22-1函数的极限定义、性质解析
函数的极限名词解释
函数的极限名词解释函数的极限是数学中非常重要的概念，它们在微积分、实分析、复分析和其他数学领域中都有广泛的应用。
作为一名数学爱好者，理解函数的极限对于进一步学习和应用其它数学知识来说非常重要。
本文将分步骤解释函数的极限。
第一步，最重要的是要理解函数的极限定义。
对于一个函数f(x)，当 x 趋于某一个值 a 时，如果 f(x) 的值无限逼近于一个常数，那么我们就称该常数为 f(x) 的极限，记作lim(x→a) f(x)。
在更严格的说法中，对于任意给定的正实数ε，总存在一个正实数δ，当 |x-a|<δ 时，有 |f(x)-L|<ε 成立，其中 L 为极限。
第二步，我们需要了解一些与函数极限相关的基本概念，例如无穷大和无穷小。
当数列 a_n 趋于正无穷、负无穷或无穷小的时候，我们称它对应的函数 f(x) 也具有相应的性质。
具体来说，如果当 x 趋于某个值 a 的时候，f(x) 的绝对值无限逼近正无穷，那么我们称函数 f(x) 为正无穷大，并用lim(x→a) f(x)=+∞ 来表示；同样地，如果当 x 趋于某个值 a 的时候，f(x) 的绝对值无限逼近负无穷，那么我们称函数 f(x) 为负无穷大，并用lim(x→a) f(x)=-∞ 来表示；最后，如果当 x 趋于某个值 a 的时候，f(x) 无限逼近于零，那么我们称函数 f(x) 为无穷小，并用lim(x→a) f(x)=0 来表示。
第三步，我们需要掌握函数极限的一些基本性质。
这些性质包括：极限的唯一性、保号性、四则运算法则、复合函数极限、夹逼定理等等。
这些性质可以帮助我们更加灵活地计算函数极限。
第四步，我们需要了解一些常见的函数极限案例。
这些案例包括：分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
对于这些函数极限的计算，我们可以使用一些特殊的技巧和公式，以便更加方便地求出极限值。
通过以上四步，我们可以更加深入地理解函数的极限。
当然，我们还需要了解一些高级的数学知识，例如级数、微积分等等，以便更好地应用函数极限。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
函数的极限函数的极限定义和计算方法
函数的极限函数的极限定义和计算方法函数的极限：定义和计算方法函数的极限是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
它帮助我们理解函数在自变量逼近某一特定值时的表现，并可以用于求解各种问题。
本文将介绍函数的极限的定义和常见的计算方法。
一、函数的极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这里，lim表示极限的意思，(x→a)表示x无限接近a，f(x)表示函数f在x处的函数值。
需要注意的是，函数的极限可能存在或者不存在。
如果一个函数的某个点存在极限，那么它的极限值是唯一的。
此外，函数的极限和函数在该点的取值无关，只与函数的定义域和自变量逼近的点有关。
二、函数的极限的计算方法对于常见的函数，可以使用下列计算方法求出函数的极限：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，计算函数值。
这种方法适用于简单的函数，在函数式中出现除零或者无法计算函数值的情况下，不能直接使用。
2. 因子分解法：将函数式进行因子分解，化简为可能更易计算的形式。
通过因子的性质，可以将极限计算为各个因子的极限之积。
3. 主要部分法：将函数式中的主要部分提取出来，然后计算主要部分的极限。
主要部分是指影响极限值的部分，对于复杂函数，可以通过忽略高次项、无穷小量等方式找到主要部分。
4. 夹逼定理：对于难以计算的函数，可以通过夹逼定理来求解。
夹逼定理指出，如果函数g(x)无限接近L，函数h(x)无限接近L，且函数f(x)总是位于g(x)和h(x)之间，那么函数f(x)的极限也是L。
5. 分部求和法：对于一些敛散性序列或级数，可以通过分部求和将其转化为已知的序列或级数，从而求得极限。
三、示例：下面我们通过几个例子来说明函数的极限的计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在x→2 时的极限。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
极限的定义与基本性质
极限的定义与基本性质极限在数学中是一个十分重要的概念，被广泛应用于微积分、数学分析等领域。
极限主要是描述函数在某一点上的特定性质，这个特定的性质可以用一些简单的公式来表示。
定义对于实数序列或函数序列来说，如果它的极限值存在，我们就称这个序列或函数序列是有极限的。
在函数中，极限的定义表述如下：对于一个函数f(x)，如果x从c点的左侧或者右侧越来越接近于c值时，f(x)也相应地越来越接近于一个数L，那么我们称L 为f(x)当x趋向于c时的极限，记作：lim x->c f(x) = L.其中 L 可以是实数、负无穷大或正无穷大。
基本性质极限有以下几个基本的性质：(1) 有限性原理：如果极限的值存在，那么它一定是唯一的。
这是因为如果有两个极限值，那么函数在这两个极限值处的取值是不同的。
(2) 局部有界性原理：如果函数f(x)在某一点c的极限存在，那么必定存在一个邻域，使得除了c点外这个邻域内的所有函数值都是有界的。
(3) 存在性原理：如果函数f(x)在某一点c的左侧和右侧的极限都存在，并且这两个极限值相等，那么f(x)在这个点的极限也存在。
(4) 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，它们在某个点c的左侧和右侧都满足：g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x) 和 h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也将是L。
(5) 算术性原理：如果存在函数f(x)和g(x)，它们在某一点c的极限都存在，并且L和M是它们的极限值，那么：① f(x) ± g(x) 的极限存在且等于 L ± M。
② f(x)×g(x) 的极限存在且等于 L × M。
③ k×f(x) 的极限存在且等于 k×L，其中 k 是任意的实数。
④如果 M 不等于0，而且 f(x) 与 g(x) 的极限也都存在且等于L 和 M ，则 f(x)/g(x) 的极限L/M 也存在。
函数极限知识点总结
函数极限知识点总结一、函数极限的定义和符号表示1. 函数极限的定义设函数y=f(x)，当自变量x在某一点a的某个邻域内变化时，如果函数值y=f(x)随着x在a附近取值的变化而不断地趋近于某个确定的常数L，那么我们就说函数y=f(x)当x趋于a 时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
上述定义可以用以下式子表示：lim(x→a)f(x)=L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限为L。
2. 函数极限的符号表示在表示函数极限时，我们通常还需要使用一些特殊的符号，如：lim(x→a)f(x)=L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→∞)f(x)=L，表示当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→-∞)f(x)=L，表示当x趋于负无穷大时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→a+0)f(x)=L，表示当x从右侧趋于a时，函数f(x)的极限为L。
lim(x→a-0)f(x)=L，表示当x从左侧趋于a时，函数f(x)的极限为L。
以上是函数极限的定义和常见符号表示，接下来我们将讨论函数极限的性质和计算方法。
二、函数极限的性质和计算方法在计算函数极限时，我们需要了解一些函数极限的性质和计算方法。
这些性质和计算方法对于求解函数极限的问题非常重要。
下面我们来逐一介绍这些性质和计算方法：1. 函数极限存在的必要条件设函数y=f(x)，如果lim(x→a)f(x)存在，则f(x)在点x=a处必须有定义。
也就是说，只有在函数在某一点的邻域内有定义，我们才能讨论该点处的极限是否存在。
2. 函数极限的唯一性如果lim(x→a)f(x)存在，且为有限数L，则该极限是唯一的，即只有一个确定的极限值。
3. 函数极限的保号性若当x在某一点的某一邻域内，有f(x)≥g(x)，且lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，则L≥M。
4. 两个函数极限之和的性质如果lim(x→a)f(x)=L，lim(x→a)g(x)=M，那么lim(x→a)(f(x)+g(x))=L+M。
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上两式同时成立,
即 ( A B) / 2 f ( x) (3A B) / 2,
A B 特别地取 , 2
(3B A) / 2 g ( x) ( A B) / 2,
g ( x) ( A B) / 2, ( A B) / 2 f ( x),同时成立
约定x 0,
| x 1| | x 1| f ( x) A 3 | 2x 1| 3
则当 0 x 1 时,
0, 取 3 ,
x2 1 2 都有 2 2x x 1 3
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x 1 所以 lim 2 2 / 3. x 1 2 x x 1
证
函数在点x=1处没有定义.
x2 1 这里 f ( x ) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A , 只要 | x 1 | ,
0,
2
取 ,则当 0 x 1 时,
2 x 1 x 1 2. 总有 2 , lim x 1 x 1 x 1
N定义 :
x x0
lim f ( x) A 0 0, 对 0，
x1 , 0 | x1 x0 | , 有 | f ( x1 ) A | 0成立
几何意义
在x0的任意去心邻 域内, 函数y f ( x )在 某x1的值, 落在以直 线y A为中心线, 宽为2 0的带形区域外 .
x x0 , x x0
x x0 , x x0 , 记 : x x0
统一简记为: xa
x x0 , x x0 , 记 : x x
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0
2
一、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中, 对应函数 值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A .
第二节
函数的极限
一、自变量趋向有限值时函数的极限 二、函数极限的性质 三、单侧极限 四、自变量趋向无穷大时函数的极限
五、两个重要极限
2018/11/12 1
自变量的变化过程
考虑x在D(f )中变化时,函数f (x)的变化趋势.
x的变化趋势有:
x 记 : x x x
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8
例3
证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
证 这里 f ( x ) A
x x0
x x0 x0
x x0 x x0 , x0 x x0
, 即 x x0
要使 f ( x ) A , 只要
x0 .
x a n
对任意数列 xn a, 都有 lim f ( xn ) A.
利用函数极限的归并性,我们可以利用数 列极限的结论来推导函数极限的类似结论.
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证: 必要性
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
2
10
用定义证明 lim f ( x ) A 的过程 ：
x x0
1. 把| f(x)A|化简为| f(x)A| k |x x0| ; 2. 要| f(x)A|,只要 k |x x0| ;
1 3. 取 ＝ ; k
4. 验证.
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11
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13
证
x x0
lim f ( x) A, lim g ( x) B.
x x0
对 0, 1 0, 2 0, 当0 | x x0 | 1时,| f ( x) A | 当0 | x x0 | 2时,| g ( x) B |
| f ( x ) A | 表示 | f ( x ) A | 任意小;
0 | x x0 | 表示 x x0 的过程.
x0
x0
x0
x
点 x0 的去心 邻域 , 体现 x 接近 x0 程度.
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1. x x0 时 f (x) 的极限
证明: 若取f ( x) 0或g ( x) 0,即得推论 .
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性质3 (局部保号性)
若 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ) , 则 0 ,
x x0
当 x U ( x0 , ) 时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0).
从而,当0 | x x0 | 时, 有f ( x) g ( x)成立.
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lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 性质2(保序性) 设 x x x x
0 0
若 0, x U ( x0 , ), 有f ( x ) g ( x ), 则A B .
矛盾.
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故极限若存在则必唯一.
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3. 有极限的函数的局部有界性
性质6 若极限 lim f ( x ) 存在 , 则在点 x0 的某个
x x0
去心邻域内 , 函数 f ( x ) 有界 .
性质6 若极限 lim f ( x ) 存在 , 则必存在 X 0 ,
x
使得函数 f ( x ) 在无穷区间 ( X ,) 和 ( , X ) 内均有界 .
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A 2
0.
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性质3 若 lim f ( x ) A , 且 A 0 ( 或 A 0 ) , 则
x
X 0 , 当 x ( , X ) ( X ,) 时 , f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0).
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x x0
lim f ( x ) A
0, 0, 使当0 | x x0 | 时, 恒有 | f ( x ) A | .
注意： { x 0 | x x0 | } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
定义 若存在常数 A ,对任意给定的正数 > 0, 总
存在正数 >0,只要 f 的定义域中的点 x 满足 0<|x x0|< 时，恒有 |f(x)A|< 成立，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x x0时的极限,简称 A 是 f (x)在 x0 处的极限.
记为 lim f ( x ) A , 或者 f ( x ) A ( x x0 ) .
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y
y f ( x)
A0
A
A0
o
x0
x1x
0
x0
x
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二、函数极限的性质
1. 极限的局部保序性、保号性
性质1
设 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 且A B
x x0 x x0 。
则 0, x U ( x0 , ), 有f ( x) g ( x).
。
证明:反设A>B,则由定理3,
则 0, x U ( x0 , ), 有f ( x) g ( x),矛盾.
推论 (不等式性质)
若 lim f ( x ) A , 且 0 , 当 x U ( x0 , ) 时,
x x0 。
。
f ( x ) 0 (或 f ( x ) 0) , 则 A 0(或 A 0).
0,
可取
x0 ,
则当0 x x0 时,
总有 x x0 ,
lim
x x0
x
x0 .
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例4 证
x2 1 证明 lim 2 2 / 3. x 1 2 x x 1
x2 1 2 x 1 由 f ( x) A 2 2x x 1 3 3(2 x 1)
说明 1) 用来刻划 x 与 x0 的接近程度, 与任意给定
的正数 有关.
2) 定义中0 | x x0 | 是重要的 , 不能去掉 .
3) 函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关 .
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例1
证明 lim x x0 .
x x0
证 这里 f ( x ) A x x0 , 要使 f ( x ) A ,
只要 x x0 , 因此可取 ,
0,
取 ,
则当0 x x0 时,
总有 f ( x ) A x x0 ,
lim x x 0 .
x x0
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x2 1 2. 例2 证明 lim x 1 x 1
x x0
则, 0, 对 0, x' 且0 x'x0 , 就有
| f ( x ') A |
1 1 特别地取 1, , , 2 3
0 | x2 x0 |
, 得x1 , x2 , x3 ,
, 适合
0 | x1 x0 | 1 ,| f ( x1 ) A |
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4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程 x a 中有数列 xn ( a) , 使得
n 时 xn a . 则称数列 f ( xn ) n 1 为函数
f ( x) 当 x a 时的函数值序列 .