中考数学考点总动员系列专题41与圆有关的计算(含解析)

考点四十一：与圆有关的计算 聚焦考点☆温习理解一、正多边形与圆1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。

2.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。

4.正n 边形的n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。

二、弧长和扇形面积1、弧长公式n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180r n l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积rl r l S ππ=∙=221 其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

名师点睛☆典例分类考点典例一、正多边形与圆的有关计算【例1】（2017四川宜宾第15题）如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE=2，则EG 的长是 ．1【解析】∴ 1考点：正多边形和圆．【举一反三】（2017江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于 ．【答案】120°.【解析】试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°， ∴正六边形的每个内角为：7206=120°. 考点：多边形的内角与外角.考点典例二、计算弧长【例2】（2017浙江宁波第9题）如图，在Rt ABC △中，90A =∠°，BC =BC 的中点O 为圆心分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则DE 的长为( )A.4pB.2pC.pD.2p【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD ，OE∵AC ，AB 是圆O 的切线∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB∵O 是BC 的中点∴点E ，点D 分别是AC ，AB 的中点∴OE=12AB ，OD= 12AC ∵OE=OD∴AC=AB∵由勾股定理得AB=2∴OE=1DE 的弧长=901180π⨯⨯=2π. 故选B.考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.【点睛】本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R ，弧AB 对的圆心角的度数是n°，则弧AB 的长=180n R π． 【举一反三】（2017山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C. π67 D ．π34【答案】B ．【解析】试题解析：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE 的长=40321803ππ⨯=.故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．考点典例三、圆锥的有关计算【例3】（2017贵州遵义第8题）已知圆锥的底面积为9πcm 2，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（）A ．18πcm 2B ．27πcm 2C ．18cm 2D ．27cm 2【答案】A.考点：圆锥的计算．【点晴】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．【举一反三】（2017黑龙江齐齐哈尔第9题）一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A ．120︒B ．180︒C ．240︒D ．300︒ 【答案】A【解析】试题分析：设底面圆的半径为r ，侧面展开扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n 度．由题意得S 底面面积=πr 2，l 底面周长=2πr ，S 扇形=3S 底面面积=3πr 2，l 扇形弧长=l 底面周长=2πr ．由S 扇形=12l 扇形弧长×R 得3πr 2=12×2πr ×R ， 故R=3r ． 由l 扇形弧长=180n R π 得：2πr=3180n r π⨯ ，解得n=120°． 故选A ．考点：1.圆锥的计算；2.几何体的展开图．考点典例四、求扇形的面积【例4】（2017湖南怀化第14题）如图，O ⊙的半径为2，点A ，B 在O ⊙上，90AOB =∠°，则阴影部分的面积为 ．【答案】π﹣2．考点：扇形面积的计算．【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．【举一反三】（2017新疆乌鲁木齐第14题）用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为 ．【答案】π﹣2 【解析】试题解析：如图，设AB 的中点我P ，连接OA ，OP ，AP ，△OAP 的面积是：412=4， 扇形OAP 的面积是：S 扇形=6π，AP 直线和AP 弧面积：S 弓形=6π﹣4，阴影面积：3×2S 弓形=π﹣2．故答案为：π﹣2．考点：扇形面积的计算．考点典例五、求圆锥侧面积【例5】（2017新疆乌鲁木齐第8题）如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（）A．π B．2π C.4π D．5π【答案】B.【解析】试题解析：由三视图可知，原几何体为圆锥，∵2=，∴S侧=12•2πr•l=12×2π×22×2=2π．故选B．考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高。

圆锥的底面半径和圆锥的母线构成一个直角三角形，扇形的面积公式为：12 lR【举一反三】有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留π）【答案】60π.考点：1.圆锥的计算；2.勾股定理．考点典例六、求阴影部分的面积【例6】（2017浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB=10，CD=6，EF=8。

则图中阴影部分的面积是（ ）A. π225 B. π10 C. π424+ D. π524+【答案】A.【解析】试题解析：作直径CG ，连接OD 、OE 、OF 、DG ．∵CG 是圆的直径，∴∠CDG=90°，则==8，又∵EF=8，∴DG=EF ，∴DG EF =，∴S 扇形ODG =S 扇形OEF ，∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD =S △ACD ，S △OEF =S △AEF ，∴S 阴影=S 扇形OCD +S 扇形OEF =S 扇形OCD +S 扇形ODG =S 半圆=12π×52=252π． 故选A ．考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.【点睛】本题考查了扇形面积公式，求出S △BED =S △OEC 是解决本题的关键.【举一反三】（2017重庆A 卷第9题）如图，矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．24π- B ．324π- C ．28π- D ．328π- 【答案】B.【解析】试题解析：∵矩形ABCD 的边AB=1，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠EBF=45°，AD ∥BC ，∴∠AEB=∠CBE=45°，∴AB=AE=1，∵点E 是AD 的中点，∴AE=ED=1，∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EBF=1×2﹣12×1×1 =324π-．故选B ．考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算. 课时作业☆能力提升一．选择题1．（2017甘肃兰州第2题）如图，正方形ABCD 内接于半径为2的O ⊙，则图中阴影部分的面积为( )A.1p +B.2p +C.1p -D.2p -【答案】D ．【解析】试题解析：连接AO ，DO ，∵ABCD 是正方形，∴∠AOD=90°，=圆内接正方形的边长为=14[4π﹣（2]=（π﹣2）cm 2．故选D ．考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．2. （2017湖南株洲第6题）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】A.【解析】3. （2017湖北咸宁第7题）如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠，则⋂BD 的长为（）A ．πB ．π23 C. π2 D ．π3 【答案】C ．试题分析：已知四边形ABCD 内接于⊙O ，根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠A ，再由∠BOD=∠BCD 可得2∠A+∠A=180°，所以∠A=60°，即可得∠BOD=120°，所以BD 的长=1203180π⨯=2π；故选C ． 考点：弧长的计算；圆内接四边形的性质．4. （2017贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，FE ⊥AB ，AF=2AE ，FC 交BD 于O ，则∠DOC 的度数为（ ）A．60° B．67.5°C．75° D．54°【答案】A．【解析】试题解析：如图，连接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等边三角形，∵AF=AD=AB，∴点A是△DBF的外接圆的圆心，∴∠FDB=12∠FAB=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠O BC+∠OCB=60°．故选A．5.（2016内蒙古巴彦淖尔第9题）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A 2πB 32πC ．23π-D 3π 【答案】A ．考点：正多边形和圆；扇形面积的计算二．填空题6. （2017山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交(,F G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m ，根据设计要求，若45EOF ∠= ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为 ．【答案】（+28π【解析】试题解析：如图，过F 作FG ⊥OF ，连接OG,OM,ON△OFH 是等腰直角三角形，∴FH=O Fsin45°=22，AB=2，BC=2OF=2 ∴矩形ABCD 面积=22∴S 空白=2S 扇形FOM+2S ΔAOG =290112+2113602π⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =+12π∴窗户的透光率=（+28π 考点：扇形的面积及概率7. （2017甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 ．（结果保留π）【答案】3π.考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．8. （2017广西贵港第17题）如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，,CD OA CD ⊥ 与AB 交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE 交OB 于点E ，若4,120OA AOB =∠=，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】43π+ 【解析】试题解析：连接OD 、AD ， ∵点C 为OA 的中点，∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO 为等边三角形，∴S 扇形AOD =260483603ππ⨯=， ∴S 阴影=S 扇形AOB ﹣S 扇形COE ﹣（S 扇形AOD ﹣S △COD ）=221204120281(236036032πππ⨯⨯---⨯⨯=1648333πππ--+=43π+ 考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．9. （2017江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边AD ，BC 为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O 1和半圆O 2，一平行于AB 的直线EF 与这两个半圆分别交于点E 、点F ，且EF=2（EF 与AB 在圆心O 1和O 2的同侧），则由AE ，EF ，FB ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ．6π．【解析】试题解析：连接O 1O 2，O 1E ，O 2F ，则四边形O 1O 2FE 是等腰梯形，过E 作EG ⊥O 1O 2，过F ⊥O 1O 2，∴四边形EGHF 是矩形，∴GH=EF=2，∴O 1G=12，∵O 1E=1，∴∴1112O GO E=；∴∠O 1EG=30°，∴∠AO 1E=30°，同理∠BO 2F=30°，∴阴影部分的面积=S 矩形ABO2O1﹣2S 扇形AO1E ﹣S 梯形EFO2O1=3×1﹣2×2301360π⨯⨯=12（2+3=36π． 考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．10. （2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB .已知6=OA ，取OA 的中点C ，过点C 作OA CD ⊥交弧AB 于点D ，点F 是弧AB 上一点，若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合.用剪刀沿着线段FA DF BD ,,依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .【答案】36π﹣108【解析】试题解析：如图，∵CD ⊥OA ，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD ， ∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 于点E ，则DE=12OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=2306360π⨯﹣12×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108考点：扇形面积的计算11.（2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的O，90ABm=︒，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．【答案】（32+48π）cm2【解析】试题解析：连接OA、OB，∵AB=90°，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=12×8×8=32，扇形ACB（阴影部分）=22036078π⨯⨯=48π，则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．12.（2017郴州第14题）已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为2cm（结果保留π）．【答案】15π．考点：圆锥的计算.13. （2017哈尔滨第18题）已知扇形的弧长为4p，半径为8，则此扇形的圆心角为. 【答案】90°【解析】试题分析：设扇形的圆心角为n°，则8180nπ⨯=4π，解得，n=90，故圆心角为90°.考点：弧长的计算．14.（2017黑龙江绥化第16题）一个扇形的半径为3cm，弧长为2cmπ，则此扇形的面积为2cm．（用含π的式子表示）【答案】3π.【解析】试题分析：根据题意得：S=12rl=12×2π×3=3π，则此扇形的面积为3πcm2.考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算．15.（2017黑龙江绥化第18题）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．【答案】1【解析】试题分析：由题意可得，正三角形的边心距是：2×sin30°=2×12=1，正四边形的边心距是：2×sin45°=2=正六边形的边心距是：2×sin60°=2∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1考点：正多边形和圆．三．计算题16. （2017郴州第23题）如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径，且3OA =.（1）求证：AB 平分OAD ∠；（2）若点E 是优弧AEB 上一点，且060AEB ∠=，求扇形OAB 的面积（计算结果保留π）【答案】(1)详见解析；（2）3π．【解析】试题分析：（1）连接OB ，由切线的性质得出OB ⊥BC ，证出AD ∥OB ，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB ，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案． 试题解析：（1）证明：连接OB ，如图所示：∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ∥OB ，∴∠DAB=∠OBA ，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∴∠DAB=∠OAB ，∴AB 平分∠OAD ；（2）解：∵点E 是优弧AEB 上一点，且∠AEB=60°，∴∠AOB=2∠AEB=120°，∴扇形OAB 的面积=21203360π⨯=3π．考点：圆的综合题.17. （2017湖北孝感第23题） 如图，O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB ，BD ，AD 围成的曲边三角形的面积是 ；（2）求证：DE 是O 的切线；（3）求线段DE 的长.【答案】（1）252524π+；（2）证明见解析；（3）354．【解析】试题分析：（1）连接OD，由AB是直径知∠ACB=90°，结合CD平分∠ACB知∠ABD=∠ACD=12∠ACB=45°，从而知∠AOD=90°，根据曲边三角形的面积=S扇形AOD+S△BOD可得答案；（2）由∠AOD=90°，即OD⊥AB，根据DE∥AB可得OD⊥DE，即可得证；（3）勾股定理求得BC=8，作AF⊥DE知四边形AODF是正方形，即可得DF=5，由∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC知tan∠EAF=tan∠CBA，即EF ACAF BC=，求得EF的长即可得．（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴EF ACAF BC=，即658EF=，∴EF=154，∴DE=DF+EF=154+5=354．考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.。