2019-2020学年吉林省吉林市第五十五中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年吉林省吉林市第五十五中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝1，c ＝2，B ＝30°，则△ABC 的面积为（ ）A.12C.1【答案】A【解析】由题意利用三角形面积公式求解其面积即可. 【详解】由三角形面积公式得ABC 得面积1111230222ABCS acsinB sin ==⨯⨯⨯︒=. 本题选择A 选项. 【点睛】在解决三角形问题中，面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 2．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项 （ ） A.380 B.39C.35D.23【答案】A 【解析】【详解】因为数列{(1)n n +}，那么将四个选项代入,可知192038019n ⨯=⇒=,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.3．直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式x y <，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可. 【详解】由题意可知，x y <表示直线y x =上方的区域，结合所给的选项，只有A 选项符合题意. 故选：A. 【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题. 4．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7=" ( " ) A ．9 B ．12C ．15D ．16【答案】D【解析】利用等差数列通项性质即可得出． 【详解】解：∵{a n } 是等差数列，∴a 2+a 11＝a 4+a 9＝a 6+a 7． ∵a 2+a 4+a 9+a 11＝32，∴a 6+a 7＝16． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题． 5．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（ ） A.12-B.2-C.2D.12【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质得到关于q 的方程，解方程即可确定公比的值. 【详解】由等比数列的性质可得：352a a q =，即：3124q =⨯，解得：12q =.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题. 6．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是 ( ) A.22a b > B.ac bc >C.22ac bc >D.a c b c ->-【答案】D 【解析】【详解】解：因为a b >，那么利用不等式的性质可知，当c 等于零时，选项B ，C 不成立。

又0b a << 时，A 不成立，而选项D ，符合可加性成立，选D 。

7．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A.99 B.49C.101D.102【答案】C【解析】因为12n n a a +-=所以数列{}n a 是以首项为1，公差是2的等差数列，51a =8．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．4 B ．5C ．8D ．6【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，4y x x=+满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以4y x x=+，故选A【考点】利用基本不等式求最值；9．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C【解析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选：C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A.63 B.108C.75D.83【答案】A【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.【考点】等比数列连续相同项和的性质及等比中项.11．在 ABC 中， 80,100,45a b A ===︒，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】B【解析】由题意知，80a =，100b =，45A ∠=︒，∴sin 10080b A ==<，如图：∵sin b A a b <<，∴此三角形的解的情况有2种，故选B ． 12．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A.72B.4C.92D.5【答案】C【解析】由题意结合均值不等式的结论即可求得14y a b=+的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】 由题意可得：14y a b =+()11414522b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⨯++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭152⎛≥⨯+ ⎝92=， 当且仅当24,33a b ==时等号成立. 即14y a b =+的最小值是92. 故选：C. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．二、填空题13．已知{ a n }是各项为正数的等比数列，且a 1 = 1，a 2 + a 3 = 6，则数列{ a n }前10项的和S 10= ； 【答案】1023【解析】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质可得q +q 2＝6，解可得q ＝2或﹣3，分析可得q 的值，结合等比数列的前n 项和公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝1，a 2+a 3＝6，则q +q 2＝6，解可得q ＝2或﹣3，又由{a n }是各项为正数的等比数列，则q ＝2， 则S 10()10111a q q-==-1023；故该数列前10项的和S 10＝1023．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键求出等比数列的公比． 14．不等式21131x x ->+的解集是______ 【答案】1|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【解析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可. 【详解】题中所给的不等式即：211031x x -->+，2031x x -->+， 该不等式等价于：()()2310x x --+>，求解二次不等式可得：123x -<<-，则不等式的解集为1|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故答案为：1|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15． 在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是 .【答案】1)米.【解析】略三、解答题16．设,x y 满足约束条件1{2x y y xy +≤≤≥-,则3z x y =+的最大值为___【答案】7【解析】此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后找出直线，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的就是最小值；此不等式组所表示的平面区域如图阴影所示，把11(3,2),(2,2),(,)22A B C ---分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大且为7；17．在△ABC 中，∠A =600，∠C =450，b =2, 解这个三角形. 【答案】75B ∠=，a =2c =.【解析】由题意首先求得∠B 的大小，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意可得：18075B A C ∠=-∠-∠=， 结合正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得：2sin sin b Aa B===2sin 2sin b C c B ⨯===.【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题. 18．（1）在△ABC 中，求证：c (a cos B -b cos A )=a 2-b 2； （2）比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.【答案】(1)证明见解析；(2)(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-.【解析】(1)由题意利用余弦定理角化边，然后整理变形即可证得题中的等式即可； (2)由题意利用作差法比较两个代数式的大小即可. 【详解】(1)由余弦定理：222222cos ,cos 22b c a a c b A B bc ac+-+-==，则等式左侧22222222a c b b c a ac bc ac bc+-+-=⋅-⋅()22222212a cb bc a =+---+ 22a b =-=等式右侧， 题中的等式得证. (2)利用作差法：()()22(3)(5)(2)(4)2152870a a a a a a a a +--+-=-----=-<，(3)(5)(2)(4)a a a a ∴+-<+-.【点睛】本题主要考查余弦定理证明三角恒等式的方法，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．已知数列{}n a 的通项公式*26()n a n n N =-∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求2a ，5a ；（2）求n S 的最小值以及取得最小值时n 的值.【答案】（1）2-，4；（2）最小值为6-，此时2n =或3 【解析】(1)由数列的通项公式求解2a ，5a 的值即可；(2)由题意首先求得前n 项和，然后结合前n 项和公式即可确定n S 的最小值以及取得最小值时n 的值. 【详解】(1)由数列的通项公式可得：252262,2564a a =⨯-=-=⨯-=； (2)由通项公式可得：12164a =⨯-=-，由数列的前n 项和可得：()()42652n n n S n n -+-⨯⎡⎤⎣⎦==-, 关于n 的函数()()5f n n n =-开口向上，对称轴为52n =， 据此可得，当2n =或3n =时前n 项和取得最小值，其最小值为：236S S ==-. 【点睛】本题主要考查由通项公式确定数列中的项的方法，等差数列前n 项和公式及其应用，前n 项和的最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n a n =（2）()1111342nn n n T ⎛⎫+⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列{}n b 的通项公式得14nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=也适合1n =时， ∴2n a n =（2）1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()2111441111121444214nnn n n T n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-【考点】数列求通项及分组求和 21．已知不等式ax 2+3ax +1>0，(1) 若不等式的解集是{x |-4<x <1}，求a 的值； (2) 若不等式的解集是R , 求a 的取值范围. 【答案】（1）14-；（2）4|09a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.【解析】(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a 的值； (2)由题意分类讨论a =0和a ≠0两种情况即可确定实数a 的取值范围. 【详解】(1)由题意可得：0a <且4,1x x =-=是一元二次方程2310ax ax ++=的两个实数根， 结合韦达定理有：3141,41a a a-+=--⨯=，据此可得：14a =-；(2)当0a =时，不等式为10>，其解集为R ，满足题意，当0a ≠时，应满足：()203410a a a >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯<⎪⎩，即：0409a a >⎧⎪⎨<<⎪⎩，此时409a <<， 综上可得，a 的取值范围是4|09a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =- (I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．【答案】（I）；（II）4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 【解析】【详解】（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及0＜C ＜π 所以sinC=4. （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csinA sinC=，得 c=4由cos2C=2cos 2C-1=14-，以及0＜C ＜π得由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2b-12=0 解得或第 11 页 共 11 页所以，4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩。