中考数学专题突破训练--尺规作图
24章圆+专题突破1圆中的尺规作图++课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线 AD 交边 BC 于点 D. (1)以 AB 边上一点 O 为圆心，过 A，D 两点作⊙O(不写作法，保留作图痕 迹)； (2)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：(1)如图，作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O，
四、画弧的中点 ︵
4．如图，点 A，B，C 均为格点，A，B，C 在⊙O 上，画圆心 O 及BC 的中点 H.
五、画切线 5．如图，点 O 是格点，点 Q 是⊙O 外一格点，过点 Q 作⊙O 的两条切 线．
六、画等弧
︵
︵︵
6．如图，AB，CD 是⊙O 的弦，AB⊥CD，在BD 上画点 E，使DE ＝BC .
∴BC 是⊙O 的切线．
3．(2022 绥化)如图，已知△ABC. (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC 内切圆的圆心 O(只保留作图痕迹， 不写作法和证明)；
解：(1)如下图所示，O 为所求作点，
(2)如果△ABC 的周长为 14 cm，内切圆的半径为 1.3 cm，求△ABC 的面积．
(2)如图所示，连接 OA，OB，OC，过点 O 作 AB，BC，AC 的垂线，
垂足分别为 D，E，F，
则 S△ABC＝S△AOB＋S△COB＋S△AOC
∵内切圆的半径为 1.3， ∴OD＝OF＝OE＝1.3， ∵△ABC 的周长为 14， ∴AB＋BC＋AC＝14，
＝12 ·AB·OD＋12 ·BC·OE＋12 ·AC·OF ＝12 ×1.3×(AB＋BC＋AC)＝12 ×1.3×14＝9.1， 故△ABC 的面积为 9.1 cm2.
七、画内心 7．如图，⊙O 经过格点 A，M，N，画△AMN 的内心 I.
中考数学 中档题突破 专项训练七 网格作图和尺规作图
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD 于点E，交边BC于点F(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标 明字母)； 解：(1)如图．
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∠AEO＝∠CFO. ∵EF为AC的垂直平分线，∴OA＝OC， ∴△AEO≌△CFO ，∴AE＝CF.
3．(2022·无锡)如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D ，使 ∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，点D为所求点．
(2)在(1)的条件下，若∠B＝60°，AB＝2, BC＝3，则四边形ABCD的面 积为________．(如需画草图，请使用试卷中的图②) 过点A作AE⊥BC，垂足为点E， ∵∠B＝60°，∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°－60°＝30°， ∵AB＝2，
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图， 作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP.
(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC，求证：PD∥AB. 证明：如答图， ∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC， ∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB.
1 ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为2， ∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝122＝14.
3．(2022·柳州城中区模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的 三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．
2023年九年级数学中考专题：尺规作图类训练题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：尺规作图类训练题一、单选题1．如图，Rt ABC △中，由90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，已知45B ∠=︒，30C ∠=︒，分别以点A 、C 为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧在AC 两侧分别交于P 、Q 两点，作直线PQ 交BC 于点D ，交AC 于点E ．若3DE =，则AB 的长为( )A ．B ．5C ．6D ．3．如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ，则ABD △的周长为（ ）A ．AB BC + B ．BC AC + C ．+AB ACD ．AB AC BC ++4．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出D O C DOC '''∠=∠的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．SSA5．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点 E ，F ， 再以点 E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点 D ，画射线OD ．若28AOB ∠︒＝，则BOD ∠的补角的度数为（ ）A ．124︒B ．39︒C ．56︒D ．144︒6．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图①，他们都在AOB ∠两边上分别取OM ON =，前者使角尺两边相同刻度分别与M ，N 重合，角尺顶点为P ；后者分别过M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ，则射线OP 平分AOB ∠，均可由OMP ONP ≌△△得知，其依据分别是（ ）A ．SSS ；SASB ．SAS ；SSSC ．SSS ；HLD ．SAS ；HL7．如图，在Rt ABC △中，90B ，分别以A 、C 为圆心，大于AC 长的一半为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，连接MN ，与AC 、BC 分别相交于点D 、E ，连接AE ，当3AB =，5AC =时，ABE 周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．①分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．①连接OE 交CD 于点M ．下列结论中不正确的是（ ）A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠D ．12OCED S CD OE =⋅四边形二、填空题9．如图，在ABC 中，AC BC =，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC 于点E ，再分别以点C ，D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G两点，作直线FG ．若直线FG 经过点E ，则C ∠的度数为______︒，AEG ∠的度数为______︒．10．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，13AB =，5BC =，利用尺规在AC ，AB 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，点P 为边AB 上的一动点，则GP的最小值为______．11．如图，在ABC 中，90C ∠=︒．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边AB 、AC 于点M 、N ；①分别以点M 和点N 为圆心、大于MN 一半的长为半径作圆弧，在BAC ∠内，两弧交于点P ；①作射线AP 交边BC 于点D ．若DAC ABC ∽△△，则B ∠的大小为______度．12．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点E ，作射线BE交AC 于点F ．若12BC =，15AB =，若BCF △的面积为24，则ABC 的面积为__________．13．如图，在四边形ABCD 中，30A ∠=︒，AB AD =，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ．则EBD ∠的度数为______．14．如图，在t R ABC 中，90C ∠=︒，以点B 为圆心,以任意长为半径作弧，分别交,AB BC于点M ，N ；①分别以M ，N 为圆心12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点P ，交AC 于点D ．若16,8ABDSAB ==，则线段CD 的长为 ___________．15．如图，在ABCD 中，以A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于F ，分别以F 、B 为圆心，大于12BF 长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交BC 于点E ，6BF =，5AB =，则AE 的长为 ___________．16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧交AD 于点E ，分别以点C ，E 为圆心、大于12CE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP交AD 的延长线于点F ，60CBE ∠=︒，6BC =，则BF =___________．三、解答题17．如图，在ABC 中，50A ∠=︒，30C ∠=，请用尺规作图法，在AC 上求作一点D ，使得BDC ABC ∽．（保留作图痕迹，不写作法）18．（1）操作实践：ABC 中，90A ∠=︒，22.5B ∠=︒，请画出一条直线把ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求画出一种分割方法即可）（2）分类探究：ABC 中，最小内角24B ∠=︒，若ABC 被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出ABC 最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）19．如图，在ABC 中，点P ，Q 分别在边BC 及CB 的延长线上，且BQ CP =．(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作PQM CBA ∠=∠，且点M 在QC 的上方； ①在QM 上截取QR BA =； ①连接PR ．(2)猜想与验证：试猜想线段AC 和RP 的数量关系，并证明你的猜想．20．如图，点D 是等边ABC 内部一点，且DB DC =，请仅用无刻度的直尺．．．．．．，分别按下列要求画图．(1)在图①中BC 上找一点E ，使12BE BC =； (2)若2BDC A ∠=∠，在图①中AB AC 、边上分别找点M 、N ，使12MN BC =．参考答案：1．B2．A3．C4．C5．A6．C7．A8．C9．3612610．12 511．30 12．54 13．45︒14．4 15．816．18．（2）ABC的最大内角可能值是117︒或108︒或90︒或84︒；19．(2)RP AC=，答案第1页，共1页。
中考数学专题训练-尺规作图 (1-3)(原卷版)
中考数学专题训练-尺规作图(1)一：作已知角的平分线（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；（2）分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；（3）作射线OP，OP即为所作的角平分线. 二：作已知线段的垂直平分线（1）分别以M、N为圆心，大于12MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（2）连接PQ，交MN于O．则PQ就是所求作的MN的垂直平分线.1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD 的长为（）A．22B．4 C．3 D．102．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN．则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线B．AD=BDC．S△CBD∶S△ABD=1∶3 D．CD=12 BD4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若ADDB=2，求AEEC的值．5．如图，在△ABC中，AC<AB<BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．6．在△ABC中，AB=AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．1．如图，已知矩形AOBC 的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC，OB 于点D，E；②分别以点D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠BOC 内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G 的坐标为( )A. (4，43) B. (43，4) C. (53，4) D. (4，53)2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中CD所在圆的圆心．已知：CD．求作：CD所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在CD上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是CD所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是_____．3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A. 77774.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（）A. ∠CAD ＝40°B. ∠ACD ＝70°C. 点D 为△ABC 的外心D. ∠ACB ＝90° 5．如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴的交点为A ，B ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB ，x 轴于点C ，D ；②分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧在∠OAB 内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴于点E ，则点E 的坐标为( )A. (0，2)B. (0，3)C. (0，32)D. (0，43) 6．如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）用尺规作图法在AC 边上找一点D ，使得BD =BC （保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）若∠A =30°，求∠ABD 的大小．7.如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，B 30∠=．()1用直尺和圆规作O ，使圆心O 在BC 边，且O 经过A ，B 两点上(不写作法，保留作图痕迹)； ()2连接AO ，求证：AO 平分CAB ∠．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°．（1）作AC边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；（2）连接CE，求∠BCE的度数．9.如图，▱ABCD中，（1）作边AB的中点E，连接DE并延长，交CB的延长线于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）：（2）已知▱ABCD的面积为8，求四边形EBCD的面积．中考数学专题训练-尺规作图 (2)一．选择题1．如图，矩形ABCD 中60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若2BE cm =，则CE 的长为( )A ．6cmB ．63cmC ．4cmD ．43cm2．如图，60AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射线OP 上截取线段4OM =，则M 点到OB 的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．233．如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，OB 在y 轴的正半轴上，且(3,0)A ，4sin 5OAB ∠=．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA ，AB 于点C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧在OAB ∠内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴于点E ．则点E 的坐标为( )A ．4(0,)3B ．3(0,)2C ．(0,3)D ．(0,2)4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 的长为半径作弧，分别交AC 、AB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ； ③作射线OA ，交BC 于点E ，若6CE =，10BE =．则AB 的长为( )A ．11B ．12C ．18D ．205．如图，ABCD 中，4CD =，6BC =，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点：②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AF 的长为( )A ．1B ．2C ．2.5D ．36．在ABC ∆中，5BC =，12AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧，与AB 交于D ，再分别以A ，D 为圆心，大于12AD 的长为半径作圆弧交于点M ，N ，作直线MN ，交AC 于E ，则AE 的长度为( )A ．42B ．4C ．133D ．57．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点； ②作直线MN ，交CD 于点E ，连接BE ．若直线MN 恰好经过点A ，则下列说法错误的是( )A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆∆=C ．若4AB =，则47BE =D ．3tan 5CBE ∠= 8．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．（1）以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧，交AB 于点G ，分别以点G ，B 为圆心，以大于12GB 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线CK ；（2）以点B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，分别以点M ，N为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP 交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E ；（3）过点D 作DF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，连接CF ．根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：①CE CD =；②BC BE BF ==；③12CDFB S CF BD =⋅四边形； ④BCF BCE ∠=∠．所有正确结论的序号为( )A ．①②③B ．①③C ．②④D ．③④二．填空题9．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图： ①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ； ②作直线MN ，分别交边AB ，BC 于点D 和E ，连接CD ．若90BCA ∠=︒，8AB =，则CD 的长为 ．10．如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE BF =，分别以E ，F为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，若5AP =，则点P 到BD 的距离为 ．11．如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4AD =，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为 ．12．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以D ，E 点为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG ∆的面积为 ．13．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若4CD =，12AB =，则ABD ∆的面积是 ．14．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 、F ；②作直线EF 交BC 于点G ，连接AG ；若AG BC ⊥，3CG =，则AD 的长为 ．三．解答题15．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得//PQ l ．作法：如图，①任意取一点K ，使点K 和点P 在直线l 的两旁；②以P 为圆心，PK 长为半径画弧，交l 于点A ，B ，连接AP ；③分别以点P ，B 为圆心，以AB ，PA 长为半径画弧，两弧相交于点Q （点Q 和点A 在直线PB 的两旁）；④作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接BQ ，PQ = ，BQ = ，∴四边形PABQ 是平行四边形( )（填推理依据）．//PQ l ∴．16．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l 和直线外一点P ．求作：过点P 作直线l 的平行线．作法：如图，①在直线l 上任取点O ；②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B ；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，=，AB BC∴AB BC=，∴∠=∠，=，又OB OP∴∠=∠，∴∠=∠，CPB OBP∴)（填推理的依据）．CP l//(17．下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：∆．已知：ABC求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，∠的平分线，交BC于点D．作BAC则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．⊥于点F，证明：作DE AB⊥于点E，作DF AC∠，AD平分BAC∴=()（括号里填推理的依据）．18．如图，在O 中，点A 为弧CD 的中点过点B 作O 的切线BF ，交弦CD 的延长线于点F ． （Ⅰ）如图①，连接AB ，若50F ∠=︒，求ABF ∠的大小；（Ⅱ）如图②，连接CB ，若35F ∠=︒，//AC BF ，求CBF ∠的度数．19．如图，已知MON ∠，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．（1）尺规作图：在MON ∠的内部确定一点C ，使得//BC OA 且12BC OA =；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得2OD CD =，并证明2OD CD =．20．【概念认识】若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．如图①，点P 是锐角ABC ∆的边BC 上一点，以P 为圆心的半圆上的所有点都在ABC ∆的内部或边上．当半径最大时，半圆P 为边BC 关联的极限内半圆．【初步思考】若等边ABC ∆的边长为1，则边BC 关联的极限内半圆的半径长为 ．如图②，在钝角ABC ∆中，用直尺和圆规作出边BC 关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．【深入研究】如图③，30AOB ∠=︒，点C 在射线OB 上，6OC =，点Q 是射线OA 上一动点．在QOC ∆中，若边OC 关联的极限内半圆的半径为r ，当1≤r ≤2时，求OQ 的长的取值范围．21．如图，已知线段AB ． （1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB 为腰、底角等于30︒的等腰ABC ∆．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若2AB cm =，则等腰ABC ∆的外接圆的半径为 cm ．22．人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．51013的三角形的面积．问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)5、1013的格点三角形ABC ∆（如图1)．5AB =是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，10BC =1和3的直角三角形的斜边，13AC =2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请直接写出图1中ABC ∆的面积为 ．（2）类比迁移：求出边长分别为5、22、17的三角形的面积（请利用图2的正方形网格画出相应的ABC ∆，并求出它的面积）．23．如图，已知ABC ∆，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作ABC ∆的外接圆；（2）若ABC ∆所在平面内有一点D ，满足CAB CDB ∠=∠，BC BD =，求作点D ．中考数学专题训练-尺规作图(3)1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2024中考备考热点09 尺规作图(7大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)
热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。
最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。
当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
中考数学核心考点强化突破作图问题含解析
中考数学核心考点强化突破：作图问题类型1 尺规作图1．在数学课本上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l 和l 外一点P.求作：直线l 的垂线,使它经过点P.作法：如图：(1)在直线l 上任取两点A 、B ；(2)分别以点A 、B 为圆心,AP,BP 长为半径画弧,两弧相交于点Q ；(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法,解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________(2)已知：直线l 和l 外一点P.求作：⊙P ,使它与直线l 相切．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(2)如图⊙P 即为所求．2．如图,MN 是⊙O 的直径,MN ＝4,点A 在⊙O 上,∠AMN＝30°,B 为AN ︵的中点,P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图,确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹)．(2)求PA ＋PB 的最小值．解：(1)如图1所示,点P 即为所求；(2)由(1)可知,PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长,连接OA′、OB 、OA,∵A′点为点A 关直线MN 的对称点,∠AMN＝30°,∴∠AON＝∠A′ON＝2∠AMN＝2×30°＝60°,又∵B 为AN ︵的中点,∴AB ︵＝BN ︵,∴∠BON＝∠AOB＝12∠AON＝30°,∴∠A′OB＝60°＋30°＝90°,又∵MN＝4,∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中,A′B＝22,∴PA＋PB 的最小值为2 2.3．如图,已知△ABC ,∠B＝40°.(1)在图中,用尺规作出△ABC 的内切圆O,并标出⊙O 与边AB,BC,AC 的切点D,E,F(保留痕迹,不必写作法)；(2)连接EF,DF,求∠EFD 的度数．解：(1)如图1,⊙O 即为所求．(2)如图2,连接OD,OE,∴OD⊥AB ,OE⊥BC ,∴∠ODB＝∠OEB＝90°,∵∠B＝40°,∴∠DOE＝140°,∴∠EFD＝70°.4．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1,已知∠AOB＝30°与线段a,你能作出边长为a 的等边三角形△COD 吗？小明的做法是：如图2,以O 为圆心,线段a 为半径画弧,分别交OA,OB 于点M,N,在弧MN 上任取一点P,以点M 为圆心,MP 为半径画弧,交弧CD 于点C,同理以点N 为圆心,NP 为半径画弧,交弧CD 于点D,连结CD,即△COD 就是所求的等边三角形．(1)请写出小明这种做法的理由；(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN,MN 是否平行于CD ？为什么？(3)点P 在什么位置时,MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法,保留作图痕迹)．解：(1)如图2,连结OP,由题意可得MC ︵＝MP ︵,∴∠COM＝∠POM ,PN ︵＝DN ︵,∴∠PON＝∠DON ,∴∠POM＋∠PON＝∠COM＋∠DON＝30°,∴∠COD＝2∠MON＝60°,∴△OCD 是等边三角形；(2)不一定,只有当∠COM＝15°,CD∥MN ,理由：∵∠COM＝15°,∠MON＝30°,∴∠CON＝45°,∵∠C＝60°,∴∠OEC＝75°,∵ON＝OM,∴∠ONM＝∠OMN＝75°,∴∠OEC＝∠ONM ,∴CD∥MN；(3)当P 是MN ︵的中点时,MN∥CD；如图3所示．类型2 网格作图和其他5．如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),如果以A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内,则r 的取值范围为( B )A ．22＜r ＜17B .17＜r ＜3 2C .17＜r ＜5D ．5＜r ＜29解：给各点标上字母,如图所示．AB ＝22＋22＝22,AC ＝AD ＝42＋12＝17,AE ＝32＋32＝32,AF ＝52＋22＝29,AG ＝AM ＝AN ＝42＋32＝5,∴17＜r ＜32时,除点A 外恰好有3个在圆内．6．我们约定,若一个三角形(记为△A 1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移,或绕其任一边的中点旋转180°得到的,则称△A 1是由△A 复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次,复制过程可以一直进行下去．如图1,由△A 复制出△A 1,又由△A 1复制出△A 2,再由△A 2复制出△A 3,形成了一个大三角形,记作△B.以下各题中的复制均是由△A 开始的,通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图1中标出的是一种可能的复制结果,小明发现△A∽△B ,其相似比为__1∶2__．在图1的基础上继续复制下去得到△C,若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形),则△C中含有__121__个小三角形；(2)若△A是正三角形,你认为通过复制能形成的正多边形是__正三角形或正六边形__；(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形,在图2的方框内画出草图,并仿照图1作出标记．解析：(1)△A－△A1是经过旋转所得,△A1－△A2是经过旋转所得,△A2－△A3是经过平移所得．由于△B 是由4个△A组成,因此S△B＝4S△A,因此相似比为2∶1.当△C的一条边上有11个小三角形时,那么它们的相似比为11∶1,面积比121∶1,即△C中有121个这样的小三角形；故答案为：1∶2,121.(2)正三角形或正六边形．(3)如图．7．阅读理解：如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED、EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似,我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：(1)如图①,∠A＝∠B＝∠DEC＝55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由；(2)如图②,在矩形ABCD中,AB＝5,BC＝2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图③,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处,若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系．解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A＝55°,∴∠ADE＋∠DEA＝125°,∵∠DEC ＝55°,∴∠BEC＋∠DEA＝125°,∴∠ADE＝∠BEC.∵∠A＝∠B,∴△ADE∽△BEC.∴点E是四边形ABCD的AB 边上的相似点．(2)如图如下：(3)∵点E 是四边形ABCD 的边AB 上的一个强相似点,∴△AEM∽△BCE∽△ECM ,∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM ,由折叠可知：△ECM≌△DCM ,∴∠ECM＝∠D CM,CE ＝CD,∴∠BCE＝13∠BCD＝30°,∴BE＝12CE ＝12AB.在Rt △BCE 中,tan ∠BCE＝BEBC ＝tan 30°,∴BE BC ＝33,∴AB BC ＝233.。
2025年广西壮族自治区中考数学一轮复习考点突破第27讲 尺规作图(7年6考,3～10分)
目录
考点梳理
五种基本作图
【温馨提醒】尺规作图指用无刻度的直尺和圆规作图.
1. 作一条线段等于已知线段
作法：(1)作射线AB；(2)以点A为圆心，线段a的长为半径作
弧，交AB于点C，则线段AC即为所求作的线段.
对点训练
1. [源自人教七上P166练习第2题]如图，已知线段a，作一条线
A.∠B＝45° B. AE＝EBC. AC＝BC D. AB⊥CD
A
2. (2019·北部湾经济区7题3分)如图，在△ABC中，AC＝BC，
∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为( C )
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°
C
3. (2020·北部湾经济区7题3分)如图，在△ABC中，BA＝BC，
法)：如图，已知线段m，n.求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，
BC＝n.
解：如图，△ABC即为所求.
8. (2024·广西22题10分)如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞
BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点
D，E(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
作的角.
对点训练
2. 作∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
解：如图，∠A'O'B'即为所求.
考点梳理
3. 作已知角的平分线
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB
段，使它等于a.
解：如图，线段AC即为所求.
第12章 重点突破训练：尺规作图及应用-2021年初中数学八年级上册同步讲练(教师版含解析)
第12章重点突破训练：尺规作图及应用典例体系考点1：基本尺规作图典例：(2020·北京初三二模)下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线//PQ直线l．作法：如图，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以,B C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC 的右侧两弧交于点Q ；④作直线PQ ；所以直线PQ 就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图中的图形；(2)完成下面的证明：证明：由作图可知PQ 平分CPB ∠，12CPQ BPQ CPB ∴∠=∠=∠．又PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠．(_______________________________)(填依据1)．CPB PAB PBA ∠=∠+∠，12PAB PBA CPB ∴∠=∠=∠．CPQ PAB ∴∠=∠，∴直线//PQ 直线l ．(______________________)(填依据2)．【答案】(1)作图见解析；(2)等边对等角；同位角相等，两直线平行【解析】解：(1)根据题中画图过程可得：如图，PQ 即为所作图形；(2)由作图可知PQ 平分CPB ∠，12CPQ BPQ CPB ∴∠=∠=∠．又PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠．(等边对等角)．CPB PAB PBA ∠=∠+∠，12PAB PBA CPB ∴∠=∠=∠．CPQ PAB ∴∠=∠，∴直线//PQ 直线l ．(同位角相等，两直线平行)．方法或规律点拨本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.巩固练习1．(2020·陕西省初一月考)已知点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规过点C 作CN ∥OA ，作图痕迹如图所示.下列对弧FG 的描述，正确的是()A ．以点C 为圆心，OD 的长为半径的弧B ．以点C 为圆心，OM 的长为半径的弧C ．以点E 为圆心，DM 的长为半径的弧D ．以点E 为圆心，CE 的长为半径的弧【答案】C【解析】根据题意，所作出的是∠BCN =∠AOB ，根据作一个角等于已知角的作法，弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧．故选C ．2．(2020·山东省初一期中)如图，点C 在∠AOB 的边OB 上，用直尺和圆规作∠BCN ＝∠AOC ，这个尺规作图的依据是()A ．SASB ．SSSC ．AASD ．ASA【答案】B【解析】解：连接NE，根据做法可知：CE＝OD，EN＝DM，CN＝OM∴△CEN≌△ODM(SSS)，∴∠ECN＝∠DOM即∠BCN＝∠AOC故选：B．3．(2020·辽宁省初三二模)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是()A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．4．(2020·河北省初三一模)下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是() A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线【答案】C【解析】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．5．(2020·河北省初三一模)下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是()①②③A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．6．(2020·内蒙古自治区中考真题)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．故选：B．7．(2020·河北省初三二模)图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；(2)弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；(3)弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】解：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；(2)弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；(3)弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．8．(2019·河北省金华中学初二期中)如图是作ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是()A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角【答案】C的作图痕迹，可得此作图的已知条件为：∠α，∠β，及线段AB,【解析】解：观察ABC故已知条件为：两角及夹边，故选C.9．(2020·北京垂杨柳中学初一期末)下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：∠O，求作：一个角，使它等于∠O.作法：如图：①在∠O的两边上分别任取一点A，B；②以点A为圆心，OA为半径画弧；以点B为圆心，OB为半径画弧；两弧交于点C；③连结AC,BC，所以∠C即为所求作的角.请根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下列证明．证明：连结AB，∵OA=AC，OB=，，△()(填推理依据)．∴OAB≌CAB∴∠C=∠O．【答案】(1)见解析；(2)BC，AB=AB，边边边【解析】解：(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)BC ，AB=AB ，边边边考点2：以尺规作图为条件的几何问题典例：(2020·广东省初三其他)如图，已知锐角ABC ∆，AB BC >．(1)尺规作图：求作ABC ∆的角平分线BD ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)点E 在AB 边上且BC BE =，请连接DE ，求证：BED C ∠=∠．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)作图如图所示，(2)证明：∵BD 平分ABC ∠，∴EBD CBD ∠=∠，又∵BE BC =，BD BD =，∴()BDE BDC SAS ∆∆≌，∴BED C ∠=∠．方法或规律点拨此题考查了基本作图--角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质．解题关键是掌握基本作图．巩固练习1．(2020·广西壮族自治区中考真题)如图，在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE ∠的度数为()A ．60B ．65C ．70D ．75【答案】B【解析】∵在ABC 中，,80BA BC B =∠=︒，∴180180805022B ACB -∠-∠===o o o，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE 为∠ACD 的平分线，∴1652DCE ACD ∠=∠=o ，故选：B ．2．(2020·广东省中考真题)如图，已知AB =AC ，BC =6，尺规作图痕迹可求出BD =()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由作图痕迹可知AD 为∠BAC 的角平分线，而AB=AC ，由等腰三角形的三线合一知D 为BC 重点，BD=3，故选B3．(2020·湖北省中考真题)如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A ．DB DE=B ．AB AE =C ．EDC BAC ∠=∠D ．DAC C∠=∠【答案】D 【解析】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，在△AED 和△ABD 中：∵=90⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED ABD EAD BAD AD AD ，∴△AED ≌△ABD(AAS)，∴DB=DE ，AB=AE ，选项A 、B 都正确，又在Rt △EDC 中，∠EDC=90°-∠C ，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°-∠C ，∴∠EDC=∠BAC ，选项C 正确，选项D ，题目中缺少条件证明，故选项D 错误．故选：D.4．(2020·深圳市宝安中学(集团)初二期中)如图,在△ABC 中,∠C=90°,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB 、BC 于点M 、N 分别以点M 、N 为圆心,以大于12MN 的长度为半径画弧两弧相交于点P 过点P 作线段BD,交AC 于点D,过点D 作DE ⊥AB 于点E,则下列结论①CD=ED ；②∠ABD=12∠ABC ；③BC=BE ；④AE=BE 中，一定正确的是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【解析】解：由作法可知BD 是∠ABC 的角平分线，故②正确，∵∠C=90°,∴DC ⊥BC ，又DE ⊥AB ，BD 是∠ABC 的角平分线，∴CD=ED ，故①正确，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，DE DC BD BD =⎧⎨=⎩,∴△BCD ≌△BED ，∴BC=BE ，故③正确.故选：A.5．(2020·江苏省初三二模)如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ．若BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是_____．【答案】15【解析】解：如图，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，由作图知CP 是∠ACB 的平分线，∵∠B=90°，BD=3，∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S △ACD =12•AC•DQ=12×10×3=15，6．(2020·河北省中考真题)如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ，则射线AP 为_____________；若110ACD ∠=︒，则CMA ∠的度数为__________．【答案】CAB ∠的平分线35︒【解析】∵AB ∥CD ，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，∵根据作图可知：射线AP 为∠CAB 平分线，∴∠CAM=∠BAM=35°，∵AB ∥CD ，∴∠CMA=∠MAB=35°．故答案为：∠CAB 平分线，35°．7．(2020·云南省初三学业考试)如图，以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交,AB BC 两边于点,D E ．分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长度为半径画弧，两弧交于点F ．已知点F 到边AB 的距离为3，则点F 到边BC 的距离为_________．【答案】3【解析】解：因为BF 是∠ABC 的平分线，则点F 到边BC 的距离等于点F 到边AB 的距离，为3.考点3：利用尺规作图作三角形典例：(2019·北京市第五十四中学初二期中)数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC，使线段a、b分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：请你回答下列问题：(1)在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是_____；(只填序号)①以B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．②画直线BF．③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB=a(2)∠ABC=90°的理由是_____．【答案】(1)⑤①③②④；(2)到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．【解析】解：(1)根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：⑤①③②④，故答案为⑤①③②④；(2)根据作图方法可知BC是线段AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可知∠ABC=90°，故∠ABC=90°的理由是：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上．方法或规律点拨本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键．巩固练习1．(2019·广东省初一期末)尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．(保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】解：如图，Rt △ABC 即为所求，2．(2020·山东省初三二模)如图，已知：点P 和直线BC ．求作：等腰直角三角形MPQ ，是45PMQ ∠=︒，点M 落在BC 上．【答案】见解析【解析】解：作PF ⊥BC 交BC 于点E ，以点E 为圆心EP 为半径画弧交BC 于M 、Q ，连接PM 、PQ ，△PMQ 即为所求．3．(2020·山东省初三期中)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段c ，求作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，BC ＝c ，AB ＝2c ．【答案】见解析【解析】如图所示，Rt △ABC 即为所求．4．(2019·宝鸡高新第一中学初一期末)已知∠α，线段a ，b ，求作：△ABC ，使∠B =∠α，AB =2a ，BC =b ．(要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)【答案】见解析【解析】解：如图，△ABC 为所作．5．(2020·山东省青岛三十九中初一期中)(用直尺和圆规作图)已知：线段a c α∠，，，求作：ABC ∆，使BC a AB c ABC α==∠=，，.【答案】见解析【解析】作法：如图，①以点O 为圆心，c 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点E ，F ；②画一条射线AP ，以点A 为圆心，c 长为半径画弧，交AP 于点B ；③以点B 为圆心，EF 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ；④画射线AD ；⑤以点A 为圆心，a 长为半径画弧，交AD 于点C ；⑥连接BC ，则△ABC 即为所求作的三角形．6．(2019·三明市第十二中学初一月考)如图，已知△ABC ，用直尺与圆规作△DEF ，使得△DEF ≌△ABC ．(不要写作法，保留作图痕迹．)【答案】见解析【解析】图形如下：7．(2020·山东省青岛第二十六中学初一期中)已知：线段a ，α∠，求作：ABC △，使AB AC a ==，B α∠=∠．【答案】答案见解析【解析】如图所示：△ABC 即为所求.8．(2020·青岛超银中学初三月考)已知：线段a ，()c a c <，求作，Rt ABC △，使90C ∠=︒，AB c =，BC a =．【答案】见解析．【解析】解：任意画一条直线l ，任取一点C ，过C 作l 的垂线1l ，以C 为圆心，a 为半径，画弧，交直线1l 于点B ，以B 为圆心，以c 为半径画弧，交直线l 于点A ，连接A 、B 、C 三点即可，AB c =，BC a =,∴Rt ABC ∆即为所求．考点4：利用尺规作图作其它图形典例：(2020·泰兴市河头庄中学初三二模)如图，已知点D为△ABC的边AB上一点(1)请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE(要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法)；(2)根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．【答案】(1)点E即为所求，图见解析；(2)证明见解析．【解析】(1)如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；(2)如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC∵DE//BC∴DF=EG∵S△BCD＝12BC·DF,S△BCE＝12BC·EG,∴S△BCD＝S△BCE方法或规律点拨本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．巩固练习1．(2020·古田县第十中学初一期中)如图，一块大的三角板ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE，使DE∥BC，请用尺规作出DE和∠A的平分线．(不写作法，留下作图痕迹，要有结论)【答案】详见解析【解析】解：如图所示，线段DE即为所求；如图所示，线段AF即为所求；2．(2020·北京初三二模)在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；④分别以E，F为圆心，大于1EF2长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；⑤射线AQ与射线BG交于点C．Rt△ABC即为所求．(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：连接PQ在△OMN和△AQP中，∵ON=AP，PQ=NM，OM=AQ∴△OMN≌△AQP(__________)(填写推理依据)∴∠PAQ=∠O=α∵CE=CF，BE=BF∴CB⊥EF(____________________________)(填写推理依据)【答案】(1)见解析；(2)边边边或SSS，三线合一【解析】(1)作图：如图(2)(边边边或SSS)；(三线合一)解：根据步骤①用圆规画图，圆的半径相等，可知ON=AP，OM=AQ，根据步骤②可知PQ=NM，即直接利用SSS证明△OMN≌△AQP全等，即第一个括号答案可写“边边边或SSS”；根据步骤③用圆规画图，圆的半径相等，可知BE=BF ，根据步骤④可知CE=CF ，即可得出△CEF 是等腰三角形，且底边上B 是EF 的中点，则可根据等腰三角形底边上三线合一即可证出CB ⊥EF ，则第二个括号答案可写“三线合一”．3．(2020·山西省初一期中)如图，利用尺规在ABC 的边AC 上方作CAD ACB ∠=∠，并说明：//AD CB ．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)【答案】见解析【解析】解：如图所示，∠CAD 即为所求，∵∠DAC=∠ACB ，∴AD ∥CB ．4．(2020·广西壮族自治区初三学业考试)如图，已知α∠，直线l 及l 上两点A ，B ．尺规作图：作Rt ABC ∆，使点C 在直线l 的上方，90ABC ∠=︒，BAC α∠=∠．(保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明)【答案】见解析．【解析】如图所示，作出BC ，作出BAC ∠，Rt ABC ∆即为所求.5．(2020·陕西省初一期中)如图，已知α∠，β∠．求作：AOB ∠，使AOB αβ∠=∠-∠．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】图见解析【解析】解：作∠AOC=α∠，然后在∠AOC 内部作∠BOC=β∠，即可得到AOB αβ∠=∠-∠，如下图所示，∠AOB 即为所求．6．(2020·陕西省中考真题)如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．(保留作图痕迹．不写作法)【答案】详见解析【解析】解：如图，点P 即为所求．作法：(1)以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，(2)以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，(3)以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，(3)连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．7．(2020·福建省初一月考)已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，点E在直线BC的北面，且点E到D点的距离是200米．(在题目的原图中完成作图，图中的比例尺是1：10000)(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】见详解【解析】解：如图所示．8．(2019·陕西省陕西师大附中初一期末)如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点E为四边形ABCD边上一点，用尺规确定直线AE，使S△ADE＝S△ABE(不写画法，保留作图痕迹)．【答案】见详解【解析】解：作∠BAD的角平分线AE，交边BC于点E，则直线AE即为所求．。
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中考数学专题突破训练--尺规作图
(时间40分钟满分50分) 一、选择题(每小题3分,共15分)
1．（宜昌)如图,在△AEF中,尺规作图如下：分别以点E,点F为圆心,大于1
2
EF的长为半径
作弧,两弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下列结论正确的是( C ) A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF
C．GH垂直平分EF D．GH平分AF
2．（衢州)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是( C )
A．①B．②C．③D．④
3．（深圳)如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于1
2
AB为半径作弧,连接弧的交点得到
直线l,在直线l上取一点C,使得∠CAB＝25°,延长AC至点M,则∠BCM的度数为( B ) A．40°B．50°C．60°D．70°
(导学号58824194)
,第3题图) ,第4题图) 4．（南通)已知∠AOB,作图．
步骤1：在OB上任取一点M,以点M为圆心,MO长为半径画半圆,分别交OA,OB于点P,Q；
步骤2：过点M 作PQ 的垂线交PQ ︵
于点C ； 步骤3：画射线OC.
则下列判断：①PC ︵＝CQ ︵
；②MC∥OA；③OP＝PQ ；④OC 平分∠AOB ,其中正确的个数为( C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（河池)如图,在▱ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG,若AD ＝5,DE ＝6,则AG 的长是( B )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 二、填空题(每题3分,共15分)
6．（绍兴)以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心,适当长为半径作弧,与边AB,AC 各相交于一点,再分别以这两个交点为圆心,适当长为半径作弧,过两弧的交点与点A 作直线,与边BC 交于点D.若∠ADB ＝60°,点D 到AC 的距离为2,则AB 的长为_23_.
7．（济宁)如图,在平面直角坐标系中,以O 为圆心,适当长为半径画弧,交x 轴于点M,交y 轴于点N,再分别以点M,N 为圆心,大于1
2MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限内交于点P(a,b),
则a 与b 的数量关系是_a ＋b ＝0_.
,第7题图)
,第8题图)
8．（河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α＝_56_°.
9．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,按以下步骤作图： ①以C 为圆心,以适当长为半径画弧交AC 于点E,交BC 于点F ；
②分别以点E,F为圆心,以大于1
2
EF的长为半径作弧,两弧相交于点P；
③作射线CP交AB于点D,
若AC＝3,BC＝4,则△ACD的面积为_18
7 _.
(导学号58824195)
10．（北京)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程．已知：如图①,Rt△ABC,∠C＝90°,求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图②.
(1)分别以点A和点B为圆心,大于1
2
AB的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点；
(2)作直线PQ,交AB于点O；
(3)以O为圆心,OA为半径作⊙O.⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是_到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周角所对的弦是直径．_.
三、解答题(本大题2小题,共20分)
11．(10分)（陕西)如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹,不写作法) (导学号58824196)
解：如解图,点P即为所求．
12．(10分)（兰州)在数学课本上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线
的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P.
图①
求作：直线l的垂线,使它经过点P.
作法：如图：①在直线l上任取两点A,B；
②分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q；
③作直线PQ.
参考以上材料作图的方法,解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
(2)已知：直线l和l外一点P.
求作：⊙P,使它与直线l相切．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
图②
解：(2)作图如解图．。