抛物线方程及其性质5
人教版高数选修2第5讲：抛物线的标准方程与性质(教师版)
抛物线的标准方程与性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质类型一 抛物线的定义及应用例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( )A ．217B .17C ．215D .15【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，即k>－1. 又x 1＋x 22＝2k ＋2k2＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝542－4＝215.【答案】C练习1：已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.92【答案】A练习2：F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．【答案】52类型二 抛物线的标准方程和几何性质例2：已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A .45B .35C ．－35D ．－45【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.故选D .【答案】D练习1：已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12【答案】Ｃ练习2：(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．【答案】1类型三 抛物线焦点弦的性质例3：已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k 等于( )A .13B .23C .23D .223【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA|＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB|＝x 2＋2，∵|FA|＝2|FB|，∴x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1，∴B(1,22)，代入y ＝k(x ＋2)得k ＝223，选D .【答案】D练习1：过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【解析】直线y ＝x －p 2，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px ，∴x 2－3px ＋p24＝0，|AB|＝8＝x 1＋x 2＋p ，∴4p ＝8，p ＝2. 【答案】2类型四 直线与抛物线的位置关系 例4：如图所示，O 为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)两点．(1)写出直线l 的方程； (2)求x 1x 2与y 1y 2的值； (3)求证：OM ⊥ON.【解析】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.【答案】(1)直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)．①(2)由①及y 2＝2x ，消去y 可得 k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1与x 2是②的两个根， 由韦达定理，得x 1x 2＝4k2k2＝4.由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16， 由图可知y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－4.(3)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2.由(2)知，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， ∴k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1.∴OM ⊥ON.练习１【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）Ａ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，【答案】Ｄ练习2：抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝________．【答案】201.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )Ａ．2212128x y -= Ｂ．2212821x y -= Ｃ．22134x y -= Ｄ．22143x y -= 【答案】Ｄ2.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A.3.（2014·辽宁卷）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43【答案】D4.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_________【答案】ｐ＝２5.（2014·广东卷）曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．【答案】y ＝－5x ＋36.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有FA →·FB →<0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)由已知得：曲线C 上的点到点F(1,0)与到x ＝－1的距离相等，∴曲线C 是以F(1,0)为焦点的抛物线，设y 2＝2px(p>0)，∵p 2＝1，∴p ＝2，∴方程为：y 2＝4x(x>0)． (2)假设存在M(m,0)(m>0)． 当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝m ， 设交点A(m,2m)，B(m ，－2m)，FA →＝(m －1,2m)，FB →＝(m －1，－2m)， ∴FA →·FB →＝m 2－6m ＋1<0， ∴3－22<m<3＋2 2.当直线l 斜率存在时，l ：y ＝k(x －m)(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k x －m∴ky 2－4y －4km ＝0，∴Δ＝16＋16k 2m>0恒成立， y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4m ，又y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋8m ，∵FA →·FB →＝(y 214－1)·(y 224－1)＋y 1y 2＝y 1y 2216－14(y 21＋y 22)＋y 1y 2＋12 ＝m 2－14(16k 2＋8m)－4m ＋12＝m 2－6m ＋1－4k2<0，即：4k 2>m 2－6m ＋1对∀k ≠0恒成立，又4k 2>0，∴m 2－6m ＋1<0恒成立， ∴3－22<m<3＋22，综上，m 的取值范围是：3－22<m<3＋2 2._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1.抛物线x 2＝12y 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18【答案】D2.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1C.12D.14【答案】A3．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x2【答案】D4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则A 点的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4【答案】B5．已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．4 B.92C ．5D.112【答案】B6.（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3C.52D ．2【答案】B7.（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332 D.94【答案】D能力提升（2）8．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的左顶点，则p ＝________． 【答案】29．已知一条过点P (2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．【答案】x-y-1=010．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．【答案】011.（2014·湖南卷）如图14，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．图14【答案】12.已知动点P(x ，y)(y ≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，记点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)设圆M 过点A(0,2)，且圆心M(a ，b)在曲线C 上，若圆M 与x 轴的交点分别为E(x 1,0)、G(x 2,0)，求线段EG 的长度．【答案】(1)依题意知，曲线C 是以F(0,1)为焦点，y ＝－1为准线的抛物线． ∵焦点到准线的距离p ＝2， ∴曲线C 方程是x 2＝4y.(2)∵圆M ∴其方程为(x －a)2＋(y －b)2＝a 2＋(b －2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴线段EG的长度是4.课程顾问签字： 教学主管签字：。
抛物线的性质与计算
抛物线的性质与计算抛物线是一种常见的数学曲线，具有独特的性质和特点。
在数学中对于抛物线的研究，不仅帮助我们深入了解曲线的性质，还能应用于实际问题的计算中。
本文将介绍抛物线的基本定义及其性质，并探讨如何进行抛物线的计算。
一、抛物线的定义与基本性质抛物线可由以下二次函数的方程表示：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。
抛物线的形状与参数a的正负有关。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
抛物线具有以下基本性质：1. 对称性抛物线关于其顶点的纵轴对称。
即，若(x, y)在抛物线上，则(-x, y)也在抛物线上。
2. 零点抛物线与x轴的交点称为零点，也称为根。
对于一般二次方程，可以通过求根公式来计算抛物线的零点。
3. 零点的判别式抛物线的零点个数与判别式的正负相关。
当判别式大于零时，抛物线与x轴有两个不相等的交点，即有两个实数根；当判别式等于零时，抛物线与x轴有两个相等的交点，即有一个实数根；当判别式小于零时，抛物线与x轴无交点，即无实数根。
4. 顶点抛物线的顶点是曲线最高/最低点，也是抛物线的对称中心。
顶点坐标可通过求导或利用平方完成平方法求得。
5. 单调性抛物线的单调性由参数a的正负决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，曲线从左到右逐渐上升；当a < 0时，抛物线开口向下，曲线从左到右逐渐下降。
二、抛物线的计算方法1. 求零点计算抛物线的零点，即求解二次方程。
可以通过以下步骤进行计算：a) 计算判别式D = b^2 - 4ac；b) 若D > 0，使用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)计算抛物线的两个实数根；c) 若D = 0，使用求根公式x = -b / (2a)计算抛物线的一个实数根；d) 若D < 0，抛物线无实数根。
2. 求顶点抛物线的顶点可以使用求导或平方完成平方法求得。
抛物线的方程与像
抛物线的方程与像抛物线是数学中的一个常见曲线，它的形状是一个开口朝上或者朝下的弧形。
在几何学和物理学中，抛物线有着重要的应用。
本文将探讨抛物线的方程及其与像的关系。
一、抛物线的一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不为零。
抛物线方程中的a决定了抛物线的开口方向和形状。
当a大于零时，抛物线开口朝上；当a小于零时，抛物线开口朝下。
二、抛物线的顶点与焦点1. 顶点抛物线的顶点是曲线的最高点（对于开口朝下的抛物线）或最低点（对于开口朝上的抛物线）。
要确定抛物线的顶点，可以利用以下公式计算：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = f(x) = a(x²) + b(x) + c2. 焦点抛物线上还有一个重要的点，即焦点。
焦点是指离抛物线直线轴对称的点，可以通过以下公式计算焦点的坐标：焦点的横坐标 x = -b / (2a)焦点的纵坐标 y = (4a - b²) / (4a)三、抛物线的图像根据抛物线的方程和顶点、焦点的计算公式，可以画出抛物线的图像。
图像的形状和位置取决于方程中的参数。
1. a > 0的情况当a大于零时，抛物线开口朝上。
抛物线的顶点位于图像的最低点，焦点位于顶点的上方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
2. a < 0的情况当a小于零时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点位于图像的最高点，焦点位于顶点的下方。
图像在顶点处与直线x = -b / (2a)垂直相交。
四、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于垂直于抛物线的直线x = -b / (2a)的轴对称的。
这意味着，对于任意一点P(x, y)在抛物线上，与抛物线顶点的距离等于点P到直线x = -b / (2a)的距离。
2. 切线和法线抛物线上的切线与与该点处切线垂直的直线，称为该点处的法线。
切线和法线都经过该点，并且是该点处曲线的近似线性。
1、抛物线的定义、标准方程、几何性质
1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题 重点： 抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题 知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）． 注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴)轴轴)轴3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离2||||0px PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2||||0py PF +=(5) 焦点弦长：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ， 焦点(,0)2p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切(2) 221p y y -=，4221p x x =(3)pBF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y kx x k -+=-+= 分类例析： 一、 抛物线的定义、几何性质及应用 例1（1）过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8B ．28C ．216D ．16（2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9（3）经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线 于),(11y x A ，),(22y x B ，则2121x x y y 的值为__________。
第五讲 抛物线方程及性质
第五讲 抛物线方程及性质突破点(一) 抛物线的定义及其应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流”抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”利用抛物线的定义求解距离问题[例1] (1)(2017·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)(2)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．(3)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．[解析] (1)过M 点作准线的垂线，垂足是N (图略)，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．(2)依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1，5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.(3)由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P本节主要包括2个知识点： 1.抛物线的定义及其应用； 2.抛物线的标准方程及性质.到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.[答案] (1)D (2)5 (3)2焦点弦问题焦点弦的常用结论：以抛物线y 2＝2px (p >0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)S △AOB ＝p 22sin θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)；(5)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；(8)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°； (9)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．[例2] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若u u u r OC ＝uuu r OA ＋λuuu rOB ，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则u u u r OC ＝(x 3，y 3)＝uuu r OA ＋λuuu rOB ＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一](2016·广州一模)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：选A 由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A.2.[考点二]已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：选A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.3.[考点一]已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |，即|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.4.[考点二]若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△PAB 的面积的最小值为________．解析：由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y 0(y 0≥0)，则点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△PAB 的面积的最小值是2 2.答案：2 25.[考点二]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝⎛⎭⎫－p2，y B . 则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .突破点(二) 抛物线的标准方程及性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流”图形标准方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦点坐标 ⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2 离心率 e ＝1焦半径 |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求抛物线的标准方程1．定义法根据抛物线的定义，确定p 的值(系数p 是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2．待定系数法(1)根据抛物线焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p ，从而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y 2＝2px (p >0)和y 2＝－2px (p >0)两种情况求解．另一种是设成y 2＝mx (m ≠0)，若m >0，开口向右；若m <0，开口向左；若m 有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y 轴上的抛物线可以设成x 2＝my (m ≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．[例1] 若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程．[解] 对于直线方程3x －4y －12＝0， 令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4， 所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)， 则p2＝3， 所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .抛物线的几何性质[例2] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫14，0 D ．(0,1)(2)若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.[答案] (1)B (2)12[方法技巧]涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．抛物线方程的实际应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．[例3] 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4.5 m ，此车能否通过隧道？说明理由．[解] 建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)． 因为车与箱共高4.5 m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)， 则x 20＝32，所以|x 0|＝ 32＝62， 所以2|x 0|＝6<3， 故此车不能通过隧道．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2.[考点二]抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B ．－14C ．4D ．－4解析：选B 由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a＝－14.3.[考点一]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选B 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .4.[考点一]以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝4，即p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .5.[考点二]抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6(负值舍去)．答案：66.[考点三]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝±6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．答案：2 6[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.故选D.2．(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5.∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎨⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若u u u rFP ＝4uuu r FQ ，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2解析：选C 如图所示，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，设l 与x 轴交点为M ，因为u u u rFP ＝4uuu r FQ ，所以|QQ ′|∶|MF |＝|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离|MF |＝4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.。
抛物线方程及性质宁龙
［知识点］1．抛物线的定义：到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离相等的点的轨迹．2．标准方程：px y 22=，px y 22-=，py x 22=，py x 22-=，()0>p3．几何性质：对于抛物线y 2=2px 要掌握如下性质：对称轴, 顶点坐标,焦点坐标, 准线方程． 离心率 1=e,焦准距＝p , 焦半径20p x r +=， 2min p r = 4．焦点弦： 对于px y 22=,过焦点的弦()()2211,,,y x B y x A 有,sin 2221αp p x x AB =++=221p y y -=，4221p x x = 通经：抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通经，抛物线)0(22>=p px y 的通经为2p.5．两个结论：（1）抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则 θsin2||2p AB =.（2）以上述焦点弦AB 为直径的圆与其准线相切。
焦半径为直径的圆与y 轴相切,I ．抛物线的标准方程1、若动点M （y x ,）到点F （4，0）的距离，比它到直线05=+x 的距离小1，则M 点的轨迹方程是（D ）. （A ）04=+x （B ）04=-x （C ）x y 82= （D ）x y 162=2、平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是).0(042<==x y x y 和3、顶点在原点，准线为y=4的抛物线方程为_________4、 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出相应的抛物线的准线方程. （1）过点（1，2）；（2）焦点在直线062=-+y x 上.解：（1） 点（1，2）在第一象限内，∴可设抛物线方程为),(2,222o p py x px y >==或将（1，2）分别代入两方程，得4=2P ·1，或1=2P ·2，412==∴p P 或∴所求的抛物线方程为y x x y 21422==或，相应的准线方程为81,1-=-=y x .（2）令6,062,0==-+=y y x x 得由.又令.0=y 由∴==-+3,062x y x 得抛物线的焦点坐标 为（0，6）或（3，0）. ①当焦点为（0，6）时，,12,62==p p此时，抛物线方程为y x 242=. ②当焦点为（3，0）时，P=6，此时抛物线方程为x y 122=.5、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A ．y x 292-=或x y 342= B ．x y 292-=或y x 342=C ．y x 342= D ．x y 292-=6、抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5=AF ，求抛物线的标准方程 分析 要求抛物线的标准方程，就是待求标准方程中的p ．解 设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22≠=p px y ，)3,(-m A则由抛物线的定义得25pm AF +==，又pm 2)3(2=- 所以9,1±=±=p p 故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=7.在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为_________II ．定义及性质的应用1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(2、抛物线)0(42≠=a ax y 的焦点坐标为（B ）. （A ）)0,41(a（B ）（a 161,0） （C ）（0，)161a -（D ）)0,161(a 3、抛物线y 2=-8x 的焦点到准线的距离是( ) A 4 B 1 C 2 D.84.抛物线y 2=2px 上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4B.8C.16D.325、抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点)2,(-k 与F 的距离为4，则k 的值是（B ） （A ）4（B ）4或－4（C ）－2 （D ）2或－26、设抛物线的顶点坐标为（2，0），准线方程为1-=x ，则它的焦点坐标为（5，0）. 7. 抛物线x y 42=上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离4=MF ,则点M 的横坐标=x 3(目的: 应用第二定义 ) 解析: 2px MF += 8.若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时，点P 的坐标是（）A.（0，0）B.（1，1）C.（2，2）D.（0.5，1）解：如图5，点A 在抛物线内部。
抛物线及其标准方程优秀课件
准线位置：根据抛物线 准线的位置，可以分为 准线平行于x轴、准线 平行于y轴和准线不平 行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义：一个平面曲线，它的所有点都位于一个固定点（焦点）和一条固定直 线（准线）之间。
抛物线的标准方程：y^2 = 4px，其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。 结论：二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同，都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义： 抛物线上任意 一点到准线的
距离相等
准线的方程： x=-p（开口方 向为x轴正方向） 或x=p（开口 方向为x轴负方
向）
准线的性质： 准线是与抛物 线对称轴平行 的直线，离抛
物线最近
准线的作用： 利用准线方程 可以求出抛物 线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用：古罗 马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用：桥梁、 隧道等交通设施中的抛物线应用
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抛物线在建筑美学中的应用：现代 建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用：室内 设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用：抛物线 镜面可以聚焦光线， 用于制造望远镜、 显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义：抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线
探讨抛物线的性质及应用
探讨抛物线的性质及应用抛物线是数学中一个重要的曲线形状，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨抛物线的性质及其在实际生活中的应用。
一、抛物线的定义和性质抛物线是一种二次曲线，其定义为平面上到一个定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物线的基本方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数。
1. 对称性：抛物线具有关于准线的对称性，即抛物线上任意一点到准线的距离与该点在抛物线上的对称点到准线的距离相等。
2. 焦点和准线：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点，准线则是与焦点对称的直线。
焦点与准线之间的距离称为焦距。
3. 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高或最低点，它位于焦点和准线的中垂线上。
4. 切线：抛物线上任意一点处的切线与该点的斜率相等，并且过该点的切线与焦点的连线垂直。
5. 开口方向：抛物线开口向上当且仅当a大于0；开口向下当且仅当a小于0。
二、抛物线的应用抛物线作为一种常见的曲线形状，广泛应用于各个领域。
以下是抛物线在实际生活中的几个应用案例：1. 抛物线反射器：抛物线具有反射光线的特性，因此在一些光学设备中常使用抛物线形状的反射器。
例如，天文望远镜的主镜往往采用抛物线形状，使得光线能够聚焦在焦点上，提高观测的清晰度和准确度。
2. 抛物线喷泉：抛物线形状的喷泉可以使喷水流动更加美观，水流呈现出优美的曲线。
这种设计常见于公园、广场等场所的景观喷泉中，给人以艺术的享受。
3. 炮弹的轨迹：在物理学中，抛物线被用来描述抛体的运动轨迹。
当一个物体在重力作用下以一定的初速度和角度被抛出时，其轨迹就是一个抛物线。
这一原理被应用于炮弹的发射和导弹的轨迹计算等。
4. 抛物线拱桥：拱桥是建筑工程中常见的结构形式，而抛物线形状的拱桥则具有更好的力学性能。
抛物线形状的拱桥能够将荷载均匀分散至桥墩上，提高桥梁的承载能力和稳定性。
5. 反射式太阳能聚焦器：利用抛物面反射的特性，可以设计出反射式太阳能聚焦器，将太阳的光线聚焦在一个小区域内，以产生高温。
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抛物线方程及其性质
一、抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 二、抛物线的标准方程：
三、抛物线焦点弦问题
已知抛物线的的标准方程为)0(22>=p px y ，直线l 过抛物线 的焦点F 与抛物线交于A 、B 两点
1.弦长公式：p x x AB ++=21或p y y AB ++=21
2.焦点弦最值问题：
（1）l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2
p
x = ，此时
p AB 2=
（2）当斜率存在时，设直线的方程为)2
(p
x k y —
=，消去y 得： 22
2
2
2
(2)0
4k p k x k p p x -++=
若0≠k ，0442
22>+=p p k Δ，2212k
p
p x x +
=+，则有 p k p
p p x x AB 2222
21>+
=++=，因此p AB 2min =
相关习题 （务必完成）
一、 选择题 1.抛物线 的焦点坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x -4y +11=0 上，则此 抛物线的方程是（ ）
A.x y 112=
B. x y 112—=
C. x y 222—=
D. x y 222= 3.曲线2x 2-5xy +2y 2=1( ) A.关于x 轴对称
B.关于y 轴对称
C.关于原点对称
D.不能确定
4.直线y =kx -2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则 ｜AB ｜为( ) A.15
B.415
C.215
D.42
5.经过抛物线y 2=—16x 的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.4
B.8
C.16
D.不确定
二、 填空题
6. 过点A(-3,6)，则抛物线的标准方程为 ；
7.抛物线y 2=—8x 被点P(—1，1)所平分的弦所在直线方程为 ； 8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则 △OAB 的周长为 ；
三、解答题
9.F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，MF MA +取得最小值时M 点的坐标，（1）点A 的坐标为(1,2)；（2）点A 的坐标为(4,2).
10.若直线 交抛物线 于 、 两点，且 中点的横坐
标是2，求弦长
．
11.某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m,一木船宽4m,
高2m，载货后木船露在水面上的部分高为3/4m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
12.过抛物线的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成
2 ：1，求这条直线的方程．。