上海市洋泾中学2019-2020学年高三下学期数学期中考试卷(word版含答案)
上海洋泾中学高三期中数学试卷
2020.04
一.填空题 1.已知集合2
{|
0},1
x A x x -=≥+集合B={y|0≤y<4},则A∩B=___ 2.若直线l 的参数方程为44,23x t
y t =-⎧⎨
=-+⎩
t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是___
3.已知圆锥的母线长为4,母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____
4.抛物线
2
14
y x =
的焦点到准线的距离为___
5.已知关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫
⎪-⎝⎭
，则3x-y=___
6. 若三个数123,,a a a 的方差为1,则123323232a a a +++、
、的方差为___ 7.函数2
sin sin 2y x x =-的最小正周期为___
8.已知射手甲击中A 目标的概率为0.9,射手乙击中A 目标的概率为0.8,若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____
9.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为,n S 则1
lim
n
n n n S a a →∞+=___
10. 设函数212()0()2
log (2)0
x x f x x x ⎧
-≤⎪=⎨⎪+>⎩的反函数为1(),y f x -=若1
()6,f a -≥则实数a 的取值范围是___ 11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足:*
11(2)(1)0(),n n n n a a a a n ++--=∈N 且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为___
12. 已知平面上三个不同的单位向量,,a b c r r r 满足1,2
a b b c ⋅=⋅=r r r r 若e r
为平面内的任意单位向量，则
||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r
的最大值为___.
二。
选择题
13.“|x|>3成立”是“x （x-3）>0成立”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件
D.非充分非必要条件
14.已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）
A.(1)(3)(4)
B. (2)(4)(3)
C. (1)(3)(2)
D. (2)(4)(1)
15.若,[,]
22
ππ
αβ∈-，且αsinα- βsinβ>0,则下列结论正确的是( ) A.α> β
B.α+β>0
C.α<β
22.D αβ>
16. 对于复数a 、b 、c 、d ，若集合S={a,b,c,d}具有性质:“对任意x,y ∈S,都有xy ∈S",则当2
211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩
时，b+c+d
的值是( )
A.1
B. -1
C. i
D. -i
三.解答题
17.如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O- xyz 的原点，半径为1,且球O 分别与x 、y 、z 轴的正半轴交于A 、B 、C 三点,已知球面上一点31(0,,).2
D -
(1)求D 、C 两点在球O 上的球面距离; （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小。
18.某地计划在一处海滩建造一个养殖场.
(1)如图1,射线OA 、OB 为海岸线，2,3
AOB π
∠=
现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点P 、Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积;
(2)如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.
方案一:围成三角形OAB (图2) (点A 、B 在直线l 上)，使三角形OAB 面积最大，设其为1S
方案二:围成弓形CDE (图3) (点D 、E 在直线l 上，C 是优弧¶DE
所在圆的圆心且2),3
DCE π
∠=
其面积为2S 试求出1S 的最大值和2S (均精确到0.001平方千米)，并指出哪一种设计方案更好.
19.已知双曲线C 22
:1,43
x y -=其右顶点为P . (1)求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程;
(2)设直线l 过点P,其法向量为(1,1),n =-r
，若在双曲线C 上恰有三个点123P P P 、、到直线l 的距离均为d ，求d 的值.
20. 已知a>0，b>0,函数f(x)=|2x+a|+|x-b|的最小值为1
.2
(1)判断a + 2b 是否为定值，如果是，求此定值; (2)若a + 2b≥tab 恒成立，求实数t 的最大值;
(3)求证:关于x 的不等式f(f(x))< f(x)+a+ 2有解，且解集的区间长度小于
5
.6
(区间[a,b]、(a,b)、 (a,b]、 [a,b)
的区间长度均为b-a )
21.设等差数列{}n a 的公差为d ，且*
1,,a d ∈N 若设1M 是从1a 开始的前1t 项数列的和，即
1112**11112122(1,),(1),t t t t M a a t t M a a a t ++=++≤∈=+++<∈L L N N 如此下去,其中数列{}i M 是从第
101(0)i t t -+=开始到第(1)i i t t <项为止的数列的和,即1*1(1,)i i i t t i i a a t t M -+=++≤∈L N
(1)若数列*
(113,)n a n n n =≤≤∈N 试找出一组满足条件的123,M M M 、、使得2
213M M M =； (2)试证明对于数列*(),n a n n =∈N 一定可通过适当的划分,使所得的数列{}n M 中的各数都为平方数; (3)若等差数列{}n a 中11,
2a d ==，试探索该数列中是否存在无穷整数数列
{},n t *123(1),n t t t t n ≤<<<∈N ，使得{}n M 为等比数列，如存在,就求出数列{},n M 如不存在，则说明理
由.。
上海市洋泾中学2019-2020学年高三下学期数学期中考试卷(word版含答案)
上海洋泾中学高三期中数学试卷2020.04一.填空题 1.已知集合2{|0},1x A x x -=≥+集合B={y|0≤y<4},则A∩B=___ 2.若直线l 的参数方程为44,23x ty t =-⎧⎨=-+⎩t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是___3.已知圆锥的母线长为4,母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为____4.抛物线214y x =的焦点到准线的距离为___5.已知关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x-y=___6. 若三个数123,,a a a 的方差为1,则123323232a a a +++、、的方差为___ 7.函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为___8.已知射手甲击中A 目标的概率为0.9,射手乙击中A 目标的概率为0.8,若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____9.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为,n S 则1limnn n n S a a →∞+=___10. 设函数212()0()2log (2)0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪+>⎩的反函数为1(),y f x -=若1()6,f a -≥则实数a 的取值范围是___ 11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足:*11(2)(1)0(),n n n n a a a a n ++--=∈N 且110a a =，则首项1a 所有可能取值中的最大值为___12. 已知平面上三个不同的单位向量,,a b c r r r 满足1,2a b b c ⋅=⋅=r r r r 若e r为平面内的任意单位向量，则||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅r r r r r r的最大值为___.二。
选择题13.“|x|>3成立”是“x （x-3）>0成立”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件14.已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示，则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A.(1)(3)(4)B. (2)(4)(3)C. (1)(3)(2)D. (2)(4)(1)15.若,[,]22ππαβ∈-，且αsinα- βsinβ>0,则下列结论正确的是( ) A.α> βB.α+β>0C.α<β22.D αβ>16. 对于复数a 、b 、c 、d ，若集合S={a,b,c,d}具有性质:“对任意x,y ∈S,都有xy ∈S",则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时，b+c+d的值是( )A.1B. -1C. iD. -i三.解答题17.如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O- xyz 的原点，半径为1,且球O 分别与x 、y 、z 轴的正半轴交于A 、B 、C 三点,已知球面上一点31(0,,).2D -(1)求D 、C 两点在球O 上的球面距离; （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小。
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷(6页)
上海市上海中学2019-2020学年高三期中数学试卷2019.11一. 填空题度1. 已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N =I2. 函数y 的定义域是3. 等比数列{}n a 的公比4q =，且前3项之和等于21，则其通项n a =4. 设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解 集为5. 设0x >，0y >，25x y +=的最小值为6. 若不等式20px qx r -+≥的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为7. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n ∈N ，2020n <）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k =8. 若命题：“存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是9. 集合的容量是指几何中各元素的和，满足条件“{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和为10. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零 点，则a 的取值范围为11. 若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项12. 设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+≤=⎨++->⎩，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不归”，其中后一句中“破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m 的值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 15. 若存在[1,2]x ∈，使得|21|20x a ⋅-->成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 13(,)24- B. 13(,)(,)22-∞-+∞U C. 13(,)44- D. 13(,)(,)44-∞-+∞U 16. 给定函数()f x 和()g x ，令()max{(),()}h x f x g x =，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17. 已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<. （1）若1a b +=，求11(1)(1)ab++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值.18. 已知()|1|f x ax =-（a ∈R ），()1||g x x =-. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤；（2）若()()f x g x ≥的解集为R ，求a 的取值范围.19. 若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x ⋅≥恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”.（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的 取值范围； （2）若函数30()f x a x =-与()lg()xg x a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围.20. 在数列{}n a 中，10a =，21n n a a m +=+，其中m ∈R ，*n ∈N . （1）若2a 、3a 、3a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“114n a +>（*n ∈N ）恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k ∈N ，使得2019k a >.21. 已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >. （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值； （3）若函数()f x 在[2,2]-上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值.参考答案一. 填空题1. {|22}x x -<<2. [4,)+∞3. 14n -4. (1,0)(0,1)-U5.6. (3,1)(2,)-+∞7. 10108. [1,4]9. 224 10.(,[1,)-∞+∞U 11. 89 12. {2[1,1]---U二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）9；（2）4.18.（1）当0a >，2[0,]a；当0a =，x ∈R ；当0a <，2[,0]a；（2）[1,1]-. 19.（1）[7,0]{2}-；（2）[5,6].20.（1）1m =-±（2）证明略；（3）证明略.21.（1）(,1]-∞-递减，[1,)-+∞递增；（2）4a =，1b =；（3）4.。
【上海专版】-2020届上海市浦东新区高三二模数学试题(解析版)
浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集{}0,1,2U =，集合{}0,1A =，则U C A =________． 【答案】{}2 【解析】 【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】{}{}0,1,2,0,1U A ==Q{}2U C A ∴=故答案为：{}2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___． 【答案】100 【解析】 【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字. 【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，∴这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题. 3.若函数()12f x x =，则()11f -=__________．【答案】1 【解析】 【分析】由()12f x x=可得：()12,0f x x x -=≥，问题得解.【详解】由()12f x x =可得：()12,0f x x x -=≥()12111f -∴==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -Q 是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 ． 【答案】1:8 【解析】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8 考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】【分析】由已知可得：直线l 的标准方程为10x y -+=，圆O 的标准方程为221x y +=，再计算出圆心到直线的距离d r =<，问题得解. 【详解】由直线l 的参数方程1x t y t =-⎧⎨=⎩，可得：直线l 的标准方程为：10x y -+=，由圆O 的参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，可得：圆O 的标准方程为：221x y +=，圆心为(0,0)，半径1r = 圆心为(0,0)到直线l的距离12d ==< 则直线l 与圆O 的位置关系是相交. 故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 7.若二项式()412x +展开式的第4项的值为，则()23lim nn x x x x →∞++++=L __．【答案】15【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)x T C ==，解得16x =，再由等比数列求和公式，得：2311156nnx x x x ⎡⎤⎛⎫=⨯-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣+⎦+L ，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)x T C ==，即33(2)2x x ==16x =， 2311166(1)111115616nn n nx x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∴+++⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-+L ，()231111565lim lim nnn n x x x x →∞→∞+++⎡⎤⎛⎫∴⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=L . 故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题. 8.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】22221x y -= 【解析】 【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c =，由双曲线的渐近线方程为y x =±，可设其方程为：22,0x y λλ-=>，再由222+=a b c 可得：1λλ+=，求出λ，问题得解.【详解】Q 抛物线24y x =的焦点为：(1,0)∴双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c = Q 双曲线的渐近线方程为y x =±，∴双曲线的方程可设为：22,0x y λλ-=>，即221x y λλ-=，22a b λ∴==由222+=a b c 可得：1λλ+=，12λ∴=， 双曲线的方程是22221x y -=. 故答案为：22221x y -=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线方程的设法，属于中档题.9.从m （N m *∈且4m ≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则m =_____________． 【答案】10 【解析】【分析】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况，事件B 表示选出的2个人性别不同，共有116m C C情况，由已知可得：2211662266m m m m C C C C C C +++=，即221166m m C C C C +=，解之即可.【详解】从m 个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26m C +种情况，事件A 表示选出的2个人性别相同，共有226m C C +情况， 事件B 表示选出的2个人性别不同，116m C C 情况()()P A P B =Q ，2211662266m m m m C C C C C C +++∴= 221166m m C C C C ∴+=，即(1)65622m m m -⨯+= 整理，得：213300m m -+=，即(3)(10)0m m --=N m *∈Q 且4m ≥，10m ∴=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log 22f x x a x a =+++-的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为________．【答案】{}1 【解析】 【分析】由已知可得：()f x 为R 上的偶函数，又函数()f x 的有且只有一个零点，所以()00f =，由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =【详解】显然，由()()222log 22f x x a x a =+++-，可得：()()f x f x =-， ()f x \为R 上的偶函数.函数()f x 的有且只有一个零点， ()0=0f ∴ 由此可得：2log 220a a +-=，解得1a =故答案为：{}1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属于中档题.11.如图，在ABC V 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+u u u r u u u r u u u r，若ABC V 的面积为332，则AP u u u r 的最小值为__________.2 【解析】 【分析】设,AB AC m n ==u u u r u u u r ，由133sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=u u u r u u u r ，可得：6mn =再由1233t AC AB t AC A AP D =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得：13t =，则2221123393m n AP AC AB +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 后由222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==u u u r u u u rABC QV 33， 1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠u u u r u u u r 13332mn ==6mn ∴=Q D 为AB 中点，2AB AD ∴=u u u r u u u r1233t AC AB t AC AD AP +==+∴u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t =1133AP AC AB ∴=+u u u r u u u r u u u r则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠u u ur u u u r u u u r u u u r 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥=u u u r当且仅当m n ==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113nn n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为_____________. 【答案】202133- 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈；11n n a b ++=2n n a b ，12,n n n a b n N -*∴=∈，由此可得：12333n n n n c +=⋅=-，再由等比数列求和公式可得解.【详解】1n n n a a b +=++Q ①，1n n n b a b +=+②两式相加可得：()112+n n n n n n n n a b a b a b a b ++++=+=，{}n n a b ∴+是公比为2的等比数列，首项112a b +=2,n n n a b n N *∴+=∈两式相乘可得：(11n n n n nna b a b a b ++=++()22n n n n a b a b =+=-{}n n a b ∴是公比为2的等比数列，首项111a b =113323n n n n n n n n n n a bc a b a b ⎛⎫+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，由等比数列求和公式，得：()2020202120206133313S -==--故答案为：202133-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x 、y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩， 则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可. 【详解】由已知，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2y x z =-+中z 取最大值的最优解为：(1,0)故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A B C D ABCD -中，E 、F 分别为棱1A A 、BC 上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）A. 有一条B. 有二条C. 有无数条D. 不存在【答案】C 【解析】 【分析】易知当//l DE 时即可满足要求，所以存在无数条. 【详解】若l ∃⊂平面11ADD A ，使得//l DE ， 又DE ⊂平面DEF ，l ⊄平面DEF ，//l ∴平面DEF ，显然满足要求的直线l 有无数条. 故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题. 15.已知函数()cos cos f x x x =⋅.给出下列结论： ①()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()12f x f x =，则()12x x k k Z π+=∈；④不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】由()()2f x f x π+=，可知()f x 是周期为2π的函数， 当22x ππ-≤≤时，()11cos 222f x x =+；当322x ππ<≤时，()11cos 222f x x =--，画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos 2cos 2cos cos f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=()f x ∴是周期为2π的函数，①正确；当22x ππ-≤≤时，cos 0x ≥，()211cos cos 222f x x x ==+当322x ππ<≤时，cos 0x <，()211cos cos 222f x x x =-=--可以画出()f x 在一个周期3,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的函数图象，如下由图可知：函数()f x 的对称中心为+,0)()2（ππ∈k k Z ，②正确；函数()f x 的对称轴为,x k k Z π=∈ 若()()12f x f x =，则122x x k π+=，即()122x x k k Z π+=∈，③错误； sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22222x x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭不等式sin 2sin 2cos2cos2x x x x ππππ⋅>⋅等价于：()222f x f x πππ⎛⎫-> ⎪⎝⎭由图可知：52+2,+2,44x k k k Z πππππ⎛⎫∈∈⎪⎝⎭解得15,,88x k k k Z ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，④正确. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为（ ）A. 711949⋅B. 7021949⋅C. 702371949⋅⋅D. 702721949⋅⋅【答案】C 【解析】 【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：{}1,72只有1种情况；{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有种270C 情况；以此类推……{}1,2,3,,71,72L ，有1（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172M C C C C C =+++++L ，计算可得：70372M =⨯.再思考可以分为{}{}{}{}{}1,,72,2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020L L L L L L 等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况： 集合只含2个元素：{}1,72只有1种情况；集合含有3个元素：{}1,,72,271a a ≤≤且a Z ∈，共有170C 种情况；集合含有4个元素：{}1,,,72,2,71b c b c ≤≤且,b c Z ∈，共有270C 种情况；以此类推……集合含有72个元素：{}1,2,3,,71,72L ，有（7070C ）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M 为：012697070707070702347172,M C C C C C =+++++L L ① 70696810707070707072717032,M C C C C C ∴=+++++L L ② 707070,070,r r C C r r Z -=≤≤∈Q①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M C C C C C =+++++=⨯L70372M ∴=⨯同理可得：{}{}{}{}2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,L L L L L 所有子集元素个数之和都是70372⨯，所以集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为702371949⋅⋅. 故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120o 得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）83π（2）62arccos 4【解析】 【分析】（1）先算底面积212EBC S r θ=扇形，再由V S h =⋅算出体积； （2）以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cos FP AC FP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，即可得解. 【详解】（1）由已知可得：22112422233EBC S r ππθ==⨯⨯=扇形．48233V S h ππ∴=⋅=⨯=．（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()2,0,2F ，()0,2,0P ，()3C -，所以，()2,2,2FP =--u u u r，()32AC =--u u u r .设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则cos FP ACFP ACα⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r()()()()()()()()()222222212322222132-⨯-+⨯+-⨯-=-++-⋅-++-624=所以，异面直线FP 与CA 所成角为62arccos4α=. 【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角αβ、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 31025、（1）求()cos αβ+的大小；（2） 在ABC ∆中，a b c 、、为三个内角、、A B C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值．【答案】（1）2（2）1=2λ-【解析】 【分析】（1）由已知得：cos αβ==，故而sin α=，sin β=，再由cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ=-可得解.（2）由（1）得：4C παβ=+=，所以cos C C =，由3tan 4A =可得34sin ,cos 55A A ==，再由sin sin()B A C =+可得sin B =，最后由正弦定理可得：2222sin sin =sin sin a c A C bc B C λ--=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：cos αβ==αβQ 、为锐角，sin α∴==，sin β== cos(+)cos cos sin sin αβαβαβ∴=-2-=（2）由cos(+)2αβ=，αβQ 、为锐角，得：4C παβ=+=，cos C C ∴=由3tan 4A =，得sin 3cos 4A A =，又22sin cos 1A A +=， 解得34sin ,cos 55A A == []sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+sin cos cos sin A C A C =+3455=+=由正弦定理可得：222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- 【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x （万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf x x=-+（其中b 为参数）作为补助款发放方案． （1）判断使用参数12b =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①、②的参数b 的取值范围． 【答案】（1）当12b =时不满足条件②，见解析（2）939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以不满足条件② ； （2）求导得：()2221444b x bf x x x+'=+=，当0b ≥时，满足条件①；当0b <时，()f x在)⎡+∞⎣上单调递增，所以3≤.由条件②可知，()2x f x ≥，即44x bx+≤，等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+在[]3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b =时，()33342f =<，所以当12b =时不满足条件② .（2）由条件①可知，()44x bf x x=-+在[]3,6上单调递增，()2221444b x bf x x x+'=+=Q 所以当0b ≥时，()0f x ¢³满足条件；当0b <时，由()0f x ¢=可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时()0f x ¢³，()f x 单调递增，3∴≤，解得904b -≤<， 所以94b ≥-由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x bx+≤在[]3,6上恒成立， 等价于()2211481644b x x x ≤-+=--+当3x =时，()218164y x =--+取最小值394394b ∴≤综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12AF AF +=（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程； （3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（20y ±-=（3）(,)-∞+∞U【解析】 【分析】（1）由已知得：2a =，问题得解；（2）由已知可得：OA OB ⊥，设直线l 方程为：1x my -=，()11,A x y ,()22,B x y ，与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，由韦达定理，得：12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，最后由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，可得：1212x x y y +21212(1)()10m y y m y y =++++=，代入解方程即可；（3）设直线l 方程为：y kx b =+，由已知可得：1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=，有已知可得:122x x +=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=，由228(21)0k b ∆=-+>，和1224221kbx x k +=-=+可求b 的取值范围.【详解】（1）由12+AF AF =2a =，从而a =2212x y +=.（2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =. 由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. 设直线l 方程为：1x my -=，且()11,A x y ,()22,B x y与椭圆方程2212x y +=联立可得：22(2)210m y my ++-=，12222m y y m ∴+=-+，12212y y m =-+， 由0OA OB ⋅=u u u r u u u r，可得：12121212(1)(1)x x y y my my y y +=+++ 21212(1)()1m y y m y y =++++2222121022m m m m +=--+=++解得m =0y ±=. （3）设直线l 方程为：y kx b =+，()()()11222,,,,1,0A x y B x y F Q ，由已知可得： 1212211y y k x x +=--，即1212211kx b kx bk x x +++=--. 1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x ∴+-+-=--，化简得：12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符合条件， 因此122x x +=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+>，即22210k b -+>L ①由1224221kb x x k +=-=+得：2212k b k+=-L ②将②代入①得：222212102k k k ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，解得：212k >令()12f k k k =--，则()222112122k f k k k-'=-+= 当212k >时，()0f k '<，()12f k k k∴=--,2⎛-∞- ⎝⎭或2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()2f k f ⎛∴>-= ⎝⎭()2f k f ⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭所以b 的取值范围为：(,)-∞+∞U .【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ①等差数列：1,2,3,4,5,L ； ②等比数列：11111,,,,24816--L ； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【答案】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()(12,2a ∈-U【解析】 【分析】（1）①数列通项公式为n a n =，计算可得：()()22120i i i i a a a a +++--=-<，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得：()()222191042ii i i i a a a a +++⎛⎫--=⨯-> ⎪⎝⎭，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，若11a =，{}n a 是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n =命题成立，若n k =时2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，可得：222423k k k a a a +++>>，所以当1n k =+时命题也成立；（3）有已知可得：21n n a a ++-()()221519195125n n n n a a a a =----，2n n a a +-()()()2123195125n n n n a a a a =----，若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，解得522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，由2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则1n a +⎛∈ ⎝⎭，得()2,2n a ∈-；当n a ⎛∈ ⎝⎭，则()12,2n a +∈-，得(n a ∈，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,L 通项公式为：n a n =()()[][]221(2)2(1)20i i i i a a a a i i i i +++--=-++-+=-<Q所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816--L 通项公式为：112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11122211111910222242i i i i ii i i i a a a a -+++++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q所以此数列是跳跃数列 （2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. 充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.①当1n =时，112111a a a a a =>=， 213112a a a a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>> 321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立②若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>，则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->， 故{}n a 是跳跃数列.（3）21195n n a a +-=Q()222212191919251919555125n n n n a a a a ++-⎛⎫- ⎪⨯---⎝⎭∴===()22221192519191255n n n n a a a a ++⨯---∴-=-()()221519195125n n n n a a a a =----()222192519125nn n n a a a a +⨯---=-()()()2123195125n n n n a a a a =---- ①若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧----<⎪⎪∴⎨⎪---->⎪⎩解得2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； ②若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，()()()()()222151919501251231950125n n n n n n n n a a a a a a a a ⎧---->⎪⎪∴⎨⎪----<⎪⎩解得53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭；若522n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211953,52n n a a +⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-，若n a ⎛∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(n a ∈， 所以()(12,2a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()(2,2n a ∈-U【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.。
上海洋泾中学东校2018-2019学年高三数学文下学期期末试卷含解析
上海洋泾中学东校2018-2019学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角A，B，C所对边分别为，且，面积，则等于( )A. B.5 C.D.25参考答案：B2. 将函数y＝2sin x的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）的一个解析式是A．y＝2sin（x＋） B．y＝2sin（x－）C．y＝2sin（x＋1） D．y＝2sin（x－1）参考答案：B3. 已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则＝（）A、UB、{2，4，6}C、{3，5，6}D、{1，3，5}参考答案：C4. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】根据程序框图的含义，得到分段函数，由此解出关于的方程，即可得到可输入的实数值的个数。
【详解】根据题意，该框图的含义是：当时，得到函数；当时，得到函数，因此，若输出的结果为1时，（1）若，得到，解得，（2）若，得到，解得，因此，可输入的实数的值可能为，，共有2个。
故答案选B。
【点睛】本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题。
5. 设函数是定义在R上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．参考答案：B6. 阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意得到：i=1,s=0,i=2,s=5.I=3,s=8,I=4,s=9,I=5,s=12,此时输出i值为5，说明s是要进入循环的，s〉9结束循环，故因该填写. 故答案为：D.7. 已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为A． B． C．D．参考答案：【知识点】椭圆的几何性质H5A解析：因为过的直线是圆的切线，所以可得，因为，所以可得，由椭圆定义可得，可得题意离心率为，故选择A.【思路点拨】由已知条件推导出，从而得到，由此能求出椭圆的离心率．8. 已知，，，则下列不等关系正确的是（）A．B． C. D．参考答案：D，，故，选D.9. 函数部分图象如图所示,若,则等于A． B．C． D．参考答案：10. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的值等于__________.参考答案：【知识点】三角函数的求值、化简与证明C7【答案解析】-因为cos()=cos()=-sin()=-【思路点拨】利用诱导公式找出两个式子之间的关系。
上海市洋泾中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市洋泾中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数的定义域为（ ）ABC D2． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．23． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 4． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π5． 已知函数，，若，则（ ）A1 B2 C3 D-16． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[]7． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2} D ．{﹣1，1}8． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，1}C ．{1}D ．{1，3}9． 已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．10．已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ）A ．B ．C ．2 D ．411．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）12．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．15．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 16．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________.三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市浦东新区2020届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）
上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）上海市浦东新区2020届⾼三数学下学期期中教学质量检测（⼆模）试题（含解析）⼀、填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若集合，集合，则_______ .【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义可直接得解.【详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若⾏列式，则______ .【答案】3【解析】【分析】由⾏列式的定义列⽅程求解即可.【详解】⾏列式，所以. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了⾏列式的计算，属于基础题.3.复数的虚部为______（其中为虚数单位）.【答案】【解析】【分析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.4.平⾯上有12个不同的点，其中任何3点不在同⼀直线上. 如果任取3点作为顶点作三⾓形，那么⼀共可作_________个三⾓形.（结果⽤数值表⽰）【答案】220【解析】【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，⼜由任何3点不在同⼀直线上，分析可得答案．【详解】根据题意，12个点中，任取3个，有种取法，⼜由平⾯的12个点中，任何3点不在同⼀直线上，则可以做220个三⾓形；故答案为：220．【点睛】本题考查组合数公式的应⽤，注意“任何3点不在同⼀直线上”的条件．5.如果⼀个圆柱的⾼不变，要使它的体积扩⼤为原来的倍，那么它的底⾯半径应该扩⼤为原来的_______倍.【答案】【解析】【分析】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案．【详解】设圆柱的⾼为h，底⾯半径为r，则体积V＝πr2h，设扩⼤后圆柱的⾼为h，底⾯半径为R，则体积V′＝πR2h，由，得R2＝5r2，则R．∴它底⾯半径应该扩⼤为原来的倍．故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题．6.已知函数是偶函数，则的最⼩值是________.【答案】【解析】【分析】结合三⾓函数的奇偶性，建⽴⽅程关系2kπ，k∈Z,即可得解．【详解】是偶函数，则2kπ，k∈Z，即，k∈Z，当k＝0时，取得最⼩值，为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三⾓函数对称性的应⽤，结合三⾓函数是偶函数，建⽴⽅程求出的表达式是解决本题的关键．7.焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准⽅程为_______.【答案】【解析】【分析】利⽤已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线⽅程．【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c＝3，且经过点可得，所以.双曲线的标准⽅程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．8.已知⽆穷数列满⾜则_______.【答案】0【解析】【分析】直接利⽤数列的极限的运算法则求解即可．【详解】⽆穷数列满⾜，0．故答案为：0．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应⽤，属于基础题．9.⼆项式展开式的常数项为第_________项.【答案】4【解析】【分析】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，得解．【详解】由⼆项式展开式的通项公式得：T r+1（2x）6﹣r（）r＝（﹣1）r26﹣2r x6﹣2r，当6﹣2r＝0，即r＝3时，T4为常数项，即⼆项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4．【点睛】本题考查了⼆项式展开式的通项，属基础题．10.已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯⼀众数是，则这个数⽅差的最⼤值为__________.（精确到⼩数点后⼀位）【答案】12.3【解析】【分析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进⽽分析可得若这6个数⽅差的最⼤，则a＝1，b ＝6，c＝12；由⽅差公式计算可得答案．【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯⼀众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数⽅差的最⼤，6个数据的波动幅度较⼤，此时a＝1，c＝12.由平均数为5，所以，则有b＝6其⽅差s2[（1﹣5）2+（3﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（12﹣5）2]≈12.3；故答案为：12.3．【点睛】本题考查数据的⽅差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的⽅差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题．11.已知正⽅形边长为，若在正⽅形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】建⽴坐标系，逐段分析?的取值范围及对应的解得答案．【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0≤x≤8∴（﹣x，2），（8﹣x，4）∴?x2﹣8x+8，∵x∈[0，8]，∴﹣8?8，∴当λ＝﹣8时有⼀解，当﹣8＜λ≤8时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤8，∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）∴?（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y≤8，∴﹣1?24∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有唯⼀解；当﹣1＜λ≤8时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0＜x≤8∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），∴?x2﹣8x+24，∵0＜x≤8，∴8?24，∴当λ＝8时有⼀解，当8＜λ≤24时有两解．（4）若P在BC上，设P（8，y），0＜y＜8，∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），∴?（2﹣y）?（4﹣y）＝y2﹣6y+8∵0＜y＜8，∴﹣1?24，∴当λ＝﹣1或8＜λ＜24时有⼀解，当﹣1＜λ≤8时有两解．综上，在正⽅形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得?λ成⽴，那么λ的取值范围是（﹣1，8）故答案为：（﹣1，8）【点睛】本题考查平⾯向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题．12.已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成⽴，⽽且存在实数满⾜：且，则实数的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联⽴，解得中点在得，从⽽在有两不等的实数根，利⽤⼆次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，，所以时满⾜；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，⽽在上，所以，从⽽在有两不等的实数根，令，所以。
上海市浦东新区洋泾中学南校2020年高三数学文下学期期末试题含解析
上海市浦东新区洋泾中学南校2020年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i参考答案：D考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2. 下列说法正确的是（）A.“若，则”的否命题是“若，则”B.“若，则”的逆命题为真命题C.，使成立D.“若，则”是真命题参考答案：D3. 执行如图所示的程序框图，若输入，那么输出的等于（）720 360 240120参考答案：B略4. 函数的定义域为（A）（B）（C）（D）参考答案：A略5. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为(A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在参考答案：A6. 若实数则点不可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D7. 在圆内，过点n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差的取值集合为A. B.C. D.参考答案：D8. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；③线性回归方程必过；④在一个列联表中，由计算得K2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是A.0B.1C.2D.3本题可以参考独立性检验临界值表B①③④正确，②回归方程，当变量增加一个单位时，平均减少5个单位，所以错误，所以错误的个数有1个，答案选B.9. 已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．参考答案：B略10. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为（）A．10 B．14 C．15 D．16参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2 倍,则需要的最少天数等于_____________ .参考答案：612. 若________.参考答案：13. 在数列{a n}种，a1=1，，记S n为{a n}的前n项和，则S2017= ．参考答案：﹣1007【考点】数列的求和．【分析】，可得a2n+1=a2n+1，a2n=﹣a2n﹣1﹣1．因此a2n+1+a2n﹣1=0，a2n+2+a2n=﹣2．利用分组求和即可得出．【解答】解：∵，∴a2n+1=a2n+1，a2n=﹣a2n﹣1﹣1．∴a2n+1+a2n﹣1=0，a2n+2+a2n=﹣2．∴S2017=a1+（a3+a5）+…+（a2015+a2017）+（a2+a4）+…+（a2014+a2016）=1+0﹣2×504=﹣1007．故答案为：﹣1007．【点评】本题考查了分类讨论方法、分组求和方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 设满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为（其中，分别表示不大于x，y的最大整数，例如，），给出下列结论：①点在直线左上方的区域内；②点在直线左下方的区域内；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．参考答案：①③；15. 执行如图所示的程序框图,输出的值为_________参考答案：16. 设是定义在R上的奇函数，当时，（其中b为常数），则___________．参考答案：17. 在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。