中考数学考点总动员系列专题41与圆有关的计算(含解析)
考点四十一：与圆有关的计算 聚焦考点☆温习理解一、正多边形与圆1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。
2.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。
4.正n 边形的n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
二、弧长和扇形面积1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=∙=221 其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。
名师点睛☆典例分类考点典例一、正多边形与圆的有关计算【例1】（2017四川宜宾第15题）如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE=2，则EG 的长是 ．1【解析】∴ 1考点：正多边形和圆．【举一反三】（2017江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于 ．【答案】120°.【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：7206=120°. 考点：多边形的内角与外角.考点典例二、计算弧长【例2】（2017浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A =∠°，BC =BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4pB.2pC.pD.2p【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE=12AB ，OD= 12AC ∵OE=OD∴AC=AB∵由勾股定理得AB=2∴OE=1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π. 故选B.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.【点睛】本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R ，弧AB 对的圆心角的度数是n°，则弧AB 的长=180n R π． 【举一反三】（2017山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C. π67 D ．π34【答案】B ．【解析】试题解析：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE 的长=40321803ππ⨯=.故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．考点典例三、圆锥的有关计算【例3】（2017贵州遵义第8题）已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（）A ．18πcm 2B ．27πcm 2C ．18cm 2D ．27cm 2【答案】A.考点：圆锥的计算．【点晴】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．【举一反三】（2017黑龙江齐齐哈尔第9题）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A ．120︒B ．180︒C ．240︒D ．300︒ 【答案】A【解析】试题分析：设底面圆的半径为r ，侧面展开扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n 度．由题意得S 底面面积=πr 2，l 底面周长=2πr ，S 扇形=3S 底面面积=3πr 2，l 扇形弧长=l 底面周长=2πr ．由S 扇形=12l 扇形弧长×R 得3πr 2=12×2πr ×R ， 故R=3r ． 由l 扇形弧长=180n R π 得：2πr=3180n r π⨯ ，解得n=120°． 故选A ．考点：1.圆锥的计算；2.几何体的展开图．考点典例四、求扇形的面积【例4】（2017湖南怀化第14题）如图，O ⊙的半径为2，点A ，B 在O ⊙上，90AOB =∠°，则阴影部分的面积为 ．【答案】π﹣2．考点：扇形面积的计算．【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．【举一反三】（2017新疆乌鲁木齐第14题）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 ．【答案】π﹣2 【解析】试题解析：如图，设AB 的中点我P ，连接OA ，OP ，AP ，△OAP 的面积是：412=4， 扇形OAP 的面积是：S 扇形=6π，AP 直线和AP 弧面积：S 弓形=6π﹣4，阴影面积：3×2S 弓形=π﹣2．故答案为：π﹣2．考点：扇形面积的计算．考点典例五、求圆锥侧面积【例5】（2017新疆乌鲁木齐第8题）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（）A．π B．2π C.4π D．5π【答案】B.【解析】试题解析：由三视图可知，原几何体为圆锥，∵2=，∴S侧=12•2πr•l=12×2π×22×2=2π．故选B．考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高。
圆锥的底面半径和圆锥的母线构成一个直角三角形，扇形的面积公式为：12 lR【举一反三】有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）【答案】60π.考点：1.圆锥的计算；2.勾股定理．考点典例六、求阴影部分的面积【例6】（2017浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB=10，CD=6，EF=8。
则图中阴影部分的面积是（ ）A. π225 B. π10 C. π424+ D. π524+【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG=90°，则==8，又∵EF=8，∴DG=EF ，∴DG EF =，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=12π×52=252π． 故选A ．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.【点睛】本题考查了扇形面积公式，求出S △BED =S △OEC 是解决本题的关键.【举一反三】（2017重庆A 卷第9题）如图，矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π- B ．324π- C ．28π- D ．328π- 【答案】B.【解析】试题解析：∵矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBF=45°，AD ∥BC ，∴∠AEB=∠CBE=45°，∴AB=AE=1，∵点E 是AD 的中点，∴AE=ED=1，∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EBF=1×2﹣12×1×1 =324π-．故选B ．考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算. 课时作业☆能力提升一．选择题1．（2017甘肃兰州第2题）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为( )A.1p +B.2p +C.1p -D.2p -【答案】D ．【解析】试题解析：连接AO ，DO ，∵ABCD 是正方形，∴∠AOD=90°，=圆内接正方形的边长为=14[4π﹣（2]=（π﹣2）cm 2．故选D ．考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．2. （2017湖南株洲第6题）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】A.【解析】3. （2017湖北咸宁第7题）如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠，则⋂BD 的长为（）A ．πB ．π23 C. π2 D ．π3 【答案】C ．试题分析：已知四边形ABCD 内接于⊙O ，根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A ，再由∠BOD=∠BCD 可得2∠A+∠A=180°，所以∠A=60°，即可得∠BOD=120°，所以BD 的长=1203180π⨯=2π；故选C ． 考点：弧长的计算；圆内接四边形的性质．4. （2017贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF=2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为（ ）A．60° B．67.5°C．75° D．54°【答案】A．【解析】试题解析：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=12∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠O BC+∠OCB=60°．故选A．5.（2016内蒙古巴彦淖尔第9题）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A 2πB 32πC ．23π-D 3π 【答案】A ．考点：正多边形和圆；扇形面积的计算二．填空题6. （2017山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交(,F G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若45EOF ∠= ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为 ．【答案】（+28π【解析】试题解析：如图，过F 作FG ⊥OF ，连接OG,OM,ON△OFH 是等腰直角三角形，∴FH=O Fsin45°=22，AB=2，BC=2OF=2 ∴矩形ABCD 面积=22∴S 空白=2S 扇形FOM+2S ΔAOG =290112+2113602π⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =+12π∴窗户的透光率=（+28π 考点：扇形的面积及概率7. （2017甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 ．（结果保留π）【答案】3π.考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．8. （2017广西贵港第17题）如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，,CD OA CD ⊥ 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE 交OB 于点E ，若4,120OA AOB =∠=，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】43π+ 【解析】试题解析：连接OD 、AD ， ∵点C 为OA 的中点，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，∴S 扇形AOD =260483603ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=221204120281(236036032πππ⨯⨯---⨯⨯=1648333πππ--+=43π+ 考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．9. （2017江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1和半圆O 2，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF=2（EF 与AB 在圆心O 1和O 2的同侧），则由AE ，EF ，FB ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ．6π．【解析】试题解析：连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，则四边形O 1O 2FE 是等腰梯形，过E 作EG ⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，∴四边形EGHF 是矩形，∴GH=EF=2，∴O 1G=12，∵O 1E=1，∴∴1112O GO E=；∴∠O 1EG=30°，∴∠AO 1E=30°，同理∠BO 2F=30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO2O1﹣2S 扇形AO1E ﹣S 梯形EFO2O1=3×1﹣2×2301360π⨯⨯=12（2+3=36π． 考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．10. （2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36π﹣108【解析】试题解析：如图，∵CD ⊥OA ，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD ， ∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 于点E ，则DE=12OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=2306360π⨯﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108考点：扇形面积的计算11.（2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，90ABm=︒，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=12×8×8=32，扇形ACB（阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π，则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．12.（2017郴州第14题）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为2cm（结果保留π）．【答案】15π．考点：圆锥的计算.13. （2017哈尔滨第18题）已知扇形的弧长为4p，半径为8，则此扇形的圆心角为. 【答案】90°【解析】试题分析：设扇形的圆心角为n°，则8180nπ⨯=4π，解得，n=90，故圆心角为90°.考点：弧长的计算．14.（2017黑龙江绥化第16题）一个扇形的半径为3cm，弧长为2cmπ，则此扇形的面积为2cm．（用含π的式子表示）【答案】3π.【解析】试题分析：根据题意得：S=12rl=12×2π×3=3π，则此扇形的面积为3πcm2.考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算．15.（2017黑龙江绥化第18题）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．【答案】1【解析】试题分析：由题意可得，正三角形的边心距是：2×sin30°=2×12=1，正四边形的边心距是：2×sin45°=2=正六边形的边心距是：2×sin60°=2∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1考点：正多边形和圆．三．计算题16. （2017郴州第23题）如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径，且3OA =.（1）求证：AB 平分OAD ∠；（2）若点E 是优弧AEB 上一点，且060AEB ∠=，求扇形OAB 的面积（计算结果保留π）【答案】(1)详见解析；（2）3π．【解析】试题分析：（1）连接OB ，由切线的性质得出OB ⊥BC ，证出AD ∥OB ，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB ，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案． 试题解析：（1）证明：连接OB ，如图所示：∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ∥OB ，∴∠DAB=∠OBA ，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∴∠DAB=∠OAB ，∴AB 平分∠OAD ；（2）解：∵点E 是优弧AEB 上一点，且∠AEB=60°，∴∠AOB=2∠AEB=120°，∴扇形OAB 的面积=21203360π⨯=3π．考点：圆的综合题.17. （2017湖北孝感第23题） 如图，O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB ，BD ，AD 围成的曲边三角形的面积是 ；（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）252524π+；（2）证明见解析；（3）354．【解析】试题分析：（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=12∠ACB=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案；（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即EF ACAF BC=，求得EF的长即可得．（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴EF ACAF BC=，即658EF=，∴EF=154，∴DE=DF+EF=154+5=354．考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.。
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
中考数学考点总动员系列专题41与圆有关的计算(含解析)(new)
【解析】
试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形,过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，
∴四边形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O1G= ，
∵O1E=1，
∴GE= ,
∴ ;
∴∠O1EG=30°，
∴∠AO1E=30°，
同理∠BO2F=30°，
∴阴影部分的面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2× = （2+3)× =3﹣ ﹣ ．
A． B． C。 D．
【答案】C．
试题分析：已知四边形ABCD内接于⊙O,根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A,再由∠BOD=∠BCD可得2∠A+∠A=180°，所以∠A=60°，即可得∠BOD=120°，所以 的长= =2π；故选C．
考点:弧长的计算;圆内接四边形的性质．
∴△ADO为等边三角形,
∴S扇形AOD= ,
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣(S扇形AOD﹣S△COD）
=
=
= ．
考点:扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
9。(2017江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E 、点F,且EF=2(EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由 ，EF, ，AB所围成图形（图中阴影部分)的面积等于．
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°,则DG= =8，
又∵EF=8，
九年级数学中考题型解析 与圆有关的计算(讲解部分)
是☉Ｏ 的一条弦，Ｄ 为ＢＣ的中点， 作 ＤＥ ʅ ＡＣ， 交 ＡＢ 的延长线于
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点 Ｆ，连接 ＤＡ． 和 π）
（１） 求证：ＥＦ 为半圆 Ｏ 的切线；
ȵ Ｄ 为ＢＣ的中点，ʑ øＣＡＤ ＝ øＢＡＤ， ȵ ＯＡ ＝ ＯＤ，ʑ øＢＡＤ ＝ øＡＤＯ，
４９ ㊀
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我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的， 随着学习
乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系． 这几个定理之间有着 密切的联系： 关系； １． 从定理 的 形 式 上 看， 都 涉 及 两 条 相 交 直 线 与 圆 的 位 置
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解析㊀ （１） 证明：如ＤＦ ＝ ６ ３ ， 求阴影区域的面积． （ 结果保留根号
(
ʑ øＣＡＤ ＝ øＡＤＯ． ȵ ＤＥʅＡＣ，ʑ øＥ ＝ ９０ʎ ， ʑ øＣＡＤ ＋øＥＤＡ ＝ ９０ʎ ，
（２ 分）
第五章㊀ 圆 ʑ øＡＤＯ ＋øＥＤＡ ＝ ９０ʎ ， 即 ＯＤʅＥＦ， 又ȵ ＯＤ 为半圆 Ｏ 的半径， ʑ ＥＦ 为半圆 Ｏ 的切线． （３ 分） （４ 分） ㊀ ㊀ ʑ øＰＴＯ ＝ ９０ʎ ， ʑ øＰＴＡ ＋øＯＴＡ ＝ ９０ʎ ， ȵ ＡＢ 是☉Ｏ 的直径， ʑ øＡＴＢ ＝ ９０ʎ ， ʑ øＴＡＢ ＋øＢ ＝ ９０ʎ ， ȵ ＯＴ ＝ ＯＡ， ʑ әＰＴＡʐәＰＢＴ， ＰＴ ＰＡ ＝ ， ＰＢ ＰＴ ʑ ＰＴ２ ＝ ＰＡ㊃ＰＢ． ʑ
2024年中考数学高频考点突破——圆的综合题(含解析)
2024年中考数学高频考点突破——圆的综合题1．如图，线段AB 为的直径，点C 、E 在上，弧BC=弧CE ，连接BE 、CE ，过点C 作CM ∥BE 交AB 的延长线于点M.（1）求证：直线CM 是圆O 的切线；（2）若sin ∠ABE= ，BM=4，求圆O 的半径. 2．如图，在△ABC 的边BC 上取一点O ，以O 为圆心，OC 为半径画⊙O ，⊙O 与边AB 相切于点D ，AC ＝AD ，连接OA 交⊙O 于点E ，连接CE ，并延长交线段AB 于点F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝10，tanB ，求⊙O 的半径； （3）若F 是AB 的中点，试探究BD ＋CE 与AF 的数量关系并说明理由．3．如图，已知圆 的直径 与弦 交于点 ，连接 ， 且 ． （1）求证： （2）点 为弧 上一点，连接 交 于点 ，交 于点 ，若，求证： 4．如图，在菱形 中， 是对角线 上一点（ ）， ，垂足为 ，以 为半径的 分别交 于点 ，交 的延长线于点 ， 与 交于点.3543=O AB CD E AC AD AC AD =AB CD⊥F AC BF AC W CD G WG CG =»»BCCF =ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥E OE O e DC H EO F EF DC G（1）求证： 是 的切线；（2）若 是 的中点， ， .①求 的长；②求 的长.5．如图，已知以为斜边的内接于，的平分线交于点D ，过点D 作交的延长线于点E ，连接，．（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若，的长．6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O 为格点，⊙经过格点A ．（1）⊙的周长等于 ；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B ，C 的位置是如何找到的（不要求证明） ▲ ．BC O e G OF 2OG =1DG =»HEAD BC Rt ABC V O ☉BAC ∠O ☉DE BC P AB DB DC ED O ☉22BC ED FC =⋅2tan ABC ∠=AD =BC O O O ABC V7．已知：如图，以等边△ABC 的边BC 为直径作⊙O ，分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC 交AC 于点F.（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若等边△ABC 的边长为8，求由 、DF 、EF 围成的阴影部分面积 8．如图， 是 的直径，C 为 上一点，连接 ， 于点 ，D 是直径 延长线上一点，且 .（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，，求 的长.9．如图， 是 的弦，半径 ，交 于点 为 延长线上一点， 与 相切于点与 交于点 ．（1）求证： ；（2）连接 ，若 ，求 的长． 10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的动点，P 是优弧ABC 的中点.»DEAB O e O e AC CE AB ⊥E AB BCE BCD ∠=∠CD O e 8AD =12BE CE =CD AB O e OE AB ⊥AB G P ，AB PC O e C CE ，AB F PC PF =OB BC ，3//tan 4OB PC BC P ==，FB（1）如图①，求证：OP ∥BC ；（2）如图②，PC 交AB 于点D ，当△ODC 是等腰三角形时，求∠PAO 的度数.11．已知， 内接于圆O ，过点C 作 的垂线，垂足为点E ，交圆O 于点D ．（1）如图1，连接 ，求证： ；（2）如图2，过点O 作 的垂线，垂足为G ，交 于F ，若 ，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点M ，过点B 作 的垂线交 于点N ，垂足为H ，连接 ，若 ， ，求 的长．12．如图，在 中，点A 、B 、C 在 上，射线 交 于点H ，弧 弧 ．（1）求证 ；（2）如图，延长 交 于点D ，E 为 上一点，且弧 弧 ，点F 在ABC V AB OB ACD CBO ∠=∠AB BC FG AG =AB CD =DF AB DF CD MN 2NMF NBA ∠=∠3FO =MN O e O e AO BC AB =AC BH CH =AH O e O e CE =CD AB上， 于点G ， 于点K ，若 ，求证： ；（3）在（2）的条件下，连接 并延长交 于点W ，若 ， ， ，求 的长．13．如图，在 中，直径 与弦 互相垂直，垂足为H ，点E 是弧 上一点，连接 ，过点E 作直线 交 的延长线于点M ，交 的延长线于点G ，连接 交 于点F ，且 .（1）求证： 是 的切线；（2）若 ，求证： ；（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值. 14．已知AB 、CD 为 的两条弦， ．（1）如图1，求证：弧 弧BD ；（2）如图2，连接AC 、BC 、OA 、BD ，弦BC 与半径OA 相交于点G ，延长AO 交CD 于点E ，连接BE ，使 ，若 ，求证：四边形ABEC 为菱形；（3）在（2）的条件下，CH 与 相切于点C ，连接CO 并延长交BE 于点F ，延长BE 交CH 于点H ， ，，求CH 长． 15．如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，且，过点D 的直线交FG AE ⊥CK AE ⊥FG BC =12CK FG =CO FG 2AB CE =FC GC =33WG =OW O e AB CD BD AC EM AB CD AE CD EG FG =EG O e EM AC P AF FG EF CF ⋅=⋅4AH =1tan 3G =FH EMO e //AB CD AC =BE BD =OA BC ⊥O e 11OF =24sin 25BDC ∠=e e »»BDCD =DE AC ⊥AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD 、OE 交于点G ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若，O 的半径为2，求阴影部分的面积：（3）连接BE ，在（2）的条件下，求BE 的长．16．如图，⊙O 是的外接圆，圆心O 在AC 上．过点B 作直线交AC 的延长线于点D ，使得．过点A 作于点E ，交⊙O 于点F ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若，，则AE 的长为 ．17．如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点.（1）求证：；（2）如图2，过点C 作的垂线，分别与，，相交于点F 、G 、H ，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长.e 23DG AG =e ABC V CBD CAB ∠=∠AE BD ⊥4AC =23sinD =1AB O e C »AB D »BCBD CD BC AD BC AD E C CBD CBA ∠+∠=∠CD AD AB O e AF BD =BF BF BC =CEF V FG18．已知：是的直径，弦，垂足为E ，点H 是上一点，连接并延长交于点G ，交于点F ，连接、、．（1）如图1．求证：；（2）如图2，过A 作交于点M ，连接，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点N ，连接，若，，，求的面积．19．如图，是⊙O 的内接三角形，于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：；（2）若，，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．20．如图，已知的半径为1，P 是平面内一点.（1）如图①，若，过点P 作的两条切线、，切点分别为E 、F ，连接.则 ， .AB O e CD AB ⊥AE DH AC O e AF AD CF AFD ACF CDF ∠=∠+∠AM AC ⊥O e BD AM BD =CH AD MN AM DF P 73AH =8CD =AMN V ABC V AD BC ⊥AEB AFD ∠=∠10AB =5BF =O e 2OP =O e PE PF EF EPO ∠=︒EF =（2）若点M 、N 是上两点，且存在，则规定点P 为的“直角点”.①如图②，已知平面内有一点D ，，试说明点D 是的“直角点”.②如图③，直线分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B ，若线段上所有点都是半径为r 的圆的“直角点”，求r 的最小值与该圆心的坐标.21．M （﹣1，﹣ ），N （1，﹣ ）是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点．（1）在点 ， ， ，A 4（2，2）中，线段MN 的可视点为 ； （2）若点B 是直线y ＝x+ 上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； （3）直线y ＝x+b （b≠0）与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围．22．已知钝角三角形ABC 内接于00，E 、D 分别为AC 、BC 的中点，连接DE．O e 90MPN ∠=︒Oe OD =O e 223y x =-AB 121211(0,2A 21(,0)2A 3A 12（1）如图1，当点A 、D 、O 在同一条直线上时，求证：DE= AC ．（2）如图2，当A 、D 、O 不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当AB+AC=2AG 时．①求证：△DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交⊙O 于点H ，连接AH 求证：AH ∥FG ．23．如图[问题探究]（1）如图1， ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段和AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF.则CE+EF 的最小值为 ；（2）如图2，⊙O 为 ABC 的外接圆，AB 是直径，AC ＝BC ，点D 是直径AB 左侧的圆上一点，连接DA ，DB ，DC.将 ACD 绕点C 逆时针旋转得到 BCE.若CD ＝4，求四边形ADBC 的面积； （3）如图3，⊙O 为等边 ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧 上运动（不与点A ，B 重合），连接DA.DB ，DC.设线段DC 的长为x.四边形ADBC 的面积为S.①求S 与x 的函数关系式；②若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置. DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化.求所有t 值中的最大值，并求此时四边形ADBC 的面积S.24．已知，为的直径，弦与交于点E ，点A 为弧的中点．12V V V V V »AB V AB O e CD AB CD（1）如图1，求证：；（2）如图2，点F 为弧上一点，连接，，，过点C 作交于点G ，求证：．（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点L ，连接，若，，求线段的长．25．如图13-1至图13-5，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c ．阅读理解：AB CD ⊥BC BF BD 2FBA DBA ∠=∠CG AB P BF 12CG AB =DF OE LG 4FG=tan GLB ∠=LF①如图13-1，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置，当AB=c 时，⊙O 恰好自转1周．②如图13-2，∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2 = n °，⊙O 在点B 处自转周．（1）实践应用：在阅读理解的①中，若AB = 2c ，则⊙O 自转 周；若AB=1，则⊙O 自转 周．在阅读理解的②中，若∠ABC = 120°，则⊙O 在点B 处自转 周；若∠ABC = 60°，则⊙O 在点B 处自转 周．（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c ．⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A -B -C 滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转 周． （3）拓展联想：如图13-4，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由．（4）如图13-5，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．360n 12答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE ，OC∵弧BC=弧CE∴OC ⊥BE∵CM ∥BE∴OC ⊥CM∴直线CM 是圆O 的切线（2）解：设半径为r∵CM ∥BE∴∠CMO=∠ABE在Rt △OCM 中sin ∠CMO==sin ∠ABE= ∴圆O 的半径是6【解析】【分析】（1）连接OE ，OC ，根据垂径定理可得OC ⊥BE ，利用平行线的性质可得OC ⊥CM ，即证直线CM 是圆O 的切线 .（2）设半径为r ，根据两直线平行同位角相等可得∠CMO=∠ABE ，由sin ∠CMO= =sin ∠ABE= ，即可求出r 值.2．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵⊙O 与边AB 相切于点D ，OC OM 35r 3r 6r 45∴==+OC OM35∴OD ⊥AB ，即∠ADO ＝90°，∵AO ＝AO ，AC ＝AD ，OC ＝OD ，∴△ACO ≌△ADO （SSS ），∴∠ADO ＝∠ACO ＝90°，又∵OC 是半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵tanB ， ∴设AC ＝4x ，BC ＝3x ，∵ ，∴ ，∴x ＝2，∴BC ＝6，∵AC ＝AD ＝8，AB ＝10，∴BD ＝2，∵ ，∴ ，∴OC ，故⊙O 的半径为 ；（3）解：如图，连接OD ，DE ，由（1）可知：△ACO ≌△ADO ，∴∠ACO ＝∠ADO ＝90°，∠AOC ＝∠AOD ，又∵CO ＝DO ，OE ＝OE ，∴△COE ≌△DOE （SAS ），∴∠OCE ＝∠ODE，43AC BC ＝＝222=AC BC AB +22169=100x x +222=OB OD BD +()2264OC OC -=+83＝83∵OC ＝OE ＝OD ，∴∠OCE ＝∠OEC ＝∠OED ＝∠ODE ，∴∠DEF ＝180°﹣∠OEC ﹣∠OED ＝180°﹣2∠OCE ，∵点F 是AB 中点，∠ACB ＝90°，∴CF ＝BF ＝AF ，∴∠FCB ＝∠FBC ，∴∠DFE ＝180°﹣∠BCF ﹣∠CBF ＝180°﹣2∠OCE ，∴∠DEF ＝∠DFE ，∴DE ＝DF ＝CE ，∴AF ＝BF ＝DF ＋BD ＝CE ＋BD ．【解析】【分析】（1）连接OD ，由切线的性质可得∠ADO =90°，由“SSS ”可证△ACO ≌△ADO ，可得∠ADO =∠ACO =90°，可得结论；（2）由锐角三角函数可设AC =4x ，BC =3x ，由勾股定理可求BC =6，再由勾股定理可求解；（3）连接OD ，DE ，由“SAS ”可知△COE ≌△DOE ，可得∠OCE =∠OED ，由三角形内角和定理可得∠DEF =180°-∠OEC -∠OED =180°-2∠OCE ，∠DFE =180°-∠BCF -∠CBF =180°-2∠OCE ，可得∠DEF =∠DFE ，可证DE =DF =CE ，可得结论．3．【答案】（1）证明：如图：连接OC 、OD∵在△AOC 和△AOD 中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC ≌△AOD∴∠CAO=∠DAO又∵AC=AD∴（2）证明：如图：连接OC 、BCAB CD∵AB 是直径∴∠ACB=90°∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC ⊥BE∴【解析】【分析】（1）连接OC 、OD ，先证明△AOC ≌△AOD,得到∠CAO=∠DAO,再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；（2）连接OC 、BC ，先根据圆周角定理和直角三角形的性质求得:∠ABC=∠ACE,再根据直角三角形的性质证得OC ⊥BF,然后证得∠EOC=∠BOC 即可完成证明．4．【答案】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，AB CD⊥WG CG=»»BCCF =O OM BC ⊥M∵ 是菱形 的对角线，∴ ，∵ ， ，∴∠OEB=∠OMB=90︒，∵OB=OB ，∴△OEB ≌△OMB （AAS ）∴ ，∴ 是 的切线（2）解：①如图，∵ 是 的中点， ，∴ .∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵，BD ABCD ABD CBD ∠=∠OM BC ⊥OE AB ⊥OE OM =BC O e G OF OF OH =12OG OH =//AB CD OE AB ⊥OF CD ⊥90OGH ∠=︒1sin 2GHO ∠=30GHO ∠=︒60GOH ∠=︒120HOE ∠=︒2OG =∴ ，∴由弧长公式，得到 的长： .②方法一：如图，过点 作 于点 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵DG//NE ，DN//GE ，∠GEN=90︒∴四边形 是矩形，∴ ，BN=3，OE=4，DN=6，在菱形 中，AD=AB ，在 中，设 ，∴ ，∴ .方法二：如图，过 作 于点 ，∵ ， ， ，∴， ， ，，4OH =»HE 120481803l ππ⨯⨯==D DN AB ⊥N //AB CD ODG OBE ~V V 122DG OG OG BE OE OG ===22BE DG ==NEGD 1NE DG ==ABCD Rt ADN V AD AB x ==()22236x x =-+152x =A AN BD ⊥N 1DG =2OG =4OE OH ==OD =OB =DN =DOG DAN ~V V∴【解析】【分析】（1）过点O 作OM ⊥BC 于点M ，利用菱形的性质可证得∠ABD=∠CBD ，再利用AAS 证明OEB ≌△OMB ，利用全等三角形的对应角相等，可证得OE=OM ，然后利用切线的判定定理可证得结论.（2）①利用三角形的中位线定理可得到PG 与OH 之间的数量关系，再利用解直角三角形求出∠GHO 的度数，利用直角三角形的性质求出OH 的长，然后利用弧长公式求出弧HE 的长；② 方法一：如图，过点 作 于点 ，易证△ODG ∽△OBE ，利用相似三角形的额对应边成比例，可得两三角形的相似比，可推出BE=2DG ；再证明四边形NEGD 是矩形，利用矩形的性质求出相关线段的长，设AD=AB=x ，利用勾股定理建立关于x 的方程，解方程求出x 的值；方法二： 如图，过 作 于点 ，分别求出OD ，OB ，DN 的长；再证明△DOG ∽△DAN ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD 的长.5．【答案】（1）证明：如图①，连接．∵为的直径，∴．∵平分，∴．∴．∵，∴．∴为的切线．（2）证明：由（1）可得为等腰直角三角形．DO DG AD DN∴=，DO DN AD DG⋅∴=，152AD =D DN AB ⊥N A AN BD ⊥N OD BC O e 90BAC ∠=︒AD BAC ∠»»BDCD =OD BC ⊥DE BC P OD ED ⊥ED O e BCD V∵，∴，．∴．∴即．又，∴．（3）解：如图②，过点D 作交的延长线于点G ．∴，．又，∴∵，，∴．∴，．∴为等腰直角三角形，∴．∵，∴设，则．∴，．即，．∴．【解析】【分析】（1）先证明，再结合可得，即可得到为的切线；DE BC P E ABC ADC ∠=∠=∠45BDE DBC DCB ∠=∠=∠=︒BED FDC V V∽BD FC DE CD=2BD DE FC =⋅BC =22BC ED FC =⋅DG AD ⊥AC 90CDG ADC ∠+∠=︒45DGC DAG ∠=∠=︒90ADB ADC ∠+∠=︒ADB GDC∠=∠DB DC =45BAD DGC ∠=∠=︒ABD GCD V V ≌AB CG =AD DG =ADG V 3AB AC AG +===2tan ABC ∠=AB x =2AC x =33x =1x =1AB =2AC =BC =OD BC ⊥DE BC P OD ED ⊥ED O e（2）先证明可得，即，再结合，即可得到；（3）过点D 作交的延长线于点G ，先证明为等腰直角三角形，可得，再结合，设，则，列出方程，求出x 的值，即可得到。
2024年九年级中考数学一轮复习+课件：与圆有关的计算
∴∠OBD＝∠ACD，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ODB＝∠ACD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AC∥OD.
∵CD＝2 ，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴AD＝＝ ＝2，
°··
∴DE是☉O的切线.
∴
＝
＝
＝ π.
∴OD＝AD＝2，
∴∠ADE＝90°.
∴∠AOF＝60°.
∵AD平分∠BAC，
∵OD∥AB，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°.
在Rt△ADE中，AD＝10，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴cos
∠DAE＝ ＝ ，
∴S阴影＝S扇形OAF＝
×
＝
.
3
中考检测
1.【中考新形式·无图题】(2023·温州)若扇形的圆心角为40°，半径为
AC＝ ＋ ＝2 ，
BC＝ ＋ ＝4 .
(2)由(1)得AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝ ＋ ＝2 ，
·( )
∴S阴影＝S△ABC－S扇形AEF＝ AB·AC－
＝20－5π.
7.(2023·临沂)如图，☉O是△ABC的外接圆，BD是☉O的直径，AB＝
[ 变 式 2](2023·齐 齐 哈 尔 ) 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ABC ＝ 90°.AD 平 分
∠BAC 交 BC 于 点 D. 点 E 是 斜 边 AC 上 一 点 ， 以 AE 为 直 径 的 ☉O 经 过 点 D ，
中考数学必考点,初三数学第一轮复习资料与圆有关的计算PPT课件与练习题及答案
解：(1) AB 22 62 2 10， AC 62 22 2 10， BC 42 82 4 5；
(2)由(1)，得AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝ 22 42 2 5 ，
∴S阴＝S△ABC－S扇形AEF＝12
AB·AC－ 1 4
π·AD2＝20－5π.
13．(2019·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O， 点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°. (1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
(1)证明：连接OA，则∠COA＝2∠B， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠D＝30°， ∴∠COA＝60°， ∴∠OAD＝180°－60°－30°＝90°， ∴OA⊥AD， 即AD是⊙O的切线；
(2)∵BC＝4， ∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2 3，
∴S△OAD＝
1 2
OA·AD＝
1 2
×2×2
3＝2
3，
∵∠COA＝60°，
∴S扇形COA
60π 22 360
2π 3
2π ∴S阴影 SVOAD S扇形COA 2 3 .
三、中考实战
3－
2 3
π.
B组 17(2019·广东)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长
为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点 上，以点A为圆心的 E»F与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F. (1)求△ABC三边的长； (2)求图中由线段EB、BC、CF
及E»F所围成的阴影部分的面积．
S阴影 =S梯形DOBC S扇形BOD
2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）
2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算⼀、选择题1. 将圆⼼⾓为90°，⾯积为4π cm 2的扇形围成⼀个圆锥的侧⾯，则此圆锥的底⾯圆的半径为( )A . 1 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 4 cm2. 如图在等边三⾓形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°3. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD 于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π) ( )A .8-πB .16-2πC .8-2πD .8-π4. （2020·聊城）如图，有⼀块半径为1m ，圆⼼⾓为90°的扇形铁⽪，要把它做成⼀个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的⾼为（）A ．41mB ．43mC ．415m D ．23m5. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π6. 2019·唐⼭乐亭期末如图，圆锥的底⾯半径OB ＝6 cm ，⾼OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧⾯积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 27. （2020?宁夏）如图，等腰直⾓三⾓形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，以点C为圆⼼画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的⾯积是（）A ．1﹣B ．C ．2﹣D ．1+8. 如图所⽰，矩形纸⽚ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正⽅形纸⽚ABFE 和矩形纸⽚EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最⼤的圆，恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm⼆、填空题9. 在半径为5的圆形纸⽚上裁出⼀个边长最⼤的正⽅形纸⽚，则这个正⽅形纸⽚的边长应为 .10. 若圆锥的侧⾯积是15π，母线长是5，则该圆锥底⾯圆的半径是________．11.(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆⼼⾓60AOB ?∠=，则阴影部分⾯积为________．12. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所⽰的恒星图形，那么这个恒星图形的⾯积等于 .13. （2020·宿迁）⽤半径为4，圆⼼⾓为90°的扇形纸⽚围成⼀个圆锥的侧⾯，则这个圆锥的底⾯半径为．14. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的⾯积是________．15. (2019?⼗堰)如图，AB 为半圆的直径，且6AB =，将半圆绕点A 顺时针旋转60?，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的⾯积为__________．16. （2020·宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为边AD 上⼀个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ．当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积为．三、解答题17. 如图，四边形ABCD 是正⽅形，以边AB 为直径作☉O ，点E 在BC 边上，连接AE 交☉O 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G . (1)求证:△ABE ≌△BCG. (2)若∠AEB=55°，OA=3，求的长.(结果保留π)18. 当汽车在⾬天⾏驶时，司机为了看清楚道路，要启动前⽅挡风玻璃上的⾬刷．如图是某汽车的⼀个⾬刷的转动⽰意图，⾬刷杆AB 与⾬刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，⾬刷CD 扫过的⾯积是图中阴影部分的⾯积，现量得CD ＝90 cm ，∠DBA ＝20°，AC ＝115 cm ，DA ＝35 cm ，试从以上信息中选择所需要的数据，求出⾬刷扫过的⾯积．QPDCBA19. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的⼀点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂⾜为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的⾯积．20. 如图，A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，连接AC ，CE ，EB ，BD ，DA ，得到⼀个五⾓星图形和五边形MNFGH. (1)计算∠CAD 的度数； (2)连接AE ，求证：AE ＝ME.21. 如图所⽰，圆锥的底⾯圆的半径为10 cm ，⾼为10 15 cm.(1)求圆锥的全⾯积；(2)若⼀只⼩⾍从底⾯上⼀点A 出发，沿圆锥侧⾯绕⾏到母线SA 上的点M 处，且SM ＝3AM ，求它所⾛的最短路程．22. (2019?辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若23CE AE ==，求阴影部分的⾯积．2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算-答案⼀、选择题1. 【答案】 A 【解析】设扇形的半径为R ，根据题意得90·π·R 2360＝4π，解得R ＝4，设圆锥的底⾯圆的半径为r ，则2πr ＝90·π·4180，解得r ＝1，即所围成的圆锥的底⾯圆的半径为1 cm.2. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n 180π·a ＝a ，解得n ＝180π.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S △ABD =·AD ·AB=8，S 扇形ABE ==2π，∴S 阴影=S △ABD -S 扇形ABE =8-2π.故选C .4. 【答案】C 【解析】先利⽤弧长公式求得圆锥的底⾯半径，再利⽤勾股定理求圆锥的⾼．设圆锥形容器底⾯圆的半径为r ，则有2πr ＝180190?π，解得r ＝41，则圆锥的⾼为22)41(1-＝415(m)．5. 【答案】C [解析] 在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD ＝AB ＝4，∠BAD ＝90°，∠ABE ＝45°，∴S △ABD ＝12AD·AB ＝8，S 扇形BAE ＝45·π·42360＝2π，∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形BAE ＝8－2π. 故选C.6. 【答案】B7. 【答案】A8. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·DE.∵裁出的扇形和圆恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.⼆、填空题9. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正⽅形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正⽅形的边长为a ，由垂径定理及正⽅形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.10. 【答案】3 [解析] 设该圆锥底⾯圆的半径是r ，则πr×5＝15π，解得r ＝3.11. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形⾯积的计算，解题的关键是熟记扇形⾯积的计算公式．阴影部分⾯积为26066360ππ?=，故答案为：6π．12. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正⽅形的边长为1+1=2，∴恒星的⾯积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.13. 【答案】1【解析】解法⼀：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意得2πr ＝904180π?，解得r ＝1，故答案为1．解法⼆：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意904360r ? =?，解得r ＝1，故答案为1．14. 【答案】3π【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的⾯积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.15. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的⾯积为：22260π6π(62)π(62)6π36022÷?÷+-=，故答案为：6π．16. 33π．【解析】如答图，图中阴影部分的⾯积即为点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积．∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠Q ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ＝∠ODB ＝∠OBQ ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ ≌△DOC ．S 阴影部分＝S 四边形ABQD －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △BOQ －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S△COD －S 扇形ABQ＝S矩形ABCD－S扇形ABQ＝1×3－2 1201360π?＝33π-．故答案为33π-．三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正⽅形，AB为☉O的直径，∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，∴∠EBF=∠BAF，在△ABE与△BCG中，∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，∴∠BAE=90°-55°=35°，∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3，∴的长==.18. 【答案】解：由题意可知△ACD≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD处，使阴影部分⾯积成为⼀部分环形⾯积，可通过两扇形⾯积之差求得，即⾬刷CD 扫过的⾯积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：⾬刷扫过的⾯积为3000π cm2.19. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD. ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD. ⼜∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切． (2)连接OE. ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵. ⼜∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S ⼸形AE ＝S ⼸形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.⼜∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三⾓形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1. 由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵，∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°，∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.21. 【答案】解：(1)SA ＝102＋（1015）2＝40(cm)， S 全＝S 底＋S 侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2)．故圆锥的全⾯积是500π cm2.(2)如图，设圆锥的侧⾯展开图为扇形SAA′，点M 对应扇形上的点M′，圆锥侧⾯展开图(扇形)的圆⼼⾓为n°.由题意，得SM′＝SM ＝34SA ＝34×40＝30(cm)．⼜∵S 侧＝10π×40＝n360π×402，∴n ＝90，∴∠ASM′＝90°.由勾股定理，得AM′＝SA2＋SM′2＝402＋302＝50(cm)．即它所⾛的最短路程是50 cm.22. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE 于F ，∴90AFO ∠=?，∴90EAO AOF ∠+∠=?，∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠，∵12EDA AOE ∠=∠，∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=?，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=?，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线． (2)∵23CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=?，∴30EAC ∠=?，60EAO ∠=?，∴OAE △是等边三⾓形，∴OA AE =，60EOA ∠=?，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =?∠==，∴11322AOE S AE OF ===△∴阴影部分的⾯积=2π-。
2020年九年级数学中考专题复习《和圆有关的计算》 课件 (共19张PPT)
扇形面积公式：S扇形
=
1 2
lR
扇形面积公式：S扇形
=
n R2
360
知识梳理，融会贯通
圆 弧长
C
圆锥的侧面积和全面积
扇形面积
A
n°
a
h
r
O
B
r
O
圆锥的底面的周长2πr = 侧面展开扇形的弧长l.
S扇形
1 2
l
a
1 2
2
r
a
r
a
圆锥的侧面积：S侧 = ra
圆锥的全面积：S全 =S侧 +S底 = ra+ r2
4 3
.
BC=2，EC 1. 已知边长
A
OE tan 30 EC= 3 1 3 .
3
3
边心距
OC 2 3 . 3
S圆 = OC2
23 3
2
4 3
.
半径
3
3
面积
23 3
B
1
OO
60° R
30°
EE
CC
图1-1
典例解析，能力提升
变式练习 如图1-2,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口
图3-1
S阴影
SABC
S扇形EAF
18 9 .
2
求不规则图形面积的方法----和差法
典例解析，能力提升
例4 如图4-1,菱形ABCD的边长为2cm,∠A＝60° ,BD是以点A为圆心, AB长为半径
的弧, CD是以点B为圆心,BC长为半径的弧,则阴影部分的面积为_____3___ cm2 .
S阴影 S扇形OAB SOAB
120 22 1
备战2024年中考数学复习之必考点题型全归纳(全国通用)：与圆有关的计算(解析版)
专题31与圆有关的计算【专题目录】技巧1：圆与相似三角形的综合技巧2：用三角函数解与圆有关问题技巧3：圆与学科内知识的综合应用【题型】一、求多边形中心角【题型】二、已知正多边形中心角求边数【题型】三、正多边形与圆【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径【题型】五、扇形面积的相关计算【题型】六、圆锥侧面积的相关计算【考纲要求】1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．3.会求图中阴影部分的面积.【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝180n r.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝n πr 2360或S ＝12lr .【考点总结】二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h .如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.【考点总结】三、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．【技巧归纳】技巧1：圆与相似三角形的综合1.【中考·衢州】如图，已知△ABC ，AB ＝BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E.若CD ＝5，CE ＝4，则⊙O 的半径是()A ．3B ．4C .256D .258(第1题)(第2题)2．【中考·南通】如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，A B ＝6，AD ＝5，则AE 的长为()A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.23．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝AC ，AD 交BC 于点E ，AE ＝3，ED ＝4，则AB 的长为()A ．3B ．23C .21D ．35(第3题)(第4题)4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．(第5题)(第6题)6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.(1)求证：直线DM是⊙O的切线；(2)求证：DE2＝DF·DA.(第7题)8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB PC＝12.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第8题)答案1．D 2.B 3.C 4.4 5.2 6.①④7．证明：(1)如图，连接OD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD.∴BD︵＝CD︵.∴OD⊥BC.又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，∴∠BDM＝∠DBC.∴BC∥DM.∴OD⊥DM.∴直线DM是⊙O的切线．(2)如图，连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BE D＝∠EBD.∴DB＝D E.∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.∴DF DB＝DB DA，即DB2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.(第7题)8．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.(第8题)(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC.∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.∴PC PB＝PA PC.∴PC2＝PB·PA.∵PB PC＝12，∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝12AD＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝32＋OC.∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴OC AE＝PO PA.∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.∴OC32＋OC ＝PB＋32PBPB＋3PB＝58，∴OC＝52，∴AB＝5.∵△PBC∽△PCA，∴PB PC＝BC AC＝12，∴AC＝2BC.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝5，∴AC＝2 5.∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.技巧2：用三角函数解与圆有关问题一、选择题1．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为3，AC ＝4，则sin B ＝()A .13B .34C .45D .23(第1题)(第2题)2．如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70°，∠C ＝50°，那么cos ∠AEB 的值为()A .3B .33C .12D .323．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin B ＝45.⊙O 过B ，C 两点，且⊙O 的半径r ＝10，则OA 的长为(A ．3或5B ．5C ．4或5D ．4二、填空题4．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝15，AC ＝9，则tan ∠ADC ＝________.(第4题)(第5题)5．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF 且EF ∥MN ，则cos E ＝________.6．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB 上的一点(不与A ，B 重合)，则cos C 的值为________．(第6题)(第7题)7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，⊙P 分别与OA ，OC ，BC 相切于点E ，D ，B ，与AB 交于点F ，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan ∠FDE ＝_______.三、解答题8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，tan B ＝12，半径为2的⊙C 分别交A C ，BC 于点D ，E ，得到DE ︵.(1)求证：AB 为⊙C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第8题)9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E.(1)求证：DC ＝DE ；(2)若tan ∠CAB ＝12，AB ＝3，求BD 的长．(第9题)答案一、1.D 2.C 3.A 二、4.34 5.126.457.12三、(第8题)8．(1)证明：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝12，∴BC ＝2AC ＝2 5.∴AB＝AC 2＋BC 2＝（5）2＋（25）2＝5，∴CF ＝AC·BC AB ＝5×255＝2.∴AB 为⊙C 的切线．(2)解：S 阴影＝S △ABC －S 扇形CDE ＝12AC·BC －n πr 2360＝12×5×25－90π×22360＝5－π.9．(1)证明：连接OC ，如图，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACO ＋∠DCE ＝90°.又∵ED ⊥AD ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EAD ＋∠E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠EAD ，故∠DCE ＝∠E ，∴DC ＝DE.(2)解：设BD ＝x ，则AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋BD ＝1.5＋x.在Rt △EAD 中，∵tan ∠CAB ＝12，∴ED ＝12AD ＝12(3＋x)．由(1)知，DC ＝DE ＝12(3＋x)．在Rt △OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则1.52＋12（3＋x ）2＝(1.5＋x)2，解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝1，故BD ＝1.(第9题)技巧3：圆与学科内知识的综合应用【类型】一：圆与三角函数的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N.(1)求证：∠ADC ＝∠ABD ；(2)求证：AD 2＝AM·AB ；(3)若AM ＝185，sin ∠ABD ＝35，求线段BN 的长．(第1题)【类型】二：圆与相似的综合2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠AC B＝90°，点P在AB︵上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B 重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.(1)当BA平分∠PBC时，求BECD的值；(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．(第2题)【类型】三：圆与二次函数的综合3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△B DF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．(第3题)答案1．(1)证明：如图，连接OD.(第1题)∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°.又∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD.∴AMAD＝ADAB.∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝35，∠ABD＝∠1，∴sin∠1＝35.∵AM＝185，∴AD＝6.∴AB＝10.∴BD＝AB2－AD2＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°.∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°.∴∠DBN＝∠1.∴sin∠DBN＝3 5 .∴DN＝245.∴BN＝BD2－DN2＝325.2．解：(1)连接PA.∵BA平分∠PBC，∴∠PBA＝∠CBA＝∠ACP.∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCD＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∴∠BCD＝∠CBA＝∠PBA.∴A B∥CD.∴∠PBA＝∠D.∴∠BCD＝∠D.∴BC＝BD.又∵∠PCD＝90°，易证得PB＝BC＝BD.又∵AB∥CD，∴PE＝EC.∴BE是△PCD的中位线．∴BECD＝1 2 .(2)∵∠PCD＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC.∴PCCD＝ACCB＝12.∴S△PCD＝12PC·CD＝12PC·2PC＝PC2.∴当PC最大时，△PCD的面积最大，即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大．∴当PC＝AB＝AC2＋BC2＝5时，△PCD的面积的最大值为(5)2＝5. 3．(1)解：设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把点B(0，4)，C(－2，0)，D(－8，0)＝c，＝4a－2b＋c，＝64a－8b＋c，＝14，＝52，＝4.∴经过B ，C ，D 三点的抛物线的函数表达式为y ＝14x 2＋52x ＋4.(2)证明：∵y ＝14x 2＋52x ＋4＝14(x ＋5)2－94，∴5设直线CE 的函数表达式为y ＝mx ＋n ，直线CE 与y 轴交于点G ，则＝－2m ＋n ，－94＝－5m ＋n ，＝34，＝32，∴直线CE 的函数表达式为y ＝34x ＋32在y ＝34x ＋32中，令x ＝0，则y ＝32，∴如图①，连接AB ，AC ，AG ，则BG ＝OB －OG ＝4－32＝52，CG ＝OC 2＋OG 2＝52，∴BG ＝CG.在△ABG 与△ACG ＝AC ，＝CG ，＝AG ，∴△ABG ≌△ACG.∴∠ACG ＝∠ABG.∵⊙A 与y 轴相切于点B(0，4)，∴∠ABG ＝90°.∴∠ACG ＝∠ABG ＝90°.∵点C 在⊙A 上，∴直线CE 与⊙A 相切．(第3题)(3)解：存在点F ，使△BDF 的面积最大．设，14t 2＋52t ＋BD ，BF ，DF ，过点F 作FN ∥y 轴交BD 于点N ，设直线BD 的函数表达式为y ＝kx ＋d ＝d ，＝－8k ＋d ，＝12，＝4.∴直线BD 的函数表达式为y ＝12x ＋4.∴点N ，12t ＋∴FN ＝12t ＋42＋52t ＋＝－14t 2－2t.∴S △DBF ＝S △DNF ＋S △BNF ＝12OD·FN ＝12×8－14t 2－t 2－8t ＝－(t ＋4)2＋16.∴当t ＝－4时，S △BDF 最大，最大值是16.当t ＝－4时，142＋52t ＋4＝－2，∴F(－4，－2)．【题型讲解】【题型】一、求多边形中心角例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（）A ．B ．C ．60D ．【答案】B【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB 的度数及OG 的长，再由△OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG ⊥AB 于G∵此多边形为正六边形，∴∠AOB =3606=60°；∵OA =OB ，∠AOB =60°,OG ⊥AB∴△OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴OA =AB =4，∴OG =OA •cos30°=4×2，∴S △OAB =12×AB ×OG =12，∴S 六边形=6S △OAB 故选：B ．例2、如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（）A ． 2,B ． 2,2C ． 2,D ． 【答案】C 【提示】连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．解：连接OF，在Rt△OFG中，∠GOF=13603026，OF=4．∴GF=2，∴F（-2，．故选C．【题型】二、已知正多边形中心角求边数例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【答案】C【提示】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360 ，用360 除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10．则这个多边形是正十边形．故选：C．例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．【详解】设圆内接正n 边形的中心角的度数为x 由弧长公式得：331804x 解得45x 即圆内接正n 边形的中心角的度数为45 则360845n故选：B ．【题型】三、正多边形与圆例5、半径为R 的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b cB ．b a cC ．a c bD ．c b a 【答案】A【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形,BOH 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R ，如图，,,,OB R OH a OH BC 由ABC 为圆O 内接正三角形，60,BOH 则正三角形的边心距为a ＝R ×cos60°＝12R ．如图，四边形ABCD 为圆O 的内接正方形，,,,OB R OH b OH BC 45,BOH四边形的边心距为b ＝R ×cos45°＝22R ，如图，六边形ABCDEF 为圆O 的正内接六边形，,,,OB R OH c OH BC 30,BOH 正六边形的边心距为c ＝R ×cos30°＝32R ．∵12R 22 R 32 R ，∴a ＜b ＜c ，故选：A ．例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．34B ．34C ．2438D ．34【答案】A【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正六边形的面积为：1462，六个小半圆的面积为：22312 ，中间大圆的面积为：2416 ，所以阴影部分的面积为：12164 ，故选：A ．【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径例7、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ，4CD ，则퐶 的长为（）A ．2B ．4C ．2D ．【答案】D【提示】根据::2:7:11AOC AOD DOB 求出COD 的度数，根据4CD 得到半径，运用弧长公式计算即可．【详解】∵:7:11 AOD DOB ，+180 AOD DOB ，∴71807018A O D ，又∵:2:7 AOC AOD ，∴20AOC ，∴90COD ，又∵4CD ，∴O D ，∴퐶 =9022180180n O D ．故答案选D ．例8、一个扇形的圆心角为120 ，扇形的弧长等于4, 则该扇形的面积等于（）A ．2B ．4C ．12D ．24【答案】C 【提示】根据弧长公式180n rl ，代入求出r 的值，即可得到结论．【详解】解：由题意得，4π＝120180rπ，解得：r ＝6，∴S ＝1642 ＝12π．故选：C.例8、若扇形的圆心角是150 ，且面积是2240cm ，则此扇形的弧长是（）A ．10cmB ．20cmC ．30cmD ．40cm【答案】B【提示】先根据S 扇形=2360n R 求出该扇形的半径R ，然后再根据S 扇形=12lR 即可求得弧长l ．【详解】解：由S 扇形=2360n R ，n=150°，可得240π=2150360R ，解得R=24；又由S 扇形=12lR 可得240π=1242l ，解得l =20π．故答案为B ．【题型】五、扇形面积的相关计算例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（）A ．48πcm 2B ．24πcm 2C ．12πcm 2D ．9πcm 2【答案】B【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）．故选：B ．例10、如图，在⊙�中，2OA ，45C ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2 B ． C ．22 D ．2【答案】D【提示】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB 算出结果.【详解】解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602=2 ，故选D.【题型】六、圆锥侧面积的相关计算例11、一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A ．πB ．πC ．πD ．【答案】C【提示】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】这个圆锥的侧面积＝12．故选：C ．例12、用一个半径为3,面积为3 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A ．B ．2C ．2D ．1【答案】D【提示】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得12•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D ．例13、如图，有一块半径为1m ，圆心角为90 的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．m 4D ．m 2【答案】C【提示】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r m ，则圆锥的底面半径是： 1224 m ，4 m ．故选：C ．与圆有关的计算（达标训练）一、单选题1．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（）AB ．C ．3D ．2【答案】C【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接OA ，作OM ⊥AB 于M ，得到∠AOM =30°，AB则AM因而OM =OA •cos30°=3，∴正六边形的边心距是3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．2．如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形的中心角COD 的度数是（）A ．72°B ．60°C ．48°D ．36°【答案】A 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360n计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴五边形ABCDE 的中心角∠COD 的度数为360725，故选：A ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360n 是解题的关键．3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（）A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术【答案】C【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可．【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值，即在一个圆中，它的内接正多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接近圆的周长和面积．4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（）A．刘徽，祖冲之B．祖冲之，刘徽C．杨辉，祖冲之D．秦九韶，杨辉【答案】A【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的．古希腊大数学家阿基米德(公元前287-212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值．故选：A．【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，故选：A ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．6．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若D 点的坐标为 2,0，则点F 的坐标为（）A ．B ．C ．D ． 1,1【答案】A【分析】先连接OF ，由于正六边形是轴对称图形，并设EF 交y 轴于G ，那么30GOF ；在Rt GOF 中，则1GF ，OG 即可求得F 的坐标．【详解】解：连接OF ，设EF 交y 轴于G ，如图所示，∵D 点的坐标为 2,0，∴2OD ，由正六边形ABCDEF 是轴对称图形知：在Rt GOF 中，30GOF ，2OF ．1GF ，OG(F ，故选：A ．【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．7．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，GOK 的两边,OG OK ，分别与,AB CB ，相交于点M ，N ，当180GOK ABC 时，下列说法错误的是（）A ．60GOKB ．MB NB DC C ．112OMBN ABCDEF S S四边形正六边形D ．OMA 与ONB 相等【答案】C 【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．【详解】解：如下图所示，连接OA OB OC ，，．∵点O 是正六边形ABCDEF 的中心，OA OB OC ， 180621206FAB ABC ，360606AOB BOC ，AB DC ，16OAB ABCDEF S S △正六边形． 180602AOB OAM ，180602BOC OBN ． OAM OBN ．∵180GOK ABC ，360)180OMB ONB GOK ABC -(，18060GOK ABC ．故A 选项不符合题意．∵180OMA OMB ，OMA ONB ．OAM OBN ≌△△（AAS ）．OMA ONB MA NB ，，OAM OBN S S △△．故D 选项不符合题意．MB NB MB MA AB DC ．故B 选项不符合题意．=OMB OBN OMB OAM OAB OMBN S S S S S S △△△△△四边形． 1=6OAB OMBN ABCDEFS S S △四边形正六边形．故C 选项符合题意．故选：C【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（）A ．48B ．24C ．12D ．4【答案】B【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出AOB 的度数及OG 的长，再由OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG AB 于G∵此多边形为正六边形，∴AOB 3606 60 ；∵60,OG ABOA OB AOB ，∴OAB 是等边三角形，1302AOG AOB∴4OA AB ，122AG BG AB∴OG∴OAB S △12AB OG 1242 4 ∴664OAB S S 六边形24 故选：B ．．【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出中心角的度数及三角形的高的长．二、填空题9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．【答案】54【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605 =72°，∵OC=OD，∴∠OCD=12×（180°-72°）=54°，故答案为：54．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．【答案】十二【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．三、解答题11．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，已知13CF BC ，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．(1)在图1中的边DE 上求作点G ，使DG CF ；(2)在图2中的边DE 上求作点H ，使EH CF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 与DE 的交点即为所求作；（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN 并延长即可．【详解】（1）连接AO 并延长与CD 相交，连接EF 交AO 延长线于M ，连接BM 交DE 于点G ，则点G 为所求作，如图1所示；理由：∵⊙O 为正五边形的外接圆，∴直线AO 是正五边形ABCDE 的一条对称轴，点B 与点E 、点C 与点D 分别是一对对称点．∵点M 在直线AO 上，∴射线BM 与射线EF 关于直线AO 对称，从而点F 与点G 关于直线AO 对称，∴CF 与DG 关于直线AO 对称．∴DG =CF ．（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与DE 相交，连接AG 交BO 延长线于N ，连接CN ，如图2所示；【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．与圆有关的计算（提升测评）一、单选题1．如图，工人师傅准备从一块斜边AB 长为40cm 的等腰直角AOB 材料上裁出一块以直角顶点O 为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥(接缝处忽略)，则圆锥的底面半径为（）A ．5cmB ．C ．4cmD ．【答案】A 【分析】作OC AB 于点C ，首先求出扇形的半径OC 的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径．【详解】解：如图，作OC AB 于点C ，∵AOB 是斜边AB 长为40cm 的等腰直角三角形，∴OA OB ，22240OA OB ，∴OA OB ，∵45A ，∴sin 452OC OA，∴20cm 2OC OA ，∴扇形的弧长902010180，设底面半径为cm r ，则210r ，解得：=5r ，∴圆锥的底面半径为5cm ．故选：A【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长．2．如图，在半径为2，圆心角为90 的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（）A ．1B ．2C ．112D ．121 ＋【答案】A【分析】已知BC 为直径，则90CDB ，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB 的面积与ADC △的面积之差．【详解】解：在Rt ACB △中，AB ∵BC 是半圆的直径，∴90CDB ，在等腰Rt ACB △中，CD 垂直平分AB ，CD BD ∴D 为半圆的中点，∴22112142ADCACB S S S △阴影部分扇形．故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．3．如图，正方形ABCD 的边长为2，以BC 为直径的半圆与对角线AC 相交于点E ，则图中阴影部分的面积为（）A ．5124B ．5124C ．3124D ．5122【答案】A【分析】连接OE ，求出弓形CE 的面积，然后根据阴影部分的面积等于ADC △的面积减去弓形CE 的面积求解即可．【详解】连接OE ．∵正方形ABCD 的边长为2，∴1OC OB OE .∵1122222ADC S AD CD △，211144OCE S 扇形，111122COE S △，∴1142CE S 拱形，∴阴影部分的面积5112()4224．故选：A ．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．4．如图，ABC 中，AC O 是AB 边上的一点，O 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，点F 为O 上一点，连AF ，若四边形ACEF 是菱形，则图中阴影部分面积是（）A 3B ．23C 3D ．3【答案】A【分析】设AB 与O 相交于点D ，利用菱形的性质可得C F ，AC CE 90CAB OEC ，从而可得180C AOE ，进而可得180F AOE ，然后求出60C F ，从而求出30B ，BC BE Rt BOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，B 的度数，最后根据阴影部分面积BOE 的面积 扇形DOE 的面积，进行计算即可解答．【详解】解：设AB 与O 相交于点D ，∵四边形ACEF 是菱形，C F ∴，AC CE ，O ∵ 与AC 、BC 分别相切于点A 、E ，90CAB OEC ，360()180C AOE CAB OEC ，180F AOE ，2AOE F ∵，1180603F ，60C F ，9030B C ，2BC AC ，BE BC CE 在Rt BOE 中，30B ，tan 30OE BE 9060EOB B ， 阴影部分面积BOE 的面积 扇形DOE 的面积21602360BE OE1233，3，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．5．把边长为的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF 的长为（）D．A．1B．2C【答案】C【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，+x+x，即可解决问题．B'F=x，从而BC【详解】解：如图，∵重叠部分为正八边形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF x，B'F=x，x+x，∴BG=B'G∴BC x+x+x∴x=1，∴GF，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．6．如图1所示的正六边形（记为“图形1P”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形2P”），作出图形2P的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；②把图2中空白部分记作“图形3P ”，则图形123P P P ，，的周长之比为3：2：3；③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O 上任意一点的最大距离为4+3．以上结论正确的是（）A ．②③B ．①③C ．②D ．①【答案】A 【分析】①根据题意可知过点B 作BN AC 于N ，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得23,2AC CD ，即可判断①；②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；③依题意可知图形2P 的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．【详解】解：标注字母如图，过点B 作BN AC 于N 6BE ∵，,C D 为BE 的三等分点，,A F 为BG 是三等分点2BC CD DE AB ，∵正六边形的每一个内角为3601801206∴ABC 中，2,120AB BC B ，30BAN在Rt ABN △中112BN ABAN BN AC ∵，12AN NC AC ，2AC AN 2CD AC∵ ①不正确，图形1P ，边长为6，所以图形1P 的周长为6636如图，依题意可得2AB BC CD 则4BD ，依题意，2P 是正六边形，所以图形2P 的周长为4624把图2中空白部分记作“图形3P ”，由①可得AC 3P 是正六边形，所以图形3P 的周长为6∴图形123P P P ，，的周长之比为36:24：2故②正确；如图，过点O 作OD AB 于点D ，交内切圆于点E ，则AE 即为所求，。
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。