 所成的角为θ，1sin cos ,3AB nAB n AB n θ•=<>==17分 18（Ⅰ）圆心(0,0)O ， 半径为2 2分（Ⅱ）设m方程：y b =+， 4分0y b -+= 5分因为m 与圆C2=， 7分 4b = ， 2b =± 8分切线m 方程：40y -+=，40y --= 9分（Ⅲ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：1x = 10分l ：1x =被圆C:224x y +=截得弦长为 不合题意. 11分所以直线l 的斜率存在，可设直线l :1(1)y k x +=-， 12分圆心到直线的距离d =， 13分又d == 14分，15分 2210k k -+= 1k = 16分直线l 方程：20x y --= 17分19（Ⅰ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD = AB ⊂平面ABCD ，AB AD ⊥所以AB ⊥平面PAD ，2分 AD ⊂平面PAD所以AB PD ⊥ 4分（Ⅱ）取AD 的中点O ，因为PA PD =，所以AD OP ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊥平面ADC 5分，AD OC ⊥ 6分以,,OC OA OP 的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，(0,1,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,1,0)A P C D -，(2,0,1),(21,0)PC CD =-=-- 8分设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =，由00n PC n CD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得2020x z x y -=⎧⎨--=⎩， 10分令1x =，得(1,2,2)n =-，11分因为平面ACD 的法向量(0,0,1)m = 12分 2cos ,3n m n m n m •<>== 13分 AC CD ==因为二面角P CD A --为锐角，所以二面角P CD A --的余弦值为2314分 （Ⅲ）设点B 到平面PCD 的距离为d ，因为直线(1,1,0)BC =-， 15分 平面PCD 的法向量为(1,2,2)n =- 所以313n BC d n •=== 18分 20（Ⅰ）因为224,2a b ==，所以2,a b ==2分 c =3分所以椭圆的离心率ce a == 5分 （公式1分，结论1分）（Ⅱ）(2,0)A - 6分直线m 的方程为：2y x =+ 7 分联立方程组222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：23840x x ++=， (2)(32)0x x ++= 9分2222,3x x =-=-， 11分所以点B 的坐标为24(,)33- 12分 （Ⅲ）设00(,)P x y ，因为P 是椭圆C 上的动点，所以22142x y += 13分220042x y =-，因为(0,M所以PM==14分==15分因为0y≤≤ 16分所以当0y =PM取最大值P 的坐标是(0, 18分。
2022-2023学年北京市海淀区北京第一零一中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
北京一零一中2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高二数学备课组审稿：贺丽珍一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线0x y +=的倾斜角为（）A.45︒B.60︒C.90︒D.135︒2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A.22(2)5x y ++=B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+= D.22(2)5x y ++=3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B相等的是（）A.a b c +-B.a b c ++C.a b c -+D.a b c-- 4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）A.1B.1- C.2D.2-5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C .x y -= D.0x y +=6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）A.BD 1∥GHB.BD ∥EFC.平面EFGH ∥平面ABCDD.平面EFGH ∥平面A 1BCD 17.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.49.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（）A.(,2-∞- B.)2∞⎡++⎣C.22⎡-+⎣D.[(),22∞∞--⋃++10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（）A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.12.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A D MN -的体积为__________.14.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；③存在只经过一个整点的直线l ；④存在只经过两个不同整点的直线l .三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上.条件①：2BC =；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为5，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为()2121,A B x x y y ρ=-+-.（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；（2）已知点()1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.北京一零一中2022-2023学年度第一学期期中考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线0x y +=的倾斜角为（）A.45︒B.60︒C.90︒D.135︒【答案】D【分析】根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，及可求解．【详解】由0x y +=，得y x =-，故斜率为1k =-，因tan θk =，所以倾斜角135θ=︒．故选：D ．2.圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为（）A.22(2)5x y ++=B.22(2)5x y +-=C.22(2)5x y -+=D.22(2)5x y ++=【答案】C【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5x y ++=的圆心为(2,0)-，因为点(2,0)-关于原点()0,0O 对称点为(2,0)，所以圆22(2)5x y ++=关于原点()0,0O 对称的圆的方程为22(2)5x y -+=，故选：C.3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c === ，则与向量1D B相等的是（）A.a b c+-B.a b c ++C.a b c -+D.a b c-- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,DA a DC b DD c ===，可得1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+- .故选：A.4.已知直线:20l x ay ++=，点()1,1A --和点()2,2B ，若//l AB ，则实数a 的值为（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【分析】求出直线AB 的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数a 的值.【详解】21121AB k +==+，由于//l AB ，则直线l 的斜率为1即11a-=，1a =-故选：B5.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.6.如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E ，F ，G ，H 分别是棱A 1B 1，BB 1，CC 1，C 1D 1的中点，则必有（）A.BD 1∥GHB.BD ∥EFC.平面EFGH ∥平面ABCDD.平面EFGH ∥平面A 1BCD 1【答案】D【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．【详解】易知GH ∥D 1C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD 1，GH 不可能互相平行，故选项A 错误；易知EF ∥A 1B ，与选项A 同理，可判断选项B 错误；因为EF ∥A 1B ，而直线A 1B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，所以平面EFGH 与平面ABCD 相交，选项C 错误；对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：由E ，F ，G ，H 分别是棱11A B ，1BB ，1CC ，11C D 的中点，得出1//EF A B ，11//EH A D ，所以//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，又EF EH E = ，所以平面//EFGH 平面11A BCD ．故选：D ．7.若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l ⊂α；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8.已知正方体1111ABCD A B C D -，给出下列四个结论：①直线1BC 与1DA 所成的角为90 ；②直线1BC 与1CA 所成的角为90 ；③直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45 ；④直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45 .其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】由题意，作图，利用线面垂直判定定理，以及线面角定义，结合三角函数的定义，可得答案.【详解】由题意，作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11BB C C ，由1BC ⊂平面11BB C C ，则1CD BC ⊥，在正方形11BB C C 中，11CB BC ⊥，因为1CB CD C ⋂=，且1,CD CB ⊂平面11CDA B ，所以1BC ⊥平面11CDA B ，因为11,DA CA ⊂平面11CDA B ，所以11BC DA ⊥，11BC CA ⊥，故①②正确；同理可得11A C ⊥平面11BB D D ，垂足为E ，所以1EBC ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1BC =1EC =，则1111sin 2EC EBC BC ∠==，即130EBC ∠= ，故③错误；易知1CBC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，由11tan 1CC CBC BC∠==，则145CBC ∠= ，故④正确.故选：C.9.设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（）A.(,2-∞-B.)2∞⎡++⎣C.22⎡-+⎣D.[(),22∞∞--⋃++【答案】D【分析】利用直线与圆相切的性质可得m ，n 的关系式，再借助均值不等式求解能求出m n +的取值范围．【详解】,m n ∈R ,直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心(1,1)，半径1r =，1=，整理得()1mn m n =++，2(2m n mn + ，2()()12m n m n +∴++，2()4()40m n m n ∴+-+-，解得2m n +-或2m n ++，m n ∴+的取值范围是[(),22∞∞--⋃++故选：D10.在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B=f π（A ）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1=f β[f α（P ）]，Q 2=f α[f β（P ）]，恒有PQ 1=PQ 2，则（）A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°【答案】A【详解】设P 1=f α（P ），则根据题意，得点P 1是过点P 作平面α垂线的垂足∵Q 1=f β[f α（P ）]=f β（P 1），∴点Q 1是过点P 1作平面β垂线的垂足同理，若P 2=f β（P ），得点P 2是过点P 作平面β垂线的垂足因此Q 2=f α[f β（P ）]表示点Q 2是过点P 2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P ，恒有PQ 1=PQ 2，∴点Q 1与Q 2重合于同一点由此可得，四边形PP 1Q 1P 2为矩形，且∠P 1Q 1P 2是二面角α﹣l ﹣β的平面角∵∠P 1Q 1P 2是直角，∴平面α与平面β垂直故选A二､填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.直线2y x =与直线21y x =+之间的距离等于__________.【答案】55【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】直线2y x =与直线21y x =+之间的距离015541d -==+.故答案为：5512.若点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,4)C 三点共线，则a 的值等于______.【答案】4【详解】解：因为若三点(2,2),(,0),(0,4)(22)//(2,2)2(2)404A B a C AB AC a a a共线则，λ⇒=⇔---⇔--=⇔=13.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,M N 分别为棱1,BB AB 的中点，则三棱锥11A D MN -的体积为__________.【答案】1【分析】由线面垂直，根据等体积法即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11D A⊥平面11ABB A ,所以11D A ⊥平面1MNA ,111111111341212112222A MN ABB A A AN A B M BMN S S S S S =---=-创创创 ,故111111111321332A D MN D A MN A MN V V S A D --==�创= ,故答案为：114.已知直线:0-+=l kx y k ，若直线l 与圆:C 222430x x y y -+-+=在第一象限内的部分有公共点，则k 的取值范围是__________.【答案】)2⎡⎣【分析】根据题意画出图像，观察图像得到直线l 与圆在第一象限内的部分有公共点时，其临界直线分别为直线,PA PB ，求出对应的斜率可写出k 的取值范围.【详解】如图所示，由直线:0-+=l kx y k 得()1y k x =+直线l 过点()1,0P -，由题意得圆:C ()()22122x y -+-=，圆心为()1,2，半径为r =，令0x =得1y =或3，所以圆C 与y 轴的交点为()()0,1,0,3D A ，所以直线PA 的斜率为()30301PA k -==--，当直线l=，整理得2410k k -+=，解得2k =±其中切线PB的斜率为2PB k =若直线l 与圆C 在第一象限内的部分有公共点，则直线l斜率的取值范围为23k ≤<.故答案为：)2⎡⎣.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为.【答案】55【详解】点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P′C 的长度的最小值，当P′C ⊥DE 时，P′C 的长度最小，此时P′C 221+＝55.16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，则称点(),x y 是整点.已知直线:l y kx b =+，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线l ，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 和b 都是无理数，则直线l 不经过任何整点；③存在只经过一个整点的直线l ；④存在只经过两个不同整点的直线l .【答案】①③【分析】举例可判断①②③，通过两个整数点1(x ，1)y 和2(x ，2)y 在直线上，可得12(x x -，12)y y -在直线上，进而可得更多的整数点在直线上，进而判断④错误【详解】对于①，令13y x =+，则该直线既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，取2k =2b =，直线y kx b =+为22y x =-，经过整点(1,0)，故②错误；对于③，比如直线方程为2y =，直线经过整点()00，，当x 取不为0的整数时，y 都是无理数，故该直线只经过整点()00，，故③正确；对于④，设直线为y kx b =+，若此直线l 过不同的整点1(x ，1)y 和2(x ，2)y ，把两点代入直线l 方程得：11y kx b =+，22y kx b =+，两式相减得：1212()y y k x x -=-，则12(x x -，12)y y -为整点且在直线y kx b =+上，依次可得直线l 经过无穷多个整点，故④错误．∴正确的命题是①③．故答案为：①③．三､解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小；（2）求平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值.【答案】（1）3π；（2）3.【分析】（1）以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用直线BF 与DE 的方向向量求异面直线BF 与DE 所成角即可.（2）求出平面CDE 的一个法向量为u r ，平面ACD 的一个法向量为v ，利用公式cos ,||||u v u v u v ⋅= 即可求出答案.【详解】因为FA ⊥平面,ABCD AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1AB =，则1,2AF BC FE AD ====，（1）所以()()()()1,0,0,0,0,1,0,1,1,0,2,0B F E D ，所以(1,0,1),(0,1,1)BF DE =-=-，所以1cos ,2BF DE BF DE BF DE⋅===⋅ ，因为[],0,BF DE π∈ ，所以,3BF DE π= ，所以异面直线BF 与DE 所成角为3π.（2）因为()()()1,1,0,0,1,1,0,2,0C E D ，所以()()1,0,1,0,1,1CE DE =-=- ，设平面CDE 的一个法向量为(,,)u x y z = ，则00u CE u DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z ==，所以(1,1,1)u = ，取平面ACD 的一个法向量为()001v = ，，，设平面ACD 与平面CDE 夹角为θ，则则cos cos ,3||||u v u v u v θ⋅==== ，所以平面ACD 与平面CDE 夹角的余弦值为3.18.已知直线l 经过两条直线1:3420l x y +-=和2:220l x y ++=的交点.（1）若直线l 与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆22:(1)(1)25C x y -+-=相交所得弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）340x y ++=（2）2x =-或43140x y -+=【分析】（1）联立方程组得到交点为()2,2-，再利用平行的直线系求解即可.（2）首先得到圆心()1,1到直线l 的距离3d ==，再分类讨论结合圆的弦长求解即可.【小问1详解】342022202x y x x y y +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩，即交点为()2,2-.设直线l 的方程为()301x y c c ++=≠-，把点()2,2-代入方程得4c =，所以直线l 的方程为340x y ++=.【小问2详解】圆22:(1)(1)25C x y -+-=，圆心为()1,1，半径为5.设圆心()1,1到直线l 的距离为d ，则3d ==.若直线l 过点()2,2-且斜率不存在，则:2l x =-，到圆心()1,1的距离为3，满足条件；若直线l 过点()2,2-且斜率存在，设():22l y k x -=+，即220kx y k -++=，由题意3d ==，解得43k =.所以()4:223l y x -=+，即43140x y -+=.综上所述，直线l 的方程为2x =-或43140x y -+=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，120,1,,ABC AB PA PD CD PB BD ∠===⊥⊥ ，点N 在棱PC 上.条件①：2BC =；条件②：平面PBD ⊥平面ABCD .从条件①和②中选择一个作为已知，解决下列问题：（1）判断AB 与PB 是否垂直，并证明；（2）若点N 为棱PC 的中点，点M 在直线AN 上，且点M 到平面BDN 的距离为55，求线段BM 的长.（3）求直线AC 与平面BDN 所成角的正弦值的取值范围.注：若选择①和②分别作答，按选择①给分.【答案】（1）AB PB ⊥，证明见解析（2）22或2（3）⎡⎢⎣【分析】（1）选①由勾股定理证得BD CD ⊥，从而证得CD ⊥平面PBD ，进而由//AB CD 证得结果；选②由面面垂直的性质证得PB ⊥平面ABCD ，从而证得结果.（2）建立空间直角坐标系，由点到面的距离公式解得点M 的坐标，进而由两点间距离公式可得BM 的长.（3）由线面角公式得sin α是关于λ的分式型函数，进而用换元法求分式型函数的值域可得结果.【小问1详解】选①：AB PB ⊥.证明：平行四边形ABCD 中，18012060BCD ∠=-= .∵2,1BC DC AB ===，∴BCD △中，BD ==.∴222BD CD BC +=，∴BD CD ⊥.又∵PD CD ⊥，PD BD D ⋂=，PD BD ⊂、平面PBD ，∴CD ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，∴CD PB ⊥.又∵//AB CD ，∴AB PB ⊥.选②：AB PB ⊥.证明：∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD .∴PB ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PB AB ⊥.【小问2详解】由（1）知：BA 、BD 、BP 两两垂直，∴以B 为原点，以,,BA BD BP的方向分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,0,,0,0,2,1,,1,0,0B D P C A -，13,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴()13,,,1,,,12222BD BN AN ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面BDN 的法向量为()111,,n x y z =，则111101022n BD n BN x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令12x =，则110,1y z ==.此时()2,0,1n =.∵M 在直线AN 上，∴设,MN a AN a =∈R ，∴33(,,),22MN a a a a =-∈R ∴M 到平面BDN的距离为5MN n d n ⋅=== ∴12a =，∴31,,442MN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或31,,442MN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴11,,442M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或53,,442M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴22BM =或2.【小问3详解】∵N 在棱PC 上，∴设[],0,1PN PC λλ=∈ ，∴(),22BN BP PN λλ=+=-- ，设平面BDN 的法向量为()222,,m x y z =，则22220(22)0m BD m BN x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ ∴20y =，取()22,0,m λλ=-，由于()AC =- ，设直线AC 与平面BDN 所成角为α，则sin cos ,AC m λα--== ∴()2222216(1)16(1)sin 758475(1)211λλαλλλλ--=⨯=⨯-+-+-+，令[]11,0t λ=-∈-，当0=t 时，2sin 0α=；当[)1,0t ∈-时，222161161sin 121775(1)4t t tα=⨯=⨯++++；∵(]1,1t∞∈--，∴[)21144,t ∞⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭，∴24sin 0,7α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.∴sin 0,7α⎛∈ ⎝⎦综上，27sin 0,7α⎡∈⎢⎣⎦20.对于平面直角坐标系中的两点()()1122,,,A x y B x y ，现定义由点A 到点B 的“折线距离”(),A B ρ为()2121,A B x x y y ρ=-+-.（1）已知()()1,0,2,3A B ，求(),A B ρ；（2）已知点()1,0A ，点B 是直线:20l x -+=上的一个动点，求(),A B ρ的最小值；（3）对平面上给定的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，是否存在点(),C x y ，同时满足①()()(),,,;A C C B A B ρρρ+=②()(),,A C C B ρρ=.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.【答案】（1）4；（2）321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在，答案见解析.【分析】（1）根据题中给定定义直接求解;（2）根据定义列出式子，用不等式求解最值；（3）根据定义分类讨论证明.【小问1详解】(),12034A B ρ=-+-=.【小问2详解】因为点B 为直线:20l x -+=上的动点，故可设点B 的坐标为)2,B t -，则32|32|3232(,)|3|||||||||||||2222A B t t t t t t t ρ⎛⎫=-+=-+≥-+≥--= ⎪ ⎪⎝⎭.当且仅当2t =时等号成立，故(),A B ρ的最小值为2，此时点B 坐标为321,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】注意到点()11,A x y 与点()22,B x y 不同，下面分三种情况讨论.若12x x =，则12y y ≠，由条件②得1122x x y y x x y y -+-=-+-，即12y y y y -=-，所以122y y y +=.由条件①得11222121x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-.所以121212111222x x y y y y y y -+-+-=-，所以10x x -=，所以1x x =.因此，所求的点C 为121,2y y x +⎛⎫ ⎪⎝⎭.若12y y =，则12x x ≠，类似于A.，可得符合条件的点C 为121,2x x y +⎛⎫⎪⎝⎭.当12x x ≠，且12y y ≠时，不妨设12x x <.1122(,)(,)A C C B x x y y x x y y ρρ+=-+-+-+-1212x x x x y y y y=-+-+-+-1212x x x x y y y y≥-+-+-+-()2121,x x y y A B ρ=-+-=当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时取等号，即当且仅当()()120x x x x --≥与()()120y y y y --≥同时成立时条件①成立.（i ）若12y y <，则由上面证明知，要使条件①成立，则有12x x x ≤≤且12y y y ≤≤.从而由条件②得()121212x y x x y y +=+++.因此所求点C 的集合为()()121212121,,.2M x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=+=+++≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且（ii ）若12y y >，类似地由条件①可得12x x x ≤≤且21y y y ≤≤，从而由条件②得()121212x y x x y y -=+--.因此所求点C 的集合为()()121212211,,.2N x y x y x x y y x x x y y y ⎧⎫=-=+--≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭∣且。
2020-2021学年北京一零一中学高二上学期期末考试数学试卷及答案
绝密★启用前2020-2021学年北京一零一中学高二上学期期末考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（） A ．23A B ．23CC ．23D ．32答案：C【分析】直接利用分步原理的应用求出结果． 解：解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种， 故一共有2333⨯=种投法． 故选：C ．点评：本题考查的知识要点：分步原理的应用，主要考查学生的运算能力和思维能力，属于基础题．2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率( ) A ．310B ．13C ．38D ．29答案：B事件A ：“第一次拿到白球”，B ：“第二拿到红球”，则P(A)＝210＝15，P(AB)＝210·39＝115，故P(B|A)＝()()P AB P A ＝13.3．若直线2x ﹣y ﹣4=0在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a ﹣b 的值为（） A ．6 B ．2C ．﹣2D ．﹣6答案：A试题分析：先将直线的方程化成截距式，结合在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，即可求出a ，b 的值，问题得以解决．解：直线2x ﹣y ﹣4=0化为截距式为+=1，∴a=2，b=﹣4， ∴a﹣b=2﹣（﹣4）=6， 故选A ．直线的截距式方程．4．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=（其中O 为原点），则k 的值为（） A 2 B ．1C ．2±D ．±1答案：D【分析】分析出POQ △为等腰直角三角形，可得出原点O 到直线PQ 的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于k 的等式，由此可解得k 的值.解：圆221x y +=的圆心为原点O ，由于90POQ ∠=且1OP OQ ==，所以，POQ △为等腰直角三角形，且圆心O 到直线PQ 的距离为2sin 45d OP ==由点到直线的距离公式可得2221d k ==+，解得1k =±. 故选：D.点评：关键点点睛：本题考查利用圆周角求参数，解题的关键在于求出弦心距，再利用点到直线的距离公式列方程求解参数.5．将标号为1、2、3、4、5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（） A ．150 B ．300 C ．60 D ．90答案：A【分析】将五个小球分为三组，每组小球的数目可以是3、1、1或2、2、1，然后将三组小球分配给三个盒子，利用分步计数原理可求得结果.解：将五个小球分为三组，每组小球的数目可以是3、1、1或2、2、1，分组方法种数为31225253222225C C C C A A +=， 然后将三组小球分配给三个盒子，由分步计数原理可知，不同的放法种数为3325150A =种. 故选：A.点评：方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．6．48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为（） A ．32 B ．34C ．36D ．38答案：D【分析】利用展开式的通项公式，分别求得432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项，再求和即可. 解：432x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()()43124144220,1,2,3,4rrr rr r r T xx r x C C --+⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =， 所以展开式的常数项为()334232C-=-，81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()88218810,1,...8kk k k k k T x x k x C C --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 令820k -=，解得4k =， 所以展开式的常数项为4870C=，所以48321x x x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为-32+70=38故选：D7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（） A ．2B ．8C ．4D ．10答案：C解：由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =故选C ． 圆的方程．8．双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上.O 为坐标原点，则下列说法错误的是（） AB ．双曲线22142-=y x 与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．PF 的最小值为2 答案：D【分析】A.根据双曲线方程，求出a ，b ，c ，利用离心率公式求解判断；B.分别求出两个双曲线的渐近线方程判断；C.根据点P 在渐近线上，又PO PF ⊥，利用直线PO 与直线PF 的方程联立，求得点P 的坐标求解判断；D.由PF 的最小值为点F 到渐近线的距离求解判断.解：A.因为双曲线方程为22142x y C -=：，所以2,a b c ===，则6cea ，故正确；B.双曲线22142x y C -=：与双曲线22142-=yx 的渐近线方程都为2y x =±，故正确；C.设(),P x y ，因为点P 在渐近线上，不妨设渐近线方程为2y x =，即为直线PO 的方程，又因为PO PF ⊥，所以直线PF 的方程为y x =，由2y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即P ⎝⎭，所以12S ==，故正确；D.)F，其中一条渐近线为2y x =，则PF 的最小值为点F 到渐近线的距离，即d =故选：D9．某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（） A ．24种 B ．30种 C ．48种 D ．60种答案：D【分析】以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．解：解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有12224212C C C =种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有21224348A C A =种选法， 所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有124860+=种， 故选：D ．点评：本题考查排列组合与基本原理的应用，属于基础题．10．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（） ABC．12D答案：A 解：如图所示， tan∠NMF=b a ,tan∠NFO=b c， ∵∠MFN=∠NMF+90°,∴∠NFO=180°−MFN=90°−∠NMF， 即1tan ,tan b aNFO NMF c b ∠=∴=∠，,则b 2=a 2−c 2=ac ，∴e 2+e −1=0,得e =.本题选择A 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 二、填空题11．如果椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为3，那么双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为___________. 5 【分析】利用椭圆的离心率可求得22b a 的值，进而可求得双曲线的离心率的值.解：设椭圆()222210x y a b a b +=>>的半焦距为1c ，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为2c ，椭圆的离心率为2222111222312c c a b b e a a a a -====-=，2214b a ∴=， 因此，双曲线的离心率为222222251c a b b e a a a +===+=5. 12．直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是_____________.答案：2试题分析：设抛物线24y x =上的动点P 的坐标为2,4t t ⎛⎫⎪⎝⎭，它到到直线1l 和2l 的距离之和为d ，则2243614451t t t d ⨯-++=+22223636115454t t t t t t -+-+=++=++=293112055t t -+，当23t =时，min 9432112209535d =⨯-⨯+=. 直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.13．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为()01r r <<，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___________.答案：242r r -【分析】记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，计算出()P A 、()P B ，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为()()1P A P B -.解：记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，则()()2P A P B r ==，当且仅当事件A 或事件B 发生时，系统正常工作， 当且仅当事件A 和事件B 都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为()()()22241112P P A P B r r r =-=--=-.故答案为：242r r -.点评：关键点点睛：本题考查事件概率的计算，解本题的关键就是确定事件“系统正常运行”的对立事件为“两条线路都不工作”，进而可利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式来进行求解.14．甲､乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为23，乙命中的概率为45，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则()E ξ=___________.答案：2215【分析】本题可分别求出0ξ=、1ξ=以及2ξ=时的概率，然后通过数学期望的计算公式即可得出结果.解：由题意易知，ξ的可能取值为0、1、2， 若0ξ=，则1113515P =⨯=； 若1ξ=，则1421623535155P；若2ξ=，则2483515P ，故()128220121551515E =⨯+⨯+⨯=ξ， 故答案为：2215.三、双空题15．已知点()2,4A 在抛物线()220y px p =>上，直线l 交抛物线于,B C 两点，且直线AC 与AB 都是圆22:430N x y x +-+=的切线，则,B C 两点纵坐标之和是___________，直线l 的方程为___________. 答案：8-1515220x y ++=【分析】根据点()2,4A 得抛物线方程28y x =，设过点()2,4A 的切线方程4(2)y k x -=-，1=，解得k =，设1122(,),(,)B x y C x y ，再由两点表示斜率得14y -，24y =-，从而得纵坐标之后，再由12121y y x x -=--，结合点11(,)x y 求直线方程即可.解：点()2,4A 在抛物线()220y px p =>上，可得164p =，所以4p =，28y x =，圆N 的标准方程为：22(2)1x y -+=，则圆心为(2,0)，半径1r =，设过点()2,4A 的切线方程（斜率显然存在）为：4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1=，解得k =.不妨令AB AC k k ==1122(,),(,)B x y C x y ，则1121114482428y y y x y --===-+-，得14y -，同理2224824y x y -==-+24y =-， 所以128y y +=-，所以直线l 的斜率为：1212212121248188y y y y y x x y y --===--+- 直线l 的方程为：11()y y x x -=--，即11y x x y =-++，由2111111(8)1224)88815y y y x y x y x x ++=-++=-+=-++=-， 所以2215y x =--，即1515220x y ++= 故答案为：8-；1515220x y ++=点评：关键点点睛：本题解题的关键是根据直线与圆相切求得切线斜率，进而利用坐标表示斜率得14y -和24y =-，从而本题得解.四、解答题16．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值． （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 答案：(1)见解析；（2）11()()48P A P B +=. 试题分析：X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,X 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量X 的分布列并计算数学期望，Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（Ⅰ）解：随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. ()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111323424P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）解：设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，过点()0,1-，离心率2e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0，设直线AM 和BM 的斜率分别为AM k 和BM k ，求AMBM k k +的值.答案：（1）2212x y +=；（2）0AM BM k k +=.【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）分直线l 与x 轴重合与不重合两种情况讨论，在第一种情况下，直接计算AMBMk k +的值，在第二种情况下，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与椭圆C 的标准方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式可求得AM BM k k +的值.解：（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由已知条件可得()22221012ab c e a c ⎧-+=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 因此，椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）若直线l 与x 轴重合，则A 、B 为椭圆C 的长轴的端点，则0AM BM k k ==， 此时，0AM BM k k +=；若直线l 与x 轴不重合，易知点()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()222210m y my ++-=， ()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得12222m y y m +=-+，12212y y m =-+， 111121AM y y k x my ==--，同理可得221BM y k my =-， 所以，()()()()()()()1221121212121212112111111AM BM y my y my my y y y y y k k my my my my my my -+--++=+==------()()22122222011m m m m my my -+++==--. 综上所述，0AM BM k k +=.点评：方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.18．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论） 答案：（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论.解：（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：（3）取得15次的红球概率最大.点评：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.19．设椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左右焦点,B 为短轴端点,长轴长为4,焦距为2c ,且b c>,12BF F ∆(Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+椭圆C 有且仅有一个公共点M ,且与直线4x =相交于点N .试探究:在坐标平面内是否存在定点P ,使得以MN 为直径的圆恒过点P ?若存在求出点P 的坐标,若不存在.请说明理由.答案：（1）22143x y +=（2）存在定点P(1,0)【分析】（Ⅰ）由椭圆长轴长为4，焦距为2c ，且b ＞c ，△BF 1F 2组，求出a ，b ，c ，得椭圆方程．（Ⅱ）将直线l 方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出M ，由4x y kx m=⎧⎨=+⎩，得N （4，4k+m ）．假设存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设P （x 1，0），由0PM PN =，得（4x 1﹣4）km+x 12﹣4x 1+3＝0，由此可求出满足条件的定点. 解：(1)由题意知22224122a c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程是22143x y +=．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M(x 0，y 0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0.() 此时x 0＝－2443km k +＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以M(－43,?)k m m由4x y kx m=⎧⎨=+⎩得N(4,4k ＋m)．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上． 设P(x 1,0)，则0PM PN ⋅=对满足()式的m 、k 恒成立．因为PM ＝(－143,?)k x m m-，PN ＝(4－x 1,4k ＋m)，由0PM PN ⋅=， 得-16k m ＋14kx m －4x 1＋x ＋12k m＋3＝0， 整理，得(4x 1－4) km＋x －4x 1＋3＝0.()由于()式对满足()式的m ，k 恒成立，所以121144430x x x -⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1.故存在定点P(1,0)，使得以MN 为直径的圆恒过点M.点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 20．（1）设i 为虚数单位，求)73i 的实部；（2）计算：()22436100920181010202020212021202120212021202111333332CC C C C -+-+-+.答案：（1）643-；（2）12. 【分析】利用数学归纳法证明出()()cos sin cos sin ni n i n n N θθθθ*+=+∈.（1）可计算得出)7364364ii =-，由此可得出结果；（2）由已知条件可得出22436100920181010202020212021202120212021133333C C C C C -+-+-+为复数()202113i的实部，计算得出()20212021132cos sin 33ii ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由此可求得所求代数式的值.解：先证明出()()cos sin cos sin ni n i n n Nθθθθ*+=+∈.当1n =时，等式成立；当2n =时，()222cos sin cos 2sin cos sin cos 2sin 2i i i θθθθθθθθ+=+-=+，等式成立；假设当n k =时，()()cos sin cos sin ki k i k k N θθθθ*+=+∈.当1n k =+时，()()()()()1cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin k ki i i k i k i θθθθθθθθθθ++=+⋅+=+⋅+()()cos cos sin sin cos sin sin cos k k i k k θθθθθθθθ=-++ ()()cos 1sin 1k i k θθ=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，这说明，当1n k =+时，等式也成立，因此，对任意的n *∈N ，()()cos sin cos sin ni n i n n N θθθθ*+=+∈.（1）1322cos sin 266i i i ππ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==-+-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 所以，)7777772cos sin 2cos sin 6666ii i ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦75512cos sin128646622i i i ππ⎛⎫⎛⎫=+=⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，复数)7i 的实部为-（2）()202113i-的展开式通项为()12021kkk T C +=⋅，当k 为偶数时，1k T +为实数；当k 为奇数时，1k T +为纯虚数.所以，22436100920181010202020212021202120212021133333C C C C C -+-+-+为复数()20211的实部，11322cos sin 233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 所以，()20212021202120212021202112cos sin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦20212cos sin 33i ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，()224361009201810102020202120212021202120212021202120211111333332cos 2232C C C C C π-+-+-+=⨯=.点评：关键点点睛：本题考查与复数、二项式定理的综合应用，求解的关键就是证明出()()cos sin cos sin ni n i n n N θθθθ*+=+∈，进而将复数利用三角形式转化求解.。
北京市101中学2020学年高二数学上学期期中试题 理
北京101中学2020学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）本试卷满分120分，考试时间100分钟一、选择题共8小题，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 三条直线l 1，l 2，l 3的位置如图所示，它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是（ ）A. k 1>k 2>k 3B. k 1> k 3> k 2C. k 3> k 2> k 1D. k 2> k 3> k 12. 如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点。
若AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A. c b a ++-2121 B. c b a ++2121 C. c b a +--2121 D. c b a +-2121 3. 过点（-l ，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（ ） A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O 与正方体各棱均相切，若正方体棱长为2，则球O 的表面积为（ ） A.34πB. 2πC. 4πD. 6π5. 在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p=xa+yb+zc 。
正确命题的个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D.6. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB=OC ，且∠AOB=∠AOC=3，则cos （OA ，BC ）的值为（ ）A.33B. 0C.21D.22 7. 如图，点O 为正方体ABCD-A'B'C'D'的中心，点E 为面B'BCC'的中心，点F 为B'C'的中点，则空间四边形D'OEF 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D.8. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点。
2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷试题数：20，总分：1201.（单选题，5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A. A32B. C32C.32D.232.（单选题，5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）A. 310B. 13C. 38D. 293.（单选题，5分）若直线2x-y-4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a-b的值为（）A.6B.2C.-2D.-64.（单选题，5分）若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=90°（其中O 为原点），则k的值为（）A. √2B.1C. −√2或√2D.-1或15.（单选题，5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A.150B.300C.60D.906.（单选题，5分）(x3−2x )4+(x+1x)8的展开式中的常数项为（）A.32B.34C.36D.387.（单选题，5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A.2 √6B.8C.4 √6D.108.（单选题，5分）双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上．O为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为√62B.双曲线y24−x22=1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为√2D.|PF|的最小值为√29.（单选题，5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A.24种B.30种C.48种D.60种10.（单选题，5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A. √5−12B. √3−12C. √2−12D. √3211.（填空题，5分）如果椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，那么双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为___ ．12.（填空题，5分）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是___ ．13.（填空题，5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作．若每个部件的可靠性均为r（0＜r＜1），而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___ ．14.（填空题，5分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为23，乙命中的概率为45，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则E（ξ）=___ ．15.（填空题，5分）已知点A（2，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，直线l交抛物线于B，C 两点，且直线AC与AB都是圆N：x2+y2-4x+3=0的切线，则B，C两点纵坐标之和是___ ，直线l的方程为___ ．16.（问答题，10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17.（问答题，10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过点（0，-1），离心率e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，点M的坐标为（2，0），设直线AM和BM的斜率分别为k AM和k BM，求k AM+k BM的值．18.（问答题，10分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．19.（问答题，10分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c，且b＞c，△BF1F2的面积为√3．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m椭圆C有且仅有一个公共点M，且与直线x=4相交于点N．试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在求出点P的坐标，若不存在．请说明理由．20.（问答题，5分）（1）设i为虚数单位，则(√3−i)7的实部为___ ．（2）计算：122021(1−3C20212+32C20214−33C20216+⋯−31009C20212018+31010C20212020) =___ ．2020-2021学年北京市101中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1201.（单选题，5分）将2封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（）A. A32B. C32C.32D.23【正确答案】：C【解析】：直接利用分步原理的应用求出结果．【解答】：解：根据分步原理的应用，所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，故一共有3×3=32种投法．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：分步原理的应用，主要考查学生的运算能力和思维能力，属于基础题型．2.（单选题，5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）A. 310B. 13C. 38D. 29【正确答案】：B【解析】：利用条件概率公式，设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，分别求出P（A），P（AB），根据条件概率公式求得即可．【解答】：解：设“第一次拿到白球”为事件A ，“第二次拿到红球”为事件B ∴P （A ）= 210=15 ，P （A•B ）= 15×39=115 则所求概率为P （B|A ）= P (A•B )P (A ) = 11515=13故选：B ．【点评】：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键． 3.（单选题，5分）若直线2x-y-4=0在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，则a-b 的值为（ ） A.6 B.2 C.-2 D.-6【正确答案】：A【解析】：先将直线的方程化成截距式，结合在x 轴和y 轴上的截距分别为a 和b ，即可求出a ，b 的值，问题得以解决．【解答】：解：直线2x-y-4=0化为截距式为 x 2+ y −4=1， ∴a=2，b=-4， ∴a -b=2-（-4）=6， 故选：A ．【点评】：本题考查直线的截距式，直线的一般式方程，考查计算能力，是基础题． 4.（单选题，5分）若直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=90°（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A. √2 B.1C. −√2 或 √2D.-1或1 【正确答案】：D【解析】：由题意，根据直线经过定点（0，1），可得P 、Q 中有一个点的坐标为（0，1），故另一个点的坐标为（1，0）或（-1，0），由此求得直线的斜率k 的值．【解答】：解：直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=90°（其中O为原点），直线经过定点（0，1），故P、Q中有一个点的坐标为（0，1），故另一个点的坐标为（1，0）或（-1，0），故直线的斜率k=1 或k=-1，故选：D．【点评】：本题主要考查直线经过定点问题、直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题．5.（单选题，5分）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A.150B.300C.60D.90【正确答案】：A【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将5个小球分成3组，② 将分好的三组放入三个不同的盒子中，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将5个小球分成3组，若分为1、2、2的三组，有C52C32C11A22=15种分组方法，若分为1、1、3的3组，有C53=10种分组方法，则有15+10=25种分组方法，② 将分好的三组放入三个不同的盒子中，有A33=6种情况，则有25×6=150种放法，故选：A．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）(x3−2x )4+(x+1x)8的展开式中的常数项为（）A.32B.34C.36D.38【正确答案】：D【解析】：利用二项展开式的通项公式分别求出(x3−2x )4和(x+1x)8的展开式中的常数项，从而可得结论．【解答】：解：(x3−2x )4的展开式的通项公式为T r+1= C4r（x3）4-r(−2x)r=（-2）r C4r x12-4r，令12-4r=0，可得r=3，所以(x3−2x )4的展开式的常数项为（-2）3C43 =-32，(x+1x )8的展开式的通项公式为T k+1= C8k x8-k(1x)k= C8k x8-2k，令8-2k=0，可得k=4，所以(x+1x )8的展开式的常数项为C84 =70，所以(x3−2x )4+(x+1x)8的展开式中的常数项为-32+70=38．故选：D．【点评】：本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式及特定项的求法，属于中档题．7.（单选题，5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A.2 √6B.8C.4 √6D.10【正确答案】：C【解析】：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】：解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则{1+9+D+3E+F=016+4+4D+2E+F=01+49+D−7E+F=0，∴D=-2，E=4，F=-20，∴x2+y2-2x+4y-20=0，令x=0，可得y2+4y-20=0，∴y=-2±2 √6，∴|MN|=4 √6．故选：C．【点评】：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8.（单选题，5分）双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上．O为坐标原点，则下列说法错误的是（）A.该双曲线离心率为√62B.双曲线y24−x22=1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为√2D.|PF|的最小值为√2【正确答案】：B【解析】：先根据双曲线的方程，写出a，b，c的值，再判断选项A和B中涉及的双曲线几何性质；不妨取点P在渐近线y= √22x上，利用点到直线的距离公式求出|PF|的长，可判断选项D；结合勾股定理和三角形的面积公式可判断选项C．【解答】：解：由题意知，a=2，b= √2，∴c= √a2+b2 = √6，F（√6，0），∴离心率e= ca = √62，即选项A正确；双曲线C的渐近线方程为y=± √22x，而双曲线y 24−x22=1的渐近线方程为y=± √2 x，即选项B错误；不妨取点P在渐近线y= √22x上，∵PO⊥PF，∴|PF|= |√22×√6|√(√22)+1= √2，∴|PO|= √|OF|2−|PF|2 = √6−2 =2，∴△PFO的面积为S= 12|PO|•|PF|= 12×2×√2 = √2，即选项C正确；当PF垂直渐近线时，|PF|最小，由上可知，|PF|min= √2，即选项D正确．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的方程和几何性质，主要包含渐近线方程和离心率，还涉及点到直线的距离公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.（单选题，5分）某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）A.24种B.30种C.48种D.60种【正确答案】：D【解析】：以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．【解答】：解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有C21C42C22=12种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有A22C41A32=48种选法，所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有12+48=60种，故选：D．【点评】：本题考查排列组合与基本原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A. √5−12B. √3−12C. √2−12D. √32【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解．【解答】：解：如图，tan∠NMF= ba ，tan∠NFO= bc，∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°-MFN=90°-∠NMF，即tan∠NFO= 1tan∠NMF，∴ b c =ab，则b2=a2-c2=ac，∴e2+e-1=0，得e= √5−12．故选：A．【点评】：本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.（填空题，5分）如果椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√32，那么双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √52【解析】：椭圆的离心率e= √1−(ba )2，双曲线的离心率e'= √1+(ba)2，进行运算即可得解．【解答】：解：因为椭圆的离心率e= √a 2−b2a2= √1−(ba)2= √32，所以(ba )2= 14，所以双曲线的离心率e'= √a 2+b2a2= √1+(ba)2= √52．故答案为：√52．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的离心率，掌握这两种圆锥曲线中a、b、c的关系，以及离心率的定义是解题的关键，属于基础题．12.（填空题，5分）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．【解答】：解：设抛物线上的一点P 的坐标为（a 2，2a ），则P 到直线l 2：x=-1的距离d 2=a 2+1；P 到直线l 1：4x-3y+6=0的距离d 1= |4a 2−6a+6|5 ， 则d 1+d 2= 4a 2−6a+65 +a 2+1= 9a 2−6a+115， 当a= 13 时，P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2故答案为2【点评】：此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．13.（填空题，5分）如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作．若每个部件的可靠性均为r （0＜r ＜1），而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为___ ．【正确答案】：[1]2r 2-r 4【解析】：记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，计算出P （A ），P （B ），利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度．【解答】：解：记甲、乙都正常工作为事件A ，记丙、丁都正常工作为事件B ，则P （A ）=P（B ）=r 2，当且仅当事件A 或事件B 发生时，系统正常工作，当且仅当事件A 和事件B 都不发生时，系统不工作，因此，系统的可靠度为P= 1−P(A)•P(B)=1−(1−r 2)(1−r 2) =2r 2-r 4．故答案为：2r 2-r 4．【点评】：本题考查了事件概率的计算，解题的关键时确定事件“系统正常运行”的对立事件时“两条线路都不工作”，属于基础题．14.（填空题，5分）甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为 23 ，乙命中的概率为 45 ，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为ξ，则E （ξ）=___ ．【正确答案】：[1] 2215【解析】：求出ξ的可能取值，然后求出对应的概率即可求解．【解答】：解：ξ的可能取值为0，1，2，则P（ξ=0）= 13×15=115，P（ξ=1）= 23×15+13×45=25，P（ξ=2）= 23×45=815，所以E（ξ）=0× 115+1×25+2×815=2215，故答案为：2215．【点评】：本题考查了离散型随机变量的期望，考查了学生的运算能力，属于中档题．15.（填空题，5分）已知点A（2，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，直线l交抛物线于B，C 两点，且直线AC与AB都是圆N：x2+y2-4x+3=0的切线，则B，C两点纵坐标之和是___ ，直线l的方程为___ ．【正确答案】：[1]-8; [2]15x+15y+22=0【解析】：将A的坐标代入抛物线的方程求得p，可得抛物线的方程，求得圆N的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得切线的斜率，联立切线方程和抛物线的方程求得B，C的纵坐标，可得所求和；由点斜式方程可得所求直线l的方程．【解答】：解：点A（2，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，可得16=4p，即p=4，抛物线的方程为y2=8x，若切线的斜率不存在可得切线方程为x=2，不成立；设切线的方程为y=k（x-2）+4，圆N：x2+y2-4x+3=0的圆心N（2，0），半径为1，√1+k2=1，解得k=± √15，由{y=√15(x−2)+4y2=8x可得√15 y2-8y+32-16 √15 =0，则4+y B=√15，即有y B=-4+√15同理可得y C=-4-√15所以B，C两点纵坐标之和是-8；则直线l的斜率为y B−y Cx B−x C = y B−y Cy B28−y C28= 8y B+y C= 8−8=-1，则直线l的方程为y-y B=-（x-x B），由x B+y B= y B24 +y B= 14（-4+√152+（-4+√15=- 2215，所以直线l的方程为15x+15y+22=0．故答案为：-8，15x+15y+22=0．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和圆、直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.（问答题，10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】：解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1- 12）×（1- 13）（1- 14）= 14，P（X=1）= 12 ×（1- 13）×（1- 14）+（1- 12）× 13×（1- 14）+（1- 12）×（1- 13）× 14= 1124，P（X=2）=（1- 12）× 13× 14+ 12×（1- 13）× 14+ 12× 13×（1- 14）= 14，P（X=3）= 12 × 13× 14= 124；所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E（X）=0×4 +1×24+2×4+3×24=12；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P （Y=0）•P （Z=1）+P （Y=1）•P （Z=0）= 14 × 1124 + 1124 × 14= 1148 ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为 1148 ．【点评】：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17.（问答题，10分）已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) ，过点（0，-1），离心率 e =√22 ． （1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，点M 的坐标为（2，0），设直线AM 和BM 的斜率分别为k AM 和k BM ，求k AM +k BM 的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意知， {b =1e =c a =√22a 2=b 2+c 2，解之即可； （2）分直线l 的斜率为0和不为0两种情况讨论，当k l =0时，易知k AM =k BM =0；当k l ≠0时，设其方程为x=ty+1，并将之与椭圆的方程联立，然后结合韦达定理和直线的斜率公式，即可得解．【解答】：解：（1）由题意知， {b =1e =c a =√22a 2=b 2+c 2 ，解得a= √2 ，b=1，∴椭圆的标准方程为 x 22+y 2 =1． （2） ① 当直线l 的斜率为0时，k AM =k BM =0，∴k AM +k BM =0；② 当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立 {x =ty +1x 22+y 2=1 ，得（t 2+2）y 2+2ty-1=0， ∴ {y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2 ，∴k AM +k BM = y 1x 1−2+ y 2x 2−2 = y 1(ty 2+1−2)+y 2(ty 1+1−2)(x 1−2)(x 2−2) = 2ty 1y 2−(y 1+y 2)(x 1−2)(x 2−2) = 2t•(−1t 2+2)−(−2t t 2+2)(x 1−2)(x 2−2)=0， 综上所述，k AM +k BM =0．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，考查学生的分类讨论思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.（问答题，10分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同．（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）．【正确答案】：【解析】：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A ，由组合数公式求出从4个球中摸出2个以及两个球都是红球的取法数目，由古典概型的计算公式计算可得答案；（2）根据题意，分析可得ξ可能取0，1，2，3，4；求出变量ξ对应的概率，据此求出其分布列即可得答案；（3）根据题意，分析取出红球的数目的期望值，分析可得答案．【解答】：解：（1）设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A ， 则从4个球中摸出2个，有C 42种取法，都是红球的取法有C 32种，则P （A ）= C 32C 42 = 12 ． （2）ξ可能取0，1，2，3，4，P （ξ=0）= C 40 (34)0 (1−34)4 = 1256 ，P （ξ=1）= C 41 (34)1 (1−34)3 = 364 ，P （ξ=2）= C 42 (34)2 (1−34)2 = 27128， P （ξ=3）= C 43 (34)3 (1−34)1 = 2764， P （ξ=4）= C 44 (34)4 (1−34)0 = 81256 ．所以ξ的分布列为球，取出红球的概率为 34 ，若连续摸取20次，摸到红球次数的期望为20× 34 =15，则摸到15次红球的概率最大．【点评】：本题主要考查随机变量的分布列的计算，涉及随机事件的概率计算以及随机变量期望的意义，属于综合题．19.（问答题，10分）设椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2 为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c ，且b ＞c ，△BF 1F 2的面积为 √3 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 椭圆C 有且仅有一个公共点M ，且与直线x=4相交于点N ．试探究：在坐标平面内是否存在定点P ，使得以MN 为直径的圆恒过点P ？若存在求出点P 的坐标，若不存在．请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆长轴长为4，焦距为2c ，且b ＞c ，△BF 1F 2的面积为 √3 ，列出方程组，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由 {y =kx +m x 24+y 23=1 ，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2-12=0．由动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求出M （- 4k m ， 3m ），由 {x =4y =kx +m，得N （4，4k+m ）．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设P （x 1，0），由 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得（4x 1-4） k m +x 12-4x 1+3=0，由此求出存在定点P （1，0），使得以MN 为直径的圆恒过点M ．【解答】：解：（Ⅰ）∵椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2 为左右焦点，B 为短轴端点，长轴长为4，焦距为2c ，且b ＞c ，△BF 1F 2的面积为 √3 ．∴由题意知 {2a =412•2c •b =√3a 2=b 2+c 2，解得： {a =2b =√3c =1故椭圆C 的方程是 x 24 + y 23 =1．…………4分（Ⅱ）由 {y =kx +m x 24+y 23=1 ，得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2-12=0．…………6分 ∵动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M （x 0，y 0），∴m≠0且Δ=0，即64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，化简得4k 2-m 2+3=0．（*）此时x 0=- 4km 4k 2+3 =- 4k m ，y 0=kx 0+m= 3m ，∴M （- 4k m ， 3m ）．由 {x =4y =kx +m，得N （4，4k+m ）．…………8分 假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设P （x 1，0），则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 对满足（*）式的m 、k 恒成立． ∵ PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 4k m -x 1， 3m）， PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4-x 1，4k+m ），由 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，…………10分 得- 16k m + 4kx1m -4x 1+ x 12 + 12k m+3=0， 整理，得（4x 1-4） k m +x 12-4x 1+3=0．（**）…………11分由于（**）式对满足（*）式的m ，k 恒成立，∴ {4x 1−4=0x 12−4x 1+3=0，解得x 1=1． 故存在定点P （1，0），使得以MN 为直径的圆恒过点M ．…………12分【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.（问答题，5分）（1）设i 为虚数单位，则 (√3−i)7的实部为___ ．（2）计算： 122021(1−3C 20212+32C 20214−33C 20216+⋯−31009C 20212018+31010C 20212020) =___ ．【正确答案】： −64√3 ; 12【解析】：（1）利用 (√3−i)7 的展开的通项进行分析，得到当r 为偶数时，T r+1为实数，从而进行求解即可；（2）将所求式子转化为 122021(1−√3i)2021 的实部，然后再进一步转化为 122021[2(cos π3−isin π3)]2021 ，最后利用三角函数求值求解即可．【解答】：解：（1）因为 (√3−i)7 的展开式的通项为 T r+1=C 7r •(√3)7−r •(−i )r ，当r 为偶数时，T r+1为实数，所以 (√3−i)7的实部为T 1+T 3+T 5+T 7= C 70•(√3)7+C 72•(√3)5•(−i )2 + C 74•(√3)3•(−i )4+C 76•(√3)1•(−i )6 = 27√3−189√3+105√3−7√3=−64√3 ；（2） 122021(1−3C 20212+32C 20214−33C 20216+⋯−31009C 20212018+31010C 20212020) = 122021(1−√3i)2021 的实部 = 122021[2(cos π3−isin π3)]2021 的实部 = 122021•22021•cos20213π = cos (673π+2π3) = −cos2π3 = 12 ． 故答案为：（1） −64√3 ；（2） 12 ．【点评】：本题考查了复数的运算和二项式定理的应用，解题的关键是掌握二项式定理的展开式，考查了学生化简计算的能力，属于中档题．。
【优质文档】2020-2021学年北京市101中学高二(上)期末数学试卷(理科)与答案
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且△ AF2B 的面积为
，求
以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程．
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
C．? x0∈（ 0，+∞），lnx0≠x0﹣ 1 D．? x0?（0，+∞），lnx0=x0﹣1
3．（5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是（
）
A．（0，1） B．（0， ） C．（1，0） D．（ ，0）
4．（5 分）有下列三个命题：
① “若 x+y=0，则 x，y 互为相反数 ”的逆命题； ②“若 x＞y，则 x2＞y2”的逆否命题；
1．（5 分）双曲线的两焦点坐标是 F1（3，0），F2（﹣ 3， 0），2b=4，则双曲线的
标准方程是（
）
A． ﹣ =1 B．
=1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
2．（5 分）命题 “? x0∈（ 0， +∞）， lnx0=x0﹣ 1”的否定是（
）
A．? x?（0，+∞），lnx=x﹣1 B． ? x∈（ 0，+∞），lnx≠x﹣ 1
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2017-2018 学年北京市 101 中学高二上学期期末数学试卷 （理科）
北京市101中学2020-2021学年高二数学上学期期末试卷附答案解析
程判断； C. 根据点 P 在渐近线上，又 PO PF ，利用直线 PO 与直线 PF 的方程联立，求得点 P 的坐标求解判 断；D. 由 PF 的最小值为点 F 到渐近线的距离求解判断.
1
9．某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门
学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（ ）
A．24 种
B．30 种
C．48 种
D．60 种
10．已知椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，过点 0, 1 ，离心率 e
2. 2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于 A 、B 两点，点 M 的坐标为 2,0 ，设直线 AM 和 BM 的斜率分别为 kAM
和 kBM ，求 kAM kBM 的值.
18．某不透明纸箱中共有 4 个小球，其中1个白球， 3 个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出 2 个红球的概率；
2
所以直线 PF 的方程为 y 2 x
6
y ，由
2x 2
y
2
x
6
，解得
x
y
26 3
23 3
，即
P
2
6 3
,
2
3 3
，所以
S 1 6 2 3 2 ，故正确；