《因式分解法》课件
21.2.3 因式分解法
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
（1）因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法：利用平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 和 完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2 分解因式.
活动2 大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖： 设这个数为x，由题意得： x2 3x
配方: x2 3x 9 9 , 44
即: (x 3)2 9 , 24
∴ x3 3, 22
解得， x1 0, x2 3.
4
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤 活动2 大胆猜想，探究新知
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出 结论.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动1 用因式分解法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例2 用因式分解法解下列方程：x2﹣6x+9=0
【解题过程】
解：由公式法，得 （x﹣3）2=0， ∴x﹣3=0， ∴x1=x2=3.
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动1 用因式分解法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习1：用因式分解法解下列方程：2（x-3）2﹣50=0
【解题过程】
解：分解因式，得 2（x-3+5）（x﹣3-5）=0， ∴x-3+5=0或x-3﹣5=0 ∴x1=﹣2，x2=8.
（4）解一元一次方程，得方程式的解.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动1 用因式分解法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例1 用因式分解法解下列方程：（x+2）2﹣9=0
【解题过程】 解：分解因式，得 （x+2+3）（x+2﹣3）=0， ∴x+5=0或x﹣1=0 ∴x1=﹣5，x2=1.
活动2 大胆猜想，探究新知
归纳： 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法 求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例.解方程5x2＝4x．
解：原方程可变形x（5x-4）＝0
∴x＝0或5x-4＝0
4
∴x1=0，x2=
. 5
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动2 用适当方法解下列方程
重点、难点知识★▲
练习3：解一元二次方程x2+8x=﹣16.
【解题过程】
解：x2+8x=﹣16， x2+8x+16=0， （x+4）2=0， x+4=0， x=﹣4， 即x1=x2=﹣4.
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引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小亮：设这个数为x，由题意得： x2 3x
移项，得 x2 3x 0,
分解因式，得 x(x 3) 0,
∴ x=0或x-3=0, 解得， x1 0, x2 3.
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤
【思路点拨】直接由完全平方公式求解即可.ห้องสมุดไป่ตู้
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动1 用因式分解法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习2：用因式分解法解下列方程：（x+5）（x﹣1）=-9．
【解题过程】
解：变形为：x2+4x﹣5=-9， 移项得： x2+4x+4=0， ∴（x+2）2=0， ∴x+2=0， ∴x1=x2=-2．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动2 用适当方法解下列方程
重点、难点知识★▲
【思路点拨】先展开，再移项，转化为一般形式后直 接由完全平方公式求解即可.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动2 用适当方法解下列方程
重点、难点知识★▲
例3 解一元二次方程x2﹣2x=99
【解题过程】
解：x2﹣2x=99， x2﹣2x﹣99=0， （x﹣11）（x+9）=0， x﹣11=0，x+9=0， x1=11，x2=﹣9.
十字相乘法： 简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数， 右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次 项.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解.
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤 活动1 以旧引新
将下列各式分解因式
活动3
集思广益，归纳方法
用分解因式法解方程：x-2＝x（x-2） 解：原方程可变形为x-2-x（x-2）＝0．
（x-2）（1-x）＝0
∴x-2＝0或1-x＝0． ∴x1＝2，x2＝1．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0.
（2）将方程的左边进行因式分解.
（3）令每个因式为0，得两个一元一次方程.
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小明：设这个数为x，由题意得： x2 3x
移项，得 x2 3x 0, 由求根公式，得 x 3 9 ,
2 解得， x1 0, x2 3.
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知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究一：因式分解法解一元二次方程的步骤 活动2 大胆猜想，探究新知
(1)5x2 4x x5x 4
(2)x2 4x 4 x 22 (3)4x(x 1) 2 2x 4x2 2x 2 2x 12x 1
(4)x2 4 x 2x 2 (5)(2x 1)2 x2 2x 1 x2x 1 x 3x 1x 1
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（1）因式分解的方法：
提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法：利用平方差公式 a2 b2 (a b)(a b) 和 完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2 分解因式.
活动2 大胆猜想，探究新知
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖： 设这个数为x，由题意得： x2 3x
配方: x2 3x 9 9 , 44
即: (x 3)2 9 , 24
∴ x3 3, 22
解得， x1 0, x2 3.
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【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出 结论.
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重点、难点知识★▲
例2 用因式分解法解下列方程：x2﹣6x+9=0
【解题过程】
解：由公式法，得 （x﹣3）2=0， ∴x﹣3=0， ∴x1=x2=3.
【思路点拨】由整体思想用平方差公式分解就可以求出结论.
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重点、难点知识★▲
练习1：用因式分解法解下列方程：2（x-3）2﹣50=0
【解题过程】
解：分解因式，得 2（x-3+5）（x﹣3-5）=0， ∴x-3+5=0或x-3﹣5=0 ∴x1=﹣2，x2=8.
（4）解一元一次方程，得方程式的解.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动1 用因式分解法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例1 用因式分解法解下列方程：（x+2）2﹣9=0
【解题过程】 解：分解因式，得 （x+2+3）（x+2﹣3）=0， ∴x+5=0或x﹣1=0 ∴x1=﹣5，x2=1.
活动2 大胆猜想，探究新知
归纳： 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成 两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法 求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
例.解方程5x2＝4x．
解：原方程可变形x（5x-4）＝0
∴x＝0或5x-4＝0
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∴x1=0，x2=
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练习3：解一元二次方程x2+8x=﹣16.
【解题过程】
解：x2+8x=﹣16， x2+8x+16=0， （x+4）2=0， x+4=0， x=﹣4， 即x1=x2=﹣4.
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引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小亮：设这个数为x，由题意得： x2 3x
移项，得 x2 3x 0,
分解因式，得 x(x 3) 0,
∴ x=0或x-3=0, 解得， x1 0, x2 3.
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【思路点拨】直接由完全平方公式求解即可.ห้องสมุดไป่ตู้
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练习2：用因式分解法解下列方程：（x+5）（x﹣1）=-9．
【解题过程】
解：变形为：x2+4x﹣5=-9， 移项得： x2+4x+4=0， ∴（x+2）2=0， ∴x+2=0， ∴x1=x2=-2．
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【思路点拨】先展开，再移项，转化为一般形式后直 接由完全平方公式求解即可.
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探究二：利用因式分解法解一元二次方程 活动2 用适当方法解下列方程
重点、难点知识★▲
例3 解一元二次方程x2﹣2x=99
【解题过程】
解：x2﹣2x=99， x2﹣2x﹣99=0， （x﹣11）（x+9）=0， x﹣11=0，x+9=0， x1=11，x2=﹣9.
十字相乘法： 简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数， 右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次 项.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解.
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将下列各式分解因式
活动3
集思广益，归纳方法
用分解因式法解方程：x-2＝x（x-2） 解：原方程可变形为x-2-x（x-2）＝0．
（x-2）（1-x）＝0
∴x-2＝0或1-x＝0． ∴x1＝2，x2＝1．
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程的右边化为0.
（2）将方程的左边进行因式分解.
（3）令每个因式为0，得两个一元一次方程.
引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？ 如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小明：设这个数为x，由题意得： x2 3x
移项，得 x2 3x 0, 由求根公式，得 x 3 9 ,
2 解得， x1 0, x2 3.
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(1)5x2 4x x5x 4
(2)x2 4x 4 x 22 (3)4x(x 1) 2 2x 4x2 2x 2 2x 12x 1
(4)x2 4 x 2x 2 (5)(2x 1)2 x2 2x 1 x2x 1 x 3x 1x 1
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因式分解法-ppt课件
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
x1=2，x2=-1.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
x1
1 2
,
x2
1. 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
课堂小结
因式分解法
通过因式分解 实现降次来解 一元二次方程
提公因式法 公式法
十字相乘法
完全平方公式 平方差公式
课后作业
1.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12；
2.填空 ①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2 ⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2=2(x-2). (1）适合运用直接开平方法 ② ⑥ ； (2）适合运用因式分解法 ③ ⑤ ⑨ ； (3）适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； (4）适合运用配方法 ④ . 【提示】每个题都有多种解法，选择更 合适的方法，可以简化解题过程！
2.4《因式分解法》课件(共35张PPT)
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2 3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
（5） 3t(t+2)=2(t+2)
小结： 1、
ax2+c=0
====>
直接开平方法
ax2+bx=0 ====>
因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
我的发现
➢一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法；
例3.解下列方程 :
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 .
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
➢若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
➢若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解， 若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
《因式分解》PPT教学课件
2
m+n=1+ 3= 5.
22
课堂小结
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘 积的形式,像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式.其中，每 个整式叫做这个多项式的因式
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
x
随堂练习
2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2)，则c的值 为（ A ）
历史课件： . /kejian/lishi/
c
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้c n
d
方法一： （a+b+c）（n+d）
方法二： an+bn+cn+ad+bd+cd
（a+b+c）（n+d） =an+bn+cn+ad+bd+cd
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
第四章 因式分解
4.1 因式分解
新知导入
课程讲授
随堂练习
-.
课堂小结
知识要点
因式分解的定义即相关概念
m+n=1+ 3= 5.
22
课堂小结
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘 积的形式,像这样的式子变形叫做 把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式.其中，每 个整式叫做这个多项式的因式
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
x
随堂练习
2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)·(x+2)，则c的值 为（ A ）
历史课件： . /kejian/lishi/
c
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้c n
d
方法一： （a+b+c）（n+d）
方法二： an+bn+cn+ad+bd+cd
（a+b+c）（n+d） =an+bn+cn+ad+bd+cd
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
第四章 因式分解
4.1 因式分解
新知导入
课程讲授
随堂练习
-.
课堂小结
知识要点
因式分解的定义即相关概念
因式分解ppt课件
识别多项式的系数
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
观察多项式的系数，可以发现其中的规律和特点，有助于因式分解的进行。
ห้องสมุดไป่ตู้
寻找公因式或公因子
提取公因式
通过观察多项式的各项，可以发现其 中的公因式，提取公因式是因式分解 的一种常用方法。
寻找公因子
在某些情况下，多项式中可能存在公 因子，通过寻找公因子可以简化因式 分解的过程。
灵活运用公式和分组方法
利用公式进行因式分解
在数学中存在许多公式可以用于因式分解，如平方差公式、 完全平方公式等，利用这些公式可以简化因式分解的过程。
分组方法
对于一些复杂的多项式，可以将其分组进行因式分解，这样 可以更好地理解和处理多项式。
04
因式分解的应用实例分析
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式 化简为简单的形式，便于计算和理解 。
$ax^n + bx^{n-1} + \ldots + y = a(x^m)^n + b(x^m)^{n-1} + \ldots + y$
因式分解的意义
01
02
03
简化计算
因式分解可以简化多项式 的计算过程，提高计算效 率。
便于应用
因式分解在解决实际问题 中具有广泛应用，如解方 程、求根、不等式等。
分组分解法
总结词
将多项式分组进行因式分解
详细描述
分组分解法是将多项式中的某些项进行分组，然后对每组进行因式分解的方法。这种方法可以简化多项式的结构 ，使其更容易进行因式分解。
03
因式分解的技巧与策略
观察多项式的结构特点
识别多项式的项数和各项的次数
观察多项式的项数和各项的次数，有助于确定因式分解的策略。
因式分解ppt课件
因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_______ (2) m2-16=__________ (3) y2-6y+9=______ (4) ma+mb-mc=
归纳小结
想一想 因式分解与整式乘法有什么关系？
整式积的形式 整式乘法
整式乘法 因式分解
互逆运算
多项式 因式分解
典例精析
例1 若多项式 ax+B可分解为a(x+y)，则B等于( )
第四章 因式分解
第一节 因式分解
温故知新
一、用简便方法计算
（1）66×42- 42×6
（2）16.9× 1 +15.1× 1
8
8
探索一：因式分解的概念
993-99能被100整除吗？
乘法对加法分配律Βιβλιοθήκη 逆用解：993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99×9800 =99×100×98
8
8
5.若多项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-2)(x+3) 求m，n的值。
能力提升
6:仔细阅读下面的例题,并解答问题
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x十3，求另
一个因式及m的值
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n)
即:x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n.
在这里，解决问题的关键是把 一个数式化成几个数的积的形式。
所以，993-99能被100整除. 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
探索一：因式分解的概念
议一议 你能尝试把
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。