北京市海淀区2018-2019学年度初三上数学期末试卷(含答案)
–2 –3
–4
A． y1 B. y2 C． y3 D. y4
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．方程 x2 3x 0 的根为．
10．半径为 2 且圆心角为 90°的扇形面积为．
11．已知抛物线的对称轴是 x n ，若该抛物线与 x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则 n 的值为．
求作：过点 P 的⊙O 的切线． 作法：如图，
O
A P
O
P
① 作射线 OP； ②在直线 OP 外任取一点 A，以点 A 为圆心，AP 为半径作⊙A，与射线 OP 交于另一点 B； ③连接并延长 BA 与⊙A 交于点 C； ④作直线 PC； 则直线 PC 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：
（2）如图 2，当 α=60°时，过点 D 作 BD 的垂线与直线 l 交于点 E，求证：AE=BD；
（3）如图 3，当 α=90°时，记直线 l 与 CD 的交点为 F，连接 BF ．将直线 l 绕点 A 旋转，当线段 BF 的长取得最大值时，直接写出 tan FBC 的值．
图1
图2
图3
28．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0, a) 和点 B(b，0) ，给出如下定义：以 AB 为边，按照逆时针 方向排列 A，B，C，D 四个顶点，作正方形 ABCD ，则称正方形 ABCD 为点 A ， B 的逆序正方 形．例如，当 a 4 ， b 3 时，点 A ， B 的逆序正方形如图 1 所示．
2019．01
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
A
B
B
C
A
第 8 题：二次函数 a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 a1<a2=a3<a4,，可知 a1 最小。
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
，︱a︳越大，开口越小，显然
9． x1 0 ， x2 3 10． π 11． 2
12． k 0
12．在同一平面直角坐标系 xOy 中，若函数 y x 与 y k k 0的图象有两个交点，则 k 的取值范围
x 是．
13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有两点 A2，4 ， B4，0 ，以原点 O 为位似中心，把△ OAB 缩
小得到△ OAB .若 B 的坐
标为 2，0 ，则点 A 的坐标为．
y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1O
–1
12345
x
–2
–3
–4
–5
27．已知在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=α，直线 l 经过点 A（不经过点 B 或点 C），点 C 关于直线 l 的 对称点为点 D，连接 BD，CD．
（1）如图 1，
①求证：点 B,C, D 在以点 A 为圆心， AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含 α 的式子表示）为___________.
3. 调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。
事 项 4. 在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1．抛物线 y x 12 3 的顶点坐标为
A． 1, 3
C． y 1 x+ 3 200 2
B． y 100 x
D． y x2 13 x 19 40000 800 8
（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为 200 度时，镜片的焦距约为________米．
21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点 P.
初三第一学期期末学业水平调研
数学
2019．01
学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________
1. 本调研卷共 8 页，满分 100 分，考试时间 120 分。
注 2. 在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。 意
A
B
M
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
x /cm 0
0.25 0.47
1
2
3
4
5
6
y /cm 1.43 0.66 0
1.31 2.59 2.76
1.66
图1 图2 （1）图 1 中点 C 的坐标为； （2）改变图 1 中的点 A 的位置，其余条件不变，则点 C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的
值为； （3）已知正方形 ABCD 为点 A ， B 的逆序正方形.
①判断：结论“点 C 落在 x 轴上，则点 D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”） ，若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图 2 中画出一个反例；
14．已知 (1，y1) ， (2，y2 ) 是反比例函数图象上两个点的坐标，且 y1 y2 ，请写出一个符合条件的
反比例函数的解析式．
y 2P
1
MA O 1 2 3 4 5x –1 N
–2
Q
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 3，0 ，判断在 M，N，，P Q 四点中，满足到点 O 和点
②⊙ T 的圆心为 T (t,0) ，半径为 1.若 a 4 ， b 0 ，且点 C 恰好落在⊙ T 上，直接写出 t 的
y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1O
–1 –2 –3 –4 –5
12345 x
取值范围.
备用图
初三第一学期期末学业水平调研
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
13． 1，2
14．答案不唯一，如： y 1 x
15． M，N
16． 3
第 16 题：OQ2=OP2-1,OP 最小时，OQ 最小，OPmin=2，∴OQmin= 3
D
A． 2 : 3 B． 4 : 9 C． 4 : 5 D． 2 : 3
B
A
E C
7．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离 为 10cm，双翼的边缘 AC=BD= 54cm，且与闸机侧立面夹角 PCA BDQ 30°．当双翼收起时， 可以通过闸机的物体的最大宽度为
参考数据： sin18 ° 0.31， cos18 ° 0.95 ， tan18 ° 0.33 ，
sin 53 ° 0.80 ， cos 53° 0.60 ， tan 53 ° 1.33．
23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y 1 x 与双曲线 y k 的一个交点是 A(2 , a) ．
B． 1,3
C．1,3 D．3,1
2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P4，3 ， OP 与 x 轴正半轴的
α ，则 tan 的值为
3 A．
5 3 C． 4 3．方程 x2 x 3 0 的根的情况是
4 B．
5 4 D． 3
y
P
3
2
1
α O 1234x
夹角为
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B 是反比例函数 y 2 (x 0) 的图象上的一点， y x
则矩形 OABC 的面积为
CB
A．1 C． 3
B． 2 D． 4
OA
x
6．如图，在 △ABC 中， DE∥BC ，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，
若 AD : AB=2 : 3 ，则△ ADE 和△ ABC 的面积之比等于
2
x
（1）求 k 的值；
（2）设点 P(m，n) 是双曲线 y k 上不同于 A 的一点，直线 PA 与 x 轴交于点 B(b,0) ． x
①若 m 1 ，求 b 的值；
②若 PB=2AB ，结合图象，直接写出 b 的值．
y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1O
–1 –2 –3 –4 –5
P
AB
Q
图1
图2
30°
C
机机机
30°
D
机机机
A． (54 3+10) cm
B． (54 2 +10) cm
C．64cm
D． 54cm
8．在平面直角坐标系 xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中 的二次项系数一定小于 1 的是
y
y2
y3 5
y1
4
y4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x
20．近视镜镜片的焦距 y （单位：米）是镜片的度数 x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据： x （单位：度） … 100 250 400 500 … y （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 …
（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；
A． y 1 x 100
证明：∵ BC 是⊙A 的直径， ∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP⊥PC． 又∵OP 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．
22．2018 年 10 月 23 日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程 隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的 A 点和东人 工岛上的 B 点间的距离约为 5.6 千米，点 C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C 在一条 直线上．如图，一艘观光船沿与大桥 AC 段垂直的方向航行，到达 P 点时观测两个人工岛，分别 测得 PA, PB 与观光船航向 PD 的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥 AC 段的 距离 PD 的长．
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷⼀、选择题（每题2分，共16分）1.A.B.C.D.抛物线的原顶点坐标为（ ）．2. A. B. C. D.如图，在平⾯直⻆坐标系中，点，与轴正半轴的夹⻆为，则的值为（ ）．3. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.⽆实数根D.只有⼀个实数根⽅程的根的情况是（ ）．4. A. B. C. D.如图，⼀块含⻆的直⻆三⻆板绕点顺时针旋转到，当，，在⼀条直线上时，三⻆板的旋转⻆度为（ ）．5.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，是反⽐例函数（）图象上的⼀点，则矩形的⾯积为（ ）．A. B. C. D.6. A. B. C. D.如图，在中，，且分别交，于点，，若，则和的⾯积之⽐等于（ ）．7. A. B.C.D.图是⼀个地铁站⼊⼝的双翼闸机，如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧⽴⾯夹⻆，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最⼤宽度为（ ）．闸机箱闸机箱图图8.在平⾯直⻆坐标系中中，四条抛物线如图所示，其解析式中的⼆次项系数⼀定⼩于的是（）．A. B. C. D.⼆、填空题（每题2分，共16分）9.⽅程的根为 ．10.半径为且圆⼼⻆为的扇形⾯积为 ．11.已知抛物线的对称轴是，若抛物线与轴交于，两点，则的值为 ．12.在同⼀平⾯直⻆坐标系中中，若函数与（）的图象有两个交点，则的取值范围是 ．13.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，有两点，，以原点为位似中⼼，把缩⼩得到，若的坐标为，则点的坐标为 ．14.已知，是反⽐例函数图象上两点的坐标，且，请写出⼀个符合条件的反⽐例函数的解析式 ．15.如图，在平⾯直⻆坐标系中，已知点，判断：在，，，四点中，满⾜到点和点的距离都⼩于的点是 ．16.如图，在平⾯直⻆坐标系中中，是直线上的⼀个动点，⊙的半径为，切⊙于点，则线段的最⼩值为 ．三、解答题（共68分）17.计算：．18.如图，与交于点，，，，，求的⻓．19.已知是关于⼀元⼆次⽅程的⼀个根，若，求的值．20.（1）（2）近视镜镜⽚的焦距（单位：⽶）是镜⽚的度数（单位：度）的函数，下表记录了⼀组数据：（单位：度）（单位：⽶）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 ．．．．．利⽤（）中的结论计算：当镜⽚的度数为度时，镜⽚的焦距约为 ⽶．21.下⾯是⼩元设计的“过圆上⼀点作圆的切线”的尺规作图过程：2019/11/13教研云资源页（1）（2）已知：如图，⊙及⊙上⼀点，求过点的⊙的切线．作法：如图，①作射线．②在直线外任取⼀点，为半径作⊙，与射线交于另⼀点．③连接并延⻓于⊙交于点．④作直线，则直线即为所求．根据⼩元设计的尺规作图过程：使⽤直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下⾯的证明：证明：∵是⊙的直径，∴（ ）（填推理的依据），∴，⼜∵是⊙的半径，∴是⊙的切线（ ）（填推理的依据）．22.年⽉⽇，港珠澳⼤桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的⼀道靓丽的⻛景，⼤桥主体⼯程隧道的东，⻄两端各设置了⼀个海中⼈⼯岛，来衔接桥梁和海底隧道，⻄⼈⼯岛上的点和东⼈⼯岛上的点间的距离约为千⽶，点是⼈⼯岛相连的⼤桥上的⼀点，，，在⼀条直线上，如图，⼀艘观光船沿于⼤桥段垂直的⽅向航⾏，到达点时观测两个⼈⼯岛，分别测得，与航向的夹⻆，，求此时观光船到⼤桥段的距离的⻓．（参考数据：，，，，，．）2019/11/13教研云资源页23.x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–1123456O （1）12（2）在平⾯直⻆坐标系中中，已知直线与双曲线的⼀个交点是．求的值．设点是双曲线上的⼀点，直线与轴交于点．若，求的值．若，结合图象，直接写出的值．24.（1）（2）（3）如图，，，为⊙上的定点，连接，，为上的⼀个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转，交⊙于点，连接，若，，记，两点间的距离为，，两点间的距离为．⼩东根据学习函数的经验，对函数随⾃变量的变化⽽变化的规律进⾏了探究．下⾯是⼩东探究的过程，请补充完整：通过取点，画图，测量，得到了与的⼏组值，如下表：//在平⾯直⻆坐标系中中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．结合画出的函数图象，解决问题：当时，的⻓度约为 ．25.2019/11/13教研云资源页（1）（2）如图，是⊙的弦，半径，为的延⻓线上⼀点，与⊙相切于点，与交于点．求证：．连接，，若，且，，求的⻓．26.12（1）（2）在平⾯直⻆坐标系中中，已知抛物线，，．当时．求抛物线与轴的交点坐标．若抛物线与线段只有⼀个交点，求的取值范围．若存在实数，使得抛物线与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．27.12（1）（2）（3）已知中，，，直线经过点（不经过点或点），点关于直线的对称点为，连接，．如图．图求证：点，，在以点为圆⼼，为半径的圆上．直接写出的度数（⽤含的式⼦表示） ．如图，当时，过点作的垂线与直线交于点，求证：．图如图，当时，记直线与的交点为，连接，将直线绕点旋转，当线段的⻓取得最⼤值时，直接写出的值．2019/11/13教研云资源页图28.（1）（2）12（3）在平⾯直⻆坐标系中中，已知点和点，给出如下定义：以为边，按照逆时针⽅向排列，，，四个顶点，作正⽅形，则称正⽅形为点，的逆序正⽅形，例如：，时，点，的逆序正⽅形如图所示．x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O 图）图中，点的坐标为 ．改变图中点的位置，其余条件不变，则点的 坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ．已知正⽅形为点，的逆序正⽅形．判断：结论“若点落在轴上，则点落在第⼀象限内” （填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由，若结论错误，请在图中画出⼀个反例．x–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O 图⊙的圆⼼为，半径为，若，，且点恰好落在⊙上，直接写出的取值范围．。
2018-2019九年级上期末试卷(完成版)
闸机箱
D B
E C
【
P A B Q
】30°30°源自CD闸机箱
图2 】
08．在平面直角坐标系 xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于 1 的是【 A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
–6 –5 –4 –3 –2 –1
y2 y1
y3
5 4 3 2 1
y4
O
–1 –2 –3 –4
k k 0 的图象有两个交点，则 k 的取值范围 x
13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，有两点 A ( 2， 4) ， B ( 4， 0) ，以原点 O 为位似中心，把△ OAB 缩小得
y
到△ OAⅱ B . 若 B 的坐标为 ( 2， 0) ，则点 A 的坐标为
．
5 4 3 2 1
B C A' A B'
【
】
2 x
y
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
C
B
O
A
x
2
06． 如图， 在 △ABC 中，DE∥ BC ， 且 DE 分别交 AB， AC 于点 D， E， 若 AD : AB =2 : 3 ， 则△ ADE 和△ ABC 的面积 之比等于 ．．
A
【
】
A． 2 : 3 B． 4 : 9 C． 4 : 5 D． 2 : 3 07．图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 AC =BD = 54cm，且与闸机侧立面夹角 PCA BDQ 30°．当双翼收起时，可以 通过闸机的物体的最大宽度为 A． (54 3+10) cm B． (54 2 +10) cm C．64 cm D．54cm 图1
月海淀初三数学期末试题及答案
11．海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷2018.1一、选择题<本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列说法正确的是 ( >A. 掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件D．某一抽奖活动中奖的概率为,买100张奖券一定会中奖2C Db5E2RGbCAP3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是 ( >A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C. 向左平移3个单位D.向右平移3个单位4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 ( >A ．x2+1=0B ．9x2-6x+1=0C ．x2-x+2=0D ．x2-2x-3=0p1EanqFDPw 5. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 ( >A. 5πcm2B.10πcm2C.14πcm2D.20πcm2DXDiTa9E3d 6.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好 落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m,与树相距 15m ，则树的高度为 ( >A. 4mB. 5mC. 7mD. 9mRTCrpUDGiT 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则下列 结论中正确的是( > A ．a>0 B ．c ＜0 C ．D ．a ＋b ＋c>08.已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬O B(A )COABC行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ( > A BC D5PCzVD7HxA 二、填空题<本题共16分，每小题4分） 9. 方程的解是 .10.如图, △ABD 与△AEC 都是等边三角形, 若∠ADC = 15︒, 则 ∠ABE=︒ . 11. 若<x, y, z 均不为0），则的值为 .12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A 后B的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为。
2018届海淀区初三第一学期数学期末试卷答案
初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1 2 3 4 5 6 7 8B AC BD C A D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9．0 或2 10．60 11．y 1（答案不唯一）12．（2，0）x13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，sin1A ， A 为锐角， A30.2三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分）17．解：原式=1 22 2 2 2 (3)分2 2= 1 2 2 2= 1 2 ………………5 分18．解：∵x 1是关于x 的方程x 2mx 2m2 0的一个根，∴1m 2m2 0.∴2m2 m 1. ………………3 分∴m(2m1) 2m2 m 1. ………………5 分19．解：作AD⊥BC 于点D，A∴∠ADB=∠ADC=90°.3B D Csin C ，5∵AC=5，∴AD AC sin C 3. ………………2 分∴ 在Rt △ACD 中，CD AC2AD24.………………3 分∵ AB 3 2 ， ∴ 在Rt △ABD 中，BD AB2AD23.………………4 分 ∴ BCBD CD 7.………………5 分20．解：240（1）.………………3 分t（2）由题意，当t5时，v 240 48. ………………5 分t答：平均每天要卸载48 吨.21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，A∴ AC AB2BC22 5 .∵ CE =AC ，E∴ CE2 5 .BCD∵ CD =5，∴ABAC . ………………3 分CE CD∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°. ∴ ∠BAC =∠DCE . ∴ △ABC ∽△CED .………………5 分22．BC ，BC ，BC BB CC………………3 分11 6………………5 分23．解：k（x 0 ）的图象经过点B （-2， 1）， （1）∵ 函数yxk∴1，得k2 .………………1 分2k∵函数yx2，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2 分2∴n1∵函数y ax b 的图象经过点A 和点B，∴a b 2, 解得 2a b 1.a 1,b 3. ………………4 分（2）2 m 0 且 m 1.………………6 分24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE . ∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1 分∵ ED =EF ， ∴ ∠EDF =∠EFD .∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°. ∴ OD ⊥DF . ………………2 分∵OD 是半径， ∴ DF 是⊙O 的切线.………………3 分（2）解： 连接 DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，A∴ ∠BAD =∠BCD =90°.D∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ，MO∴ △ABD ≌△CBD .∴ CD =AD =4，AB =BC. BFEC∵ DE =5， ∴ CEDE2DC23，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5. ∴ BF BE EF 10， BC BE EC 8.∴ AB =8. ………………5 分∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF .∴ AB BF. ME EF∴ME=4.∴DM DE EM 1. ………………6 分y25．（1）0.9. ………………1 分2（2）如右图所示. ………………3 分（3）0.7，………………4 分10 x 0 . . ………………6 分xO1 2 326．解：（1）2．………………1 分（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x 2，∴当x 2时，y 取到在1x 4上的最大值为 2.∴4a 8a 3a 2.∴ a 2 ，y 2x2 8x 6. ………………3 分∵当1x 2时，y 随x 的增大而增大，∴当x 1时，y 取到在1x 2上的最小值0 .∵当2 x 4 时，y 随x 的增大而减小，∴当x 4时，y 取到在2 x 4 上的最小值 6 .∴当1x 4时，y 的最小值为6. ………………4 分（3）4. ………………6 分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1 分（2）如图，在x 轴上方作射线AM，与⊙O 交于M，且使得1tan OAM ，并在AM2上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N，则由题意，线段MN 和M N上的点是满足条件的点B.y作MH⊥x 轴于H，连接MC，N∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°. M∵AC 是⊙O 的直径，A O xH C∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.M'∴∠OAM=∠HMC.N'1tan HMCtan OAM. ∴ 2MH HC 1. ∴HA MH2设 MHy ，则 AH 2y ，1CHy ， 2AC AHCH5 y，解得4y，即点 M 的纵坐标为 4 ∴2.255又由 AN2AM ，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为 8，548t . ………………3 分故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足：55由对称性，在线段 M N 上，点 B 的纵坐标 t 满足： 84t.………………4 分 5 584 或 4 8 ∴ 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 tt .5555（3）4 3 b 1或1 b 4 3 .………………7 分28．解：（1）否.………………1 分（2）① 作 PD ⊥AB 于 D ，则∠PDB =∠PDA =90°，A∵ ∠ABP =30°，PD B PP.………………2分∴∵PB 2PA， B C∴2 PDPA .2∴PD 2 sin PAB.PA 2由∠PAB 是锐角，得∠PAB=45°. ………………3 分另证：作点P 关于直线AB 的对称点P' ，连接B P' , P' A, P ，则P' B A P B, A' P A B P, A B' B P , B 'P.∵∠ABP=30°，AP'∴P'BP 60.∴△P'BP 是等边三角形. ∴P'P BP .PB C∵ PB 2PA ， ∴ P 'P 2PA .………………2 分∴ P 'P 2 PA 2 P ' A 2 .∴PAP ' 90 . ∴PAB 45.………………3 分②45，证明如下：………………4 分D作 AD ⊥AP ，并取 AD =AP ，连接 DC ，DP .1 3∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP ,A即 ∠BAP =∠CAD .2P∵ AB =AC ，AD =AP ，EBC∴ △BAP ≌△CAD . ∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5 分∵ ∠DAP =90°，AD =AP ， ∴ PD 2PA ，∠ADP =∠APD =45°. ∵ PB2PA ，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC α，∠BPCβ，∴ DPC 45， 12 .∴ 31802DPC 902 .∴ ADP 1 3 9045.∴45.………………7 分。
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷(详解)
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24. 如图， ， ， 为⊙ 上的定点，连接 ， ， 为 上的一个动点，连接
，将射线
绕点 顺时针旋转 ，交⊙ 于点 ，连接 ，若
，
，记 ， 两点间的
距离为 ， ， 两点间的距离为 ．
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （ 1 ） 通过取点，画图，测量，得到了 与 的几组值，如下表：
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，
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在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
26. 在平面直⻆坐标系中 中，已知抛物线
，
，
．
（ 1 ） 当 时．
1 求抛物线 与 轴的交点坐标．
2 若抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
（ 2 ） 若存在实数 ，使得抛物线 与线段 有两个交点，结合图象，直接写出 的取值范围．
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∴方程
无实数根．
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4. 如图，一块含 ⻆的直⻆三⻆板 绕点 顺时针旋转到 时，三⻆板 的旋转⻆度为（ ）．
，当 ， ， 在一条直线上
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵ ∴ ∴三⻆板
， ， 的旋转⻆度为 ．
5. 如图，在平面直⻆坐标系中 的面积为（ ）．
中， 是反比例函数
经过
，
∴，
∴
，
∵双曲线
经过点 ，
∴．
（ 2 ）1
，点 的坐标为 ，
北京海淀区2018-2019学年第一学期九年级期末数学考试试题
2019北京海淀初三（上）期末数 学2019．01一、选择题 （本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为（ ）A ．()1,3B ．()1,3- C ．()1,3--D ．()3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()43P ，，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433．方程230x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A B C ⅱ，当B ，C ，A ¢在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ） A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为（ ） A ．1B ．2C ．36．如图，在ABC △中，DE BC∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于（ ） A ．2:3 B ．4:9 C ．4:5 D7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BDB'A'C BA E D CB A54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠= 30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）图1 图2A．cm B．cm C ．64 cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A ．1y B. 2yC ．3y D. 4y 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程230x x -=的根为 ．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 ．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为 ．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是 ．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()24A ，，()40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B ⅱ. 若B '的坐标为()20，，则点A '的坐标为 ． 14．已知1(1)y ，-，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：()cos452sin302-+-o o ．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ??，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．19．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A ．1100y x =B ．100y x=C ．13+2002y x =-D ．21319400008008x y x =-+ （2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P .求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，作射线OP ；② 在直线OP外任取一点A ，以点A为圆心，AP为半径作⊙A ，与射线OP交ODCBA于另一点B ；③ 连接并延长BA 与⊙A 交于点C ； ④ 作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴ ∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴ OP ⊥PC ．又∵ OP 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景. 大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DPA =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长．参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan 53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^， P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC = ，3tan4P =，求FB 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，224844y x ax a =-+-BA，(1,0),(,0)A N n -．（1）当1a =时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，① 求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ② 直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=点D 作BD 的垂线与直线l 点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=9直线l 与CD 连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．图1图2图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a =-，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．C DB图1 图2（1）图1中点C 的坐标为 ；（2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ； （3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1. 若4a =，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.初三第一学期期末学业水平调研数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）2019．019． x 1 = 0 ， x 2 = 310． π11．2 12． k > 013． (1，2) 14.答案不唯一，如： y =-1x15． M ，N16．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17．（本小题满分 5 分）解：原式=2 - 2 ⨯ 1+1 2 2=2．218．（本小题满分 5 分）证明：∵ ∠A = ∠C ， ∠AOB = ∠COD ，∴△AOB ∽△COD ． ∴AO = AB ．CO CD∵ A O = 4，CO = 2，CD = 3 ， ∴ A B = 6 ．19．（本小题满分 5 分）解：依题意，得 mn 2 - 4n - 5 = 0 ．∴ m n 2 - 4n = 5． ∵ m n 2 - 4n + m = 6 ，3∴5 +m = 6 ．∴m= 1 ．20．（本小题满分5 分）解：（1）B．（2）0.50 ．21．（本小题满分 5 分）（1） 补全的图形如图所示：（2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分 5 分）解：在Rt △DPA 中，∵t an ∠DPA = AD，PD∴ AD = PD ⋅tan ∠DPA ． 在Rt △DPB 中， ∵t an ∠DPB = BD，PD∴ B D = PD ⋅ tan ∠DPB ．∴ A B = BD - AD = PD ⋅(tan ∠DPB - tan ∠DPA )． ∵ A B = 5.6 ， ∠DPB = 53 °， ∠DPA = 18 °， ∴ P D = 5.6 ．答：此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为5.6 千米． 23．（本小题满分 6 分）解：（1）∵直线 y = 1x 经过点 A (2，a ) ，2∴ a = 1 ． ∴A (2，1)又∵双曲线y =k 经过点A ，x∴k= 2 ．（2）①当m=1时，点P 的坐标为(1，2)．∴直线PA 的解析式为y =-x + 3 ．∵直线 PA 与 x 轴交于点 B (b ，0) ， ∴ b = 3 ． ② b = 1或3 ．24．（本小题满分 6 分）解：本题答案不唯一，如： （1）（2）yO1 2 3 4 5 6 7x（3）1.38 或 4.62 ．说明：允许（1）的数值误差范围 ±0.05 ；（3）的数值误差范围 ±0.2 25．（本小题满分 6 分）（1）证明：如图，连接OC ．∵ O E ⊥AB ， ∴ ∠EGF = 90 °．∵ PC 与⊙ O 相切于点C ，∴ ∠OCP =90 °． ............. 1 分C∴∠E +∠EFG =∠OCF +∠PCF = 90 °．∵O E =OC ，∴∠E =∠OCF ．∴∠EFG =∠PCF ．又∵∠EFG =∠PFC ，∴∠PCF =∠PFC ．∴P C =PF ．（2）方法一：解：如图，过点B 作BH⊥PC 于点H ．∵O B∥PC ，∠OCP = 90︒，。
北京海淀区2018-2019学年初三第一学期期末数学试题及答案
初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）2019．01题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCABBCA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． x 1 = 0 ， x 2 = 310． π11．2 12． k > 013． (1，2) 14.答案不唯一，如： y =-1x15． M ，N16．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17．（本小题满分 5 分）解：原式=2 - 2 ⨯ 1+1 2 2 = 2 ． 218．（本小题满分 5 分）证明：∵ ∠A = ∠C ， ∠AOB = ∠COD ，∴△AOB ∽△COD ．∴AO = AB ．CO CD ∵ A O = 4，CO = 2，CD = 3 ，∴ A B = 6 ．19．（本小题满分 5 分）解：依题意，得 mn 2 - 4n - 5 = 0 ．∴ m n 2 - 4n = 5． ∵ m n 2 - 4n + m = 6 ， ∴ 5 + m = 6 ． ∴ m = 1 ．20．（本小题满分 5 分）解：（1）B ．（2） 0.50 ．3CAOPB21．（本小题满分 5 分）（1） 补全的图形如图所示：（2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分 5 分）解：在Rt △DP A 中，∵ t an ∠DP A = AD，PD ∴AD= PD ⋅tan ∠DP A．在Rt △DPB 中，∵ t an ∠DPB = BD，PD∴ B D = PD ⋅ tan ∠DPB ．∴ A B = BD - AD = PD ⋅(tan ∠DPB - tan ∠DP A )． ∵ A B = 5.6 ， ∠DPB = 53 °， ∠DP A = 18 °， ∴ P D = 5.6 ．答：此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为5.6 千米． 23．（本小题满分 6 分）解：（1）∵直线 y = 1x 经过点 A (2，a ) ，2∴ a = 1 ． ∴ A (2，1) 又∵双曲线 y = k经过点 A ，x∴ k = 2 ．（2）①当 m = 1 时，点 P 的坐标为(1，2) ． ∴直线 P A 的解析式为 y = -x + 3 ．∵直线P A与x轴交于点B(b，0)，∴b= 3 ．② b = 1或3 ．24．（本小题满分6 分）解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 2.41 1.66 0 （2）y4321O 1 2 3 4 5 6 7 x（3）1.38 或 4.62 ．说明：允许（1）的数值误差范围±0.05；（3）的数值误差范围±0.225．（本小题满分6 分）（1）证明：如图，连接OC ．A∵O E⊥AB ，∴∠EGF = 90 °．∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCP=90 °． ............. 1分EG F B P OC∴∠E +∠EFG =∠OCF +∠PCF = 90 °．∵O E =OC ，∴∠E =∠OCF ．∴∠EFG =∠PCF ．又∵∠EFG =∠PFC ，∴∠PCF =∠PFC ．∴P C =PF ．（2）方法一：解：如图，过点 B 作BH⊥PC 于点H ．∵O B∥PC ，∠OCP = 90︒，2 2 AG F B OHCAG F H BOCE∴ ∠BOC = 90︒ ． ∵ O B = OC ，P∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °． ∴ ∠BCH = ∠OBC = 45 °．在Rt △BHC 中， B C = 3 ，可得 BH = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ， CH = BC ⋅ cos 45 ° = 3 ．在Rt △BHP 中， tan P = 3，4可得 PH =∴ B P = BHtan P= 4 ．= 5 ． ∴ P C = PH + CH = 7 ． ∴ P F = PC ．∴ FB = PF - PB = PC - PB =2 ． 方法二：解：如图，过点 C 作CH ⊥AP 于点 H ． E∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ， P∴ ∠BOC = 90 °． ∵ O B = OC ，∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °．在Rt △OBC 中， B C = 3 ，可得OB = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ． ∴ O E = OB = 3 ．∵ ∠GBO = ∠P ，t an P = 3， 4∴t an ∠GBO = 3． 4在Rt △GBO 中， tan ∠GBO = OG， OB = 3 ．GB∴O G = 9 ， G B = 12 ． 5 5∴E G = OE - OG = 6． 5在Rt △CHP 中， tan P = CH， CH 2 + PH 2 = PC 2 ．PH设CH = 3x ，则 PH = 4x ， PC = 5x ． ∵ P C = PF ，∴ F H = PF - PH = x ．PH 2 + BH 22 ∵ ∠EFG = ∠CFH ， ∠EGF = ∠CHF = 90， ∴△EGF ∽△CHF∴FG = FH = 1 ．EG CH 3∴ F G = 1 EG = 2．3 5∴ FB = GB - FG =2 ． 方法三 ： 解：如图，过点C 作CH ⊥AP 于点 H ，连接 AC ． ∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ，∴ ∠BOC = 90︒ ． ∴ ∠A = 1 ∠BOC = 45 °. 2在Rt △CHP 中， tan P =CH = 3，EG F H B PH 4A P设CH = 3x ，则 P H = 4x ， P C = 5x ． O在Rt △AHC 中， ∠A = 45 °， CH = 3x ，∴ A H = CH = 3x ， A C = 3 2x ． C∴ P A = AH + PH = 7x ．∵ ∠P = ∠P ， ∠PCB = ∠A = 45︒ ， ∴△PCB ∽△P AC ． ∴PB = PC = BC ．PC PA AC∵ B C = 3 ，∴ x = 7 ， P C = 7 ， P B = 5 ．5∵ P F = PC ， ∴ P F = 7 ．∴ F B = PF - PB = 2 ．26．（本小题满分 6 分）y3 解：（1）①当 a = 1 时， y = 4x 2 - 8x ．21当 y = 0 时， 4x 2 -8x = 0， A解得 x 1 = 0 ， x 2 = 2 ．∴抛物线G 与 x 轴的交点坐标为(0，0) ， (2，0) ．–1 O –1 –2 –3 –41 23 x图 1图 2∴∠DAE = ∠DAC ． ②当 n = 0 时，抛物线G 与线段 AN 有一个交点． 当 n = 2 时，抛物线G 与线段 AN 有两个交点． 结合图象可得0 ≤ n < 2 ． （2） n ≤ -3 或 n ≥ 1 ．27．（本小题满分 7 分）D （1）①证明：连接 AD ，如图 1．∵点 C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A C = AD ． ∵ A B = AC ， BC∴ A B = AC = AD ．∴点 B ，C ，D 在以 A 为圆心， AB 为半径的圆上．② 1α ． 2（2） 证法一：证明：连接CE ，如图 2．D∵ α =60 °，A∴ ∠BDC = 1α = 30 °．2 l∵ D E ⊥BD ，E∴ ∠CDE = 90 ° -∠BDC = 60 °． BC∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ E C = ED ．∴△CDE 是等边三角形． ∴ C D = CE ， ∠DCE = 60 °． ∵ A B = AC ， ∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB ， ∠ACB = 60 °．∵ ∠ACE = ∠DCE + ∠ACD ， ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD ， ∴ ∠ACE = ∠BCD ． ∴△ACE ≌△BCD ． ∴AE =BD ． 证法二：证明：连接 AD ，CE ，如图 2．∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A D = AC ，AE ⊥CD ．12AlDAElBC 图 22（3） 1．3∵ ∠DBC = 1∠DAC ，2∴ ∠DBC = ∠DAE ． ∵ A E ⊥CD ， B D ⊥DE ，∴ ∠BDC + ∠CDE = ∠DEA + ∠CDE = 90 °． ∴ ∠BDC = ∠DEA ． ∵ A B = AC ，∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB = AD ． ∴△BCD ≌△ADE ∴ A E = BD ．28．（本小题满分 7 分）解：（1）图 1 中点C 的坐标为 (-1，3) ．（2） 改变图 1 中的点 A 的位置，其余条件不变，则点C 的 纵 坐标不变，它的值为 3 ．（3） ①判断：结论“点C 落在 x 轴上，则点 D 落在第一象限内．” 错误．反例如图所示：② 3 < t ≤ 4 + ．yC（B ） xDAO。
每日一学：北京市北京市海淀区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答
每日一学：北京市北京市海淀区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答答案北京市北京市海淀区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2018海淀.九上期末) 在△ABC 中，∠A 90°，AB AC ．（1） 如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“”是否正确：（填“是”或“否”）；（2） 点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PBPA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP 30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APCα，∠BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;旋转的性质;作图﹣旋转;解直角三角形;~~ 第2题 ~~(2018海淀.九上期末) 下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A求作：，使得 =30°做法：如图①作射线AB②在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C③以C 为圆心，OC 为半径作弧，与圆O 交于点D ，作射线AD ，∠DAB 即为所求的角请回答：该尺规作图的依据是________．~~ 第3题 ~~(2019台州.九上期中) 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（ ）A . 小红的运动路程比小兰的长B . 两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C . 当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D D . 在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径北京市北京市海淀区2018届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：D解析：。
2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（3，﹣1）2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （4，3），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2分）方程x 2﹣x +3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A 'B 'C ，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（ ）A．2：3B．4：9C．4：5D．7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A．y1B．y2C．y3D．y4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为 ．10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 ．11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为 ．12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是 ．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 ．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 ．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 ．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分）17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x（单位：度）…100250400500…y （单位：米）… 1.000.400.250.20…（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 ；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为 米．21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A （2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B （b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm00.250.47123456 y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 1.660（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为 cm．25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O 相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tan P＝，求FB的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为 ；（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的 坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ；（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．” （填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若a＝4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）A．B．C．D．【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】把a＝1，b＝﹣1，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S ＝|k|．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OABC的面积S＝|k|＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．6．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB ＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（ ）A．2：3B．4：9C．4：5D．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A．y1B．y2C．y3D．y4【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【解答】解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（﹣2，﹣2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1＝（x+2）2﹣2；抛物线y2的顶点为（0，﹣1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2＝x2﹣1；抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3＝（x﹣1）2+1；抛物线y4的顶点为（1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣1），根据待定系数法求得y4＝2（x﹣1）2﹣3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为 x1＝0，x2＝3 ．【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，解得，x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 π ．【分析】根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：扇形的面积是＝π，故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为 2 ．【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线＝2．即n的值为2．故答案为2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是 k＞0 ．【分析】联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：联立两解析式得：，消去y得：x2﹣k＝0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＝4k＞0，即k＞0．故k的取值范围是k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 （1，2） ．【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．【解答】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，∵点A的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 y＝﹣，答案不唯一 ．【分析】先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0．故答案为：y＝﹣，答案不唯一．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 点M与点N ．【分析】分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．【解答】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，故答案为：点M与点N．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为＝．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分）17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的长．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，即＝，∴AB＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x（单位：度）…100250400500…y （单位：米）… 1.000.400.250.20…（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 B ；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为 米．【分析】（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解；（2）将x＝200代入（1）中的解析式，求出y即可．【解答】解：（1）根据表格数据可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100，所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，所以y关于x的函数关系式是y＝．故选：B．（2）将x＝200代入y＝，得y＝＝．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键．21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（ 圆周角定理 ）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（ 切线的判定 ）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理，切线的判定．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A （2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B （b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值；（2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，则P（1，n），∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y＝﹣x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此时b＝3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y＝x﹣1，∴b＝1，综上，b的值为3或1．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm00.250.47123456 y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 2.41 1.660（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为 1.38或4.62 cm．【分析】（1）描出图象后，测量x＝4时，y的值，即可求解；（2）描点即可；（3）当BD＝AC时，即：y＝2，即图中点A、B的位置，即可求解．【解答】解：（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一），故答案是2.41；（2）图象如下图所示：当x＝4时，测量得：y＝2.41；（3）当BD＝AC时，y＝2，即图中点A、B的位置，从图中测量可得：x A＝1.38，x B＝4.62，故：答案为：1.38或4.62（本题答案不唯一）．【点评】本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度．25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O 相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tan P＝，求FB的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以，所以PG ＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝3，∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝，∴，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即可求解．【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2，即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，4n2﹣8n＜0，解得：0＜n＜2，故：0≤n＜2；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即：，解得：，即：n的取值范围为：n≤﹣3或n≥1．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 α ．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD＝AC＝AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度数；（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值．【解答】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴AD＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AB＝AC，∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上②∵AD＝AB＝AC∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α∴∠BDC＝故答案为：α（2）如图2，连接CE，∵∠BAC＝60°，AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵∠BDC＝∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD＝AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，∵在△BOF中，BO+OF≥BC∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC，∴∠COH＝∠HCO＝45°，∴OH＝HC，∴OC＝HC，∵点O是AC中点，∴AC＝2HC，∴BC＝4HC，∴BH＝BC﹣HC＝3HC∴tan∠FBC＝＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为 （﹣1，3） ；（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的 纵 坐标不变（填“横”。