2019-2020学年山东省青岛市高一上学期期中数学试题(解析版)
山东省青岛市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知命题:p n N *∀∈，2112n n >-，则命题p 的否定p ⌝为（ ） A ．n N *∃∈，2112n n ≤- B ．n N *∀∈，2112n n <-C ．n N *∀∈，2112n n ≤-D ．n N *∃∈，2112n n <-【答案】A【解析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可. 【详解】全称命题“n N *∀∈，2112n n >-”的否定为特称命题，故命题的否定为“n N *∃∈，2112n n ≤-”. 故答案为：A. 【点睛】这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件.2．由实数x ，﹣x ，|x |组成的集合中，元素最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案. 【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素. 故选：A . 【点睛】讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题. 3．设是两个实数，则“中至少有一个数大于1”是“”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】解：因为是两个实数，比如，x=1.1,y=1/2,则中至少有一个数大于1”不能推出反之也成立，因此“中至少有一个数大于1”是“”成立必要非充分条件4．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是 ( ) A ．若a>b ，则ac 2>bc 2 B ．若a bc c>，则a>b C ．若a 3>b 3且ab<0，则11a b > D ．若a 2>b 2且ab>0，则11a b<【答案】C【解析】根据不等式的性质，对A 、B 、C 、D 四个选项通过举反例进行一一验证． 【详解】A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2（错），若c=0，则A 不成立；B ．若a bc c>，则a ＞b （错），若c ＜0，则B 不成立； C ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则11a b >（对），若a 3＞b 3且ab ＜0，则00a b >⎧⎨>⎩D ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则11a b <（错），若00a b <⎧⎨<⎩，则D 不成立．故选：C ． 【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 5．已知210a +<,则关于x 的不等式22450x ax a -->的解集是 ( )C ．{}5x a x a -<< D ．{}5x a x a <<-【答案】A【解析】根据210a +<求得a 的范围，从而可得a -与5a 大小关系；由一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】210a +<Q 12a ∴<-5a a ∴-> 由()()224505x ax a x a x a =-+-->得：5x a <或x a >-∴不等式22450x ax a -->的解集为{5x x a <或}x a >-故选A 【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的求解，关键是能够通过参数的范围确定一元二次方程两根的大小关系.6．若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()g x =） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,3D ．[]1,3【答案】A【解析】根据f （x ）的定义域、二次根式有意义的条件，及分母不能为0，可判断g （x ）的定义域. 【详解】已知函数()y f x =的定义域是[]0,2， 可得g （x ）中的f （2x-1），0≤2x -1≤2，解得12≤x≤32，0>成立 ，解得x>1, 综上，得1<x≤32,故选A. 【点睛】本题考查了复合函数的定义域，对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x -a”所要满足的范围是一样的；即若f （x ）中m<x<n,则f （x+a ）中，m<x+a<n 。
7．已知函数245y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值5，最小值1，则m 得取值范围A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,4]【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1，当0x =或4x =时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】Q 函数22()45(2)1f x x x x =-+=-+的对称轴为2x =，此时，函数取得最小值为1，当0x =或4x =时，函数值等于5．又2()45f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为5，最小值为1，∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解二次函数在特定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性是解决该类问题的关键．8．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x ）=x 3+x 2+2，则f(1)+g(1)=( ) A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】D【解析】根据函数奇偶性及f(x)，g(x)的关系，求得各自的解析式，进而将1代入求得f(1)+g(1)的值。
【详解】因为f(x)-g(x ）=x 3+x 2+2 令x=-x代入得f(-x)-g(-x ）=-x 3+x 2+2因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数 所以f(x)+g(x ）=-x 3+x 2+2 联立，解方程组可得 f(x) = x 2+2 g(x ）=-x 3所以f(1)+g(1)=1+2-1=2本题考查了函数奇偶性的简单应用，解析式的求法，属于基础题。
9．函数2()(41)2f x x a x =--+，在[]-1,2上不单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,)4-∞- B ．15-44（，）C ．15-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．5(,)4+∞【答案】B【解析】根二次函数的图象与性质，可得其对称轴的方程为412a x -=，要使得函数()f x 在区间[]1,2-上不是单调函数，只需41122a --<<，即可求解. 【详解】由题意，二次函数2()(41)2f x x a x =--+的开口向上，对称轴的方程为412a x -=， 又因为函数()f x 在区间[]1,2-上不是单调函数，所以41122a --<<，解得1544a -<<，即实数a 的取值范围是15(,)44-，故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （x ）＝f （4﹣x ），当﹣2≤x ＜0时，f（x ）1x=，则f （72）＝（ ）A ．﹣2B ．27-C ．27D ．2【答案】D【解析】根据()(4)f x f x =-和奇函数，化简所求的表达式，代入已知条件求解即可. 【详解】 因为7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为112122f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭-且函数()f x 为奇函数， 所以11222f f ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.本题主要考查的是函数的奇偶性和周期性，考查学生的运算能力，是基础题.11．设集合{}1A m =，9，, {}2=B m ，1，若A B B =I ，则满足条件的实数m 的值是()A ．1或0B ．1，0或3C ．0，3或-3D ．0，1或-3【答案】C【解析】{}19A m =Q ，，, {}21B m =，，A B B ⋂= 29m ∴=或2m m =解得3m =±，或0m =，或1m =当3m =-时，{}193A =-，，, {}91B =，，成立， 当3m =时，{}193A =，，, {}91B =，，成立， 当0m =时，{}190A =，，, {}01B =，，成立， 当1m =时，{}191A =，，, {}11B =，，不成立，则满足条件的实数m 的值是033-，， 故选C二、填空题12．若幂函数mn y x =（*,m n N ∈且,m n 互素）的图象如下图所示,则下列说法中正确的是___________.m 、n 是奇数且1m n< m 是偶数，n 是奇数，且1m n > m 是偶数，n 是奇数，且1m n< m【答案】①③【解析】由图像知，函数mn y x =为偶函数，m 为偶数，n 为奇数，又在第一象限向上凸，所以1mn<,选③. 13．若“”是“”的充分不必要条件，则a 的最小值是______．【答案】2【解析】求解绝对值不等式可得|x|≤2的解集，再根据充分不必要条件的概念，可知，，进而得解.【详解】 由，得．“”是“”的充分不必要条件，⊆，．．即a 的最小值是2． 故填：2． 【点睛】本题考查了利用充分条件、必要条件确定参数；一般情况下，在涉及求字母参数的充分条件和必要条件中，常利用集合的包含、相等关系来解决；考查了数学转化思想方法，是基础题．14．已知f （x ）21,11,1x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，若f （x ）＝﹣1，则x ＝_____．【答案】0或2【解析】对x 进行讨论后代入相应的解析式,即可求得x 的值. 【详解】当1x >时，11x -+=-，解得2x =， 当1x ≤时，211x -=-，解得0x =， 综上0x =或2x =. 故答案为：0或2. 【点睛】本题考查实数值的求法，解题时要注意分段函数的性质的合理运用，是基础题. 15．已知实数0a >，0b >，且111a b +=，则3211a b +--的最小值为___________. 【答案】6()()325325a-11b a b a b +-==+--，再根据均值不等式得到最值即可.【详解】 根据题意得到111a b+=，变形为()()111ab a b a b =+⇒--=， 则3211a b +-- ()()325325a-11b a b a b +-==+-- 因为111a b +=，故得到()1132323255b a b a b a a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当32b aa b =时等号成立. 故3211a b +--≥故答案为：【点睛】本题考查了在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．已知函数2()2(1)f x x ax b a =-+>的定义域和值域都为[1,]a ，则b =______. 【答案】5.【解析】首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域[1，a]内是减函数，再根据函数的值域也是[1，a]，联立()()11f af a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可求b 的值．【详解】函数f （x ）=x 2﹣2ax+b （a ＞1）的对称轴方程为x=212aa --=＞， 所以函数f （x ）=x 2﹣2ax+b 在[1，a]上为减函数， 又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，则()()11f a f a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即221221a b a a a b -+=⎧⎨-+=⎩①②， 由①得：b=3a ﹣1，代入②得：a 2﹣3a+2=0，解得：a=1（舍），a=2． 把a=2代入b=3a ﹣1得：b=5．本题考查了二次函数的单调性，考查了函数的值域的求法，考查了方程思想，解答此题的关键是判断函数在给定定义域内的单调性，属于中档题题．三、解答题17．已知集合{}2331A x a x a =-<<+，集合{}54B x x =-<<. (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A B =？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）(][],41,1-∞-⋃-；（2）不存在实数a ，使得A B =.。
2019-2020学年山东省青岛市市北区七年级(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省青岛市市北区七年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．下列各数中，比2-小的数是( ) A ．5-B ．1-C ．0D ．12．将所给图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．4月24日是中国航天日．用科学记数法表示439000正确的是( ) A ．60.43910⨯B ．64.3910⨯C ．54.3910⨯D ．313910⨯4．如果多项式3(1)1m x n x --+是关于x 的二次二项式，则( ) A ．0m =，0n =B ．2m =，0n =C ．2m =，1n =D ．0m =，1n =5．下面关于有理数的说法正确的是( ) A ．0只能表示没有B ．符号不同的两个数互为相反数C ．一个数不是正数，就是负数D ．没有最小的有理数6．根据流程图中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为( )A ．2B ．4C ．6D ．87．如图所示的正方体的展开图是( )A ．B ．C ．D ．8．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A ，B ，C ，D ，先将圆周上的字母A 对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的2019-所对应的点与圆周上字母( )所对应的点重合．A ．AB ．BC ．CD ．D二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 9．多项式21234ab ab -+-的常数项为 ，次数为 ．10．在8-，2020，237，0，5-，13+，14， 6.9-中，正整数有m 个，负数有n 个，则m n+的值为 ．11．比较大小：56- 67-12．如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 ．（单位：)mm （用含x 、y 、z 的代数式表示）13．已知代数式224x y +的值是2-，则代数式226x y +-的值是 ．14．如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有 顶点，最少有 条棱．15．请将“7，2-，3-，1”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运结果为24或24-（可以加括号，但不可使用绝对值和相反数参与运算，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ．16．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n 个图案中的“”的个数是 （用含n 的代数式表示）三.作图题（本题满分6分）17．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．四.解答题（本题共有7道小题，满分66分） 18．（16分）计算（1）67(12)()(8)510---+--（2）1158(2)()4-÷-⨯-（3）33102(4)8-+--（4）2224(3)[()()]239-⨯----19．化简（1）22723x x x x -++（2）323311113()2()2332x y x y --+-20．先化简，再求值：22223(24)(3)x y xy xy x y ---+，其中12x =-，1y =．21．下表是在汛期中防汛指挥部对河流做的一星期的水位测量（单位：)cm ，（注：此河流的警戒水位为55厘米，“+”表示比河流的警戒水位高，“-”表示比河流的警戒水位低）星期 一 二 三 四 五 六 日 水位记录2.4+0.6+4.0-1.6-3.5+2.0+1.5-（1）本周河流水位最高的一天是 ，最低的一天是 ．这两天的实际水位分别是 ， ．（2）完成下面的本周水位变化表（上周末河流的水位比警戒水位低0.7厘米，注：规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“-”，不升不降记为0)星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（3）求与上周末相比，本周末河流水位上升了还是下降了？变化了多少？（要求写出求解过程）22．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示．请将所给代数式化简：|23|2|2||2||32|b b a b a --++---．23．观察下列等式： 第1个等式：224193⨯+== 第2个等式：2681497⨯+== 第3个等式：21416122515⨯+== ⋯解释这样的等式所包含的规律： （1）请写出第4个等式： ． （2）请写出第n 个等式： ．24．将有规律的整数1，2-，3，4-，5，6-，⋯按照如图所示的方式排成数阵．（1）用字母表示如图横行任意三个相邻的数的关系、、．（2）如图，方框中九个数之和与正中间数17有什么关系？请计算说明．（3）用这样的方框在数阵中移动（一直保持框出数阵中的9个数），那么方框中九个数之和与正中间数关系，还如（2）中一样成立吗？请用字母解释其中所包含的规律．2019-2020学年山东省青岛市市北区七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.1．下列各数中，比2-小的数是( ) A ．5-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知52-<-． 故选：A ．2．将所给图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：等腰三角形围绕对称轴旋转一周可形成圆锥． 故选：D ．3．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．4月24日是中国航天日．用科学记数法表示439000正确的是( ) A ．60.43910⨯B ．64.3910⨯C ．54.3910⨯D ．313910⨯【解答】解：5439000 4.3910=⨯， 故选：C ．4．如果多项式3(1)1m x n x --+是关于x 的二次二项式，则( ) A ．0m =，0n =B ．2m =，0n =C ．2m =，1n =D ．0m =，1n =【解答】解：由题意得：2m =，10n -=， 解得：2m =，1n =， 故选：C ．5．下面关于有理数的说法正确的是()A．0只能表示没有B．符号不同的两个数互为相反数C．一个数不是正数，就是负数D．没有最小的有理数【解答】解：A、由有理数的定义可知A错误；B、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故B错误；C、有理数包括：正数、负数和零，故C错误；D、没有最小的有理数，故D正确．故选：D．6．根据流程图中的程序，当输入数值x为2-时，输出数值y为()A．2B．4C．6D．8【解答】解：2x=-，不满足1x∴对应152y x=-+，故输出的值115(2)5156 22y x=-+=-⨯-+=+=．故选：C．7．如图所示的正方体的展开图是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据带有各种符号的面的特点及位置，可得如图所示的正方体的展开图是．故选：A ．8．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处标上字母A ，B ，C ，D ，先将圆周上的字母A 对应的点与数轴的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动、那么数轴上的2019-所对应的点与圆周上字母( )所对应的点重合．A ．AB ．BC ．CD ．D【解答】解：1(2019)2020--=， 20204505÷=（周)，所以应该与字母A 所对应的点重合． 故选：A ．二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 9．多项式21234ab ab -+-的常数项为 3- ，次数为 ．【解答】解：多项式21234ab ab -+-的常数项为：3-，次数为：3．故答案为：3-，3．10．在8-，2020，237，0，5-，13+，14， 6.9-中，正整数有m 个，负数有n 个，则m n+的值为 3 ．【解答】解：正整数有2020，13+，共2个； 负分数有 6.9-，共1个， 2m ∴=，1n =， 213m n ∴+=+=．故答案为：3．11．比较大小：56- > 67-【解答】解：55||66-=，66||77-=，∴5667<， 5667∴->-． 12．如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 246x y z ++ ．（单位：)mm （用含x 、y 、z 的代数式表示）【解答】解：包带等于长的有2x ，包带等于宽的有4y ，包带等于高的有6z ，所以总长为246x y z ++．故答案为：246x y z ++．13．已知代数式224x y +的值是2-，则代数式226x y +-的值是 7- ． 【解答】解：2242x y +=-，22(2)2x y ∴+=-， 221x y ∴+=-， 226x y ∴+-16=--7=-．故答案为：7-．14．如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有10顶点，最少有条棱．【解答】解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；或8个顶点、13条棱、7个面；或9个顶点、14条棱、7个面；或10个顶点、15条棱、7个面．如图所示：则剩下的几何体最多有10顶点，最少有13条棱，故答案为：10，13．15．请将“7，2-，3-，1”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运结果为24或24-（可以加括号，但不可使用绝对值和相反数参与运算，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式：[7(2)1](3)---⨯-．【解答】解：[7(2)1](3)---⨯-=⨯-8(3)=-．24故答案为：[7(2)1](3)---⨯-．16．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是31n+（用含n的代数式表示）【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，∴第n 个图案中共有“”为：43(1)31n n +-=+故答案为：31n +三.作图题（本题满分6分）17．如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．【解答】解：从正面和从左面看到的形状图如图所示：四.解答题（本题共有7道小题，满分66分） 18．（16分）计算（1）67(12)()(8)510---+--（2）1158(2)()4-÷-⨯-（3）33102(4)8-+--（4）2224(3)[()()]239-⨯----【解答】解：（1）67(12)()(8)510---+--67(128)()510=--+-1202=-+1192=-；（2）1158(2)()4-÷-⨯-151=-14=；（3）33102(4)8-+-- 108648=--- 1728=-；（4）2224(3)[()()]239-⨯----29()49=⨯--24=-- 6=-．19．化简（1）22723x x x x -++（2）323311113()2()2332x y x y --+-【解答】解：（1）原式22(7)(32)x x x x =++- 28x x =+；（2）原式32333223x y x y =-++-32356x y y =-+-．20．先化简，再求值：22223(24)(3)x y xy xy x y ---+，其中12x =-，1y =．【解答】解：原式222222612359x y xy xy x y x y xy =-+-=-， 当12x =-，1y =时，原式5923424=+=．21．下表是在汛期中防汛指挥部对河流做的一星期的水位测量（单位：)cm ，（注：此河流的警戒水位为55厘米，“+”表示比河流的警戒水位高，“-”表示比河流的警戒水位低）（1）本周河流水位最高的一天是 星期五 ，最低的一天是 ．这两天的实际水位分别是 ， ．（2）完成下面的本周水位变化表（上周末河流的水位比警戒水位低0.7厘米，注：规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“-”，不升不降记为0)星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（3）求与上周末相比，本周末河流水位上升了还是下降了？变化了多少？（要求写出求解过程）【解答】解：（1）本周河流水位最高的一天是星期五，最低的一天是星期三，这两天的实际水位分别是58.5，51；（2）完成下面的本周水位变化表（上周末河流的水位比警戒水位低0.7厘米，注：规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“-”，不升不降记为0)星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化3.1+2.5-2.1+3.7-7.2+5.8-4.3+（3）4.3(0.7)5--=，与上周末比，本周末河流水位上升了，上升了5厘米．故答案为：（1）星期五；星期三；58.5，51；（2） 3.1+， 2.5-， 2.1+， 3.7-，7.2+， 5.8-，4.3+．22．已知有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示．请将所给代数式化简：|23|2|2||2||32|b b a b a --++---．【解答】解：观察图形，可知：2b <-，12a <<， 230b ∴->，20b +<，20a -<，320b a -<，|23|2|2||2||32|(23)2(2)(2)(23)2342223832b b a b a b b a a b b b a a b a b∴--++---=----+---=-+++--+=-+．23．观察下列等式： 第1个等式：224193⨯+== 第2个等式：2681497⨯+== 第3个等式：21416122515⨯+== ⋯解释这样的等式所包含的规律：（1）请写出第4个等式： 23032196131⨯+== ．（2）请写出第n 个等式： ．【解答】解：（1）第4个等式为23032196131⨯+==， 故答案为：23032196131⨯+==；（2）第1个式子：224193⨯+==，即2222(22)21(21)-⨯+=-， 第2个式子：2681497⨯+==，即3332(22)21(21)-⨯+=-， 第3个式子：21416122515⨯+==，即4442(22)21(21)-⨯+=-， ⋯⋯∴第n 个等式为：1112(22)21(21)n n n +++-⨯+=-．故答案为：1112(22)21(21)n n n +++-⨯+=-．24．将有规律的整数1，2-，3，4-，5，6-，⋯按照如图所示的方式排成数阵．（1）用字母表示如图横行任意三个相邻的数的关系 1(1)a a +- 、 、 ． （2）如图，方框中九个数之和与正中间数17有什么关系？请计算说明．（3）用这样的方框在数阵中移动（一直保持框出数阵中的9个数），那么方框中九个数之和与正中间数关系，还如（2）中一样成立吗？请用字母解释其中所包含的规律．【解答】解：（1）设第一个数为1(1)a a +-，则第二个为2(1)(1)a a +-+，第三个数为3(1)(2)a a +-+， 故答案为：1(1)a a +-，2(1)(1)a a +-+，3(1)(2)a a +-+；（2）67(8)(16)17(18)(26)27(28)51-++-+-++-+-++-=-， 51173∴-÷=，∴方框中九个数之和是正中间数17的3-倍；（3）不一定成立，设第二行第一个数为1(1)a a +-，则第二个为2(1)(1)a a +-+，第三个数为3(1)(2)a a +-+， ∴第一行第一个数为1(1)(10)a a +--，则第二个为2(1)(110)a a +-+-，第三个数为3(1)(210)a a +-+-，第三行第一个数为1(1)(10)a a +-+，则第二个为2(1)(110)a a +-++，第三个数为3(1)(210)a a +-++，(1)(1)(1)(1)(2)(1)(10)(1)(110)(1)(210)(1)(10)(1)(110)(1)(210)(1)6(1)(1)3(1)a a a a a a a a a a a ∴-+-++-++--+-+-+-+-+-++-+++-++=-++-+当a 为偶数，则方框中九个数之和3(1)a -+， ∴方框中九个数之和是正中间数的3-倍，当a 为奇数，则方框中九个数之和3(1)a +， ∴方框中九个数之和是正中间数的3倍．。
2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省聊城市高一上学期期中数学试题一、单选题1．设{}3,5,6,8A =，{}4,5,7,8B =，则A B =（ ） A ．{}5 B ．{}5,8 C ．{}3,4,5,6,7,8D ．∅【答案】B【分析】应用集合的交集运算求结果. 【详解】由题设A B ={}3,5,6,8{}4,5,7,8{5,8}=.故选：B2．命题“R x ∃∈，202xx +≤”的否定是（ ） A ．R x ∃∈，202xx +≥ B ．R x ∃∈，202x x +> C ．R x ∀∈，202x x +> D ．R x ∀∈，202x x +≤ 【答案】C【分析】由存在量词命题的否定求解即可【详解】命题“R x ∃∈，202xx +≤”的否定是： R x ∀∈，202xx +>， 故选：C3．设集合{}23,Z A x x x =<∈，则A 的真子集共有（ ）A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个【答案】B【分析】求出集合A ，再由真子集概念求解即可.【详解】集合{}{}{}23,Z Z 1,0,1A x x x x x x =<∈=<∈=-，所以集合A 的真子集有{}{}{}{}{}{},1,0,1,1,0,0,1,1,1∅---，共7个. 故选：B.4．使12x +>成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．3x <- B ．0x > C ．3x <-或1x >D ．3x <-或0x >【答案】D【分析】解绝对值不等式可得1x >或3x <-，根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关系即可. 【详解】由12x +>，可得1x >或3x <-， 所以3x <-是12x +>的充分不必要条件， 0x >是12x +>的既不充分也不必要条件，3x <-或1x >是12x +>的充要条件， 3x <-或0x >是12x +>的必要不充分条件.故选：D5．设集合P ，Q 都是实数集R 的子集，且()RP Q =∅，则P Q =（ ）A ．∅B ．RC ．QD ．P【答案】D【分析】由题设交集的结果知P Q ⊆，进而可得P Q . 【详解】由()RPQ =∅知：P Q ⊆，所以P Q P =. 故选：D6．已知函数()248f x kx x =--在[]5,20上单调递增，则实数k 的取值范围为（ ）A ．140k ≥ B ．0k < C ．140k ≥或0k < D ．140k ≥或0k ≤ 【答案】A【分析】根据题意分析，有0k =、0k <、0k >三种情况.0k =时，函数为一次函数，可直接判断是否符合题意； 0k <、0k >时直接利用函数对称轴和区间的关系可求出结果.【详解】解：当0k =时，()8f x x =--在区间[]5,20上单调递减，不符合题意； 当0k ≠时，函数()f x 对称轴为18x k=， 有01208k k<⎧⎪⎨≥⎪⎩或0158k k >⎧⎪⎨≤⎪⎩，即140k ≥. 综上所述，实数k 的取值范围为140k ≥. 故选：A.7．已知0a >，0b >，且1ab =，不等式114ma b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D ．[)8,+∞【答案】B【分析】由题设24()()m a b a b ≥+-+，利用基本不等式求a b +取值范围（注意等号成立条件），再应用二次函数性质及恒成立确定正实数m 的范围.【详解】由题设2114()()()4()()m a b a b a b a b a b≥+-++=+-+恒成立，而224()()4(2)a b a b a b +-+=-+-，又22a b ab +≥=仅当1a b ==时等号成立， 所以24()()4a b a b +-+≤，且等号成立条件同上，故4m ≥. 故选：B8．在同一坐标系中，函数()()0af x x x =≥，()()0ag x x x=>的图象不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】讨论a 的范围，结合幂函数图象的性质判断函数的可能情况，即可得答案.【详解】当a<0时，()()0af x x x =≥不过原点，在第一象限且递减，()()0ag x x x=>在第四象限且递增，如C 所示；当0a =时，()1f x =且0x >，()()10g x x x=>，没有符合要求的图象； 当0a >时，()()0ag x x x=>在第一象限且递减，若01a <<时，()()0af x x x =≥过原点，在第一象限且递增，没有符合要求的图象；若1a ≥时，()()0af x x x =≥过原点，在第一象限且递增，如A 、B 所示.故选：D二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若x ，y ∈R 且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1B ．若a ∈Z ，则a -∈ZC ．0a b +=的充要条件是1ab=- D ．x ∃∈R ，220x +≤ 【答案】AB【分析】利用反证法，特例法，结合整数的性质、任意性和存在性的定义逐一判断即可.【详解】A ：假设x ，y 都不大于1，即1,1x y ≤≤，所以2x y +≤，因此2x y +>不成立，所以假设不成立，因此本命题是真命题；B ：因为所有的整数的相反数还是整数，所以本命题是真命题；C ：当0a b 时，代数式ab没有意义，因此本命题是假命题；D ：因为x ∀∈R ，都有220x +>成立，所以本命题是假命题， 故选：AB10．给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a b M ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}2,1,0,1,2M =--为闭集合 B ．整数集是闭集合C ．集合{}2,Z M n n k k ==∈为闭集合D ．若集合1A ，2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 【答案】AD【分析】根据闭集合定义判断B 、C 正误，并结合特殊值法判断A 、D 的正误； 【详解】A ：显然2,2a b =-=时，4a b M -=-∉，故不为闭集合； B ：由任意两个整数相减或相加都是整数，所以整数集是闭集合；C ：若2a k =，2()b k n =+且,Z k n ∈，故2(2)ab k n M ，2a b n M ，故为闭集合； D ：若1{|2,Z}x x k A k ==∈，2{|3,Z}x x k A k ==∈，显然有12235A A +=∉，故12A A ⋃不为闭集合；故选：AD11．设1a >，1b >，且()2ab a b -+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．a b +有最小值)21+B ．a b +有最大值4+C ．ab 有最大值4+D ．ab 有最小值4+【答案】AD【分析】由已知结合基本不等式分别检验计算即可判断各选项正确与否.【详解】解：由于1a >，1b >，则a b +≥()2ab a b -+=得()2ab a b =++所以a b +≥()()2480a b a b +-+-≥，解得(21a b +≤（舍）或)21a b +≥，当且仅当1a b ==a b +有最小值)21，故A 正确，B 不正确；由a b +≥，又()2ab a b -+=得2a b ab +=-所以2ab -≥()2840ab ab -+≥，解得41ab ≤-（舍）或4ab ≥+，当且仅当1a b ==ab 有最小值4+C 不正确，D 正确； 故选：AD.12．设函数()()()4,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()()13f f =-C ．()f x 的单调递减区间是(],2-∞-，[]0,2D ．()f x 有最小值4- 【答案】BCD【分析】根据奇偶性的判断，即可求解A ，代入自变量即可求解B,根据二次函数的性质以及偶函数的性质即可判断C ，结合函数的单调性和奇偶性即可求解D.【详解】对于A;若0x <，则0x ->，则(4)((4)())x x x x f f x x ---=+=-=， 若0x >，则0x -<，则()(4)(4)()f x x x x x f x -=--+=-=， 则()()f x f x -=,故()f x 为偶函数，A 错误， 对于B;31133f f f ,f,故B 正确，对于C;当0x >时，2424f xx x x ，此时()f x 在(]0,2单调递减，在[)2,∞+单调递增，由于()f x 为偶函数，故当0x <时，()f x 在(],2-∞-单调递减， 故()f x 的单调递减区间是(],2-∞-，[]0,2，C 正确， 对于D;当0x >时，2424f xx x x ，当2x =时，()f x 取最小值4-，根据偶函数，可知在定义域内，()f x 的最小值为4-， 故选：BCD三、填空题13．设a ，R b ∈，{},2P a =，{}1,Q b =-，若P Q =，则a b +=______． 【答案】1【分析】由集合相等可得1,2a b =-=，即可求目标式的值. 【详解】由题意1,2a b =-=，故1a b +=. 故答案为：114．若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为______．【答案】32m -≤<-或45m <≤【分析】先按实数m 分类讨论求得不等式()210x m x m -++<的解集，再利用题给条件列出实数m 的不等式，进而求得实数m 的取值范围【详解】由()210x m x m -++<，可得()()10x m x --< ①当1m <时，不等式()210x m x m -++<的解集为(),1m若(),1m 中恰有3个正整数，则32m -≤<-；②当1m =时，不等式()210x m x m -++<的解集为∅，不符合题意；③当1m >时，不等式()210x m x m -++<的解集为()1,m若()1,m 中恰有3个正整数，则45m <≤综上，实数m 的取值范围为32m -≤<-或45m <≤ 故答案为：32m -≤<-或45m <≤15．若11a b -<+<，23a b <-<，35t a b =+，则t 的取值范围为______． 【答案】72t -<<【分析】将t 用a b +和a b -表示，利用不等式的同向可加性，求出t 的范围.【详解】设()()35t a b a b a b λμ=+=++-，则35λμλμ+=⎧⎨-=⎩，解得41λμ=⎧⎨=-⎩，所以()()4t a b a b =+--，因为11a b -<+<，23a b <-<，所以44()4a b -<+<，()32a b -<--<-， 所以72t -<<. 故答案为：72t -<<.16．已知函数()y f x =，x ∈R ，给出以下结论： （1）若对任意1x ，2x ，且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，则()f x 为R 上的增函数；（2）若()f x 为R 上的奇函数，且在()0,∞+内是增函数，()20f =．则()()10x f x -<的解集为()()2,01,2-；（3）若()f x 为R 上的奇函数，则()y xf x =是R 上的偶函数；（4）若)13fx =+，则()()2241=-+≥f x x x x ．其中正确的结论是______． 【答案】（2）（4）【分析】由函数的单调性，奇偶性，换元法求解析式对结论逐一判断， 【详解】对于（1），若对任意1x ，2x ，且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-，故()f x 在R 上单调递减，故（1）错误，对于（2），若()f x 为R 上的奇函数，且在()0,∞+内是增函数，()20f = 则02x <<或<2x -时，()0f x <，2x >或20x -<<时，()0f x >，()()10x f x -<等价于10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，故()()10x f x -<的解集为()()2,01,2-，故（2）正确，对于（3），对于()()g x xf x =，()())(()g x xf x x g x f x =-=--=--， 故()y xf x =是R 上的奇函数，故（3）错误，对于（4）1,1t t =≥，则22()(1)324(1)f t t t t t =-+=-+≥，()()2241=-+≥f x x x x ，故（4）正确，故答案为：（2）（4）四、解答题17．已知集合{}12A x x =-≤<，{}1B x x =>． (1)求集合()R B A ⋂；(2)设集合{}6M x a x a =<<+，且A M A ⋂=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(){}R 11B A x x ⋂=-≤≤ (2){}41a a -<<-【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；（2）根据A M A ⋂=可得出A M ⊆，然后即可得出162a a <-⎧⎨+>⎩，然后解出a 的范围即可．【详解】（1）{}1B x x =>，则{}R 1B x x ≤＝， 又{}12A x x =-≤<，所以(){}R 11B A x x ⋂=-≤≤； （2）∵A M A ⋂=，∴A M ⊆，且{}6M x a x a =<<+，∴162a a <-⎧⎨+>⎩，解得41a -<<-，∴实数a 的取值范围为:{}41a a -<<-18．已知函数()22f x x ax =-+，()0f x >的解集为{|1x x <或}x b >．(1)求实数a ，b 的值； (2)0x ∃>，0y >，当6a bx y+=时，有2232x y k k +≤++成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)32a b =⎧⎨=⎩；(2)2k ≤-或1k ≥.【分析】（1）由1,b 是220x ax -+=的两个实根，结合根与系数关系列方程求参数值；（2）将问题转化为2min 2(23)k k x y ++≥+，结合基本不等式“1”的代换求23x y +最小值，再解一元二次不等式求参数范围.【详解】（1）由题设1,b 是220x ax -+=的两个实根，故12b a b +=⎧⎨=⎩，可得32a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知：0x ∃>，0y >，当326x y+=时2232x y k k +≤++成立，而132149123(23)()(12)(124666x y x y x y x y y x +=++=⋅++≥⋅+=， 当且仅当23x y =，即21,3x y ==时等号成立， 所以224k k ++≥，即22(2)(1)0k k k k +-=+-≥，可得2k ≤-或1k ≥.19．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[]3.54-=-，[]2.12=． (1)若()3f a =，求实数a 的取值范围； (2)当(]1.5,2x ∈-时，写出函数()f x 的解析式． 【答案】(1)[3,4)a ∈(2)()2, 1.511,100,011,122,2x x f x x x x --<<-⎧⎪--≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪=⎪⎩【分析】（1）利用[]x 的定义求解；（2）当(]1.5,2x ∈-时，将()f x 的解析式写成分段函数.【详解】（1）若()3f a =，则[]3a = ，[]x 表示不超过x 的最大整数知[3,4)a ∈. （2）当(]1.5,2x ∈-时，()2, 1.511,100,011,122,2x x f x x x x --<<-⎧⎪--≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪=⎪⎩20．已知函数()()2R mf x x m x=-∈的图象过点()1,3P ． (1)求函数()y f x =的解析式，并判断奇偶性；(2)判断函数()y f x =的在⎫+∞⎪⎪⎝⎭的单调性，并用定义证明你的结论． 【答案】(1)1()2f x x x=+且{|0}x x ≠，为奇函数，证明见解析； (2)()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，证明见解析.【分析】（1）将已知点代入解析式求得1m =-，再根据奇偶性定义判断()f x 奇偶性； （2）利用单调性定义判断()f x 的单调性.【详解】（1）由题设(1)23f m =-=，则1m =-，故1()2f x x x=+且定义域为{|0}x x ≠， 又11()2(2)()f x x x f x x x-=-+=-+=--，即()f x 为奇函数. （2）()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增，证明如下：令12x x >2112121212121212111()()222()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+--=-+=--， 又121210,2x x x x ->>，则12120->x x ，故12()()f x f x >. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增. 21．某服装厂计划投入80万元，全部用于甲、乙两种服装的生产，每种服装生产至少要投入10万元．在对市场进行调研分析发现生产甲服装的收益M ，生产乙服装的收益N 与投入a （单位：万元），满足425,1049404970a a M a ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，，1202N a =+．设投入x （单位：万元）生产甲服装，两种服装的总收益为y ．(1)当甲服装的投入为36万元时，求生产两种服装的总收益；(2)试问如何安排两种服装的生产投入，才能使总收益最大？【答案】(1)91万元(2)甲服装厂投入生产16万元，乙服装厂投入生产64万元.【分析】(1)结合所给的关系式求解甲服装的投入为36万元时，生产两种服装的总收益即可；(2)首先确定函数的定义域，然后结合分段函数的解析式分类讨论确定最大收益的安排方法即可.【详解】（1）当甲服装的投入为36万元时，生产两种服装的总收益为143625(8036)20912y =++⨯-+=(万元). （2）由已知可得：生产两种服装的总收益1485,104921100,49702x x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩， 当1049x ≤≤时，211485(4)9322y x x x =-+=--+， 当16x =时，总收益最大为93(万元)，当4970x <≤时，111001004975.522y x =-<-⨯=(万元)， 综上所述：甲服装厂投入生产16万元，乙服装厂投入生产64万元时取得最大总收益最大. 22．已知二次函数()21f x ax bx b =-++的图象如图：(1)求实数a ，b 的值；(2)若()()f x g x m x=+为奇函数，求实数m 的值；(3)若()()0f x m v x x-=≥在[]3,1--上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1,2a b =-=(2)2m =(3)4m ≥【分析】（1）根据二次函数的图象列式求解即可得实数a ，b 的值；（2）由（1）得()f x ，即可得()g x 的解析式，根据奇函数的定义即可得实数m 的值；（3）由于()()0f x m v x x-=≥在[]3,1--上恒成立，转化为()m f x ≥在[]3,1--上恒成立，根据二次函数单调性即可得()f x 得最值，从而得实数m 的取值范围．【详解】（1）解：根据二次函数图象可得()012110a b a f a b b <⎧⎪-⎪-=-⎨⎪=-++=⎪⎩，所以1,2a b =-=； （2）解：由（1）得，()223f x x x =--+所以()32g x x m x =--++，则()(),00,x ∈-∞⋃+∞，所以()32g x x m x-=--+， 由于()g x 为奇函数，则()()0g x g x +-=，所以420m -+=，解得：2m =；（3）解：()()0f x m v x x-=≥在[]3,1--上恒成立，则()m f x ≥在[]3,1--上恒成立 又()()222314f x x x x =--+=-++，所以()f x 在[]3,1--上单调递增所以()()max 14f x f =-=则4m ≥.。
2019-2020学年人教A版山东省青岛市胶州市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．81003．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞011．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．212．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4三、填空题13．若tanθ＝2，则＝．14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．四、解答题17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A．πB．C．D．【分析】根据弧长的公式l＝，代入直接求解即可．解：根据弧长的公式l＝，得l＝＝π．故选：A．2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼的游速为m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）A．900 B．1600 C．2700 D．8100【分析】令v＝得，，解出Q即可．解：令v＝得，，∴，∴，∴Q＝2700，故选：C．3．函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（）A．（﹣2，）B．（﹣2，] C．（﹣2，+∞）D．（）【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣2＜x＜．∴函数f（x）＝+lg（x+2）的定义域是（﹣2，）．故选：A．4．角θ的终边上一点，则＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得所给式子的值．解：角θ的终边上一点，则＝sinα＝＝，故选：A．5．已知θ∈（0，π），则“”的必要不充分条件是（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的特殊值和充分必要条件的定义即可判断．解：θ∈（0，π），则“”，则sinθ＝，若sinθ＝，则θ＝或θ＝，故“”的必要不充分条件是sinθ＝，故选：B．6．函数f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．不确定【分析】画出图象，根据函数的单调性值域即可得出．解：画出图象，lg1＝0，lg10＝1，cos x∈[﹣1，1]，可得f（x）＝lgx与g（x）＝cos x的图象的交点个数为3．故选：C．7．函数f（x）＝cos2x+sin x（x∈R）的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【分析】配方后得到关于sin x的二次函数，由x取任意实数，得到sin x∈[﹣1，1]，利用二次函数的性质即可求出函数的最大值．解：f（x）＝cos2x+sin x＝1﹣sin2x+sin x＝﹣sin2x+sin x+1＝﹣（sin x﹣）2+，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，则sin x＝时函数的最大值为．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（1）＝1，则f（2019）+f（2020）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由f（x）＝f（x+4）可得f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），结合奇函数的性质求出f（0）与f（1）的值，相加即可得答案．解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1），f（2020）＝f（505×4）＝f（0），又由函数f（x）是定义在R上的奇函数且f（1）＝1，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，则f（2019）+f（2020）＝f（0）+f（﹣1）＝﹣1；二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．下列函数是偶函数的是（）A．f（x）＝tan x B．f（x）＝sin x C．f（x）＝cos x D．f（x）＝lg|x| 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝tan x，是正切函数，是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）＝sin x，是正弦函数，是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝cos x，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D，f（x）＝lg|x|，其定义域为{x|x≠0}有f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），是偶函数，符合题意；故选：CD．10．已知a＝30.1，b＝log0.93，c＝sin（cos1），则下述正确的是（）A．a＞b B．a＞c C．b＞c D．b＞0【分析】利用指数对数函数、三角函数的单调性即可得出．解：a＝30.1＞1，b＝log0.93＜0，c＝sin（cos1）∈（0，1），则：a＞c＞b．故选：AB．11．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】画出函数f（x）的图象，进而得出结论．解：画出函数f（x）的图象，x∈[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣2）2+1．若函数g（x）＝f（x）﹣m恰有2个零点，则实数m＝1，或m≤0．因此m可以为﹣1，0，1．12．已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（）A．tanα+tanβ＝﹣k B．tan（α+β）＝﹣kC．D．k+tanα≥4【分析】由题意利用韦达定理，基本不等式，得出结论．解：∵已知，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，∴k＞2＝2，故选：BC．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若tanθ＝2，则＝．【分析】由已知可得，＝，代入即可求解．解：若tanθ＝2，则＝＝．故答案为：14．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为 2 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由f（x）过点（2，），知2a＝，由此能求出f （4）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（2，），∴2a＝，a＝∴f（4）＝＝2，故答案为：2．15．求值：sin220°（tan10°﹣）＝ 1 ．【分析】由已知结合同角基本关系及两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式对已知式子进行化简即可求解．解：：sin220°（tan10°﹣）＝﹣sin40°（），＝＝﹣sin40°×，＝＝＝1．故答案为：1．16．已知函数，g（x）＝x2﹣2x，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是[0，1] ．【分析】先分别求出f（x）和g（x）的值域，再根据“任意”是“存在”的子集列式解得即可．解：当x∈[，2]时，f（x）＝log x+a为递减函数，∴f（x）∈[﹣1+a，2+a]；当x∈[﹣1，2]时，g（x）＝x2﹣2x∈[﹣1，3]，对任意的，总存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）＝g（x2）⇔[﹣1+a，2+a]⊆[﹣1，3]，∴，解得0≤a≤1，故答案为[0，1]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．（1）求B∩C；（2）设全集U＝R，求（∁U A）∩C；（3）若，证明：a∈A∪B．【分析】（1）首先确定A、B，C，然后根据交集的定义求解即可；（2）先求出其补集，然后根据交集的定义求解即可；（3）先根据指数和对数的运算性质求出a即可求出结论解：因为集合A＝{y|y＝2x，﹣1≤x≤2}，集合B＝{x∈R|﹣1＜lnx≤2}，集合C＝{x∈R|x2﹣x﹣6≥0}．∴A＝[，4]；B＝（，e2），C＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）∴B∩C＝[3，e2）；（2）全集U＝R，∁U A＝（﹣∞，∪（4，+∞）；∴（∁U A）∩C═（﹣∞，﹣2]∪（4，+∞）；（3）∵＝lg0.05﹣7+9﹣lg＝lg0.1+2＝1；∴1∈A，1∈B；∴a∈A∪B．18．已知函数f（x）＝1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn ＞0）上．（1）求的最小值；（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．【分析】（1）先求出函数f（x）过的定点A的坐标，代入直线方程，再利用基本不等式即可求出结果；（2）由x的范围，算出log2x的范围，即可求出y的值域．解：（1）∵log a1＝0，∴函数f（x）＝1+log a x的图象恒过点A的坐标为（1，1），∵点A（1，1）在直线y＝mx+n（mn＞0）上，∴m+n＝1，∵mn＞0，∴∴，当且仅当m＝n时，等号成立，∴的最小值为4；（2）当a＝2时，f（x）＝1+log2x，∴＝，∵2≤x≤4，∴1≤log2x≤2，∴3≤y≤6，∴y的值域为：[3，6]．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在上的最小值．【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式及单调性即可分别求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解函数的值域，进而可求最小值．解：（1）＝＝2sin（2x+）+3，T＝π，令2x+，k∈Z，解可得，，即函数的单调递减区间为（），k∈Z，（2）由0≤x可得，2x+，所以﹣sin（2x+）≤1即函数的最小值2．20．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）在R上的最大值为，f（0）＝1．（1）若点在f（x）的图象上，求函数f（x）图象的对称中心；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在上为增函数，求ω的最大值．【分析】（1）由题意，A＝，再由f（0）＝1，求得φ，结合点在f（x）的图象上求得ω，则函数解析式可求，进一步求得函数的对称中心坐标；（2）由题意求得函数g（x）的解析式，得到函数的增区间，再由y＝g（x）在上为增函数列关于ω的不等式组求解．解：（1）由题意，A＝，由f（0）＝φ＝1，得sinφ＝，∵0＜φ＜，∴φ＝，则f（x）＝．又，∴sin（）＝1．得＝，k∈Z．∴ω＝2+16k，k∈Z．∵0＜ω＜16，∴取k＝0，得ω＝2．∴f（x）＝．由，得x＝，k∈Z．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝sin（4x）．由，k∈Z，，k∈Z，取k＝0，得．由y＝g（x）在上为增函数，得，解得．∴ω的最大值为2．21．如图，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．（1）求角θ的取值范围；（2）求出△EFG周长l关于角θ的函数解析式f（θ），并求△EFG周长l的取值范围．【分析】（1）分析出何时最大何时最小即可求出其范围；（2）在三个直角三角形中分别求出三边长，再结合三角函数的取值范围即可求解解：（1）因为长方形ABCD中，AB＝2，BC＝，点E，F，G分别在线段AB，BC，DA（含端点）上，E为AB中点，EF⊥EG，设∠AEG＝θ．∴当点F在点C时，这时角θ最小，求得此时θ＝；当点G在D点时，这时角θ最大，求得此时θ＝．∴角θ的取值范围：[，]；（2）△EFG周长l＝EG+EF+FG＝++；∴f（θ）＝；θ∈[，]；设sinθ+cosθ＝t，则sinθ•cosθ＝；∴f（θ）＝＝由θ∈[，]；得≤θ+≤，得≤t≤，∴≤t﹣1≤﹣1，从而+1≤≤+1，当θ＝时，f（θ）min＝2（+1），当θ＝或时，f（θ）max＝2（+1），∴△EFG周长l的取值范围：[2（，2（+1）]22．设函数f（x）的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）+f （x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间．（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；（3）已知函数在区间[0，+∞）上的图象连续不断，且在[0，+∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，+∞）不是函数f（x）的V区间．【分析】（1）由函数f（x）的V区间的定义，结合对数的运算性质，即可得证；（2）由函数f（x）的V区间的定义和指数函数的单调性，结合不等式的性质，可得所求范围；（3）运用函数的零点存在定理和函数f（x）的V区间的定义，证明函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，即为f（x）在[π，+∞）上不存在零点，可得证明．解：（1）证明：设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2），若f（x1）+f（x2）＝1，则+lgx1++lgx2＝1，所以lgx1+lgx2＝lg（x1x2）＝0，即x1x2＝1，取x1＝，x2＝，满足定义，所以区间（0，2）是函数f（x）＝+lgx的V区间；（2）因为区间[0，a]是函数f（x）＝（）x的V区间，所以∃x1，x2∈[0，a]（x1＜x2），使得（）+（）＝1，因为f（x）＝（）x在[0，a]上单调递减，所以（）＞（）a，（）≥（）a，（）+（）≥2•（）a＝（）a﹣1，所以（）a﹣1＜1，即a﹣1＞0，即a＞1，故所求实数a的取值范围为（1，+∞）；（3）证明：因为f（）＝＞0，f（π）＝﹣＜0，所以f（x）在（，π）上存在零点．又因为f（0）＝0，所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点．因为函数f（x）在[0，+∞）上仅有2个零点，所以f（x）在[π，+∞）上不存在零点，又因为f（π）＜0，所以∀x∈[π，+∞），f（x）＜0，所以∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），f（x1）+f（x2）＜0，即因此不存在∀x1，x2∈[π，+∞）（x1＜x2），满足f（x1）+f（x2）＝1，所以区间[π，+∞），不是函数f（x）的V区间．。
山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y ==，()A B =R（ ）A ．(]1,2B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[]0,1 2.下列各式正确的为（ ） A ．35a -= B ．3642x x = C ．111111248824a a aa⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭=D ．112333142212x x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．（参考数据1328192=） A ．15B ．14C ．13D ．124.已知21(),()2xf x x mg x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),0)(0,1-∞C ．()0,+∞D ．[0,1)6.若函数||2()3x f x x =+，则不等式(1)(24)f x f x +≥-的解集为（ ） A ．[3,)+∞B ．(,2]-∞C ．[2,3]D ．[1,5]7.已知函数22,2(),2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)4,-+∞C ．(),4-∞-D ．(],4-∞-8.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，若方程2[()](1)()0f x a f x a -++=有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的为（ ）A.01a =B.3512⎛⎫ ⎪⎝⎭<1235⎛⎫ ⎪⎝⎭<1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2x f x =与()2x g x -=关于x 轴对称D.函数()22x x f x -=-是(,)-∞+∞上的增函数10.对任意实数1a >，函数1(1)1x y a -=-+的图象必过定点A (,)m n ，()xn f x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[]0,2x ∈，()(2)()g x f x f x =+，则下列说法正确的为（ ） A ．1,2m n ==B ．2,1m n ==C ．()g x 的值域为[]2,6D ．()g x 的值域为[]2,2011.已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．0a <，0c <B ．0a <，0c >C ．0b >D ．332a c +<12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4-=-，[2.3]2=.已知13()31xx f x -=+，则函数[()]y f x =的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()f x 满足如下条件：①()()()f x y f x f y +=；②函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是()f x =___________（答案不唯一，写出一个即可）.14.设函数2,0()1,0x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.设0a >，且1a ≠，函数2()1x x f x a a =+-在[1,1]-上的最大值为5，则实数a 的值为_____________.16.已知函数()()2,1,2,1,x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=_____________，22222341x x x x +++的取值范围为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知f (x )＝131x +， （1）求(0)f ；（2）探求()()f x f x +-的值；（3）利用（2）的结论求(5)(4)(3)(5)f f f f -+-+-+⋅⋅⋅+的值．18.（1）计算：()111123204252740.0625π4825-⎫⎫⎫⎛⎛⎛-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭；（2）已知13x x -+=，求1332x x x x ---+-的值.19.已知函数()22((,),(,))x x f x m x m -=+⋅∈-∞+∞∈-∞+∞． （1）若()f x 为奇函数，求m 的值和此时不等式3()2f x >的解集； （2）若不等式()4f x ≤对[1,2]x ∀∈-恒成立，求m 的取值范围．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ，假定函数()2ax b f x +=，a 、b 为实数，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域为(0,1].（1）求a 、b 的值；（2）现有(0)t t >单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.21. 已知函数1()423,[1,2]x x f x x λ+=-+∈-， （1）若32λ=，求()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值为1，求λ的值.22.已知定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x ≥时，1()423x x f x --+=+-. （1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.()f x t 22(2)(2)0f t t f t k -+-<k▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y ==，()A B =R（ ）A ．(]1,2B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[]0,1 2.下列各式正确的为（ ） A．35a -= B ．3642x x = C ．111111248824a a aa⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭=D ．112333142212x x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．（参考数据1328192=） A ．15B ．14C ．13D ．124.已知21(),()2xf x x mg x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),0)(0,1-∞C ．()0,+∞D ．[0,1)6.若函数||2()3x f x x =+，则不等式(1)(24)f x f x +≥-的解集为（ ） A ．[3,)+∞B ．(,2]-∞C ．[2,3]D ．[1,5]7.已知函数22,2(),2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)4,-+∞C ．(),4-∞-D ．(],4-∞-8.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，若方程2[()](1)()0f x a f x a -++=有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的为（ ）A.01a =B.3512⎛⎫ ⎪⎝⎭<1235⎛⎫ ⎪⎝⎭<1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2x f x =与()2x g x -=关于x 轴对称D.函数()22x x f x -=-是(,)-∞+∞上的增函数10.对任意实数1a >，函数1(1)1x y a -=-+的图象必过定点A (,)m n ，()xn f x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[]0,2x ∈，()(2)()g x f x f x =+，则下列说法正确的为（ ） A ．1,2m n ==B ．2,1m n ==C ．()g x 的值域为[]2,6D ．()g x 的值域为[]2,2011.已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．0a <，0c <B ．0a <，0c >C ．0b >D ．332a c +<12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4-=-，[2.3]2=.已知13()31xx f x -=+，则函数[()]y f x =的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14. 已知函数()f x 满足如下条件：①()()()f x y f x f y +=；②函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是()f x =___________（答案不唯一，写出一个即可）.14.设函数2,0()1,0x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.设0a >，且1a ≠，函数2()1x x f x a a =+-在[1,1]-上的最大值为5，则实数a 的值为_____________.16.已知函数()()2,1,2,1,x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=_____________，22222341x x x x +++的取值范围为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知f (x )＝131x +， （1）求(0)f ；（2）探求()()f x f x +-的值；（3）利用（2）的结论求(5)(4)(3)(5)f f f f -+-+-+⋅⋅⋅+的值．18.（1）计算：()111123204252740.0625π4825-⎫⎫⎫⎛⎛⎛-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭；（2）已知13x x -+=，求1332x x x x ---+-的值.19.已知函数()22((,),(,))x x f x m x m -=+⋅∈-∞+∞∈-∞+∞． （1）若()f x 为奇函数，求m 的值和此时不等式3()2f x >的解集； （2）若不等式()4f x ≤对[1,2]x ∀∈-恒成立，求m 的取值范围．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ，假定函数()2ax b f x +=，a 、b 为实数，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域为(0,1].（1）求a 、b 的值；（2）现有(0)t t >单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.22. 已知函数1()423,[1,2]x x f x x λ+=-+∈-， （1）若32λ=，求()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值为1，求λ的值.22.已知定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x ≥时，1()423x x f x --+=+-. （1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.()f x t 22(2)(2)0f t t f t k -+-<k▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y ==，()A B =R（ ）A ．(]1,2B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[]0,1 2.下列各式正确的为（ ） A．35a -= B ．3642x x = C ．111111248824a a aa⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭=D ．112333142212x x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．（参考数据1328192=） A ．15B ．14C ．13D ．124.已知21(),()2xf x x mg x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),0)(0,1-∞C ．()0,+∞D ．[0,1)6.若函数||2()3x f x x =+，则不等式(1)(24)f x f x +≥-的解集为（ ） A ．[3,)+∞B ．(,2]-∞C ．[2,3]D ．[1,5]7.已知函数22,2(),2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)4,-+∞C ．(),4-∞-D ．(],4-∞-8.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，若方程2[()](1)()0f x a f x a -++=有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的为（ ）A.01a =B.3512⎛⎫ ⎪⎝⎭<1235⎛⎫ ⎪⎝⎭<1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2x f x =与()2x g x -=关于x 轴对称D.函数()22x x f x -=-是(,)-∞+∞上的增函数10.对任意实数1a >，函数1(1)1x y a -=-+的图象必过定点A (,)m n ，()xn f x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[]0,2x ∈，()(2)()g x f x f x =+，则下列说法正确的为（ ） A ．1,2m n ==B ．2,1m n ==C ．()g x 的值域为[]2,6D ．()g x 的值域为[]2,2011.已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．0a <，0c <B ．0a <，0c >C ．0b >D ．332a c +<12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4-=-，[2.3]2=.已知13()31xx f x -=+，则函数[()]y f x =的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15. 已知函数()f x 满足如下条件：①()()()f x y f x f y +=；②函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是()f x =___________（答案不唯一，写出一个即可）.14.设函数2,0()1,0x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.设0a >，且1a ≠，函数2()1x x f x a a =+-在[1,1]-上的最大值为5，则实数a 的值为_____________.16.已知函数()()2,1,2,1,x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=_____________，22222341x x x x +++的取值范围为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知f (x )＝131x +， （1）求(0)f ；（2）探求()()f x f x +-的值；（3）利用（2）的结论求(5)(4)(3)(5)f f f f -+-+-+⋅⋅⋅+的值．18.（1）计算：()111123204252740.0625π4825-⎫⎫⎫⎛⎛⎛-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭；（2）已知13x x -+=，求1332x x x x ---+-的值.19.已知函数()22((,),(,))x x f x m x m -=+⋅∈-∞+∞∈-∞+∞． （1）若()f x 为奇函数，求m 的值和此时不等式3()2f x >的解集； （2）若不等式()4f x ≤对[1,2]x ∀∈-恒成立，求m 的取值范围．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ，假定函数()2ax b f x +=，a 、b 为实数，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域为(0,1].（1）求a 、b 的值；（2）现有(0)t t >单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.23. 已知函数1()423,[1,2]x x f x x λ+=-+∈-， （1）若32λ=，求()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值为1，求λ的值.22.已知定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x ≥时，1()423x x f x --+=+-. （1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.()f x t 22(2)(2)0f t t f t k -+-<k▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁山东省四校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y ==，()A B =R（ ）A ．(]1,2B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[]0,1 2.下列各式正确的为（ ） A．35a -= B ．3642x x = C ．111111248824a a aa⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭=D ．112333142212x x x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．（参考数据1328192=） A ．15B ．14C ．13D ．124.已知21(),()2xf x x mg x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()21xF x f =-的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),0)(0,1-∞C ．()0,+∞D ．[0,1)6.若函数||2()3x f x x =+，则不等式(1)(24)f x f x +≥-的解集为（ ） A ．[3,)+∞B ．(,2]-∞C ．[2,3]D ．[1,5]7.已知函数22,2(),2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)4,-+∞C ．(),4-∞-D ．(],4-∞-8.已知函数21,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩，若方程2[()](1)()0f x a f x a -++=有五个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(1,3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的为（ ）A.01a =B.3512⎛⎫ ⎪⎝⎭<1235⎛⎫ ⎪⎝⎭<1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2x f x =与()2x g x -=关于x 轴对称D.函数()22x x f x -=-是(,)-∞+∞上的增函数10.对任意实数1a >，函数1(1)1x y a -=-+的图象必过定点A (,)m n ，()xn f x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为[]0,2x ∈，()(2)()g x f x f x =+，则下列说法正确的为（ ） A ．1,2m n ==B ．2,1m n ==C ．()g x 的值域为[]2,6D ．()g x 的值域为[]2,2011.已知函数()31xf x =-，a b c <<，且()()()f a f c f b >>，则（ ）A ．0a <，0c <B ．0a <，0c >C ．0b >D ．332a c +<12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4-=-，[2.3]2=.已知13()31xx f x -=+，则函数[()]y f x =的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.16. 已知函数()f x 满足如下条件：①()()()f x y f x f y +=；②函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，满足上述两个条件的一个函数解析式是()f x =___________（答案不唯一，写出一个即可）.14.设函数2,0()1,0x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，则满足(1)(2)f x f x -<的x 的取值范围是__________.15.设0a >，且1a ≠，函数2()1x x f x a a =+-在[1,1]-上的最大值为5，则实数a 的值为_____________.16.已知函数()()2,1,2,1,x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=_____________，22222341x x x x +++的取值范围为_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知f (x )＝131x +， （1）求(0)f ；（2）探求()()f x f x +-的值；（3）利用（2）的结论求(5)(4)(3)(5)f f f f -+-+-+⋅⋅⋅+的值．18.（1）计算：()111123204252740.0625π4825-⎫⎫⎫⎛⎛⎛-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭；（2）已知13x x -+=，求1332x x x x ---+-的值.19.已知函数()22((,),(,))x x f x m x m -=+⋅∈-∞+∞∈-∞+∞． （1）若()f x 为奇函数，求m 的值和此时不等式3()2f x >的解集； （2）若不等式()4f x ≤对[1,2]x ∀∈-恒成立，求m 的取值范围．20.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ，假定函数()2ax b f x +=，a 、b 为实数，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域为(0,1].（1）求a 、b 的值；（2）现有(0)t t >单位量的水，可以清洗1次，也可以把水平均分成2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.24. 已知函数1()423,[1,2]x x f x x λ+=-+∈-， （1）若32λ=，求()f x 的值域； （2）若函数()f x 的最小值为1，求λ的值.22.已知定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x ≥时，1()423x x f x --+=+-. （1）当0x <时，求函数()f x 的解析式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.()f x t 22(2)(2)0f t t f t k -+-<k▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁。
山东省青岛市青岛第十九中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图象对称性可知 应为偶函数，可排除BD；当 时， ，可排除A.
【详解】由图象对称性可知： 应为偶函数，
对于B， ， 奇函数，B错误；
对于D， ， 为奇函数，D错误；
由图象可知：当 从正方向无限接近 时， ；
对于A，当 从正方向无限接近 时， ， ， ，A错误.
17.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）若 为锐角三角形，其外接圆半径为 ，求 周长的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，化边为角，即可求出cosB以及B的值；
（2）利用正弦定理可得 ，结合 利用三角恒等变换可化简得 ，结合 的范围即可求出 的取值范围，再求 周长的取值范围．
C.当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件
D.命题 ， ，的否定是 ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性解不等式可判断A，利用均值不等式可判断B，根据三角函数及命题的充分必要性可判断C，根据命题的否定的概念可判断D.
【详解】A选项：由 ，得 ，所以 是 的必要不充分条件，A选项正确；
若三棱锥 的体积为 ，
则 ，
∵
，
故存在P使 时，三棱锥 的体积为 ，故D正确．
故选：BD．
【点睛】本题充分考察空间里面的点线面位置关系，判断选项ACD时都可以采用假设存在P点满足条件，然后结合几何关系推出与已知条件矛盾或不矛盾的结论，从而作出判断；选项B考察空间里面直线和平面的夹角，根据几何关系可作出辅助线解决问题即可．
【答案】B
【解析】
【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.
2022-2023学年山东省青岛市青岛第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省青岛市青岛第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】由列举法列出集合B 的所有元素，即可判断；【详解】解：因为{}0,1,2A =，a A b A ∈∈,，所以0ab =或1ab =或2ab =或4ab =， 故{}{},0,1,2,4B ab a A b A =∈∈=，即集合B 中含有4个元素； 故选：C2．命题“212,0x x a ∀≤≤-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．5a ≥C ．4a ≤D ．5a ≤【答案】B【分析】根据命题是真命题，由12x ∀≤≤，2a x ≥恒成立求解. 【详解】因为命题“12x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题， 所以12x ∀≤≤，2a x ≥恒成立， 所以4a ≥，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是5a ≥， 故选：B3．不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<<【答案】A【分析】根据二次不等式的解法求解即可. 【详解】23180x x -++<可化为23180x x -->， 即()()630x x -+>，即6x >或3x <-． 所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-. 故选：A4．函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>. 故选：C ．5．已知函数()f x 的定义域为[]-2,2，则函数()()212x g x f x =- ） A ．[]0,1 B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】列出使函数()g x 有意义的不等式组，解不等式组可得结果.【详解】要使()g x 有意义，则222120xx -≤≤⎧⎨-≥⎩，解得10x -≤≤，所以函数()g x 的定义域为[]1,0-. 故选：B.6．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 7．已知函数(1)(f x x -R)∈是偶函数，且函数()f x 的图像关于点(1,0)对称，当[1,1]x ∈-时，()1f x ax =-，则(2022)f =（ ）A ．1-B ．2-C ．0D ．2【答案】A【分析】先由题给条件求得函数()f x 的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得(2022)f 的值.【详解】根据题意，函数(1)(f x x -R)∈是偶函数，则函数()f x 的对称轴为=1x -， 则有()(2)f x f x =--，又由函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称， 则()(2)f x f x =--，则有(2)(2)f x f x --=--，则(4)()f x f x +=-， 则有(8)(4)=()f x f x f x +=-+，则函数()f x 是周期为8的周期函数， 则(2022)(22538)f f =-+⨯(2)(0)1f f =-==- 故选：A ．8．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（ ） A ．1115104r s t << B ．1113104s r t << C ．1111054t s r << D ．1111054r t s <<【答案】A【分析】令45log log lg r s t a ===，由,,(0,1)r s t ∈则a<0，将对数式转化为指数式，统一其指数为常数20a，比较其底数的大小关系，结合幂函数的性质解答．【详解】解：设45log log lg (0)r s t a a ===<，则4a r =，5a s =，10a t =，()15442044aar ==，()14552055a a s ==，()121010201010a a t==．因为54245100>>>，且函数20(0)a y x a =<在(0,)+∞上是减函数， 所以1115104r s t <<． 故选A【点睛】本题考查指对数的运算及幂函数的性质．属于中档题．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =； 故选：AB10．下列说法正确的有（ ） A ．21x y x+=的最小值为2B ．已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1 C ．若正数x ，y 为实数，若23x y xy +=，则2x y +的最大值为3D ．设x ，y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +【答案】BD【分析】对于A 选项，当0x <时，0y <，故A 选项错误；对于C 选项，可以利用基本不等式求出2x y +的最小值为3，所以C 选项错误；对于BD 选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.【详解】对于A 选项，当0x <时，210x y x +=<，故A 选项错误，对于B 选项，当1x >时，10x ->，则44212(1)122(1)1111y x x x x x =+-=-++-=--，当且仅当1x =时，等号成立，故B 选项正确，对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，12112212(2)()(5)(523333x y x y x y x y y x +=++=+++=，当且仅当1x y ==时，等号成立，故C 选项错误， 对于D 选项，()()()()222222355719333333412x y x y xy x y x yx y x y +=++=+-⋅⋅+-⋅=+，所以212(3)7x y +,当且仅当3y x =时，等号成立，可得22137x y +，x y ==3x y +D 选项正确． 故选：BD ．11．已知函数()122x xf x =+，则（ ） A ．()24log 33f =B ．()f x 的最小值为2C ．()f x 为偶函数D ．()f x 在(),-∞+∞上单调递增【答案】BC【分析】A 直接代入计算并验证；B 利用换元法得到1()g t t t=+，结合基本不等式确定最值；C 根据奇偶性的定义判断即可；D 由B 中换元法，所得对勾函数的性质可直接判断单调区间.【详解】A ：()22log 32log 31110log 323233f =+=+=，错误；B ：令20x t =>，则1()()2f x g t t t ==+≥=当且仅当1t =，即0x =时取等号，正确；C ：11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=且x R ∈，()f x 为偶函数，正确；D ：由B ，若20x t =>，1()()f x g t t t ==+，则()g t 在(0,1) 上递减，在(1,)+∞ 上递增，所以()f x 在(,0)-∞上递减，(0,)+∞上递增，错误；故选：BC.12．已知函数()f x x x =，若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则整数t 的取值可以是（ ） A ．1- B ．1C ．3D ．5【答案】CD【分析】首先判断()f x 在R 上为增函数，将不等式转化为x t +≥，即)1t x ≥对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.【详解】()f x x x =，当0x ≥时，()2f x x =，在[)0,∞+递增， 当0x ≤时，()2f x x =-，在(],0-∞上递增，且()00f =，()f x 为连续函数，所以()f x 在R 上为增函数，且())3f x f=，由对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，即())f x t f+≥，即x t +≥，所以)1t x ≥对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，由)1y x =在[t ，t +1]上递增，可得)1y x =的最大值为)()11t +，即)()11t t ≥+，解得1t .故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为)1t x ≥对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.三、填空题13．下列各组中两函数相等的有____. ①()()()22,1f x x g x x ==+ ②()()111,1f xg x x x =+=+③()()2,25f x g x x ==-④()()42,f x g tx==【答案】④【解析】分别看()(),f x g x 的定义域和解析式是否相同即可.【详解】对于①，()(),f x g x 的定义域都为R ，但解析式不一样，故不相等； 对于②，()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为{}1x x ≠-，故不相等； 对于③，()f x 的定义域为52x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，()g x 的定义域为R ，故不相等； 对于④，()(),f x g x 的定义域都为{}0x x >，且解析式可化为一样，故相等； 故答案为：④14．函数254y x x =-+的单调递增区间是________.【答案】[)4∞+，【分析】先求出函数的定义域，再根据254y x x =-+的单调性即可得出.【详解】令2540x x -+≥，解得4x ≥或1x ≤，所以函数254y x x =-+的定义域为(][),14,-∞⋃+∞， 而函数254y x x =-+的对称轴是52x =， 故函数254y x x =-+的单调递增区间是[)4∞+，. 故答案为：[)4∞+，. 15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则11972215x ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里300=步）________ 里.【答案】10【分析】根据题意得出EF GF AG BE ⋅=，进而可得出54102EF GF AG BE ⋅=⋅=⨯=，结合基本不等式求()4EF GF +的最小值即可.【详解】因为1里300=步，由图可知，1200BE =步4=里，750AG =步52=里， //FG OB ，则AFG FBE ∠=∠，且90AGF FEB ∠=∠=，所以，AFG FBE △△，所以，AG FG EF BE =，则54102EF GF AG BE ⋅=⋅=⨯=，所以，该小城的周长为()4EF GF +≥=.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．若不等式4220x a x +-+>对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______________________． 【答案】32a <【分析】应用换元法将题设不等式转化为2220a t t -+>在(0,)+∞上恒成立，根据二次函数的性质求a 的范围.【详解】令20x t =>，则2220a t t -+>在(0,)+∞上恒成立， 若2(2)2a t f t t -+=，开口向上且对称轴120a t -=> ∴2280a ∆=-<，解得32a <. 故答案为：32a <四、解答题17．（1）求值：013263290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭； （2）已知11223(0)a aa -+=>，求值：22111a a a a --++++.【答案】（1）81；（2）6.【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质即可求出.【详解】（1）原式1366331()12(3)8-=-++21872=-++81=；（2）由11223(0)a aa -+=>，而111222()27a a a a --+=+-=，则2212()247a a a a --+=+-=，故22114716171a a a a --+++==+++. 18．已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，()01f =． （1）求()f x 的解析式．（2）求()f x 在[]1,1-上的最大值．【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）3．【分析】（1）设2()f x ax bx c =++，()0a ≠，代入求解(1)()2f x f x x +-=，化简求解系数． （2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．【详解】（1）设()2f x ax bx c =++，()0a ≠，则()()()()()221112f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++，∴由题1c =，22ax a b x ++=恒成立 ∴22a =，0a b +=，1c =得1a =，1b，1c =，∴()21f x x x =-+.（2）由（1）可得()2213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且()13f -=，()11f =∴()()max 13f x f =-=.19．设命题{}2:|40A x x x α=+=，命题(){}2:|2110B x x a x a β=+++-=，若α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数a 的取值组成的集合. 【答案】(3,0)-．【分析】由α是β的必要不充分条件得出集合A 与B 的包含关系而得解. 【详解】由240x x +=得0x =或4x =-，∴{}4,0A =-， 由α是β的必要条件，但α不是β的充分条件得αβ且βα⇒，从而有B A ，∴B =∅或{}4B =-或{}0B =，当B =∅时，24(1)4(1)4(3)0a a a a ∆=+--=+<，∴30a -<<；当{}4B =-时，()()()()2248119904141430a a a a a a a ⎧-++-=-=⎪⎨∆=+--=+=⎪⎩，无解； 当{}0B =时，2104(1)4(1)4(3)0a a a a a -=⎧⎨∆=+--=+=⎩，无解； 综上：实数a 的取值组成的集合为(3,0)-． 20．已知函数()mf x x x=+，且()15f =． （1）求m ；（2）判断并证明()f x 的奇偶性；（3）判断函数()f x 在()2,∞+，上是单调递增还是单调递减？并证明．【答案】（1）4m =；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析. 【分析】（1）根据题意，将1x =代入函数解析式，求解即可； （2）利用奇函数的定义判断并证明即可； （3）利用函数单调性的定义判断并证明即可． 【详解】（1）根据题意，函数()mf x x x=+，且()15f =， 则()115f m =+=，解得4m =； （2）由（1）可知()4f x x x=+，其定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又由()()44f x x x f x x x⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数；（3）()f x 在()2,∞+上是单调递增函数． 证明如下：设122x x <<，则()()()121212121212444x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为122x x <<，所以124x x >，120x x -<，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在()2,∞+上是单调递增函数．21．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价()P x （元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元． (1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式； (3)求该商品的日销售收入()f x （130x ≤≤，*N x ∈）（元）的最小值． 【答案】(1)1k =(2)选择②，()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈） (3)121元【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定()|25|Q x a x b =-+描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，代入表述数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案. 【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元， 所以(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，解得1k =；（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调， 故只能选②:()|25|Q x a x b =-+代入数据可得：11010251202025a ba b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1a =-，125b =，所以()125|25|Q x x =--，（130x ≤≤，*N x ∈）（3）由（2）可得，()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩，所以，()()()**100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩， 所以当125x ≤<，*N x ∈时，100()101f x x x=++在区间[1,10]上单调递减，在区间[10,25)上单调递增，所以当10x =时，()f x 有最小值，且为121； 当2530x ≤≤，*N x ∈时，150()149f x x x=+-为单调递减函数， 所以当30x =时，()f x 有最小值，且为124， 综上，当10x =时，()f x 有最小值，且为121元， 所以该商品的日销售收入最小值为121元．22．已知函数()2f x x =，对任意实数t ，()1tg x tx =-+.（1）求函数()()0y g x f x =-的奇偶性； （2）()()()t xh x g x f x =-在(]0,2上是单调递减的，求实数t 的取值范围； （3）若()()2f x mg x <对任意10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）偶函数；（2）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【分析】（1）利用奇偶性定义判断偶函数；（2）利用减函数的定义，建立不等式，求出t 的范围； （3）用分离参数法，定义新函数()()()2f x q x g x =，只需()max m q x >，讨论()()()2f x q x g x =的单调性，求出最大值，解不等式即可求出m 的取值范围.【详解】（1）记()()()201p x g x f x x =-=-，定义域为R ，因为()()()221=1p x x x x p =--=--，所以()()0y g x f x =-为偶函数.（2）()()()11t x h x g x tx f x x=-=+-， 任取1202x x ≤<≤，则()()1212121111h x h x tx tx x x ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211t x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()2112121x x tx x x x --=要使()h x 在(]0,2上是单调递减的，只需()()120h x h x ->恒成立. 因为1202x x ≤<≤， 所以21120,04x x x x -><<， 所以只需1210tx x ->恒成立， 即121t x x <恒成立， 因为1204x x <<，所以14t ≤， 即实数t 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（3）()221g x x =-+在10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上的值域为113⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， ∴要使()()2f x mg x <对任意10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，只需()()2f x m g x >对任意10,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立.记()()()221,0213f x x q x x x g x ⎛⎫==<≤ ⎪-+⎝⎭，只需()max m q x >.任取12103x x <<≤，则()()221212122121x x q x q x x x -=--+-+()()()()2212211221212121x x x x x x -+--+-=+-+()()()()1212121222121x x x x x x x x -++=-+-+因为12103x x <<≤，所以12121212210,210,0,20x x x x x x x x -+>-+>-<++>，所以()()()()12121212202121x x x x x x x x -++<-+-+，所以 ()221x q x x =-+在10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦单增，所以()max1119=133213q x q ⎛⎫== ⎪⎝⎭-⨯+，即13m >，解得：13m >或13m <-， 所以m 的取值范围是1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 【点睛】（1）定义法证明函数单调性的步骤： ①取值；②作差；③定号；④下结论． 单调性法求最值是求值域最常用的方法；（2）求参数范围的问题，可以用分离参数法转化为求最值来解决.23．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+． （1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【解析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=， 然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解； （2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增；（3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【详解】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=． 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++，整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-． 所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数； （3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-． 于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-． ①当02m≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤．②当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫⎪⎝⎭单增， 又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减；此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭．欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m mg g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤，又02m <<，此时02m <<． ③当12m≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减， 由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤． 综上，实数m 的取值范围为[]2,4-．【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点： （1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解； （2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数()g x 的单调性及最值是关键．。
1.4 充分、必要条件(精炼)(解析版)
1.4 充分、必要条件（精炼）【题组一 命题及其判断】1．（2020·黑龙江道里。
哈尔滨三中高二期末（文））下列说法正确的是（ ） A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”为真命题 B ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为假命题C ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”D ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” 【答案】C【解析】若x 2＝1，则1x =±，故A 选项不正确；“若x 2＝1，则x ＝1”的逆命题为“若x ＝1，则x 2＝1”且该命题是真命题，故B 选项不正确； 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2≠1”，故C 选项正确； 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若21x ≠，则x ≠1”，故D 选项不正确， 故选：C.2．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，为真命题，所以逆否命题也是真命题；逆命题为：已知0ab >，若11a b<，则a b >，为真命题，所以否命题也是真命题。
故选D.3．（2019·阿城区第二中学高二期中（文））命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是（ ） A ．若29x >，则3x ≥ B ．若29x ≤，则3x < C ．若3x ≥，则29x > D ．若29x ≥，则3x >【答案】A【解析】由逆否命题的定义可得命题“若3x <，则29x ≤”的逆否命题是“若29x >，则3x ≥”故答案选A 4．对任意的实数,,a b c ，在下列命题中的真命题是（ ） A ．“ac bc >”是“a b >”的必要不充分条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分不必要条件 【答案】B【解析】因为实数c 不确定，“ac bc >”与“a b >”既不充分也不必要，又“ac bc a b =⇐=” 得“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件，所以正确选项为B.【题组二 充分、必要条件】1．下列哪一项是“1a >”的必要条件（ ) A ． 2a < B ． 2a >C ． 0a <D ．0a >【答案】D【解析】由题意，“选项”是“1a >”的必要条件，表示“1a >”推出“选项”，所以正确选项为D.2．（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）如果命题“p q ⇒”是真命题，那么①p 是q 的充分条件 ② p 是q 的必要条件 ③ q 是p 的充分条件 ④ q 是p 的必要条件 ，其中一定正确的是（ )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】根据必要条件和充分条件的含义，p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B.3．已知:p A φ=，:q A B φ⋂=，则p 是q 的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知A A B φφ=⇒⋂=，反之不成立，得p 是q 的充分不必要条件，所以正确选项为A. 4．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是q 的必要不充分条件 B ．q ⌝是p 的必要不充分条件 C ．p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 D ．q ⌝是p ⌝的必要不充分条件 【答案】C【解析】由p 是q 的充分不必要条件可知,p q q p ⇒⇒.由互为逆否命题的等价性，可知,q p p q ⌝⌝⌝⌝⇒⇒/.所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.故选：C.5．（湖南省怀化市2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题）除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B6．（2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件.故选：B.【题组三 求参数】1.（上海市格致中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题） 若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a <【解析】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件， ∴3a <． 故答案为：3a <．2．已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则k 的取值范围是___________. 【答案】3k <-或0k >【解析】由已知“()(),20,x ∈-∞-⋃+∞”是“[],1x k k ∈+”的必要不充分条件，则，[]()(),1,20,k k +-∞-⋃+∞，所以12k +<-或0k >，得3k <-或0k >，所以答案为3k <-或0k >.3．已知{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =<，如果B 的充分条件是A ，则实数a 的取值范围是_________.【答案】2a >【解析】“B 的充分条件是A ”，即A 是B 的充分条件，得A B ⇒，即A B ⊆，得2a >，所以答案为“2a >”. 4．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤2a +3}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}．若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝【解析】B ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x |﹣1≤x ≤4}， ∵若x ∈A 是x ∈B 的充分条件， ∴A ⊆B ，若A ＝∅，则2a +3＜a +1，即a ＜﹣2时，满足题意；若A ≠∅，则满足223411a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，即2122a a a ≥-⎧⎪⎪≤⎨⎪≥-⎪⎩，此时﹣2≤a ≤12．综上a ≤12． 故答案为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝5.．（河南省2019-2020学年高三核心模拟卷）已知:12p x -≤，()22:2100q x x a a -+-≥>，若p 是q⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0，2]【解析】∵12x -≤，∴13x -≤≤，即:13p x -≤≤； ∵222100x x a a -+-≥>（），∴1x a ≤-或1x a ≥+， ∴:11q a x a ⌝-<<+， ∵p 是q ⌝的必要不充分条件，∴01113a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得02a <≤， ∴所求实数a 的取值范围是(0，2]． 故答案为：(0，2]6．（2019版导学教程一轮复习数学（人教版））已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 【答案】()0,3【解析】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⫋N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<a <3.故填()0,37．（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围 .【答案】302a <<【解析】解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}|20A x x a x a a =<>>或， 因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集.所以2323020a a a a >-⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩故答案为：302a <<8．命题2:03x P x ->-；命题2:2210q x ax a b +++-> （1）若4b =时，22210x ax a b +++->在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分必要条件，求出实数a ，b 的值 【答案】（1）(1,3)-；（2）52a =-，12b =。
2019-2020学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．1808．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(3,1)--B ．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．函数1()1f x x =+-的定义域为 ． 13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= ． 14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数．2019-2020学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}，则集合(U A =ð ) A ．{0，2}B ．{1-，0}C ．{0，1}D ．{1，2}【解答】解：因为全集{1U =-，0，1，2}，{1A =-，1}， 所以：{0U A =ð，2}， 故选：A ．2．命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x +…”的否定是( )A ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+…B ．(0,)x ∃∈+∞，13x x+<C ．(0,)x ∀∈+∞，13x x +< D ．(0,)x ∀∈+∞，13x x+…【解答】解：命题“(0,)x ∃∈+∞，13x x+…”的否定是：否定限定量词和结论，故为：(0,)x ∀∈+∞，13x x+<， 故选：C ．3．设x R ∈，则“|3|1x -<”是“2x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|3|1x -<，131x ∴-<-<，解得24x <<． 则由“24x <<” ⇒ “2x >”， 由“2x >”推不出“24x <<”，则“|3|1x -<”是“2x >”的充分不必要条件； 故选：A ．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解答】解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，()f x ∴在(,0)-∞上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， (1)(3)()f f f π-<-<，则c a b <<， 故选：D ．5．我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h （单位：)m 与时间t （单位：)s 之间的关系为2() 4.914.717h t t t =-++，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为( )A ．26米B ．28米C ．30米D ．32米【解答】解：2() 4.914.717h t t t =-++， ∴烟花冲出后在爆裂的最佳时刻为14.71.52( 4.9)t =-=⨯-，此时2(1.5) 4.9 1.514.7 1.51728h =-⨯+⨯+≈， 故选：B ．6．对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[2，6){2}-C ．(,2)[2-∞-，6)D ．[2，6)【解答】解：对x R ∀∈，不等式221(4)(2)02m x m x m -+-+>+恒成立， ①当240m -=且20m +≠，即2m =时，104>对x R ∈恒成立， 2m ∴=满足题意；②当2m ≠且2m ≠-时，则有2240(2)4(2)0m m m ⎧->⎨=---<⎩，解得26m <<． 综合①②，可得26m <…，故实数m 的取值范围为[2，6)， 故选：D ．7．读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧．我国古代数学名著《算法统宗》中有以下问题：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇．由此可推算，学生人数为( )A ．120B ．130C ．150D ．180【解答】解：本题的大意为：《毛诗》、《春秋》和《周易》共94本，3个人读《毛诗》一册，4个人读《春秋一册》，5个人读《周易》一册，问由多少个学生？ 11194()345÷++479460=÷120=（人)故选：A ．8．已知a ，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是( )①若11a b <>；②若1a b +=，则14a b+的最小值是10； ③11()()4a b a b ++…；④函数11y a a =++的最小值为1． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：已知a ，b 为正实数，①11a b a b<⇒>⇒>①正确； ②1414414()()14529b b a a b a b a b a a a b+=++=++++=…，所以②不正确； ③1122a a a a +=…，同理12b b +…，11()()4a b a b∴++…，所以③正确；④11111)11111y a a a a a =+=++--=+++…，当且仅当111a a +=+，即0a =时取等号，而0a >，所以1y >，不能取等号，所以 ④不正确． 故选：B ．9．定义在R 上的奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(1)1f x --剟的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[2-，1]C ．[1-，3]D ．[0，2]【解答】解：由奇函数()f x 在[0，)+∞是减函数，可知()f x 在(,0)-∞是减函数，从而可得，()f x 在R 上单调递减， 由(2)1f -=，可知f （2）1=-， f （2）1(1)1(2)f x f =--=-剟，212x ∴--剟，解可得，13x -剟，即解集为[1-，3] 故选：C ．10．关于x 的方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,1)--B．(11)(3,17)-+C ．(2-，1)(2-⋃，3)D ．(2,6)【解答】解：设函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--，方程225(9)20x a x a a -++--=的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， ∴函数22()5(9)2f x x a x a a =-++--的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，∴(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2222026030a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩，解得：11a -<<-或31x <<+， 故选：B ．11．已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，8(x ，8)y ，则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为( )A ．20B ．24C ．36D ．40【解答】解：函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=的对称中心为(2,3)， 函数315()322x g x x x -==+--也关于(2,3)中心对称， 则若交点为1(x ，1)y 时，1(4x -，16)y -也为交点，若交点为2(x ，2)y 时，2(4x -，26)y -也为交点，⋯，所以128128112288()()()x x x y y y x y x y x y ++⋯++++⋯+=++++⋯++1111222288881[()(46)()(46)()(46)]402x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-=．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12．函数1()1f x x =+-的定义域为 [2-，1)(1⋃，)+∞ ． 【解答】解：由题意得： 2010x x +⎧⎨-≠⎩…， 解得：2x -…且1x ≠，故函数的定义域是[2-，1)(1⋃，)+∞， 故答案为：[2-，1)(1⋃，)+∞．13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …时，()(1)f x x x =-，则(2)f -= 2 ． 【解答】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，2()f x x x =-， 所以(2)f f -=-（2）(24)2=--=， 故答案为：2．14．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为 {|6x x <或1}2x > ． 【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集为{|26}x x <<， 所以方程20ax bx c ++=的解为2和6，且0a <； 由根与系数的关系得， 26260b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 解得8b a =-，12c a =，且0a <；所以不等式20cx bx a ++<化为212810x x -+>， 解得16x <或12x >，所以所求不等式的解集为1{|6x x <或1}2x >． 故选：1{|6x x <或1}2x >． 15．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)A a b ，若函数()y f x =满足：[1x a ∀∈-，1]a +，都有[1y b ∈-，1]b +，则称这个函数是点A 的“界函数”．已知点(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，若函数212y x =-是点B 的“界函数”，则m 的取值范围是 11[,]22- ．【解答】解：(,)B m n 在函数212y x =-的图象上，∴212n m =-，[1x m ∴∀∈-，1]m +，都有2211[1,1]22y m m ∈---+，①10m +…，即1m -…时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递增，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈---+，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m ---+⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧----⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩……，解得12m -…，又1m -…，∴这种情况不合题意； ②1010m m +>⎧⎨-<⎩，即11m -<<时，由[1x m ∈-，1]m +可得21[(1),0]2y m ∈--或21[(1),0]2y m ∈-+，∴222111[(1),0][1,1]222m m m --⊆---+且222111[(1),0][1,1]222m m m -+⊆---+，∴2222211(1)12211(1)1221102m m m m m ⎧----⎪⎪⎪-+--⎨⎪⎪-+⎪⎩………，解得1122m-剟， ③10m -…，即1m …时，212y x =-在[1m -，1]m +上单调递减，∴2211[(1),(1)]22y m m ∈-+--，∴22221111[(1),(1)][1,1]2222m m m m -+--⊆---+，∴222211(1)12211(1)122m m m m ⎧-+--⎪⎪⎨⎪---+⎪⎩……，解得12m …，又1m …，∴这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是11[,]22-．故答案为：11[,]22-．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知集合{|26}A x x =-剟，{|35}B x x =-剟． （1）求AB ，AB ；（2）若{|121}C x m x m =+-剟，()C A B ⊆，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得{|25}AB x x =-剟，{|36}AB x x =-剟．（2）①若C =∅，则121m m +>-，2m ∴<； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，解得23m 剟， 综上可得3m …． 17．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x -…的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数． 【解答】解：（1）由题意211x ax --+…， 变形2311011x a x a x x --++=++…， 这等价于(31)(1)0x a x -++…且10x +≠， 解得1x <-或13a x -…，所以103a -=，解得1a =． （2）由（1）得21()1x f x x -=+， 任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->， 那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 210x x ->，12(1)(1)0x x ++>， 21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．18．已知函数223,(02)()43,(2)x x f x x x x -+<⎧=⎨-+⎩……，()(||)F x f x =．（1）判断()F x 的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()F x 的大致图象；并写出该函数的单调区间；（2）若函数()()H x F x t =-有两个零点，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知()F x 定义域为R ，关于原点对称， 又()(||)(||)()F x f x f x F x -=-==， ()F x ∴在R 上是偶函数．函数()F x 的大致图象如下图：观察图象可得：函数()F x 的单调递增区间为：(2,0)-，(2,)+∞，单调递减区间为：(,2)-∞-，(0,2)．（2）当()()H x F x t =-有两个零点时， 即()F x 的图象与直线y t =图象有两个交点， 观察函数图象可得3t >或1t =-．19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1a ∀∈-，1]，()0f x …恒成立，求实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -； 当1a =-时，不等式的解集为∅； 当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -． （2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++， 设g （a ）2(1)a x x x =-+++，[1a ∈-，1]，要使g （a ）0…在[1a ∈-，1]上恒成立， 只需(1)0(1)0g g -⎧⎨⎩……，即22210,10,x x x ⎧++⎨-⎩……解得1x …或1x -…， 所以x 的取值范围为{|1x x -…或1}x …．20．第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，来自151个国家和地区的3617家企业参展，规模和品质均超过首届．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专（业)精（品)尖（端)特（色)产品精华荟萃．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2020年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金()R x 万元，且2210,040()901945010000,40x ax x R x x x x x ⎧+<<⎪=⎨-+⎪⎩…．经测算生产10千台空调需另投入的资金为4000万元．由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2020年的企业年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2020年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？ 注：利润=销售额-成本【解答】解：（1）由题意2(10)1010104000R a =⨯+=，所以300a =， 当040x <<时，22()900(10300)26010600260W x x x x x x =-+-=-+-；当40x …时，22901945010000919010000()900260x x x x W x x x x-+-+-=--=，所以2210600260,040()919010000,40x x x W x x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-+-⎪⎩…．（2）当040x <<，2()10(30)8740W x x =--+ 当30x =时，()8740max W x =⋯当40x …，29190100001000010000()9190()9190x x W x x x x x x -+-==--+=-++， 因为0x >，所以10000200x x +=…，当且仅当10000x x=时，即100x =时等号成立， 此时()20091908990W x -+=…， 所以()8990max W x =万元， 因为87408990<，所以2020年产量为100（千台）时，企业所获利润最大，最大利润是8990万元． 21．已知二次函数()y f x =满足：①x R ∀∈，有(1)(1)f x f x --=-+；②(0)3f =-；③()y f x =的图象与x 轴两交点间距离为4．（1）求()y f x =的解析式；（2）记()()5g x f x kx =++，[1x ∈-，2]． （Ⅰ）若()g x 为单调函数，求k 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 的最小值为()h k ，讨论2(4)h t λ-=的零点个数． 【解答】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由题意知对称轴12bx a=-=-①；(0)3f c ==-②； 设()0f x =的两个根为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=，12||4x x -===；③由①②③解得1a =，2b =，3c =-，2()23f x x x ∴=+-．（2）2()()(2)2I g x x k x =+++，其对称轴22k x +=-．由题意知：212k +--…或222k +-…， 0k ∴…或6k -…．()II ①当0k …时，对称轴212k x +=--…，()g x 在[1-，2]上单调递增，()(1)1h k g k =-=-+， ②当60k -<<时，对称轴2(1,2)2k x +=-∈-，2244()()24k k k h k g +--+=-=， ③当6k -…时，对称轴222k x +=-…，()g x 在[1-，2]单调递减，()h k g =（2）210k =+，∴21,0,44(),604210,6k k k k h k k k k -+⎧⎪--+⎪=-<<⎨⎪+-⎪⎩……， 令244m t =--…，即()(4)h m m λ=-…，画出()h m 简图，)i 当1λ=时，()1h m =，4m =-或0，244t ∴-=-时，解得0t =，240t -=时，解得2t =±，有3个零点．)ii 当1λ<时，()h m λ=有唯一解10m >，2140t m -=>，t =有2个零点． )iii 当12λ<<时，()h m λ=有两个不同的零点2m ，3m ，且2m ，3(4m ∈-，2)(2--⋃，0)，240m +>，340m +>，224t m ∴-=时，解得t =，234t m -=时，解得t =有4个不同的零点．)iv 当2λ=时，()2h m =，224m t =-=-，∴t =2个零点．)v 当2λ>时，()h m λ=无解．综上所得：2λ>时无零点；12λ<<时，有4个零点；1λ=时，有3个零点；2λ=或1λ<时，有2个零点．。
2019-2020学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4U =，{}0,3,4A =，{}1,3B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,2,3,4C ．{}4D ．{}0,1,3,4【答案】A【解析】利用补集和交集的定义可计算出集合()U A B ∩ð. 【详解】Q 全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,3B =，{}0,2,4U B ∴=ð，又{}0,3,4A =Q ，因此，(){}0,4U A B ⋂=ð. 故选：A. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2．函数()f x =的定义域为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．∅【答案】A【解析】根据偶次根式被开方数非负、分母不为零得出关于x 的不等式，即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，因此，函数()f x =的定义域为()1,-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3．下列函数中，与函数1y x =+是同一个函数的是 （ ）A ．2y = B ．1y =C ．21x y x=+D ．1y =【答案】B【解析】根据定义域、解析式是否与所给函数是否相同判断即可.1y x =+的定义域为R ，()21y x =≥-与()210x y x x=+≠定义域不是R ，A 、C 不合题意;11y x ==+,解析式与1y x =+不相同，D 不合题意，选项B 中函数定义域、解析式都与所给函数相同， 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的基本定义，考查了函数的定义域，属于基础题. 4．函数323y x x=-的奇偶性是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数C ．既奇又偶D ．非奇非偶【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】 设()323f x x x=-，该函数的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， ()()()333222333f x x x x f x x x x ⎛⎫-=⨯--=-+=--=- ⎪-⎝⎭Q ， 又()11f =，()11f -=-，则()()11f f ≠-. 因此，函数323y x x=-为奇函数. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()23f x x x =- C ．()f x x=-D ．()11f x x =-+ 【答案】D【解析】逐一判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出合适的选项.对于A 选项，函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于B 选项，二次函数()23f x x x =-的图象开口向上，对称轴为直线32x =， 则函数()23f x x x =-在区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，该函数在区间()0,∞+上不单调；对于C 选项，当0x >时，()f x x x =-=-，则函数()f x x =-在区间()0,∞+上为减函数；对于D 选项，函数()11f x x =-+在区间()0,∞+上为增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.6．已知函数21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()f x =5，则x 的值是（ ）A ．-2B ．2或-52C ．2或-2D ．2或-2或-52【答案】A【解析】根据分段函数的对应法则，分类讨论解方程即可. 【详解】当0x ≤时，215x +=，解得2x =- ； 当0x >时，25x -=，无解， ∴x 的值是2-， 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的对应法则的应用，考查分类讨论思想，属于基础题.7．已知 5.10.9m =，2log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（ ） A ．p n m << B ．m p n <<C ．m n p <<D ．p m n <<【答案】D【解析】利用对数函数、幂函数比较三个数与1的大小关系，并利用幂函数的单调性得出m 与p 的大小，从而可得出m 、n 、p 的大小关系. 【详解】对数函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数，则22log 5.1log 21n =>=； 幂函数 5.1y x =在区间()0,∞+上为增函数，则 5.1 5.1 5.10.80.911<<=，即1p m <<.因此，p m n <<. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数、对数和幂函数的单调性结合中间值来比较，在比较指数幂的大小关系时，可根据指数幂的结构选择指数函数与幂函数的单调性来比较，考查推理能力，属于中等题.8．函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】D【解析】判断函数()y f x =的单调性，利用零点存在定理即可得出结论. 【详解】Q 函数12log y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数234y x =-为增函数，所以，函数()2log 34f x x x =+-在区间()0,∞+上为增函数，则该函数最多有一个零点，又()110f =-<，()230f =>，因此，函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的一个区间是()1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断函数零点所在的区间，考查计算能力，属于基础题. 9．设函数()22f x x =-，用二分法求()0f x =的一个近似解时，第1步确定了一个区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．118,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．1123816,⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用二分法可得出结果. 【详解】()110f =-<Q ，31024f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，570416f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，第2步所得零点所在区间为53,42⎛⎫⎪⎝⎭； 取区间53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭的中点35112428x +==，1170864f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭Q ， 因此，第3步求得的近似解所在的区间应该是113,82⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用二分法求方程近似解所在区间，解题的关键就是要熟悉二分法求解函数零点所在区间的基本步骤，考查计算能力，属于基础题. 10．函数()()112122x xf x ⎡⎤=+--⎣⎦的图象大致为 ( ) A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于函数()()2,1202,01121221,1201,0x x x x xx x f x x ⎧⎧-≥≤⎡⎤=+--==⎨⎨⎣⎦-<>⎩⎩根据解析式，结合分段函数的图像可知， 在y 轴右侧是常函数， 所以排除B,D,而在y 轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C ，因此选A. 【考点】本试题考查而来函数图像。
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。