【精准解析】浙江省温州市新力量联盟2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题析
2019学年第二学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题 共40分）考生须知：1. 本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4. 考试结束后，只需上交答题纸.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合{}|01A x x =<≤，{}|sin cos ,B y y x x x R ==⋅∈，则A B =（ ）A. {}|11x x -<≤B. 102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}|11x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集计算即可. 【详解】{}111|sin cos ,{|sin 2,}[,]222B y y x x x R y y x x R ==⋅∈==∈=-,1(0,]2A B ∴=,故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，二倍角的正弦公式，属于容易题.2. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3S π=，则2sin 2a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.12B.32C. 3D. 12-【答案】A 【解析】【分析】根据等差中项的性质得到2a ，利用诱导公式求三角函数值即可. 【详解】因为312323S a a a a π=++==， 所以23a π=，21sin cos 232a ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列等差中项的性质，诱导公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.3. 在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足cos cos c B b C ⋅=⋅，则三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】根据条件cos cos c B b C ⋅=⋅，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解. 【详解】cos cos c B b C ⋅=⋅，sin cos sin cos C B B C ∴=，()sin 0B C -=∴,0,0B C ππ<<<<，B C ππ∴-<-<，0B C ∴-=，即B C =，所以三角形的形状为等腰三角形， 故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.4. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A. 1324AB AD -+ B.1223AB AD + C. 1132AB AD -D. 1324AB AD -【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+--又=BC AD1324DF AB AD ∴=-.故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．5. 对于函数()sin 3cos f x x x =，给出下列选项其中正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 D. 函数()f x 有最大值，没有最小值【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式化简()f x ，根据正弦型函数的图像与性质即可求解.【详解】由()sin 2sin()3f x x x x π=+=+,当6x π=时，()2sin262f ππ==，所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是对称中心，A 错误；函数()f x 的最小正周期为2T π=,所以B 错误； 当5,66x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,322x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；()[]2sin()2,23f x x π=+∈-，∴函数()f x 有最大值，有最小值，故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，最值，对称中心，属于中档题. 6. 已知ABC 为锐角三角形，则（ ） A. sin sin A B >B. cos cos A B >C. sin cos A B >D.sin cos A B <【答案】C 【解析】 【分析】根据ABC 为锐角三角形，可得,A B 关系，利用正弦函数单调性及诱导公式即可求解.【详解】因为ABC 为锐角三角形， 所以2A B π+>， 即2A B π>-又,0,22A B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，诱导公式，锐角三角形的性质，属于容易题. 7. 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13=，则sin α=（ ） A.15【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用二倍角公式及诱导公式化简：=，结合同角三角函数基本关系式即可求解sin α的值． 【详解】0,2πα⎛⎫∈⎪⎝⎭sin cos 1sin cos 3αααα-===+,解得：sin 2cos αα=， 又22sin cos1αα+=，解得：sin α=故选：D【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握二倍角公式，诱导公式在化简中的应用，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8. 等比数列{}n a 中（ ） A. 若12a a <，则45a a < B. 若12a a <，则34a a < C. 若32S S >，则12a a < D. 若32S S >，则12a a >【答案】B【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】因为在等比数列{}n a 中，20q >，所以当12a a <时，可得2122q a a q <，即34a a <，B 正确；但341a a q =，352a a q =不能判定大小（3q 正负不确定），A 错误；由32S S >即12312a a a a a ++>+可得30a >，即2310a a q =>，可得10a >，因为q 不确定，所以不能确定12,a a 的大小，C ，D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，通项公式，公比的分类讨论，属于中档题. 9. 已知121A A B ，232A A B △全等的等边三角形，且点1A ，2A ，3A 在同一条直线上，点M ，N 分别为线段23B A 的三等分点（如图所示），若121A B A a N =⋅，121b A B AM =⋅，11c A M A N =⋅，则（ ）A. c a b >=B. c a b <=C. c a b <<D. c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】以2A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，表示出各点坐标后，利用平面向量数量积的坐标运算计算可得结果.【详解】以2A 为坐标原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：设121A A B 和232A A B △的边长为3，则()13,0A -，2333,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，53,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(3N ，12933,22A B ⎛∴= ⎝⎭，(13A N =，1113,22A M ⎛= ⎝⎭，93353272a ∴=⨯+=，9113332722b =⨯=，11353292c =⨯+=，c a b ∴>=.故选：A .【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为平面向量数量积的坐标运算的求解，属于常考题型. 10. 若,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin cos cos ααββαβ->-，则下列结论中必定成立．．．．的是（ ） A. αβ> B. αβ>- C. αβ< D. αβ>【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin cos f x x x x =-，可知函数为偶函数，利用导数可知函数0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，根据偶函数知在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，即可判断正确的结论. 【详解】设()sin cos f x x x x =-，则()sin cos ()f x x x x f x -=-=，即函数在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上是偶函数， ()2sin cos 0f x x x x '=+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立，()f x ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据函数为偶函数，知()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减. 由sin sin cos cos ααββαβ->-可得()()f αf β>，,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以由偶函数性质可得(||)(||)f αf β>， 根据函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增可知||||αβ>， 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，考查了构造函数的方法，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 若sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______，()cos 2πα-=______.【答案】 (1). -2 (2). 35【解析】 分析】根据同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角的余弦公式直接计算即可.【详解】sin α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos α∴=tan 2α∴=-,()()23cos 2cos 22cos 15πααα∴-=-=--=故答案为：2-；35【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角的余弦公式，属于中档题.12. 等差数列{}n a ，235a a +=，且4a 是2a 与8a 的等比中项，则n a =______；122334201920201111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅______. 【答案】 (1). n (2). 20192020【解析】 【分析】由等差数列的通项公式及等比中项列出方程组即可求出首项和公差，利用裂项相消法求和即可.【详解】由235a a +=且4a 是2a 与8a 的等比中项，可得()()()1211123537a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩， 解得11a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 故12233420192020111111111122320192020a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-+-++-⋅⋅⋅⋅ 211200=-20192020=， 故答案为：n ；20192020【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，裂项相消法求和，属于中档题.13. 已知向量()3,4a →=，()3,0b →=.若a b b a λ→→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则λ=______；若m R ∈，则m a b →→-的最小值是______.【答案】 (1). 179 (2). 125【解析】 【分析】根据向量垂直可知数量积为0，利用向量的坐标运算即可求λ，由向量的坐标表示模，利用二次函数求最值即可求模的最小值. 【详解】()3,4a →=,()3,0b →=,(6,4)a b →→∴+=,(33,4)b a λλ→→-=--, a b b a λ→→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0a b b a λ→→→→⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1818160λ∴--=,解得17=9λ， (33,4)m a b m m →→-=-，125m a b →→∴-==≥， 即m a b →→-的最小值是125， 故答案为：179；125【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，向量的坐标运算，向量的模的坐标运算，属于中档题.14. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．【答案】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】分析：首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，然后算出函数的周期T π=，利用周期的公式，得到2ω=，最后将点5212（，）π代入，得：522212sinπϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得6，πϕ=- 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 详解：根据函数图象得函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35,4123T T πππ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=， 将点5212（，）π 代入，得：522212sin πϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得3πϕ=-， 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 点睛：本题给出了函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin （ωx+φ）的图象与性质的知识点，属于中档题． 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 3cos c A a C =，则C =__________，若31c =ABC 33a b +=__________． 【答案】 (1). 3π(2). 7 【解析】 【分析】根据正弦定理将边化成角，然后得到tan 3C =，从而得到C 的值，根据余弦定理得到22a b +，根据ABC 的面积得到ab ，从而得到+a b 的值.【详解】因为sin 3cos c A a C =由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得， sin sin 3sin cos C A A C =而sin 0A ≠，所以tan 3C =，()0,C π∈，所以3C π=.因为31c =所以由余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2213122a b ab =+-⨯，即2231a b ab +-=因为ABC 的面积为332，所以133sin 22ab C = 所以6ab =，所以22249a b ab ++=， 所以7a b +=. 故答案为3π；7. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题.16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN →→⋅的最大值是______.【答案】4【解析】 【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点()()2,,,2M m N n ，其中,0m n >，则向量()()2,,,2AM m AN n →→==，求得22AM AN m n →→⋅=+，再由2MN =，整理得22(2)(2)4m n -+-=，利用三角换元法，即可求解.【详解】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点()()2,,,2M m N n ，其中,0m n >，则向量()()2,,,2AM m AN n →→==， 所以22AM AN m n →→⋅=+又由2MN =，则22(2)(2)4m n -+-=，令22cos ,22sin ,[,]2m n πθθθπ-=-=∈--，22842)4AM AN m n πθ→→⋅=+=++，因为[,]2πθπ∈--，2sin 1,42πθ⎡⎛⎫+∈--⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以842842,44πθ⎛⎫⎡⎤++∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以AM AN →→⋅的最大值是4 故答案为：4【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算和三角换元求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S =__________．（用数字作答）【答案】1306 【解析】 由题设可得2211n n a a n ++=+，取1,2,3,,49n =⋅⋅⋅可得23456798992,3,4,,50a a a a a a a a +=+=+=⋅⋅⋅+=，将以上49个等式两边分别相加可得23456798992504912742a a a a a a a a +++++++⋅⋅⋅++=⨯=；又3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=，所以10011274311306S =++=，应填答案1306． 点睛：解答本题的关键是依据题设中的数列递推式，先求出23456798991274a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅++=，再依次求出3163126251250251005012,31,65,16,2519,5031a a a a a a a a a a a a =+==-==-==+==-==-=从而使得问题获解．三、解答题：本大题共5题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 18. 已知向量a →，b →的夹角为60︒，且()1,0a →=. （1）若2b →=，求b →的坐标；（2）若a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R λ∈，求a b λ→→+的最小值.【答案】（1）(b →=或(1,b →=；（2【解析】 【分析】（1）设(),b x y →=，根据向量的夹角公式及向量的模联立方程求解即可；（2）由a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求出1b a →→==，利用数量积的性质及二次函数即可求出模的最值.【详解】（1）设(),b x y →=， ∵2b →=，2=， ∴224x y +=，又∵a →，b →的夹角为60︒，∴1cos ,22a ba b a bx →→→→→→⋅===.∴1x =.解之得：y =∴(b →=或(1,b →=.（2）∵a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R λ∈，∴0a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22a b →→=， ∴1b a →→==，a b λ→→+====∴当12λ=-时，a b λ→→+【点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的模，向量的夹角的坐标运算，涉及二次函数求最值，属于中档题.19. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点()3,4P . （1）求()()2cos sin 2παπα++-的值； （2）若角α、β都是锐角，满足()5cos 13αβ+=，求()sin αβ-的值. 【答案】（1）2-（2）204325. 【解析】 【分析】(1) 直接利用三角函数的定义及诱导公式求出结果；(2)根据角的恒等变换2()αβααβ-=-+，利用两角和差及倍角公式求出结果即可. 【详解】（1）角α终边经过点()3,4， ∴4sin 5α，3cos 5α=，2cos()sin(2)2cos sin παπααα++-=--342255=-⨯-=-.（2）∵24sin 22sin cos 25ααα=⋅=，227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又∵,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴(0,)αβπ+∈，5cos()13αβ+=， ∴12sin()13αβ+=， []sin()sin 2()αβααβ-=-+204sin 2cos()cos 2sin()325ααβααβ=⋅+-⋅+=. 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，角的恒等变换的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为2π.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，再把横坐标变为原来的12（纵坐标保持不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】（1）π；（2）⎡-⎣.【解析】 【分析】(1) 利用三角恒等变换化简f (x )的解析式，结合奇函数性质，求出ϕ，再由对称轴可求出周期；(2)首先求得函数()g x 的解析式，然后结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域.【详解】（1）解2())2sin12x f x x ωϕωϕ+=++-sin()cos()x x ωϕωϕ=+-+2sin 6x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()f x 是奇函数，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，即6k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ， 所以()2sin f x x ω=，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以22T π=，T π=，2ω=， 所以()2sin 2f x x =， ∴22T ππ==. （2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度，得 2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把横坐标变为原来的12（纵坐标保持不变），得2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故可得()2sin 43g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 432x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以()g x的值域为⎡-⎣.【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式. 21. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3b =，sin sin A a B +=（1）求角A 的大小；（2）求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）+⎝. 【解析】 【分析】(1)由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值;(2)根据正弦定理边化角得3sin 233sin Ca c B +++=+，再利用三角恒等变换可得周长为1922tan 2B +，再结合B 的范围，即可求解.【详解】∵sin sin a b A B=，∴sin sin a B b A =，∴sin sin sin sin 4sin A a B A b A A +=+==∴sin A =， ABC 为锐角三角形，∴3A π=.（2）由sin sin sin a b cA B C ==可得2sin a B=，3sin sin Cc B=，23sin 3sin 32333sin sin B Ca c B Bπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭++=+=+，∴周长13sin 21cos 93sin sin 2B B B BB ⎫++⎪+⎝⎭=+=+212cos 19192222sin cos tan 222BB B B +-=+=+⋅. 又∵ABC 锐角三角形， ∴,2124B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan(22B∈，∴1(1,2tan2B ∈，∴ 故周长的范围为+⎝.【点睛】本题主要考查了正弦定理的边角互化，同时也考查了三角恒等变化，结合角的范围求解周长的范围问题，属于中档题.22. 已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----.【答案】（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用等差数的定义结合已知的递推式证明即可；（2）由（1）可知2nn a n =⋅，然后利用错位相减法求n S ；（3）由1(2)2n n n a a n +-=+⋅及1(2)22n n n ++⋅>可得111(2)22n n n +<+⋅，从而再利用放缩法可证得结果.【详解】（1）证明：1111122211222222n n n n n n nn n n n n na a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为1的等差数列， ∴1(1)12n na n n =+-=，∴2nna n =⋅. （2）∵1231222322n nS n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 两式相减得：123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，()1212212n n n n S +-=-⋅--，∴1(1)22n n S n +=-+.（3）证明：∵2nn a n =⋅，∴11(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n n n a a n +-=+⋅，当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>，∴111(2)22n n n +<+⋅，∴21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----234111112222n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅<111421111122212n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】此题考查了证明等差数列，错位相减法求和，利用放缩法证明不等式，综合性较强，考查了运算能力，属于中档题.。
2019-2020学年浙江省温州新力量联盟高一下学期期末联考数学试题
绝密★启用前2019 学年第二学期温州新力量联盟期末联考高一年级 数学学科 试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．不等式 01032<--x x 的解集是（ ▲ ）A ．()5,2-B ．()2,5-C ． ()()+∞⋃-∞-,25,D ．()()+∞-∞-,52, 2.若OA →＝( 1 ,－2)，OB →＝( 1，1)，则AB →等于（ ▲ ）A ．( －1，2)B ．( 2，－1)C ．( 0，－3)D ．( 0，3)3.已知b a <，则下列不等式成立的是（ ▲ ）A ． ba 11> B ．b a ->-22 C ．22b a < D ．bc ac < 4.已知数列{n a }满足12=a ，63=a ，且数列{}n a n +为等比数列，则4a 的值为（ ▲ ）A ．23 B.32 C ．36 D ．405.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3=b ，2=c ，()41cos =+C B ，则 a =（ ▲ ） A.10 B ．15 C ．4 D ．176.等差数列{}n a 中，63=a ，168=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则=+⋅⋅⋅++202021111S S S （ ▲ ） A ．20182017 B ．20192018 C ．20202019 D ．202120207.设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量()B A m sin ,sin =→，()A B n cos 3,cos 3=→，若C n m cos 2-=⋅→→，则C 的值为（ ▲ ） A.6π B. 3π C. 32π D.65π 8.已知3)4tan(-=+A π，则AA A 2cos 2sin 2sin +=（ ▲ ） A ．53B ．53-C ．54D ．54- 9.已知平面向量→a ，→b ，且满足2===⋅→→→→b a b a ，若→e 为平面单位向量，则→→→→⋅+⋅e b e a 的最大值（ ▲ ） A. 3 B.32 C. 4 D.3310.设a 为正实数，数列}{n a 满足a a =1，2-41nn n a a a +=+()*N n ∈,则（ ▲ ） A.任意0>a ，存在2>n ，使得2<n aB.存在0>a ，存在2>n ，使得1+<n n a aC.任意0>a ，存在*N m ∈，使得n m a a <D.存在0>a ，存在*N m ∈，使得m n n a a +=第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知角α的终边经过点（4,-3），则αsin = ▲ ；()πα+cos = ▲ .12.设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为 ▲ ；最小值为 ▲ .13.已知α，β都是锐角，54sin =α，()135cos =+βα，则βsin = ▲ . 14.在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=2,点M 在BC 边上，且31sin =∠BAM ,则 sin ∠BMA= ▲ ；AM= ▲ .15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足nn n n a S ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21)1(()*N n ∈，则=1a ▲ ； =3S ▲ .16.已知正实数x ，y 满足26422=++xy y x ，则y x 2+的最小值是 ▲ . 17.已知→a ，→b 是不共线的两个平面向量，→a 与→b 所成角为60°，4=⋅→→b a ，若对任意的,m n ∈R ，→→+b m a 的最小值为3，则()→→+-b n a n 21的最小值是 ▲ ．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．18．（本小题14分）已知函数1)32cos(sin 2)(2--+=πx x x f ，R x ∈.(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)若⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,12ππx ,求)(x f 的值域.19．（本小题15分）已知→a ，→b ，→c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1=→a .(Ⅰ)若53=→b ，且→a //→b ，求→b 的坐标； (Ⅱ)若2=→c ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→c a c a 2，求→a 与→c 的夹角θ的余弦值.20．（本小题15分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,， 若C c A a B a b sin sin sin )(=+-，且2=c .(Ⅰ)求角C 的度数；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值.21．（本小题15分）已知数列}{n a 满足：11=a 且121+=+n n a a ， (Ⅰ)证明数列{}1+n a 为等比数列；(Ⅱ)记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n T ，证明2<n T22．（本小题15分）已知函数5)(2++=bx x x f . (Ⅰ)若对于任意的)2,1(∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数b 的取值范围；(Ⅱ)记)(x f 在]21[，内的最大值为M ,最小值为m ，若≥n M -m 有解，求n 的取值范围.2019学年第二学期温州新力量联盟期末联考高一年级数学学科 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A DB ACD B C B D 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11. ， ； 12. 2 ， -7 ； 13. ； 14.， 15.， ； 16. ； 17.三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．（本小题14分）已知函数1)32cos(sin 2)(2--+=πx x x f ，R x ∈.(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,12ππx ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝2sin 2x+cos(2x －3π)－1＝12cos 2x+32sin 2x-cos 2x.........................4分。
2020-2021学年浙江省温州新力量联盟高一下学期期中联考数学试题 PDF
（2）设甲船船头与实际行进方向所成角为
速度合成图象正确………………11 分
10 40
………………12 分
sin sin 60o
3 sin ………………14 分（答案错误有正弦定理给 1 分）
8
21、（本题 14 分） 如图所示，在四棱锥 (1)求证： // ；
中， //平面 PAD，
(2)线段 AD 上是否存在点 ,使平面 CEN//平面 PAB，请说 明理由．
利用机械原理设计的ー种计时装置,它由两个形状完全相同的 容器和一个狭窄的连接管道组成. 如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直
径和高均为8 07L细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的|（细
管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住 沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为（ ）
19、（本题14分） 如图矩形O' A' B' C'是水平放置的ー个平面四边形0ABC的直观图,其中〇' A,二3, 0' C'二1, ⑴画出平面四边形OABC的平面图并标出边长,并求平面四边形OABC的面积; ⑵若该四边形。ABC以0A为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积。
田
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高一数学学科试题第4页（共6页）
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17、平面向量落 ae,满足屋ULrか1, b-e=2, \a-b\=2f贝嗫万的最小值为.
高一数学学科试题第3页（共6页）
四、解答题（本大题共6题,共82分） 18、（本题12分）
已知复数z满足z = l + i,复数Z的共泡复数为ヨ
（1）求之+ Z」;
（2）若复数的满足区一z| = l,求同I的最小值和最大值.
浙江省温州市新力量联盟2019-2020高一下学期期中联考数学试题(wd无答案)
浙江省温州市新力量联盟2019-2020高一下学期期中联考数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若是等差数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 在中，，，分别是角，，所对的边，满足，则三角形的形状为（）A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形(★★★) 4. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 对于函数，给出下列选项其中正确的是（）A ．函数的图象关于点对称B ．函数的最小正周期为C ．函数在区间上单调递增D ．函数有最大值，没有最小值(★★) 6. 已知 为锐角三角形，则（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7. 已知 ， ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 等比数列 中（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则(★★★) 9. 已知，全等的等边三角形，且点，， 在同一条直线上，点，分别为线段 的三等分点（如图所示），若，，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 若，且，则下列结论中 必定成立的是（）A．B．C．D．二、双空题(★★★) 11. 若，，则______，______.(★★★) 12. 等差数列，，且是与的等比中项，则______；______.(★★★) 13. 已知向量，.若，则______；若，则的最小值是______.(★★) 14. 在中，角所对的边分别为，已知，则__________，若，的面积为，则__________．三、填空题(★★★) 15. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是__________．(★★★) 16. 如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，则的最大值是 ______ .(★★★) 17. 已知数列的前项和为，若，，，则__________ ．（用数字作答）四、解答题(★★★) 18. 已知向量，的夹角为，且.（1）若，求的坐标；（2）若，，求的最小值.(★★★) 19. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）若角、都是锐角，满足，求的值.(★★★) 20. 已知函数为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象，求函数在区间的值域.(★★★) 21. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.(★★★) 22. 已知数列满足：，，.（1）求证是等差数列并求；（2）求数列的前项和；（3）求证：.。
2022-2023学年浙江省温州市新力量联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省温州市新力量联盟高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB →的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（﹣2，﹣2）C ．（1，1）D ．（﹣1，﹣1）2．已知α，β是两个不同的平面，直线l ⊄α，且α⊥β，那么“l ∥α”是“l ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知不共线平面向量a →，b →在非零向量c →上的投影向量互为相反向量，则（ ） A ．(a →+b →)∥c →B ．(a →−b →)⊥c →C ．(a →+b →)⊥c →D ．(a →−b →)∥c →4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O ′A ′＝2，∠B ′A ′O ′＝45°，B ′C ′∥O ′A ′．则原平面图形的面积为（ ）A ．3√2B ．6√2C ．32√2D ．345．已知△ABC 的三边分别为√a ，√b ，√c 且a 2+b 2＝c 2，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定6．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180°，则该几何体的表面积为（ ）A ．15π2+2 B ．15π2+4 C ．7π+2 D ．9π+47．下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是（ ）A ．sinA +cosA =15B ．AB →⋅BC →＜0C ．tan A +tan B +tan C ＞0D ．b ＝3，c =3√3，B ＝30°8．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．13B ．14C ．15D ．16二、多项选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．a →⋅a →⋅a →=|a →|3B ．λ、μ为非零实数，若λa →=μb →，则a →与b →共线C ．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D ．若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，则必有AC →+BD →=BC →+AD →10．已知复数z ＝a +bi （a ，b ∈R 且z ≠0），下列命题一定正确的是（ ） A ．z ⋅z =|z|2B ．若1z∈R ，则z ∈RC ．与z 对应向量共线的单位向量为√a 2+b 2D ．若|z ﹣i |＝1，则|z |max ＝211．已知O 为坐标原点，点A （cos θ，sin θ），B(cos(θ+2π3)，sin(θ+2π3))，C(cos(θ+4π3)，sin(θ+4π3))，则（ ） A ．|AB |＝|BC | B ．OA →+OB →=CO →C ．OA →⋅OB →＜0D ．OA →⋅(OB →+OC →)＞012．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c ＝2：3：4，则下列结论正确的是（ ）A ．A ：B ：C ＝2：3：4 B ．sin A +sin C ＝2sin BC ．cosC =14D ．sin A +sin2C ＝0三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．若复数m ﹣3+（m 2﹣9）i ≥0，则实数m 的值为 ．14．半径为3的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 ．15．如图，温州世纪广场的标志性建筑——“世纪之光”玻璃塔，用三片巨大的钢片表示三千年瓯越文明史，造型摄取瓯江双塔、海上风帆、纪功柱于一体，象征着一座灯塔、一座丰碑、一盏明灯、一支火箭，浓缩了瓯越文明的过去、今天和未来．为了测量塔高AB ，测量者选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，并测得在点CD =34√2m ，∠BDC ＝135°，∠BCD ＝15°，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，则塔高AB ＝ m ．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形．若AF →=xAB →+yAD →，则x +y ＝ ．四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量a →=（﹣3，1），b →=（1，﹣2），m →=a →+k b →（k ∈R ）． （1）若m →与向量2a →−b →垂直，求实数k 的值；（2）若向量c →=（1，﹣1），且m →与向量k b →+c →平行，求实数k 的值．18．（12分）如图，四边形ABCD 中，已知A ＝120°，AB ⊥BC ，AD ＝3，AB ＝5，C ＝45°． （1）求cos ∠ABD ； （2）求CD 的长．19．（12分）已知复数z 是方程x 2+2x +2＝0的解． （1）求z ；（2）若复数z 的虚部大于零，且az −z =b ﹣i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），求|a +bi |．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2bcos(A −π6)=√3c ． （1）求角B 的大小；（2）若b =√6，求△ABC 面积的最大值；（3）若b 2＝ac ，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为⊙O 上的一动点，试求PA →⋅PB →的取值范围． 21．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PBQA 上所有点到点O 的距均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由．22．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，已知E ，F 分别为线段BC ，AB 上的动点（E ，F 可与线段的端点重合），且满足AF →=xAB →，BE →=yBC →． （1）求AE →⋅DF →关于x ，y 的关系式并确定于x ，y 的取值范围；（2）若AE →⊥DF →，判断是否存在恰当的x 和y 使得yx取得最大值？若存在，求出该最大值及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由．2022-2023学年浙江省温州市新力量联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量AB →的坐标是（ ）A ．（2，2）B ．（﹣2，﹣2）C ．（1，1）D ．（﹣1，﹣1）解：如图：A （2，2），B （1，1），∴AB →=（1.1）﹣（2，2）＝（﹣1，﹣1）， 故选：D ．2．已知α，β是两个不同的平面，直线l ⊄α，且α⊥β，那么“l ∥α”是“l ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线l ⊄α，且α⊥β，l ∥α，则l ∥β，l 与β相交，故充分性不成立； 当直线l ⊄α，且α⊥β，l ⊥β时，l ∥α，故必要性成立， ∴“l ∥α“是“l ⊥β‘的必要而不充分条件． 故选：B ．3．已知不共线平面向量a →，b →在非零向量c →上的投影向量互为相反向量，则（ ）A ．(a →+b →)∥c →B ．(a →−b →)⊥c →C ．(a →+b →)⊥c →D ．(a →−b →)∥c →解：向量a →在向量c →上的投影为|a →|×cos ＜a →，c ＞=|a →|×a →⋅c →|a →||c →|=a →⋅c→|c →|，同理可得，向量b →在向量c →上的投影为b →⋅c →|c →|，∵不共线平面向量a →，b →在非零向量c →上的投影向量互为相反向量，∴a →⋅c →|c →|+b →⋅c →|c →|=0，即a →⋅c →+b →⋅c →=0，∴(a →+b →)⋅c →=0，∴(a →+b →)⊥c →．故选：C ．4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中O ′A ′＝2，∠B ′A ′O ′＝45°，B ′C ′∥O ′A ′．则原平面图形的面积为（ ）A ．3√2B ．6√2C ．32√2D ．34解：直观图中，∵∠B ′A ′O ′＝∠B ′O ′A ′＝45°，∴△B ′A ′O ′是等腰直角三角形， ∵O ′A ′＝2，∴B ′A ′＝B ′O ′=√2， ∵B ′C ′∥O ′A ′，∴∠C ′B ′O ′＝45°， ∵直观图是直角梯形，∴O ′C ′⊥C ′B ′，∠C ′O ′B ′＝45°，∴C ′B ′＝O ′C ′＝1， ∴S 直=12×√2×√2+12×1×1=32， ∴S 原＝2√2S 直＝2√2×32=3√2． 故选：A ．5．已知△ABC 的三边分别为√a ，√b ，√c 且a 2+b 2＝c 2，则△ABC 是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定解：∵a 2+b 2＝c 2，∴（a +b ）2﹣c 2＝a 2+b 2+2ab ﹣c 2＝2ab ＞0， ∴a +b ＞c ，且c 为最大边， 则cos C =a+b−c2√ab0，∴C 为锐角，则△ABC 是锐角三角形． 故选：B ．6．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA 1，BB 1，CC 1，DD 1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180°，则该几何体的表面积为（ ）A ．15π2+2 B ．15π2+4 C ．7π+2 D ．9π+4解：此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，S 表=12×2π(22−12)+12(2π×2+2π×1)×2+1×2×2=9π+4． 故选：D ．7．下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是（ ）A ．sinA +cosA =15B ．AB →⋅BC →＜0C ．tan A +tan B +tan C ＞0D ．b ＝3，c =3√3，B ＝30°解：对于A ，∵sin A +cos A =15，平方可得sin 2A +cos 2A +2sin A cos A =125，则2sin A cos A =−2425＜0，则sin A ＞0，cos A ＜0，A 为钝角，∴错误，对于B ，∵AB →•BC →=ca cos （π﹣B ）＝﹣ac cos B ＜0，∴cos B ＞0，B 为锐角，但A ，C 不能确定是否为锐角，∴错误，对于C ，∵tan （A +C ）=tanA+tanC1−tanAtanC =−tan B ，则有tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ＞0， 即tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，则为锐角三角形，∴正确， 对于D ，运用正弦定理，可得sin C =csinB b =3√3×12×13=√32，∵c ∈（0°，180°）， 则C ＝60°或120°，则A ＝90°或30°，∴错误． 故选：C ．8．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．13B ．14C ．15D ．16解：过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图，设球的半径R ，实心小球的半径r ， 由题意可得，√2r +r +R =√2R ， ∴R ＝（3+2√2）r ，∵小球的球心在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，EF =R+r√2，周长为2πEF =√2π（R +r ）， ∴2rn ≤√2π（R +r ），即nn ≤√2π(R+r)2r=√2π[(3+2√2)r+r]2r=2（1+√2）π≈15.16，故该工艺品最多放15个小球． 故选：C ．二、多项选择题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．a →⋅a →⋅a →=|a →|3B ．λ、μ为非零实数，若λa →=μb →，则a →与b →共线C ．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D ．若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，则必有AC →+BD →=BC →+AD →解：a →•a →•a →=|a →|2a →，所以a 不正确；当λ，μ为非零实数，满足λa →=μb →，则a →与b →一定共线，所以B 正确；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，满足向量的定义与性质，所以C 正确；若平面内有四个点A ，B ，C ，D ，则AC →−AD →=DC →，BC →−BD →=DC →，则必有AC →+BD →=BC →+AD →，所以D 正确， 故选：BCD ．10．已知复数z ＝a +bi （a ，b ∈R 且z ≠0），下列命题一定正确的是（ ） A ．z ⋅z =|z|2B ．若1z ∈R ，则z ∈RC ．与z 对应向量共线的单位向量为√a 2+b 2D ．若|z ﹣i |＝1，则|z |max ＝2解：对于A ，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，|z |2＝a 2+b 2，故A 正确； 对于B ，1a+bi=a−bi (a+bi)(a−bi)=(a a 2+b 2−b a 2+b 2i)∈R ，则b ＝0，故z ＝a ∈R ，故B 正确； 对于C ，与z 对应向量共线的单位向量为√a 2+b ，故C 错误，对于D ，|z ﹣i |＝|a +（b ﹣1）i |=√a 2+(b −1)2=1，即a 2+（b ﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆， |z|=√a 2+b 2表示圆上的点到原点的距离，则|z|max =√(0−0)2+(1−0)2+1=2，故D 正确． 故选：ABD ．11．已知O 为坐标原点，点A （cos θ，sin θ），B(cos(θ+2π3)，sin(θ+2π3))，C(cos(θ+4π3)，sin(θ+4π3))，则（ ） A ．|AB |＝|BC | B ．OA →+OB →=CO →C ．OA →⋅OB →＜0D ．OA →⋅(OB →+OC →)＞0解：对于A ，因为A （cos θ，sin θ），B(cos(θ+2π3)，sin(θ+2π3))，C(cos(θ+4π3)，sin(θ+4π3))， 所以∠AOB =∠BOC =∠COA =2π3，|OA →|=|OB →|=|OC →|=1， 故△ABC 是正三角形，则|AB |＝|BC |，故A 正确； 对于B ，因为△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的外心，所以O 是△ABC 的重心，故OA →+OB →+OC →=0→，即OA →+OB →=CO →，故B 正确； 对于D ，因为OA →+OB →+OC →=0→，则OB →+OC →=−OA →， 所以OA →⋅(OB →+OC →)=−|OA|2＜0，故D 错误，对于C ，OA →⋅OB →=|OA →||OB →|cos 2π3=1×1×(−12)=−12＜0，故C 正确． 故选：ABC ．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c ＝2：3：4，则下列结论正确的是（ ）A ．A ：B ：C ＝2：3：4 B ．sin A +sin C ＝2sin BC ．cosC =14D ．sin A +sin2C ＝0解：由正弦定理可知sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4，推不出A ：B ：C ＝2：3：4，故A 错误； 由a ：b ：c ＝2：3：4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，则由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =21k 224k2=78，故A 为锐角，可得sin A =√158， 同理可得cos C =−14，故C 为钝角，sin C =√154， cos B =1116，B 为锐角，sin B =3√1516，故sin A +sin C ＝2sin B ，故B 正确，C 错误， 又sin2C ＝2sin C cos C ＝2×√154×（−14）=−√158，故sin A +sin2C =√158+（−√158）＝0，故D 正确．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．若复数m ﹣3+（m 2﹣9）i ≥0，则实数m 的值为 3 ． 解：∵m ﹣3+（m 2﹣9）i ≥0，∴{m 2−9=0m −3≥0，解得m ＝3． 故答案为：3．14．半径为3的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 32√3．解：图1是圆锥（图2）的侧面展开图．OA ＝OB ＝3，则扇形弧长L ＝3π，设圆锥底面圆周长为r ，则2πr ＝3π，得r =32， 则在Rt △OAD 中，高ℎ=√32−(32)2=3√32． 故答案为：3√32． 15．如图，温州世纪广场的标志性建筑——“世纪之光”玻璃塔，用三片巨大的钢片表示三千年瓯越文明史，造型摄取瓯江双塔、海上风帆、纪功柱于一体，象征着一座灯塔、一座丰碑、一盏明灯、一支火箭，浓缩了瓯越文明的过去、今天和未来．为了测量塔高AB ，测量者选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，并测得在点CD =34√2m ，∠BDC ＝135°，∠BCD ＝15°，在点C 测得塔顶A 的仰角为45°，则塔高AB ＝ 68 m ．解：由题意可知AB ＝BC ，在△BCD 中，∵∠BDC ＝135°，∠BCD ＝15°，∴∠CBD ＝30°， 在△BCD 中，由正弦定理可得BCsin∠BDC=CD sin∠CBD，∴BC =34√212×√22=68．故答案为：68．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形．若AF →=xAB →+yAD →，则x +y ＝4+√32．解：如图，以A 为原点，分别以AB →，AD →为x ，y 轴建立平面直角坐标系：设正方形ABCD 的边长为2a ，则正方形DEHI 的边长为√3a ，正方形EFGC 边长为a ， 可知A （0，0），B （2a ，0），D （0，2a ），DF =(√3+1)a ， 则x F =(√3+1)a ⋅cos30°，y F =(√3+1)a ⋅sin30°+2a ，即F(3+√32a ，5+√32a)， 又AF →=xAB →+yAD →， ∴(3+√32a ，5+√32a)=x(2a ，0)+y(0，2a)=(2ax ，2ay)， 即{2ax =3+√32a 2ay =5+√32a，即2ax +2ay =3+√32a +5+√32a ，化简得x +y =4+√32． 故答案为：4+√32．四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知向量a →=（﹣3，1），b →=（1，﹣2），m →=a →+k b →（k ∈R ）．（1）若m →与向量2a →−b →垂直，求实数k 的值；（2）若向量c →=（1，﹣1），且m →与向量k b →+c →平行，求实数k 的值． 解：（1）m →=a →+k b →=（﹣3+k ，1﹣2k ），2a →−b →=（﹣7，4）．∵m →与向量2a →−b →垂直，∴m →•（2a →−b →）＝﹣7（﹣3+k ）+4（1﹣2k ）＝0，解得k =53． （2）k b →+c →=（k +1，﹣2k ﹣1），∵m →与向量k b →+c →平行， ∴（﹣2k ﹣1）（﹣3+k ）﹣（1﹣2k ）（k +1）＝0，解得k =−13．18．（12分）如图，四边形ABCD 中，已知A ＝120°，AB ⊥BC ，AD ＝3，AB ＝5，C ＝45°． （1）求cos ∠ABD ； （2）求CD 的长．解：（1）因为AD ＝3，AB ＝5，C ＝45°．在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos A ＝25+9﹣2×5×3×(−12)=49， 所以BD ＝7，由余弦定理得cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD =25+49−92×5×7=1314；（2）因为AB ⊥BC ， 所以sin ∠DBC ＝cos ∠ABD =1314， 在△BDC 中，由正弦定理得BDsinC=CD sin∠CBD，即√22=CD1314，所以CD =13√22． 19．（12分）已知复数z 是方程x 2+2x +2＝0的解． （1）求z ；（2）若复数z 的虚部大于零，且az −z =b ﹣i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），求|a +bi |．解：（1）由x 2+2x +2＝（x +1）2+1＝0，即（x +1）2＝﹣1，可得x +1＝±i ，解得x ＝﹣1±i ，复数z 是方程x 2+2x +2＝0的解， 则z ＝﹣1±i ．（2）由（1）知，z ＝﹣1±i ，因为虚部大于零， 所以z ＝﹣1+i ， 故z =−1−i ， 所以az −z =a −1+i+1+i =a(−1−i)1−i 2+1+i =1−a 2+(1−a2)i ，a z−z =b ﹣i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），所以{1−a2=b 1−a2=−1，解得a ＝4，b ＝﹣1， 故|a +bi|=|4−i|=√42+(−1)2=√17．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2bcos(A −π6)=√3c ． （1）求角B 的大小；（2）若b =√6，求△ABC 面积的最大值；（3）若b 2＝ac ，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为⊙O 上的一动点，试求PA →⋅PB →的取值范围． 解：（1）因为2bcos(A −π6)=√3c ，由正弦定理可得：2sinBcos(A −π6)=√3sinC ，∴2sinB(cosAcos π6+sinAsin π6)=√3sin[π−(A +B)]=√3sin （A +B ）， 整理可得：√3cosAsinB +sinAsinB =√3sin(A +B)， 可得√3cosAsinB +sinAsinB =√3sinAcosB +√3cosAsinB ， 整理可得：sinAsinB =√3sinAcosB ， ∵sin A ＞0， ∴sin B =√3cos B ， ∴tanB =√3， ∵B 为三角形内角， ∴B =π3；（2）由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cos π3=6，化简a 2+c 2﹣ac ＝6， 又∵a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ＝ac ，∴ac ≤6，当且仅当a ＝c =√6时，ac 有最大值6，∵△ABC 的面积S =12ac ⋅sinB =√34ac ≤√34×6=3√32， ∴当且仅当a ＝c 时，△ABC 面积取最大值等于3√32； （3）由正弦定理bsinB=2R =4，b =2√3，则ac ＝b 2＝12，由a 2+c 2＝b 2+ac ，可得a 2+c 2＝24，则a =c =2√3， 则三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，则PA →⋅PB →=(PM →+MA →)⋅(PM →+MB →)=PM →2+PM →⋅(MA →+MB →)+MA →⋅MB →=PM →2−MA →2=PM →2−3， 由OP ＝2，OM ＝1，则OP ﹣OM ≤PM ≤OP +OM ， 所以PM ∈[1，3]，所以1≤PM 2﹣1≤9，﹣2≤PM 2﹣3≤6， 则PA →⋅PB →∈[−2，6]．21．（12分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ，规划要求：线段PBQA 上所有点到点O 的距均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C ，D 为垂足），测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由．解：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM ⊥BM ， 即有DM ＝AC ＝6，BM ＝6，AM ＝8，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则A （0，﹣6），B （﹣8，﹣12），D （﹣8，0） （1）设点P （x 1，0），PB ⊥AB ， 则k BP •k AB ＝﹣1， 即0−(−12)x 1−(−8)•−6−(−12)0−(−8)=−1，解得x 1＝﹣17，所以P （﹣17，0），PB =√(−17+8)2+(0+12)2=15．（2）当QA ⊥AB 时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时Q （x 2，0）， 则k QA •k AB ＝﹣1，即0−(−6)x 2−0•−6−(−12)0−(−8)=−1，解得x 2=−92，Q （−92，0），由﹣17＜﹣8＜−92，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径， 所以P ，Q 中不能有点选在D 点．22．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，已知E ，F 分别为线段BC ，AB 上的动点（E ，F 可与线段的端点重合），且满足AF →=xAB →，BE →=yBC →． （1）求AE →⋅DF →关于x ，y 的关系式并确定于x ，y 的取值范围；（2）若AE →⊥DF →，判断是否存在恰当的x 和y 使得yx取得最大值？若存在，求出该最大值及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由．解：（1）由等腰梯形的性质可知∠BAD ＝60°， 即AB →⋅AD →=|AB →|⋅|AD →|cos∠BAD =1，又DF →=AF →−AD →=xAB →−AD →，AE →=AB →+BE →=AB →+yBC →=AB →+y(−AB →+AD →+12AB →)=(1−y 2)AB →+yAD →， 则AE →⋅DF →=(xAB →−AD →)⋅[(1−y 2)AB →+yAD →]=−xy +4x −y2−1，由E ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故x ∈[0，1]，y ∈[0，1]；（2）由AE →⊥DF →可得AE →⋅DF →=−xy +4x −y 2−1=0，则x =y+22(4−y)，又{0≤y ≤10≤x ≤1，解得x ∈[14，12]，y ∈[0，1]，故y x =2y(4−y)y+2，令y +2＝t ，则y ＝t ﹣2，即y x=f(t)=−2(t +12t−8)，t ∈[2，3]，显然函数f （t ）在[2，3]上单调递增，故当t ＝3，即x =12且y ＝1时，y x取得最大值为2．。
浙江省温州十五校联合体2019-2020学年高一数学下学期期中试题参考答案
高一年级数学学科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBAABBC10.【解析】由题意1123(,0),(,)222n n n n n A B ---， 23131112tan 122n n n n n n n n n n A B A A B A A -+-+∠===，1p p p A B A +∆与1q q q A B A +∆均为直角三角形，故1p p p A B A +∆与1q q q A B A +∆相似11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++⇔∠∠或11tan tan 1p p p q q q A A B A A B ++⇔∠⋅∠=而3311()22p q p q --><，或61162p q p q +-=⇔+=.故存在两对满足条件的,p q ，分别为1,5;2,4p q p q ====。
二、填空题：本大题共6小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共30分 11. 2 －3 12.1 121 13.045，13+ 14.3 15.3λ>-且12λ≠16. ()3,516【解析】∵对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，∴1=n 时，21a a <，可得()a a 288-+<，解得316<a ．2≥n 时，()()()()()a n a n n n 2811428141--++<--++，化为：()()01141>+--+n a ，k n 2=时，化为：()014>+--a ，解得3>a ；12+=k n 时，化为：014>+-a ，解得5<a ．综上可得 a 的取值范围是()3,5．三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省温州新力量联盟2020-2021学年高一语文下学期期中联考试题答案(1)
2020学年第二学期温州新力量联盟期中联考高一年级语文学科参考答案命题：丽水二中罗来胜等审稿：船寮中学周娟选择题(每小题3分）题号12367101112151819答案B D C C B C D A D C A1.B(“才能够让变脸术有利于文明进步、有助于社会发展”错。
还有很多法律、经济、伦理风险需要我们解决。
）2.D（信息杂乱会给人类带来危害。
）3.C（论点为第一自然段的“技术是把双刃剑，应让其在有利于文明进步、有助于社会发展的方向上披荆斩棘，而不是反伤人类”。
）4.（1）整体为层进式，以提出问题——解决问题——深远意义，三个层面重点在于重点第二层，从怎么做展开议论。
（2）中间部分以并列式进行结构，主要提出三个方面解决问题的办法。
（每点2分，答对一点给2分，有更好答案可以适当加分，加满为止）5.（1）让“机器人”提供优质化的科技服务，为人们提供更便利化的优质生活，解决人们工作生活中的困难。
（2）加强监管，避免因“机器人”的故障而给人们带来伤害，更避免把“机器人”用于对人类的伤害（如战争）。
（3）不断加大科技研究，对“机器人”进行改造升级，以便人工智能不断取得进步，更好为人类服务。
（每点2分，答对一点给2分，有更好答案可以适当加分，加满为止）6.C（元杂剧中无“生”“丑”）7.B（盗跖和颜渊分别借指坏人和好人，不是象征。
）8.不能删去（1分）。
情节上推动情节的发展（1分），又用刽子手对窦娥的些许怜悯来衬托出窦娥精神的感天动地（1分）。
从内容上看①这正体现了窦娥难以舍别婆婆的感情，表现了她对婆婆的挂念,表现了她的善良（1分）；②增强悲剧气氛，白发人送黑发人，白发人祭奠黑发人，更加突出社会的黑暗及无公道（1分）。
9.《古》本第一句是陈述句，不如《元》本用反问句的质问语气强烈（1分）；《古》本第二句是对天的哀告诉求，不如《元》本的直接指斥和否定有力量（1分）。
总之，元本更能突出窦娥不屈服于恶势力的反抗精神（1分），塑造人物形象更鲜明、更丰满（1分），主旨表达也更深刻（1分）。
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinA+sinC的最大值为()A. 2B. √3C. 12D. √322.在△ABC中，已知AB=√3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是()A. √32B. 2√3 C. √32或√34D. √3或2√33.递增的等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1⋅a2⋅a3=27，则前5项的和S5等于()A. 11B. 121C. 242D. 2434.已知y=f(x)的图象和y=sin(x+π4)的图象关于点P(π4,0)对称，现将f(x)的图象向左平移π4单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的表达式为()A. y=−sin14x B. y=−cos14xC. y=−sin(4x−π4) D. y=−cos(4x−π4)5.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=()A. √53B. 23C. 13D. √596.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为()A. 4B. 3C. 2D. 17.对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N∗，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}>M，那么下列命题正确的是()A. 若{a n}>M，则数列{a n}各项均大于或等于MB. 若{a n}>M，{b n}>M，则{a n+b n}>2MC. 若{a n}>M，则{a n2}>M2D. 若{a n}>M，则{2a n+1}>2M+18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则S12=()A. 15B. 10C. 8D. 69.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，则∠APB =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 函数的图象为C ，如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线对称； ②图象C 关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2，则通项公式a n = ______ ．13. 已知锐角△ABC 外接圆的半径为1，∠B =45°，则B −A ⃗ ⋅B −C ⃗ 的取值范围是______ 三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 点C 在线段AB 上，且=，则= ，= ．15. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如表给出了的部分数据：n1 2 3 4……S nt1019652则数列的公比q = ，首项a 1= ．16. 已知角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则cosα= (1) ，tan(π−2α)= (2) ． 四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 已知点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)， (1)求点D 坐标；(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．(1)求角C ；(2)若c =2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B −C)=1−cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求： (1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；(3) tanB +tanC 的值．20.已知数列{a n}，{b n}是正项数列，{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n+1b n【答案与解析】1.答案：B解析：解：由题意可得2B =A +C ，又A +B +C =π 故B =π3，故A +C =2π3，故sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos 2π3sinA =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3(√32sinA +12cosA)=√3sin(A +π6)，又A ∈(0,2π3)，所以A +π6∈(π6,5π6)，故sin(A +π6)∈(12,1]，√3sin(A +π6)∈(√32,√3]，故sinA +sinC 的最大值为√3， 故选B由题意可得A +C =2π3，原式=sinA +sin(2π3−A)，由三角函数的运算公式可得原式=√3sin(A +π6)，由A ∈(0,2π3)，可得式子的取值范围，可得最大值．本题考查三角函数的最值的求解，涉及等差数列的性质，属中档题．2.答案：C解析：解：在△ABC 中，∵AB =c =√3，AC =b =1，∠B =30°， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ， 解得：a =1或a =2，当a =1时，a =b ，即∠A =∠B =30°，此时∠C =120°，△ABC 的面积S =12acsinB =√34；当a =2时，满足a 2=c 2+b 2，即△ABC 为直角三角形，△ABC 的面积S =12bc =√32．则△ABC 面积是√34，或√32．故选：C ．利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等比数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项a 1，公比q ，由此能求出前5项的和S 5． 解：递增的等比数列{a n }中，设公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=13，a 1⋅a 2⋅a 3=27，∴{1+a 1q +a 1q 2=13a 1⋅a 1q ⋅a 1q 2=27q >0, 解得a 1=1，q =3， ∴前5项的和S 5=1×(1−35)1−3=121．故选：B ．4.答案：B解析：本题考查三角函数图像的变换，考查了函数的对称性，若函数y =f(x)的图象和y =g(x)的图象关于点P(a,b)对称，满足f(x)+g(2a −x)=2b ，f(x)=2b −g(2a −x)，属于基础题． 根据对称知识求出函数f(x)，然后利用平移和伸缩变换求出函数y =g(x)的表达式即可． 解：若函数y =f(x)的图象和y =sin(x +π4)的图象关于点P(π4,0)对称， 则f(x)=0−sin(π2−x +π4)=−cos(x −π4)，将f(x)的图象向左平移π4个单位后，得到函数y=−cosx的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=−cos14x的图象，所以y=g(x)的表达式为：y=−cos14x，故选B．5.答案：A解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．解：∵3cos 2α−8cos α=5，∴3(2cos2α−1)−8cos α=5，即3cos2α−4cos α−4=0，(3cos α+2)(cos α−2)=0，α∈(0,π)，即cos α=−23，又α∈(0,π)，sin α>0，∴sin α=√1−cos2α=√53，故选A．6.答案：D解析：解：设圆锥底面半径为r，母线长为R．由圆锥底面周长为2πr=2π3R，解得：R=3r，又根据已知：3π=12⋅2π3R2，解得R=3，所以解得：r=1．故选：D．设圆锥底面半径为r，母线长为R，利用扇形的面积公式，弧长公式即可计算得解．本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}>2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为−3，此时{a n2}>M2不正确，C错误；D中，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}> 2M+1正确．故选：D．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}>M．8.答案：B解析：解：在等差数列{a n}中，由S3=1，S6=3，得S9−S6=2(S6−S3)−S3，∴S9=6，再由(S12−S9)+(S6−S3)=2(S9−S6)，可得(S12−6)+(3−1)=2(6−3)，∴S12=10．故选：B．由已知利用等差数列的性质求得S9，进一步利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列想性质，是基础的计算题．9.答案：C解析：由正弦定理，得a 2+b 2<c 2，∴cosC =<0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．10.答案：D解析：解：向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)， 可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×1−1×√3=−2√3， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+3=2， 可得cos∠APB =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√32×2=−√32， 由0°≤∠APB ≤180°， 可得∠APB =150°， 故选：D ．运用向量的坐标表示和向量的夹角公式，计算可得所求角．本题考查向量数量积的坐标表示和夹角公式，考查运算能力，属于基础题．11.答案：①②③解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，，故①正确，，故②正确，由，∴f(x)的增区间为)，令k =0得增区间为，故③正确，由y =3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ，故④错误，故答案为①②③．12.答案：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2， ∴a 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1−2)=2⋅3n−1， n =1时，2⋅3n−1=2≠a 1， ∴a n ={n,n =12⋅3n−1,n ≥2．故答案为：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解． 本题考查数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意公式公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(2,1+√2]解析：解：由正弦定理可得，asinA =csinC =2 ∴a =2sinA ，c =2sinC ， ∵∠B =45°，∴ac =4sinAsinC =4sinAsin(135°−A)=4sinA ×√22(sinA +cosA) =2√2(sin 2A +sinAcosA)=2√2(1−cos2A 2+12sin2A) =√2(sin2A −cos2A)+√2=2sin(2A −π4)+√2∵锐角△ABC ，∠B =45° ∴0<A <12π，0<3π4−A <12π，解可得，π4<A <π2， ∴π4<2A −π4<3π4，∴√22<sin(2A −π4)≤1，∴2√2<ac ≤2+√2 B −A ⃗ ⋅B −C⃗ =√22ac ∈(2,1+√2] 故答案为：(2,1+√2)由正弦定理可得a =2sinA ，c =2sinC ，结合三角形的内角定理及和差角公式，辅助角公式对ac =4sinAsinC 进行化简可求ac 的范围，然后由向量数量积的定义即可求解本题考查平面向量的数量积运算，涉及正弦定理在解三角形中的应用，属中档题．14.答案：35−25解析：解析：因为C 在线段AB 上，且=，所以与方向相同，与方向相反，且=，=，所以=，=−．15.答案：324解析：解：由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=19， ∴公比q ≠1，可得a 1(1−q 2)1−q=10，a 1(1−q 3)1−q=19，联立解得：a 1=4，q =32． 故答案为：32，4．由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=16，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：−45−247解析：解：∵角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则r =2+9a 2=−5a ，cosα=4a −5a =−45， tanα=3a4a =34，tan(π−2α)=−tan2α=−2tanα1−tan 2α=−321−916=−247，故答案为：−45；−247．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，属于基础题． 17.答案：解：(1)∵点A(0,1)，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， 向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)+(0,1)=(−4,3)， 即点D 坐标为(−4,3)；(2)∵点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−4,2)=(2λ,−2λ)+(−μ,2μ)， 即{2λ−μ=−4−2λ+2μ=2解得：λ=−3，μ=−2．解析：(1)向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知中点A(0,1)，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，可得点D 坐标； (2)由已知可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造关于λ，μ的方程组，解得答案．本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，平面向量的数量积运算，方程思想，难度中档．18.答案：解：(1)由已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．正弦定理得：2cosC(sinAcosB +cosAsinB)=sinC 即2cosC ⋅sinC =sinC ∵0<C <π，sinC ≠0 ∴cosC =12，∴C =π3．(2)由，△ABC 的面积为6√3，即12absin π3=6√3，∴ab =36由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，∴4×7=b2+a2−ab即(a+b)2=28+3ab．∴a+b=2√34.△ABC的周长a+b+c=2√34+2√7．解析：(1)利用正弦定理和和与差公式即可角C(2)根据余弦定理，△ABC的面积，求解a+b的值即可，本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19.答案：解：(1)∵cos(B−C)=1−cosA，可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，∴解得：cosBcosC+sinBsinC−cosBcosC+sinBsinC=1，∴2sinBsinC=1，解得：sinB⋅sinC=12．(2)∵cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，∴cosA≥0，A不是钝角．∵b，a，c成等比数列．即：a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12．∴由A为三角形内角，sinA>0，sinA=√22，∴A=π4，(3)∵cos(B−C)=1−cosA=1−cosπ4=1−√22，∴cosBcosC+sinBsinC=1−√22，∴cosBcosC=1−√22−sinBsinC=1−√22−12=1−√22，∴tanB+tanC=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=sin(B+C)cosBcosC=sinAcosBcosC=√221−√22=−2−√2．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，等比数列的性质，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由三角形内角和定理化简已知可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sinBsinC=1，即可解得sinB⋅sinC=12．(2)由cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，可得cosA≥0，A不是钝角，利用等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12，可求sinA=√22，即可解得A的值．(3)利用三角函数恒等变换的应用可求cosBcosC=1−√22，由两角和的正弦函数公式化简所求后代入即可得解．20.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．∴1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解得：d=q=3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2，b n=3n−1．(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1．∴数列{a n+1b n }的前n项和T n=n(1+3n−2)2+1−(13)n1−13=3n2−n2+32−32×(13)n．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2+1，a3= b3−2.可得1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解出即可得出；(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年浙江省温州市新力量联盟高一(下)期末数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省温州市新力量联盟高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 不等式x(x −5)<0的解集为( )A. {x |x <0}B. {x |x <5}C. {x |0<x <5}D. {x|x <0,或x >5} 2. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3)，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (3,1) B. (2,−1) C. (−1,2) D. (−1,7) 3. 已知a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. a 2<b 2B. 2a <2bC. ab <b 2D. 1a <1b 4. 已知数列{a n }是等比数列，若a 2=2，a 3=−4，则a 5等于( )A. 8B. −8C. 16D. −16 5. 在△ABC 中，∠A ，B ，C 的对边分别为a =3，b =4，c =√13，则∠C 为( )A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘6. 在等差数列{a n }中，a 1=−2015，其前n 项和为S n .若S1212−S 1010=2，则S 2015的值等于( )A. −2014B. −2015C. −2013D. −20167. 已知C 为△ABC 的一个内角，向量m⃗⃗⃗ =(2cosC −1,−2)，n ⃗ =(cosC,cosC +1).若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则∠C 等于( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 已知α∈(0,π)，若tan(π4−α)=13，则sin2α=( )A. −45 B. 45 C. −54 D. 54 9. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|2a ⃗ −b ⃗ |≤3，则a ⃗ ⋅b⃗ 的范围是( ) A. [−98,+∞)B. [−94,+∞)C. [−98,94]D. (−98,94)10. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若，当n ≥2时，ana n−1=( )A. 2B. 12C. 14D. 4二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知角α的终边过点P(1,−2)，则tanα=______，sin(π−α)+cos(−α)2cos(π2−α)−sin(π2+α)=______． 12. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +3≥0,x +2y ≥0,x ≤2,则z =3x +y 的最小值为________． 13. 若锐角α,β满足sin α=35, tan (α+β)=52，则tan β=_______14. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，且∠DAC =90°，cosC =√63，AB =6，BD =√6，则ADsin∠BAD = ______ ．15. 已知数列{a n }的前n 项积为T n =5n 2，n ∈N ∗，则a 2009=____。
2019-2020学年浙江省温州市新力量联盟高一下学期期中联考数学试题(解析版)
（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
5．对于函数 ，给出下列选项其中正确的是（）
A．函数 的图象关于点 对称B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上单调递增D．函数 有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】由两角和的正弦公式化简 ，根据正弦型函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由 ,
当 时， ，所以 不是对称中心，A错误；
函数 的最小正周期为 ,所以B错误；
当 时， ，所以函数 在区间 上单调递增，故C正确；
， 函数 有最大值，有最小值，故D错误.
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】根据条件 ，利用正弦定理化为三角函数，由三角恒等变换即可求解.
【详解】
，
，
,
，
，
，
即 ，
所以三角形的形状为等腰三角形，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关问题，考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
4．如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，通项公式，公比的分类讨论，属于中档题.
9．已知 ， 全等的等边三角形，且点 ， ， 在同一条直线上，点 ， 分别为线段 的三等分点（如图所示），若 ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，表示出各点坐标后，利用平面向量数量积的坐标运算计算可得结果.
浙江省温州市新力量联盟2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题(含解析)
浙江省温州市新力量联盟2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题（含解析）考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.不等式23100x x --<的解集是（ ） A. ()2,5-B. ()5,2-C. ()(),52,-∞-+∞D.()(),25,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：因为23100x x --<，所以(2)(5)0x x +-< 解得25x -<<，所不等式的解集为{}25x x -<<， 故选：A【点睛】此题考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.若OA ＝(1，－2)，OB ＝(1，1)，则AB 等于（ ） A. (－1，2) B. (2，－1) C. (0，－3) D. (0，3)【答案】D 【解析】 【分析】由向量的减法，即可得出结果.【详解】(1,1)(1,2)(0,3)=-=--=AB OB OA 故选：D【点睛】本题考查向量坐标的减法运算，考查理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题目. 3.已知a b <，则下列不等式成立的是（ ） A.11a b> B. 22a b ->-C. 22a b <D. ac bc <【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，a b <， 对于A ，当0a b <<时，此时11a b<，故A 错误； 对于B ，由于a b <，则a b ->-，所以22a b ->-，故B 正确； 对于C ，当0a b <<时，此时22a b >，故C 错误； 对于D ，由于a b <，当0c ≤时，则ac bc ≥，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，考查学生推理论证的能力，属于基础题. 4.已知数列{n a }满足21a =，36a =，且数列{}n a n +为等比数列，则4a 的值为（ ） A. 23 B. 32C. 36D. 40【答案】A 【解析】 【分析】构造等比数列{}n b ，求4b ，进而求出结果.【详解】设n n b a n =+，{}n b 为等比数列，设公比为q2223b a =+=，3339b a =+=，3q ∴=4339327∴==⨯=b b即4427+=a ，423∴=a 故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查理解辨析和数学运算能力，属于容易题目. 5.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，2c =，()1cos 4B C +=，则a =（ ）C. 4【答案】C 【解析】 【分析】 由()1cos 4B C +=，求得1cos 4A =-，结合余弦定理，即可求解.【详解】在ABC ∆中，可得B C A +=π-，所以()1cos cos 4B C A +=-=，即1cos 4A =-，由余弦定理可得22212cos 94232()164a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=，解得4a =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中熟练应用余弦定理是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 6.等差数列{}n a 中，36a =，816a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则122020111S S S ++⋅⋅⋅+=（ ） A.20172018B.20182019C.20192020D.20202021【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的项，求通项公式，进而求前n 项和，用裂项相消法，即可得出结果. 【详解】等差数列{}n a ，36a =，816a =，可得1126716a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩2n a n ∴=，2(1)222-∴=+⨯=+n n n S n n n 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 12202011111111(1)()()22320202021∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-S S S 12020120212021=-= 故选：D【点睛】本题考查等差数列求通项公式和前n 项和公式，用裂项相消法求和，考查数学运算能力，属于中档题.7.设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量()sin ,sin m A B =，()3cos n B A =，若2cos m n C ⋅=-，则C 的值为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.【详解】3sin cos sin )⋅==+=m n A B A B A B C2cos C C =-2sin()26π+=C ，3C π∴=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、辅助角公式、三角函数等基本知识，考查了数学运算能力，转化数学思想，属于容易题目. 8.已知tan()34A π+=-，则2sin 2sin 2cos AA A +=（ ）A.35B. 35C. 45D. 45-【答案】C【解析】 【分析】 由tan()34A π+=-化简求出tan A 的值，而2sin 2sin 2cos A A A +2tan 2tan 1AA =+，从而可求得结果. 【详解】解：由tan()34A π+=-得tantan 431tantan 4AAππ+=--，即1tan 31tan AA+=--，解得tan 2A =，因为22sin 22sin cos 2sin 2tan sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 2tan 1A A A A AA A A A A A A A ===++++，所以2sin 2sin 2cos A A A +224=2215⨯=⨯+故选：C【点睛】此题考查两角和的正切、同角三角函数间的关系，属于基础题.9.已知平面向量a →，b →，且满足2a a b b →→→→⋅===，若e →为平面单位向量，则a e b e →→→→⋅+⋅的最大值（ ） A .3B. C. 4D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a →与b →的夹角，根据条件，可设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出6a e b e πα→→→→⎛⎫=+⎪⎝⋅⋅⎭+，即可求出结果. 【详解】解：2a a b b →→→→⋅===，设a →与b →的夹角为θ，cos 22cos 2b a a b θθ→→→→∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 1cos 2θ∴=，则3πθ=，不妨设()(2,0,a b →→==，再设()cos ,sin e αα→=，则(()cos ,sin a e b e a b e αα→→→→→→→⎛⎫⋅+⋅=+⋅=⋅ ⎪⎝⎭3co 6s πααα=⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭，即a e b e →→→→⋅+⋅≤所以a e b e →→→→⋅+⋅的最大值为故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力.10.设a 为正实数，数列{}n a 满足1a a =，()*142n n na a n N a +=+-∈，则（ ） A. 任意0a >，存在2n ≥，使得2n a < B. 存在0a >，存在2n ≥，使得+1n n a a < C. 任意0a >，存在*m N ∈，总有mn a a <D. 存在0a >，存在*m N ∈，总有n n m a a += 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A ，2n ≥时，2n a ≥，所以该选项不正确；对于选项B ，证明+1n n a a ≥，所以该选项不正确；对于选项C ，令2,a =所以2n a =，所以该选项不正确；对于选项D ，令2a =.所以2n a =，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，因为0,a >所以24222a a a =+-≥=，依次类推得到0n a >，所以2n ≥时，114222n n n a a a --=+-≥=，所以不存在2n ≥，使得2n a <，所以该选项错误；对于选项B ,由已知得+142n n n a a a =+-，所以+1n na a =2421n n a a +-，设11(0)2n t t a =<≤，所以+1n n a a =22134214()144t t t -+=-+≤，所以+1n n a a ≤，所以不存在2n ≥，使得+1n n a a <，所以该选项错误；对于选项C ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以任意0a >，存在*m N ∈，总有m n a a <不正确，所以该选项不正确；对于选项D ，因为0,a >所以242a a a =+-，令242a a a a=+-=，所以2a =.所以2n a =，所以存在0a >，存在*m N ∈，使得n n m a a +=，所以该选项正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查数列单调性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.已知角α的终边经过点（4，-3），则sin α=_________；()cos απ+=_________. 【答案】 (1). 35(2). 45-；【解析】 【分析】由三角函数的定义和诱导公式直接求解即可. 【详解】解：因为角α的终边经过点（4，-3），所以3sin 5y r α===-，4cos 5x r α===， 所以()4cos =cos 5απα+-=-，故答案为：35；45-【点睛】此题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题.12.设实数x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为________，最小值为________.【答案】 (1). 2 (2). -7 【解析】 【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】画出不等式组220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域，如图所示（阴影部分，包含边界）其中平面区域的顶点坐标分别为(2,0),(4,3),(1,0)A B C ---， 目标函数z x y =+，可化为直线y x z =-+，当直线y x z =-+过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 最大值为max 202z =+=；当直线y x z =-+过点B 时，此时直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值， 最小值为min 437z =--=-. 故答案为：2，7-.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力． 13.已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 【答案】1665【解析】 【分析】由已知求出cos ,sin()ααβ+，再由两角差的正弦公式计算sin sin[()]βαβα=+-． 【详解】∵,αβ都是锐角，∴(0,)αβπ+∈， 又45sin ,cos()513ααβ=+=， ∴3cos 5α=，12sin()13αβ+=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+123541613513565=⨯-⨯=． 故答案为1665． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即()βαβα=+-．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．14.在ABC 中，90ACB ∠=︒，2BC ==，点M 在BC 上，且1sin 3BAM ∠=，则sin BMA ∠=________，AM =________．【答案】【解析】 【分析】根据sin sin()AMB BAM ABM ∠=∠+∠，展开可求值；根据正弦定理sin sin AM ABABM AMB=∠∠，可求AM .【详解】如图所示Rt ABC 中，2AC =2BC =，∴AB 6=∴23sin 6ABC ∠==6cos 3ABC ∠= 又∵1sin 3BAM ∠=，∴22cos 3BAM ∠= ∴162236sin sin()33AMB BAM ABM ∠=∠+∠=+=由正弦定理sin sin AM ABABM AMB=∠∠，∴36sin 33sin 6AB ABMAM AMB⋅∠===∠63【点睛】本题考查正弦定理和两角和的正弦公式，属于基础题.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1(1)2nn n n S a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()*n N ∈，则1a=_________；3S =_________.【答案】 (1). 14- (2). 116-； 【解析】 【分析】（1）代入1n =即可求出.（2）根据n a 与n S 的关系，可得当2n ≥时，n a 与1n a -的递推关系，分别令3,4=n ，即可得出结果.【详解】（1）()*1(1)2=-∈-n n n n S a n N 当1n =时，1112=--a a ，解得114a =-.（2）当2n ≥时111111(1)(1)22----=-=----+n n n n n n n n n a S S a a ， 令3n =可得，3321184=---+a a a ，即32128=-a a ，令4n =可得，()44311168=---+a a a , 解得：3116=-a ，214a =则31231111441616=++=-+-=-S a a a . 【点睛】本题考查了通过n S 求n a ，递推式的应用，考查了逻辑推理能力与数学计算能力，属于中档题.16.已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________.【解析】 【分析】由题易得()2222x y xy +=-，然后由基本不等式可得()()222224x y x y ++≥-，最后可求得2x y +的最小值.【详解】将式子22462x y xy ++=变形为()2222x y xy ++=，即()2222x y xy +=-， 因为0x >，0y >， 所以()()222222222224x y x y x y xy ++⎛⎫+=-≥-=- ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时，等号成立）， 所以有()()222224x y x y ++≥-，即()25224x y +≥，故()2825x y +≥，所以2x y +≥则2x y +的最小值是5.故答案为：5. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 17.已知a →，b →是不共线的两个平面向量，a →与b →所成角为60°，4a b →→⋅=，若对任意的,m n R ∈，a mb +的最小值为()12nn a b -+的最小值是_________.【解析】 【分析】由a mb+的最小值为2a =，4b =，再由()222222[1](4)2(2)24n b n a b a n a n a -+=+---+，根据二次函数的性质，得到12n =时取得最小值，代入即可求解.【详解】由题意， a mb +的最小值为由2222222()28a mb b m ma b a b m m a +=+⋅+=++， 当24m b=-时，22min 216()3a mb a b+=-+=，即222316a b b ⋅=+，因为向量a 与b 所成角为60，4a b ⋅=，可得cos 604a b a b ⋅=⋅=，解得8a b ⋅=，所以222264a b a b ⋅=⋅=，代入上式，可得264316b =+，解得216b =，即4b =，可得2a =，又由()222222[1](4)2(2)24n b n a b a n a n a -+=+---+，当22244212ba a n +--==时，()2222min11111[1]()32244416n n a b a b a a b b -+=+=+⋅+=，所以()12nn a b -+【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量的模的运算，以及二次函数的图象与性质等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共5题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.已知函数2()2sin cos(2)13f x x x π=+--，x ∈R .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求()f x 的值域.【答案】（1）[,],63k k k Z ππππ-+∈；（2）(.【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简函数()sin(2)6f x x π=-，再结合三角函数的性质，即可求解； （2）由,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求得52,636x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的形式，即可求解. 详解】（1）由题意，函数2()2sin cos(2)13f x x x π=+--11cos 22cos 22cos 2sin(2)22226x x x x x x π=+-=-=-， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即函数()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈.（2）由,122x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可得52,636x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则sin 2(6x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭值域为(,1]2-. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，意在考查运算与求解能力.19.已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若35b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若2c =，且()()2a c a c +⊥-，求a 与c 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）(3,6)b =或(3,6)b =--；（2）. 【解析】 【分析】（1）设(,)b x y =，由//a b ，和35b =，列出方程组，求得,x y 的值，即可求解； （2）由()()2a c a c +⊥-，求得3a c ⋅=-，结合夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设(,)b x y =，因为//a b ，所以2y x =， ① 又因为35b =，所以2245x y +=， ② 由①②联立，解得(3,6)b =或(3,6)b =--.（2）由已知()()2a c a c +⊥-，可得()()22220a c a c a c a c +⋅-=--⋅=， 又由5a =，2c =，解得3a c ⋅=-，所以35cos a c a cθ⋅==-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的数量积的坐标运算的应用，意在考查运算与求解能力，属于基础题.20.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin sin sin b a B a A c C -+=，且2c =.（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3C π=；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将角化边，可得22()b a b a c -+=，结合余弦定理，即可求出结果．（2）利用已知及余弦定理，基本不等式可得4ab ≤，进而根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）由正弦定理得22()b a b a c -+=. 即222a b c ab +-=由余弦定理得222cos 122a b c C ab +-==.(0,)C π∈，3C π∴=.（2）由面积公式11sin sin 223S ab C ab π=== 由222a b c ab +-=，得到224ab a b +=+.由不等式222a b ab +≥，得到42ab ab +≥，4ab ∴≤..从而S =≤2a b ==时取等号.所以ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题． 21.已知数列{}n a 满足：11a =且121n n a a +=+， （1）证明：数列{}1n a +为等比数列； （2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，证明：2n T < 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1121n n a a ++=+（），由此证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得n a 的表达式，进而求得1na 的表达式，利用放缩法，结合等比数列前n 项和公式，证得不等式成立.【详解】（1）由121n n a a +=+，得1121n n a a ++=+（），可知{1}n a +为等比数列，且首项为112a +=，公比为2. （2）由（1）得到11222n n n a -+=⨯=，所以n 21n a =-..n n 1121a ∴=-. 即证明123n1111221212121n T =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<----. 因为111(2)212nn n -<≥-. 所以123n 211111111121212121222n n T -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+---- n1111-12221212n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭==-<-前1项单独验证，即当n =1时，有111221T =<-. 综上所述，2n T <.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查放缩法证明不等式，属于中档题. 22.已知函数2()5f x x bx =++.（1）若对于任意的(1,2)x ∈，()0f x >恒成立，求实数b 的取值范围；（2）记()f x 在[1]2，内的最大值为M ，最小值为m ，若n ≥M m -有解，求n 的取值范围.【答案】（1）92b >-；（2）14n ≥. 【解析】 【分析】（1）常变量分离，构造新函数，利用对钩函数的单调性进行求解即可 （2）要想n ≥Mm -有解，只需()min n M m ≥-，根据二次函数的对称轴与所给区间相对位置分类讨论求出M m -的表达式，最后根据二次函数的单调性求出M m -的最小值，最后确定n 的取值范围.【详解】（1）∵()0f x >在区间(1,2)上恒成立，∴25bx x >--在(1,2)x ∈上恒成立，即min 5()b x x-<+.设5()g x x x=+，该函数在x ∈时是单调递减函数， 所以()g x 在(1,2)x ∈时也是单调递减函数，因此min 59()(2)222g x g ==+=， 所以有9922b b -<⇒>-（2）∵n ≥M m -有解，∴()min n M m ≥-.①当b22-≥，即4b ≤-时， M m -(1)f =(2)f -=31b --≥..②当12b-≤，即2b ≥-时， M m -=(2)f -(1)f =31b +≥..③当122b<-<，即42b -<<-时， 所以21()524b m f b =-=-+ 当112()122b b --≥--时，即32b -≤<-时，(2)92M f b ==+，所以2211192(5)(4)444M m b b b -=+--+=+≥；当112()122b b --<--时，即43b -<<-时，(1)6M f b ==+，所以221116(5)(2)444M m b b b -=+--+=+≥，综上所述：()min 14M m -=，所以14n ≥.【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查不等式有解求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.。