数学-浙江省温州市2018届高三3月高考适应性测试(二模)试题

浙江省温州市2018届高三3月高考适应性测试（二模）数学试题球的表面积公式 锥体的体积公式球的体积公式其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高台体的体积公式其中R 表示球的半径柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}4021≤<=≤-=x x B x x A ，，则()R A B =ð（ ▲ ）A ．{}30≤<x xB ．{}43≤≤-x xC ．{}43≤<x xD ．{}03≤<-x x2．已知∈a R ，i 为虚数单位，且(1+a i )(1+i)为实数，则a ＝（ ▲ ） A ．1B ．-1C ．2D ．-23．已知b a ,为实数，:p 0=+b a ，0:22=+b a q ，则p 是q 的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件24S R =π4．若变量,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ▲ ）A ．[]0,6B ．[]0,4C ．[)6,+∞D ．[)4,+∞5．在92)x 的展开式中，常数项是（ ▲ ） A ．39CB ．39-CC ．398CD ．39-8C6．随机变量X 的分布列如表所示，若1()3E X =，则(32)D X -=（ ▲ ）A7．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，直线b y x a=交椭圆于第一象限内的点C ，若BFO BFC S S ∆∆=，则椭圆的离心率等于（▲ ）A B C D 18．已知函数与的图象如图所示，则)()(x f e x g x=（ ▲ ）A ．在区间(0,1)上是减函数B ．在区间(1,4)上是减函数C ．在区间4(1,)3上是减函数D ．在区间4(,4)3上是减函数)(x f )('x f9．已知向量a ,b 满足|a |=1，且对任意实数,x y ，|a －x b ||b －y a |的最小值|a +b |＝（ ▲ ）ABCD 10．已知线段AB 垂直于定圆所在的平面，,B C 是圆上的两点，H 是点B 在AC 上的射影，当C 运动时，点H 运动的轨迹（ ▲ ） A ．是圆B ．是椭圆C ．是抛物线D ．不是平面图形二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知23,32a b ==，则,a b 的大小关系是 ▲ ，ab =▲ .12．若πcos22cos(),(0,π)4ααα=+∈，则sin 2α= ▲ ，tan α= ▲ .13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 ▲ cm 3,表面积是▲ cm 2.14．若递增数列{}n a 满足：1a a =，22a a =-，22n n a a +=，则实数a 的取值范围为 ▲ ，记{}n a 的前n 项和为n S ，则2n S = ▲ .15．若向量,a b 满足22()||3+-==a b b a ，且||2b ≥，则a 在b 方向上的投影的取值范围是 ▲ .16．学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有 ▲ 种情况.17．已知2(),f x x ax =-|(())|2f f x ≤在[1,2]上恒成立，则实数a 的最大值为 ▲ . 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本小题14分）如图，已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是∆ABD 的重心.（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求∆ACD 的外接圆的半径．19.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，CD AB //，90ABC ∠=，ADP ∆是等边三角形，2AB AP ==，3BP =，AD BP ⊥.（Ⅰ）求BC 的长度；（Ⅱ）求直线C B 与平面ADP 所成的角的正弦值20.（本小题15分）已知函数21()()2f xg x x ax ==-+ （I ）若()y f x =在1x =处的切线与()y g x =也相切，求a 的值； （II ）若1a =，求函数()()y f x g x =+的最大值.21.（本小题15分）斜率为k 的直线交抛物线24x y =于,A B 两点，已知点B 的横坐标比点A的横坐标大4，直线1y kx =-+交线段．．AB 于点R ，交抛物线于点,P Q .（I ）若点A 的横坐标等于0，求||PQ 的值； （II ）求||||PR QR ⋅的最大值.22.（本小题15分）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若不等式2(1)4na n a t+≥+对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围； （III ）设3ln(1)4e na n nb +=(其中e 是自然对数的底数)，求证：12342n n b b b b b b ++++<.【参考答案】一、选择题二、填空题11．a b >，1； 12．1，1； 13．3π2，5π+2； 14．213a <<，122n +-；15．3[,0)2-； 16．336； 17．4173+ 三、解答题18．解：（Ⅰ）∵ O 是∆ABD 的重心，1(,0)2-C ，∴(1,0)A ，故函数()f x 的最小正周期为3，即2π3ω=，解得2π3ω=， 121π()sin[π()]sin()02323f ϕϕ-=⨯-+=-+=，∴ π3ϕ=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知2ππ()sin()33f x x =+，∴B 且1(,0)2-C ，∴60∠=BCO ，∵ 1(,0)2-C 是BD 的中点，(1,D ∴-，2∴==AD ，∴22sin sin120===∠AD R ACD，∴外接圆半径等于6. 19．解：（I ）取AD 中点F ，连,PF BF ， ∵ADP ∆是等边三角形，∴PF AD ⊥，又∵AD BP ⊥，∴AD ⊥平面PFB ，∵⊂BF 平面PFB ，∴BF AD ⊥，2==∴AB BD ∴3=BC .（II ）∵AD ⊥平面PFB ，AD ⊂平面APD ∴平面PFB ⊥平面APD ，作BG ⊥PF 交PF 为G ，则BG ⊥平面APD ，AD 、BC 交于H ，∠BHG 为直线C B 与平面ADP 所成的角，由题意得PF =BF =3，又∵BP =3，∴∠GFB =30°，BG =23， ∵ 90=∠=∠BCD ABC ，∴CD =1，∴BH =sin 4BHG ∠=， 20．解：（I）()f x ¢=， 21(1)0,(1)e k f f ¢\===，\切线方程为21ey =，因为函数()y f x =在1x =处的切线与()y g x =也相切，2212e ea a \=\=?（II ）2231()()e 2xy f x g x x x =+=-+1y x '∴=-+(1=-(1=， 当(0,1)∈x ，0'>y ，当(1,)∈+∞x ，0'<y ，()()∴=+y f x g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴max 211()(1)e 2f x f ==+. 21．解：（I ）∵(0,0),(4,4)A B ，∴1k =，联立：2214404y x x x x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12|||8PQ x x =-=，（II ）设AB 的方程为y kx b =+代入24x y =，得：2440x kx b --=，∵4B A x x -==，∴21k b =-，由1122Ry kx b b kx y kx k =+⎧-⇒==⎨=-+⎩， 联立：2214404y kx x kx x y=-+⎧⇒+-=⎨=⎩，∴12124,4x x k x x +=-=-， 则：212||||(1)()()R R PR QR k x x x x ⋅=-+--221212(1)[()]R R k x x x x x x =-+-++222(1)(42)4k k k =-+-++2297625()418144k =--+，∴当6k =±时，||||PR QR ⋅的最大值等于625144. 22．解：（I ）222-+=n n n a a S ，()2221211≥-+=---n a a S n n n两式相减得12122---+-=n n n n n a a a a a 即01212=-----n n n n a a a a ，()()0111=--+∴--n n n n a a a a 得()211≥=--n a a n n又由211122S a a =+-，得12a =，1+=∴n a n .（II ）2(1)4n a n a t +≥+，即为12(1)41n n t++≥++， 当1=n 时，22(1)42t +≥+，得803t -≤≤且2t ≠-， 下面证明当803t -≤≤且2t ≠-时，12(1)41n n t ++≥++对任意正整数n 都成立.当2n ≥时，10n t ++>，1122(1)(1)11n n n t n ++∴+≥++++，又1n =时，上式显然成立.11 故只要证明41211≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n 对任意正整数n 都成立即可. 1212112222111241111n n n n C C n n n n +++⎛⎫⎛⎫+≥+⋅+⋅=++≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. （III ）()()1431++=n nn b ， ()()()()()()()()()34333114443212123241111111433332311n n n n n n n n n b b n n n n n n ++++++⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤++⎢⎥===≤⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦，()331422++≤∴+n n b b n n ， 当2k ≥时， ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=+--=-+-<+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 111211********* ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅<+++∴+31215141413124224231n n b b b b b b n n 6631242=⋅⋅<.。