2022年高考模拟测试卷数学试题一(Word含答案解析)
2022年山东省临沂市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2022年山东省临沂市高考数学一模试卷1.设集合，，则( )A. B.C. 或D. R2.已知，则z的虚部为( )A. B. C. 2 D. 2i3.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( )A. B. C. D.4.设向量，，若，则( )A. B. 0 C. 3 D. 3或5.二项式的展开式中无理项的项数为( )A. 2B. 3C. 4D. 56.已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于的不同数字有( )A. 2280B. 2120C. 1440D. 7208.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点P在第二象限内，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则C的离心率为( )A. B. C. D.9.给出下列说法，其中正确的是( )A. 若数据，，⋯，的方差为0，则此组数据的众数唯一B. 已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D. 线性回归直线恒过样本点的中心，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿x轴向右平移个单位得到函数的图像，则( )A. 在上单调递增B. 是的一个对称中心C. 是奇函数D. 在区间上的值域为11.甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以，，表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则( )A. B 与互相独立B. ，，两两互斥C. D.12.在平面四边形ABCD中，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前n项和为，则( )A. 为等比数列B. 为递减数列C. 为等差数列D.13.函数，则曲线在处的切线方程为______.14.已知抛物线C：的焦点为F，为C内的一点，M为C上的任意一点，且的最小值为4，则______；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段A，B的中点，则的面积为______.15.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为______.16.已知函数，则不等式的解集是______.17.在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为面积为S，已知___.求A；若，，求18.2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值．19.如图，四棱锥的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面．求证：F为PD的中点；若底面ABCD，二面角的大小为，求直线AC与平面ABEF所成的角．20.已知数列的前n项和为，，求的通项公式；若数列满足，求的前2k项和21.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线被C截得的线段长为求C的方程；若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值．22.已知函数若，讨论的单调性；若，是函数的两个不同的零点，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：设集合，，则，故选：利用并集的定义即可求解．本题考查了集合间的运算关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图以及圆锥的体积，属基础题.通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，进而求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：1，圆锥的高为：，圆锥的体积为：故选4.【答案】D【解析】解：根据题意，向量，，若，则有，解可得或，故选：根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，二项式展开式的通项，分析可得：当、2、4、6时，为有理项，即有4个有理项，而展开式共有7项，故二项式的展开式中无理项的项数为故选：根据题意，求出该二项式展开式的通项，分析其项为有理项时r的值，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握有理项的定义以及二项式定理的内容．6.【答案】A【解析】解：点，，直线AB方程为，即，则到直线AB的距离，直线AB与圆C有公共点，则是直线AB与圆C有公共点的充分不必要条件，故选：求出直线AB的方程，求出圆心到直线AB的距离，再求出直线AB与圆C有公共点的充分必要条件即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，充分必要条件的判断，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由于数字1，4，1，5，9，2，6中有2个相同的数字1，故进行随机排列可以得到的不同情况有种，而只有小数点前两位为11，12时，排列后得到的数字不大于，故小于的不同情况有种，故得到的数字大于的不同情况有种．故选：根据条件得到总共有种，小于的不同情况有种，则大于的不同情况有种．本题考查学生推理论证能力、数的排列组合，运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：取线段的中点E，连接，因为，所以，所以是等腰三角形，且，在中，，连接，又，点Q在双曲线C上，由，则，中，，整理得，所以离心率，故选：取的中点E，由已知得，由三线合一得是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示，再由双曲线的定义表示，在中由余弦定理列式，得关于a，c的等式关系，即可求得离心率．本题考查了双曲线的离心率问题，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若数据，，⋯，的方差为0，则数据，，⋯，的值全部相等，此时组数据的众数唯一，A正确；对于B，该组数据的第40百分位数为7，B错误；对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，C正确；对于D，回归直线恒过样本点的中心，分析回归直线的拟合效果，需要分析数据的残差平方和，D错误；故选：根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及样本的数据分析，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：因为，所以，因为函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，，，所以，把函数的图象沿x轴向右平移个单位，得，即，所以是偶函数，故C 错误；对于A：当时，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确；对于B：，故是的一个对称中心，故B正确；对于D：因为，所以，所以，所以，故D错误；故选：首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据余弦函数的性质计算可得．本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：事件的发生与事件 B 的发生有影响，因此事件的发生与事件 B 不独立，A 错；，，中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；，C正确；，D错．故选：根据独立事件的定义判断A，根据互斥事件的定义判断B，由条件概率公式计算出概率判断C，由互斥事件与独立事件概率公式计算概率判断本题考查互斥事件和条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：如图，连接BD交AC于点E，由的面积是面积的2倍，得，即，设，，，，，，，，，是以1为首项，为公差的等差数列，，则，故A不正确，C正确；恒成立，即，则数列为递减列，故B正确；…，…，…，故选：连接BD交AC于点E，由三角形的面积公式，推得，根据向量的加减的几何意义可得设，即可得到是以1为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式可得，判断单调性和运用错位相减法求和，即可判断正确结论．本题为数列与向量综合的问题，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及错位相减法求和，向量的共线定理和向量的加减运算，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：求导函数可得，当时，，，切点为，曲线在处的切线方程是，即故答案为：求导函数，确定切线的斜率与切点的坐标，即可得到切线方程．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，过M作垂直准线于，由抛物线定义可知，所以，过Q作垂直准线于，交抛物线于P，所以，所以当M在P处时，最小，此时，解得：所以抛物线标准方程为：设，，则有，两式相减得：，即，因为为线段AB的中点，所以，所以直线AB的斜率为，所以直线AB 的方程为：，即，由，符合，消去y得：，所以，，所以弦长，而O到直线AB的距离为，所以故答案为：2；过M作垂直准线于，过Q作垂直准线于，交抛物线于P，利用几何法判断出当M在P 处时，最小，求出；利用“点差法”求出直线AB的斜率，求出方程，利用“设而不求法”求出弦长，利用点到直线的距离公式求出高，即可求出面积．本题考查了抛物线的定义和几何性质以及三角形的面积问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：过B作，，，，侧棱长为，，即，则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长，故答案为：根据正三棱台的性质求出，然后利用弧长公式求出弧长即可．本题主要考查正三棱台的性质以及弧长公式的计算，根据条件求出三个球心角是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】【解析】解：根据题意，设，则，设，其定义域为R，且，则为奇函数，则关于点对称，则有，易得在R上为增函数，则在R上为增函数，不等式，变形可得，即，变形可得，则有，解可得，即不等式的解集为；故答案为：根据题意，设，再设，分析可得为奇函数且在R上为增函数，由此可得关于点对称且在R上为增函数，由此分析，原不等式等价于，则有，解可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的对称性和图象的变换，属于中档题．17.【答案】解：若选①，由正弦定理可得，因为，所以，则，，于是若选②，由题意，，则，而，于是若选③，由题意，，因为，所以，则由题意，，由余弦定理【解析】若选①，先用正弦定理进行边化角，进而结合辅助角公式求得答案；若选②，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而通过辅助角公式求得答案；若选③，先通过诱导公式和二倍角公式化简，进而求得答案；先通过三角形的面积公式求出c，进而根据余弦定理求得答案．本题考查了正余弦定理，三角形的面积计算等知识，属于基础题．18.【答案】解：每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，每天线上销售时间不足8小时的企业有家，其中每天销售额不足30万元的企业有家，故列联表如下：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时 17 3 20线上销售时间不足8小时 10 15 25合计 27 1845，依据的独立性检验，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．①销售额不少于30万元的企业数：，销售额不足30万元的企业数：②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X 0 1 2P故【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．①结合分层抽样的定义，即可求解．②由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】证明：依题意，平面PCD，平面PCD，平面PCD，又平面ABEF，平面平面，，，双，，即F是PD的中点；解：底面ABCD，底面ABCD，，又，，平面PAD，又平面PAD，，为二面角的平面角，，，设，如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，依题意，，，设平面ABEF的一个法向量为，则，即，令，则，，平面ABEF的一个法向量为，设直线AC与平面ABEF所成角为，，，，直线AC与平面ABEF所成的角为【解析】平面PCD，可得，从而可得F是PD的中点；如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求平面ABEF的一个法向量，直线AC 的方向向量，利用向量法可求直线AC与平面ABEF所成的角．本题考查线面平行的性质，以及线面角的求法，属中档题．20.【答案】解：由①，当时，，，代入计算可得，当时，②，①-②得：，，，是以为首项，4为公差的等差数列，，是以为首项，4为公差的等差数列，，由此可得：，，；由已知有：，，，，故前2k项的和，，，，【解析】本题首先由递推关系求通项，首先应讨论，和的时候，进而发现需分奇偶求出通项公式之后，观察发现奇偶项可进行合并，从而得到的通项公式，其次问求和利用裂项相消直接求和即可．本题主要考查递推关系求通项及裂项相消求和，属于数列中的中档题目．21.【答案】解：由题意得，离心率，所以，当时，有，解得，因为直线被C截得的线段长为，所以，解得，，故C的方程为由知，，，延长交椭圆C于点D，因为，所以，且，由椭圆的对称性知，，设直线与BD之间的距离为d，则四边形面积，设直线BD的方程为，联立，得，则，，所以，所以，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，所以四边形面积的最大值为，不妨取，此时，是方程的两根，所以，，所以【解析】由，知，将代入椭圆方程，结合所截线段长可求得a和b的值，得解；延长交椭圆C于点D，则，，利用梯形的面积公式与割补法，推出，设直线BD的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理、换元法与基本不等式，即可得解．本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，熟练掌握椭圆的几何性质，割补法，基本不等式等是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：的定义域为，，当时，，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，证明：因为，是函数的两个不同的零点，所以，，显然，，则有，，所以，不妨令，设，所以，，所以要证，只要证，即，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，因为，，所以，要证，只要证，即，因为，所以只要证，即，即，令，，则，所以在上单调递减，所以，所以综上，【解析】对函数求导后，由导函数的正负可求出函数的单调区间；由题意可得，，两式相减化简可得，若令，设，则，，从而转化为证，构造函数可证得，而要证，转化为证，构造函数利用导数证明即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。
2022年普通高等学校招生考试(新高考)模拟数学试卷含参考答案
2022年普通高等学校招生考试模拟试卷数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.ii -21+对应复数的共轭复数在复平面的A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．如图所示的阴影部分表示的是 A.∁S B B.∁S (A∩B) C.A ∪∁S (A ∪B) D.A∩∁S (A∩B)3.已知向量a 、b 满足732=+==b a b a ，则a 、b 的夹角为A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π64. 2022年迎来了北京冬季奥运会，北京成为首个同时举办了夏季、冬季奥运会的城市。
已知一滑雪运动员的高度随时间的变化曲线方程为25526)(234++-+-=t t t t t h ,竖直方向速度是高度对时间的导数，竖直方向加速度是竖直方向速度对时间的导数,且有0≤t ≤4，则其竖直方向加速度大小的最大值为 A.0.5 B.2 C.4 D.125.求值:=︒-︒︒20sin 10cos 50cosA.√33 B.√22 C.1 D.√22 6.已知某市一模考试有32000人参加,考试成绩X 近似服从正态分布X ~N (76,20.25)则得分在区间[71.5, 85]之间的人数约为(已知:P (μ-σ≤X ≤μ+σ)≈68.3%,P (μ-2σ≤X ≤μ+2σ)≈95.4%)A.21856B.26192C.30528D.31904 7.已知抛物线x y 42=,P 是直线y =2x +5上的一个动点，过P 作抛物线的两条切线，切点为A , B ,则点T (4,3)到直线AB 距离的最大值为A.32 B.√2 C.52 D. 2√28.已知a n 是不等式)0(1221≥++++≥x a x a x a x e nnx成立的最小值，若n b n nnn n T b c a a b n ,2,1==+为的c n 前n 项和，则T 2022的值为 A.22023 B.2022·22023 C.22024 D.2022·22024 二、多项选择题:本题共四小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.9.对于正四面体ABCD ，其棱长为1，中心为O ，下列说法中正确的是 A.OD OC OBOA =++B.若E 、F 分别为AB 、CD 中点,EF =√22C.设P 为正四面体ABCD 内切球上一点,Q 为正四面体ABCD 外接球上一点,则PQ 最小值为√66D.棱长为1的正八面体的体积是正四面体ABCD 体积的4倍10.对于函数x x x x f cos sin cos 3)(2+=,下列说法中正确的是(参考数据: log 27 ≈2.8)A. f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ上单调递减B.当)(2,3Z k k k x ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-∈ππππ时,f (x )> 0C. f (x )的对称中心为)(0,62Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-ππ D. f (x )与x 2log 有且仅有3个交点11.对于函数f (x )=x 3-3x +1,下列说法中正确的是A.有三个零点B.零点均分布在[-2, 2]内C.零点为2cos40°, 2cos80°, 2cos160°D.零点为2cos50°, 2cos70°, 2cos140°12.设函数()xx x g x x e x f x ln )(,0)(=>=直线l 1与f (x ),g (x )同时相切，切点分别为x 1、x 2,直线l 2平行于x 轴，且与f (x ),g (x )共有三个交点，从左到右分别为x 3, x 4,x 5，则下列说法中正确的是A. 222221)(ln 1ln )(ln x x x x -+< B.1ln 1)2(22111-=--x x x x xC.5342x x x +=D.5324x x x = 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．a 、b 均为正实数，a ＋b ＝6，则a 2＋b 2的最小值为 ▲ .14．72)12(1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 中x 5项的系数为▲ ．15．一组牌堆，包含数字1-15各2张（相同数字的卡牌无区别），共30张，第一次从中抽取3张，不放回再从中抽取3张，则两次抽到的牌完全相同的概率为 ▲ .16．f (x )是定义在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的奇函数,⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，2)4(,01cos 'sin )(=≥++πf x f x x f ，则当x x x f cos 3sin )(≥+时，x 的取值范围是 ▲ .四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或解题步骤.17. (10分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边长度分别为a 、b 、c , 2BD =DC,b =2c . (1)求证: AD 平分∠BAC .(2)若AC 在AD 上的投影向量长度为3,求AD 的长度.18. (12分)对于数列{a n },S n 为a n 的前n 项和,n ≥2时有3S n =7a n -5a n -1,a 1=1. (1)求证: {2a n +1-a n }为等比数列. (2)求{a n }的通项.19. (12分)如图,四棱锥S-ABCD , E 、F 分别为BS 、CD 中点,ABCD 为菱形,∠BAD =60°,△SAD 为正三角形,AB = 2,面SAD ⊥面ABCD . (1)求证: EF ∥平面SAD .(2)若G 为线段AB 上一动点,求平面EFG 与平面ABCD 间最小锐二面角的余弦值.20. (12 分)为响应国家号召，打赢蓝天保卫战，坚持“绿水青山就是金山银山”绿 色新发展理念，某地区开展新型旅游产业以提高当地经济收入与发展水平.(1)下表为该地开展旅游产业后的天数x (天)与当地每日游客人数y (人)之间的关系，请从下面两个回归方程中选择更合适的一个，并求出回归方程.(保留一位小数)①y =a +bx ②y =ae bxx 10 15 18 22 25 y 124 493 1141 3498 8401(2)该地对于A 、B 两处风景区进行精细化旅游划分.其中A 地区被分为5块区域，B 地区被分为3块区域.某旅行团计划游玩其中4个区域,求选中A 地区中的区域个数X 的分布列与数学期望. 参考数据及公式: .1336051=∑=i i y35ln 51=∑=i i y30197951=∑=i i i y x672ln 51=∑=i i iy xe 1.5=4.5 e 1.6=5.0 e 1.7=5.5 e 1.8=6.0 e 1.9=6.7 对于回归方程y =a +bx :∑∑∧∧∧--=22xn xyx n y x b ii i x b y a -=21. (12 分)已知P 为圆心的圆分别与圆F 1:(x +2)2+y 2=4外切,与圆F 2:(x -2)2+y 2=36内切.(1)求P 点所在的轨迹方程C .(2)若A 、B 为曲线C 上两动点,且有过F 2且垂直于x 轴的直线平分∠AF 2B ,求证:直线AB 过定点.22. (12分)设函数f (x )=)(sin R a ax x exx ∈+-(1)a ≥1时，求证: f (x )有且只有一个零点.(2)a <0时，求证: f (x )在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,π上有且仅有两个零点.参考答案12 3 4 5 6 7 8 D CCDCBCD二、多选题9 10 11 12 BCDABDABCABD13.18 14.728 15.65252 16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,44,2ππππ 四、解答题()）4（）（）2（sin sin sin 2sin ,sin sin ,sin sin 1.17分平分即或舍分由上式可知由正弦定理，得 BAC AD CAD BAD CAD BAD CAD BAD CB CADCAD CD B AD BAD BD ∠∠=∠=∠+∠∴∠=∠==∠=∠π ())10(2,2cos )9(3cos 32(*)cos 2)7((*)212122cos cos )6(cos 2cos 2222222222222222分依题意，有分得代入由余弦定理，得分分由余弦定理，得=∴=∠⋅=∠⋅=∠⋅=-+-=-=∴∠-=∠∠⋅=-+∠⋅=-+AD CAD AC CAD AC AD CAD AC AD CD AC AD CD AC BD AB AD ADCBDA ADC CD AD AC CD AD BDABD AD AB BD AD18.(1)3S n =7a n -5a n-1① 3S n+1=7a n+1-5a n ② ②-①得,3a n+1=7a n+1-12a n +5a n-1………………(2分) 因此,4a n+1-12a n +5a n-1=0 4a n+1-2a n =10a n -5a n-1n ＝2时,3a 1＋3a 2＝7a 2-5a 1,a 2=2a 1=2,2a 2-a 1=3021≠-∴+n n a a252211=--∴-+n n n n a a a a ………………(4分)因此{2a n+1-a n }是以3为首项，公比为25的等比数列.………………(5分)()())12(254321)11(,1254321)10(2152321515,30568,2,2)7(562-2,2253-2)1(2111112223112111-n 12分因此分满足上式时分得将以上式子累加则设分得两边同乘知，由-+-+-------⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛=∴+⋅=-=-=-⋅=-===⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a b b b b b b b b b b a a a a a19. 取AS 中点H ,易得HF ∥AB ∥DE ,且HF =DE =12AB 因此四边形DEFH 是平行四边形………………(2分))4(////分平面平面平面 SAD EF SAD EF SAD DH DH EF ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊄⊂()()()()()()()())12(721cos 1)11(91252,1,251252,04)1(,4)0(1,212,10)(0128)('124)(124112521252314cos )9(12523143cos ,)1,0,0()7(3,33252,10233250232300),,(0,253,25,230,23),0,3,1(0,3,),10(0,3,1,0,23,23,23,23,00,3,20,0,10,3,0,0,0,1,3,0,0)2(2222222分最小，时，因此，当分时时上单调递增上单调递增，在，在因此设的最小值的最大值，即求于是只要求分则所成角为与平面设平面的一个法向量易知平面分的一个可能取值为因此，的一个法向量设平面则设依题意，坐标系建立如图所示平面直角轴，为轴，为轴，为，以中点取 ===⎪⎭⎫⎝⎛--==⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡>-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+-=⋅⋅==⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=≤≤=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθλλλλλλλλλλλλλλλλλθλλθθλλλλλλλλλλλλf f f f f nm n m ABCD EFG m ABCD n x z x EG n EF n c b a n EFG EG EF G AG AB AG AB E F C D B A S z OS y OB x OA O AD20. (1)由表格可知,y 与x 近似成关系y =ae bx …………(1分) 因此lny =lna +bx …………(2分) 设lny =u ,lna =v ,则u =bx +v)7(0.50.5,6.1)5(3.02317672,175818,7ln 513.06.12512515151251分分 x i ii ii x i i i i i i e y e a x b u v xn xux n ux b u x xx y u =∴≈==-=≈=--======∧==∧===∑∑∑∑∑ (2) X 可能的取值为1,2,3,4…………(8分)141)4(73)3(73)2(141)1(480345481335482325483315=⋅===⋅===⋅===⋅==C C C X P C C C X P C C C X P C C C X P…………(9分)X 1 2 3 4 P11437 37114E (X )=52 答:X 的数学期望是52. …………(12分) 21.(1)设圆P 的半径为r ,则PF 1=r +2,PF 2=6-r,PF 1+PF 2=8>F 1F 2因此P 点的运动轨迹为椭圆. …………(2分) a =4, c =2,b =2√311216:22=+∴y x C …………(4分)()())12()0,8()8(:)11(0804438)2(43484204))(2(20)2)(()2)((0)2()2(0220,)8(43484,438)7(057676848)6(04848434843),(),,(,:2222212112211221221122212212222222221122分直线恒过定点分依题意分分分斜率存在，设意，依题 ∴-=∴=+⇒=-+⋅--+-⋅∴=-+-+∴=-++-+=-+-=-+-∴=++-=+-=+≥++-=∆=-+++⇒⎩⎨⎧=++=+=x k y AB k m m k km k m k m k m x x k m x kx x m kx x m kx x y x y x yx y k k km x x k km x x k m m kmx x k y x m kx y y x B y x A m kx y AB AB B F A F[)有且仅有一个零点综上，分分单调递增分而单调递增)()3(011)11(1)(,,1.4)2(0)0()(,)(,0)(',1,1cos ,01),1,0(.30)0(,0.2)1(0)(,0)0(,)(,0)('1,1cos 11,1,11:0.1cos 1)(')1(.22x f x e x x exx f x f x f x f x f a x exx f x x f f x f x f a x e xe x x a x e xx f x x x xx x≥->-+=+-≥+∞∈=>>∴≥->->-∈==<∴=>∴≥-≥->-<>-<+--=)5(0)0(')0,1(01)1('11)('0)0(')(',0)(',221sin ,22,1,0.1sin 2)('')2(0分使得因此存在单调递减=-∈>≥--=+--≥<=<-≤-∴≤-≤-≤≤+-=f a x a f x a a x x f a f x f x f ex x x e x x ex x f x x x())7(0)(),,(011)1(11sin )(:1)10)(,0)0()0,(),()(10122000分使存在上单调递减上单调递增，在在从而 =∈∴≤+=+++-<++=++≤-+=≤>=-∞-x f x a x a a a a a e a a ea a a ea a f a x f f x x x f a a a)9(0)(),0,2(01)1(2)2(1)1(1)(:)0,1(2222分使得存在） =-∈∴<+--=-+-=-+<-∈-x f x e f e x x exx f a x x(])11(0)1(,0)0()()(,0)('01cos )1(',0)0(')1,(,),0()('0)(''),1,0(06sin 1sin )1('',2)0('',)(''0cos 3)(''':1,0.2333311分单调递减，上单调递增在上单调递减在使得存在单调递增 <=<<<+-=<=∴=∈∴>->+-=-=∴>+-=∈--f f x f x f x f a f a f x x x f x f x e e f f x f x e xx f x xπ)12(0)1()()(,0)('0,01,0cos :2,1.3分单调递减， <<<<<-≤-⎥⎦⎤⎝⎛∈f x f x f x f a e x x x x π .)(2,有且仅有两个零点时，综上，x f x ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈π.。
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟新高考数学I卷(解析版)
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟新高考数学I 卷本试卷22小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}12A x x =<≤，{}2320B x x x =-+≤，则A B =（ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x ≤≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤【解析】集合{}12A x x =<≤，{}2320B x x x =-+≤{}12x x =≤≤，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：D. 2．已知复数22i(1i)z -=-+，则z =（ ）A ．1i 2- B ．1i 2+C ．1i 2--D ．1i 2-+【解析】因为22i 2i (2i)2i 1i (1i)2i 2i 2i 2z ---⋅====+-+--⋅，所以1i 2z =-.故选：A ． 3．《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈10=尺）；若该圆锥的母线长x 尺，则x =（ ）A B C D 【解析】易知三丈五尺=35尺，五丈一尺=51尺，设圆锥的底面半径为r ，则235r π=，所以352r π=，所以x ==故选：C.4．函数1()sin 22f x x x =的单调递增区间为（ ） A ．52,2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．511,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】由辅助角公式,化简三角函数式1()sin 22f x x x =可得1()sin 22f x x x =sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k Z ∈，故选：B5．已知F 是椭圆22:115x y C m +=的右焦点，点A ⎛ ⎝⎭在C 上，直线AF 与y 轴交于点B ，点P 为上的动点，则PA PB ⋅的最小值为（ ） A ．514B ．154C ．134-D ．154-【解析】由题可得222115m ⎝⎭+=，∴16m =，即椭圆22:11615x y C +=， ∴()1,0F ，直线AF方程为)1y x =-，∴0,B ⎛ ⎝⎭，又A ⎛ ⎝⎭， 设()00,P x y ，则220011615x y +=，00002,,352,PA x PB y yx ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭， ∴()()00002y y PA PB x x ⎫-⎛⎫⋅=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎪⎭200204542x y x =-+- 202001521516454x x x -+-=-()2049111664x -=-，又044x -≤≤， ∴当04x =时，PA PB ⋅有最小值为134-.故选：C. 6．已知2αβπ+=，1tan 2β=，则cos (sin 2cos )cos (2sin cos )βαααββ+=+（ ） A ．13B ．136-C ．56D ．43【解析】因为1tan 2β=，所以22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以4tan tan(2)tan 23απββ=-=-=-，所以42cos (sin 2cos )tan 2131cos (2sin cos )2tan 13212βααααβββ-+++===++⨯+，故选：A.7．当0a >时，过点(,)a a b +均可以作曲线ln y x =的两条切线，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)-+∞【解析】设过点(,)a a b +的切线与ln y x =相切于(),,0m n m >，则有()ln 1n mn a b mm a =⎧⎪-+⎨=⎪-⎩，消去n 得：()1ln a m a b m -=-+.因为过点(,)a a b +均可以作曲线ln y x =的两条切线，所以关于m 的方程()1ln am a b m-=-+有两解. 即ln 1a b m a m =+--有两解.令()12,ln 1,0ay b y x a x x==+-->.只需1y 与2y 有两个交点. 对于()2ln 1,0a y x a x x=+-->，则()'22211a y x a x x x =-+=-.令20y '>，解得：x a >；令20y '<，解得：0x a <<.所以2y 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增.作出2y 的草图如图所示：要使1y 与2y 有两个交点，只需ln b a a >-.记()()ln ,0g a a a a =->，()()1111g a a a a'=-=-. 令()0g a '>，解得01a <<；令()0g a '<，解得1a >； 所以()ln g a a a =-在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递增. 所以()g a 的最大值为()1ln111g =-=-，所以1b >-.故选：C8．先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（ ） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丁相互独立D ．丙与丁相互独立【解析】丙事件的{第一次,第二次}点数组合为{1,6},{6,1},{2,5},{5,2},{3,4},{4,3}，则(P丙1)6=； 丁事件的{第一次,第二次}点数组合为{2,6},{6,2},{3,5},{5,3},{4,4}，则(P 丁5)36=； (P 甲)=(P 乙1)6=； ∴1、(P 甲丙)=(P 甲)(P 丙1)36=，故甲与丙相互独立. 2、(P 甲丁)0=≠(P 甲)(P 丁5)216=，故甲与丙不相互独立. 3、(P 乙丁1)36=≠(P 乙)(P 丁5)216=，故乙与丁不相互独立； 4、显然，丙与丁为互斥事件，(P 丙丁)0=≠(P 丙)(P 丁5)216=，故不相互独立. 故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（ ） A ．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变B ．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C ．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数D ．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小【解析】对于A ：例如数据1，3，5，将数据改成2，3，5，数据的中位数未改变，仍为3，故A 错误；对于B ：根据频率分布直方图中，中位数的求法，可得B 正确；对于C ：根据频率直方图可得，左边“拖尾”，且不对称，则平均数变小，中位数变大，所以平均数小于中位数，故C 正确；对于D ：方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D 正确. 故选：BCD10．已知O 为坐标原点，点(2cos ,sin )P αα，(cos ,2sin )Q ββ，(cos(),sin())A αβαβ--，(2,0)B ，则下列结论正确的是（ ） A ．||||OP OQ = B ．OA OB OP OQ ⋅=⋅C ．记w 是OP OQ ⋅的最大值，则2w =D ．记(){Ω,P Q OP OQ =⋅取得最大值，}02,02απβπ≤<≤<，则Ω中有且只有4个元素【解析】()2cos ,sin OP αα=，()cos ,2sin OQ ββ=，()()(),sin cos OA αβαβ=--，()2,0OB =.对于A ，||4cos OP =||cos OQ == 因为,a β的关系没有确定，则2cos a 与2cos β的关系也无法确定，则无法判断||,||OP OQ 的大小关系，故A 错误；对于B ，()2cos OA OB αβ⋅=-,()2cos cos 2sin sin 2cos OP OQ αββααβ⋅=+=-, 所以OA OB OP OQ ⋅=⋅，故B 正确；对于C ，2cos cos 2sin sin 2cos()OP OQ αβαβαβ⋅=+=-， 当cos()1αβ-=时，OP OQ ⋅取得最大值2，即2w =，故C 正确； 对于D ，2cos()OA OB αβ⋅=-，当OP OQ ⋅取得最大值时，cos()1αβ-=， 因为02,02απβπ≤<≤<，所以22παβπ-<-<，所以0a β-=， 即a β=，故Ω中有无数个元素，故D 错误. 故选：BC.11．已知动点P 在圆()()22334x y -+-=上，点()2,0A 、()0,1B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，3PB =D ．当PBA ∠最大时，3PB =【解析】因为点()2,0A 、()0,1B ，所以过A 、B 的直线方程为即x +2y -2=0. 圆()()22334x y -+-=的圆心坐标为(3,3)，半径r =2.因为圆心到直线x +2y -2=0的距离d ==，所以点P 到直线AB 的距离的范围为22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点P 到直线AB 的距离小于6,但不一定大于2故A 正确,B 错误.如图,当过B 的直线与圆相切时,满足∠PBA 最小或最大(P 点位于P 1时∠PBA 最小,位于P 2时∠PBA最大),此时BC =所以3PB =,故C 、D 正确. 故选：ACD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的梭长为1，点E 是线段1DD 的中点，点M 是正方形11CDD C 所在平面内一动点，下列说法正确的是（ ）A ．若点F 是线段AB 的中点，则1CF A E ∥ B ．若点G 是线段AD 的中点，则1C G ⊥平而1A BEC ．若1B M ∥平面1A BE ，则M 点轨迹在正方形11CDD C C 内的长度为2D ．若点M 到BC 的距离与到1DD 的距离相等，则M 点轨迹是抛物线 【解析】A ．如图，取CD 中点K ，11C D 中点H ，连接1,,A H HK KA ，HK 与1AA 平行且相等，则1A HKA 是平行四边形，∴1//A H AK ，又由AF 与CK 平行且相等得平行四边形AFCK ，∴//CF AK ，∴1//CF A H ， 而1A E 与1A H 相交，因此CF 与1A E 相交，A 错；B ．建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，1(0,1,)2E ，1(0,0,1)A ，1(0,,0)2G ，1(1,1,1)C ， 1(1,0,1)BA =-，1(1,1,)2BE =-，11(1,,1)2C G =---，12110C G BE ⋅=--=，110C G BA ⋅=，∴1C G 是平面1A BE 的一个法向量，1C G ⊥平而1A BE ，B 正确；C ．在选项A 基础上，取1CC 中点N ，连接11,,,,,,B H B N HN BK EK HK NE ，由11////EK CD A B 得截面1A BKE ，由HK 与1CC 与1BB 平行且相等，得平行四边形1B HKB ，∴1//B H BK ，又BK ⊂平面1A BE ，1B H ⊄平面1A BE ，∴1//B H 平面1A BE ，同理1//B N 平面1A BE ， 111B HB N B =，11,B H B N ⊂平面1B HN ，所以平面1//B HN 平面1A BE ，平面1B HN 平面11CDD C HN =，1B M ∥平面1A BE ，且M ∈平面11CDD C ，∴M HN ∈，即线段HN 为M 点轨迹，在正方形11CDD C中易得HN =C 正确；D ．由BC ⊥平面11CDD C ，CM ⊂平面11CDD C ，得BC MC ⊥，∴在平面11CDD C 内，M 到C 点的距离等于它到直线1DD 的距离，其轨迹是抛物线，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数()()3log 31xf x x ax ⎡⎤=++⎣⎦为奇函数，则实数a ＝___．【解析】函数()f x 为奇函数，则函数()3()log 31xg x ax =++为偶函数， 故()()0g x g x --=，即()()33log 31log 310xx ax ax -⎡⎤⎡⎤++-+-=⎣⎦⎣⎦， 331log 2031x x ax -++=+，则()3331log 2031x x x ax --++=+恒成立， 化简可得()120x a +=恒成立，则12a =-．当12a =-，满足()()0g x g x --=，即()g x 为偶函数，则满足函数()f x 为奇函数14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其焦点，平面内一点P 满足212PF F F ⊥，且212PF F F =，线段1PF ，2PF 分别交椭圆于点A ，B ，若1PA AF =，则22BF PF =_______.【解析】如图所示，2122PF F F c ==，且212PF F F ⊥，∴21PF F 为等腰直角三角形，又∵1PA AF =，∴12112AF AF PA PF ===， 又122AF AF a +=，∴2a =，即a ，代入222b a c =-，得b c =，由212PF F F ⊥知B x c =，代入椭圆方程解得22b b y a ===，即2BF =，∴22BF PF ﹒ 15．已知函数()4f x x x =+，()21ln 2g x x x a =-+，若1x ∃，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．【解析】由()4f x x x =+，得22244()1x f x x x '-=-=，当[1,2]x ∈时，()0f x '≤， 所以()f x 在[1,2]上单调递减，所以(2)()(1)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤， 由()21ln 2g x x x a =-+，得211()x g x x x x-'=-=，当[1,2]x ∈时，()0g x '≥， 所以()g x 在[1,2]上单调递增，所以(1)()(2)g g x g ≤≤，即1()2ln 22a g x a +≤≤-+，因为1x ∃，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，所以2ln 24152a a -+≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得92ln 22a +≤≤16．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断进行构造，又可以得到新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第()*n n N ∈次得到数列1，1x ，2x ，3x ，…，k x ，2；记1212n k a x x x =+++++则43a a -=______，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =______．【解析】第1次得到数列1，3，2，此时133a =+； 第2次得到数列1，4，3，5，2，此时2339a =++；第3次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此时333927a =+++；第4次得到数列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此时43392781a =++++， 故43a a -=81，且()()()()111122121122212333n k k n k n a x x x x x x x a x x x a +=+++++++++++=++++++-=-故133322n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又13922a -=，所以数列32n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以92为首项，公比为3的等比数列，所以139322n n a --=⋅，故1332n n a ++=，所以()23121333319333323222221324n n n n S n n n +++⎛⎫⎛⎫-=++++=+=+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知数列{}n a 满足10a =，11,,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数．记2n n b a =．(1)写出1b ，2b ，并证明：数列{}1n b +是等比数列；(2)若数列{}n c 的前n 项和为n b ，求数列{}n c 的前20项的乘积20T ．【解析】(1)因为1=0a ，所以121==1=1+b a a ，2432==1=21=3++b a a a ．因为2n n b a =，所以()12221221112121n n n n n n b a a a a b +++⎡++⎤⎣⎦===+=+=+． 所以()112221n n n b b b ++=+=+，又因为112b +=，所以1121n n b b ++=+， 所以数列{}1n b +是首项为2公比为2的等比数列．(2)因为11222n n n b -+=⨯=，所以21n n b =-，当1n =时，111c b ==．当2n ≥时，()()11121212n n n n n n c b b ---=-=---= 综上可知12n n c -=，所以0123190123191902022222=22T +++++=⨯⨯⨯⨯⨯=．18．(12分)为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛规定： ①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互浊立；②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元． 现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为23． (1)求该员工获得一等奖的概率；(2)判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由． 【解析】(1)记该员工获得一等奖为事件A ，则()222833327P A =⨯⨯=. (2)记答题总数为X ，则X 的所有可能取值为3，4，5，6，()()8327P X P A ===，()121222164333381P X C ==⨯⨯⨯⨯=，()2214533327P X ==⨯⨯=， ()()()()()81642961345127812781P X P X P X P X ==-=+=+==---=，该员工获得奖金为Y ，则()()8100327P Y P X ====， ()()()28504851P Y P X P X ===+==，()()2920681P Y P X ====， 所以()82829438010050205027818181E X =⨯+⨯+⨯=>．所以该员工获得奖金的期望能超过50元. 19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且sin sin sin sin A C bB C a c-=++．(1)求角A 的大小；(2)若4c =，△ABC 的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度． 【解析】(1)∵sin sin sin sin A C b B C a c -=++，由正弦定理可得a c bb c a c-=++，即222b c a bc +-=-．由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==-，∵()0,A π∈，∴23A π=；(2)∵4c =，△ABC 的面积为1sin 2bc A =2b =．由余弦定理得2222cos 28a b c bc A =+-=，∴a =222cos 2a c b B ac +-==∴222112cos 322AD AB BC AB BC B ⎛⎫⎛⎫=+-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴AD20．(12分)四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，//,1120AB CD AD CD BAD ∠===，，90ACB ∠=.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若二面角D -PC -A A 到平面PBC 的距离. 【解析】(1)四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥， 而90ACB ∠=，即AC BC ⊥，又PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .(2)在平面ABCD 内作Ax AB ⊥，由P A ⊥底面ABCD 可得,,Ax AB AP 两两垂直，以射线,,Ax AB AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因//AB CD ，1120AD CD BAD ==∠=，，则ADC 60∠=，即ADC 是正三角形，11,0),,0)22D C -，而AC BC ⊥，则(0,2,0)B ，设点(0,0,)P t ， 31(0,1,0),(,,),(0,0,)22DC PC t AP t ==-=，令平面DPC 的一个法向量111(,,)n x y z =， 则1111031022n DC y n PC x ytz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1z (2,0,n t =，由（1）知平面PAC 的法向量33(,0)22BC =-， 因二面角D -PC -A则|||cos ,|||||(n BC n BC n BC ⋅〈〉===，解得t 则P ，31(,22PC=，令平面PBC 的一个法向量222(,,)m x y z =， 则22222332231022m BC x y m PCx y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21y =，得(3,1,m =，又(0,2,0)AB =，所以点A 到平面PBC 的距离||||m AB d m ⋅===21．(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P 和Q .试判断OT 是否平分线段PQ （其中O 为坐标原点），并求当TFPQ取最小值时点T 的坐标.【解析】(1)依题意有22224c a a b c =⎧⎪=⎨⎪-==⎩，解得2262a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=(2)设()3,T t -，()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，由()2,0F -，可设直线PQ 的方程为2x my =-，①当0m =时，直线PQ 的方程为2x =-，此时()3,0T -，显然OT 平分线段PQ .②当0m ≠时，PQ 的斜率1PQk m =，由()222223420162x my m y my x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， ()()22216832410m m m ∴∆=++=+>，12243my y m +=+，12223y y m -⋅=+ 于是1202223y y m y m +==+，从而20022262233m x my m m -=-=-=++，2262,33m N m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 则直线ON 的斜率3ON mk =-，又由PQ TF ⊥知，直线TF 的斜率011132TF PQt k k m-==-=--+，解得t m =. 从而33OT ON t mk k ==-=-，即OT ON k k =，所以O ，N ，T 三点共线，从而OT 平分线段PQ .由两点间距离公式得TF，由弦长公式得1PQ y y =-==所以2TFPQ==，令)1x x≥，则22TFx PQ x ⎫=+≥⎪⎭22x =时，取“=”号），所以当TFPQ最小时，由2221x m ==+，得1m =或1m =-，此时点T 的坐标为()3,1-或()3,1--. 22．(12分)已知函数21()e ,2xf x x a x a =--∈R ．(1)若1a =，求()f x 的最值；(2)若1a =-，设()()21g x f x x =++，证明：当120x x +>时，()()124g x g x +>． 【解析】(1)若1a =，则21()e ,()1e 2x xf x x x f x x '=--=--，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<， 即()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，所以()f x 的极大值，也是最大值为(0)1f =-，没有最小值． (2)由题意得21()e 312x g x x x =-++，所以()e 3x g x x '=-+．令()e 3x x x ϕ=-+，则()e 1x x ϕ'=-，当0x <时，()0x ϕ'<，当0x >时，()0x ϕ'>， 即()ϕx 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则()(0)4x ϕϕ≥=，即()0g x '>，于是得()g x 在R 上单调递增． 设2()()()e e 2x x F x g x g x x -=+-=+-+，则()e e 2x x F x x '-=--，令()e e 2x x G x x -=--，则()e e 220x x G x '-=+-≥=， 所以()G x 在R 上单调递增，而(0)0G =，所以当0x <时，()()0F x G x '=<，当0x >时，()()0F x G x '=>， 即()F x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 则()(0)4F x F ≥=，即()()4g x g x +-≥． 当120x x +>时，12x x >-，所以()()12g x g x >-． 所以()()()()12224g x g x g x g x +>-+≥．。
2022年高考数学模拟试卷(含答案)
高考数学模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp （λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= {0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x ﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，] ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出a n=n+1，n∈N，再分别表示出S n与T n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c n=，利用换元法和作差法得到数列{c n}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵a n2+b n a n﹣12=2n+1，a1=2，b n=﹣1∴a n2﹣a n﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，a n2﹣a n﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到a n2﹣a12=，∴a n2=（n+1）2，n≥2，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n=n+1，当n=1时，也成立，∴a n=n+1，n∈N*，∴S n==2n﹣1，T n==，下面比较S n与T n的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令c n=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{c n}为递增数列，∴c n≥c6=＞1，∴n≥6时，S n2＜T n2，综上所述：当n=2，3，4，5时，S n＞T n，当n=1，n≥6时，S n＜T n．20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n=na n﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…a n﹣1a n=2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n=2×3×4×…×n=n!∴．高考数学模拟试卷二第Ⅰ卷（必做题，共160分）??一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ． 8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ．9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y +=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB//DE ，BC//EF ． （1）求证：平面ABC//平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ． 17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）AFED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的 取值范围. 19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，． （1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m *( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n nb -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第18题）（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCDB ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长．D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线 22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标．23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ……………………＊ ＊ … ＊ ＊（2）猜想n p 的表达式，并证明．参考答案一、填空题 1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i i z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π．9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14．()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，()514，，．二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=， 解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜， 从而23C π=，即23C π=． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC 的面积1sin 2ab C =得， 13ab =， ② 由①②得，a b =． 16． （1）因为AB//DE ，又AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以AB//平面DEF ， 同理BC//平面DEF ， 又因为ABBC C =，OAB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC//平面DEF. （2）因为CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE. 17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NFEM PE =，所以2121n m -=-， 即211m n +=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn=最小．由211m n =+≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时， “=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n mm n =即2m =，1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米． 18． （1）由椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）知，焦距为2=，解得a =因为a ＞1，所以a .（第17题）。
2022年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2022年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.若复数z满足为虚数单位，则复数z的共轭复数( )A. B. C. D.3.学校开设了多种体育类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体育锻炼的需要．该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测．甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是( )A. 游泳B. 武术C. 体操D. 排球4.经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为( )A. 2B.C. 1D.5.已知，则的值是( )A. B. C. D.6.已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是( )A. B. C. D.7.已知双曲线C：的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是( )A. B. 2 C. D. 38.已知函数对任意都有，若的图像关于直线对称，且对任意的，，，当时，都有，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式．并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是( )A. 扇形图中D的占比最小B. 柱形图中A和C一样高C. 无法计算扇形图中A的占比D. 估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半10.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则下列结论正确的是( )A. B.C. 平面D. 平面11.已知函数，其中a，，则下列条件中使得函数有且仅有一个零点的是( )A. ，为奇函数B.C. ，D. ，12.设函数定义域为D，若存在x，，且，使得，则称函数是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是( )A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(4)
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=___.A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2] 2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．设a=,b=1,c=log213,则a,b,c的大小关系为A.b>a>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a 4．已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|=A.4B.2C.D.15．函数f(x)=在区间(-π,0)∪(0,π)内的大致图象是A. B.C. D.6．已知,从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为A. B. C. D.17．如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B到l的距离分别是a和b,AB与α,β所成的角分别是θ和φ,AB在α,β内的射影分别是m和n,若a>b,则A.θ>φ,m>nB.θ>φ,m<nC.θ<φ,m<nD.θ<φ,m>n8．如图是一个算法的程序框图，如果输入，那么输出的结果为A. B. C. D.9．设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0成立的最大的自然数n是A.9B.10C.11D.1210．已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(x+)是偶函数,且当0<x≤1时,f(x)=,则A.f()>f()>B.f()>f()>C.>f()>f()D.>f()>f()11．函数y=sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(-,0)中心对称A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度12．如图,设α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为B,D,且AB≠C D.如果增加一个条件就能推出BD⊥EF,给出四个条件:①AC⊥β;②AC⊥EF;③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上;④AC与BD在β内的正投影所在的直线交于一点.那么这个条件不可能是A.①②B.②③C.③D.④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f(x)=2e x ln-kx(e=2.718 28…是自然对数的底数)有两个不同的零点,则实数k的取值范围是.14．如图所示是函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的图象,由图中条件求得该函数的解析式为.15．已知首项为的数列满足),且,数列中任意相邻两项的和不为0,若为数列的前项和,则 . 16．已知P是圆C:x2+y2+4x-y+8=0上一动点,P关于y轴的对称点为M,关于直线y=x的对称点为N,则|MN|的取值范围是.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小;(2)若,△的面积,求△的周长．18．如图1,在四边形ABCD中,E是边AD的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=∠DCE=60°.将△CDE沿CE折起,使得点D到达点P的位置(如图2).若四棱锥P-ABCE的体积最大.(1)求证:BE⊥PC;(2)求三棱锥P-BCE的表面积.19．为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号,下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台,求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台,记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.20．已知椭圆C:=1(a>b>0)过点M(,),且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B两点,过点A作直线AB的垂线,交椭圆C于点D,连接BD,与x,y轴分别交于点P,Q,过原点O作直线BD的垂线,垂足为R,求|OR|·|PQ|的最大值. 21．已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
陕西省2022届高三数学第一次模拟联考试题 理(含解析)
陕西省2022届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。
【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简单题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(2)
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．若集合A={x||x|≤1,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是A.(0，–2]B.[–2，+∞)C.(–∞，–2]D.[2，+∞)4．以AB为直径的半圆如图所示,其中||=8,O为其所在圆的圆心,OB的垂直平分线与圆弧交于点P,与AB交于点D,Q为PD上一点,若=0,则·=A.9B.15C.-9D.-155．已知lg a+lg b=0,函数f(x)=a x与函数g(x)=-log b x的图像可能是A BC D6．袋子中有四个小球,分别写有“和”“平”“世”“界”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“和”“平”两个字都取到才算完成.用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,随机模拟产生了以下24组随机数组:由此可以估计,恰好取三次便完成的概率为A. B. C. D.7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE 与平面BB1C1C所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°8．执行如图所示的程序框图,若输入的k=,则输出的S=A. B. C. D.9．已知等差数列的前项和分别为,若,则的值是A. B. C. D.10．若x1,x2∈R,则的最小值是A.1B.2C.3D.411．已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=012．若a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若a⊥b,b⊥α,α⊥β,则a⊥βB.若α⊥β,a⊥α,b∥β,则a⊥bC.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥bD.若a∥b,a⊥α,b∥β,则α∥β第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为.14．已知{a n}是递增的等差数列,其前n项和为S n,且S2=S7,写出一个满足条件的数列{a n}的通项公式a n= .15．已知数列{a n}的前n项和为S n,a n+2S n=3n,数列{b n}满足(3a n+2-a n+1)(n∈N*),则数列{b n}的前10项和为.16．已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上.若△PF1F2为直角三角形,且tan∠PF1F2=,则双曲线的离心率为.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(+C)=.(1)求角A;(2)若a=4,△ABC的周长为9,求△ABC的面积.18．如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,BB1⊥底面ABCD,E是棱CC1的中点.(1)求证:AC∥平面B1DE;(2)求证:平面BDD1B1⊥平面B1D E.19．2020年12月10日,首届全国职业技能大赛在广州广交会展馆拉开帷幕,活动为期4天,2 557名参赛选手围绕86个比赛项目展开激烈角逐.大赛组委会秘书长、人社部职业能力建设司司长张立新表示,这次大赛是新中国成立以来规格最高、项目最多、规模最大、水平最高的综合性国家职业技能赛事.为了准备下一届比赛,甲、乙两支代表队各自安排了10名选手参与选拔活动,他们在活动中取得的成绩(单位:分,满分100分)如下:甲代表队:95 95 79 93 86 94 97 88 81 89乙代表队:88 83 95 84 86 97 81 82 85 99(1)分别求甲、乙两支代表队成绩的平均值,并据此判断哪支代表队的成绩更好;(2)甲、乙两支代表队的总负责人计划从这两支队伍得分超过90分的选手中随机选择4名参加强化训练,记参加强化训练的选手来自甲代表队的人数为X,求X的分布列和数学期望.20．已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作直线与椭圆交于两点,问在轴上是否存在点,使为定值,若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.21．已知函数f(x)=(x-2)e x-x2+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)+(x+1)e x+x2-2ax+a>0恒成立,求a的取值范围.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
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2022年新高考模拟测试卷一数学试题一、单选题 (每题5分，共8题；共40分)1．已知集合A={x|2−x⩾0}，B={x∈Z|y=ln(x+1)}，则A∩B=（）A．[−1，2]B．(−1，2]C．{0，1，2}D．{−1，0，1，2}2．已知复数z=2+i1+i，则z_的虚部为（）A．12B．12i C．−12D．−12i3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.8，则P(−1<ξ<1)=（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.64．函数y=e 2x−1e2x+1⋅cosx的图象可能是（）A．B．C．D．5．正三棱锥S−ABC中，SA=2，AB=2√2，则该棱锥外接球的表面积为（）A．4√3πB．4πC．12πD．6π6．（5分）已知向量a⃗=(sinθ,1)，b⃗=(2sinθ,−1)，且a⃗⊥b⃗，则cos2θ=（）A．0B．12C．√22D．-17．已知椭圆x2a12+y2=1与双曲线x2a22−y2=1有相同的焦点F1、F2，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则（）A．e1e2=1B．e22−e12=1 C．e12+e22=2e12e22D．e2=2e18．若函数g(x)在区间D上，对∀a、b、c∈D，g(a)、g(b)、g(c)为一个三角形的三边长，则称函数g(x)为“稳定函数”．已知函数f(x)=lnx x+m在区间[1e2,e2]上是“稳定函数”，则实数m的取值范围为（）A．(2e+1e,+∞)B．(2e2+1e,+∞)C．(4e+1e,+∞)D．(4e2+1e,+∞)二、多选题 (每题5分，共4题；共20分)9．下列关于向量a⃗，b⃗，c⃗的运算，一定成立的有（）A．(a+b⃗)⋅c=a⋅c+b⃗⋅c B．(a⋅b⃗)⋅c=a⋅(b⃗⋅c)C．a⃗⋅b⃗≤|a⃗|⋅|b⃗|D．|a−b⃗|≤|a |+|b⃗|10．已知函数f(x)=2sinxcosxcosφ+cos2xsinφ(−π<φ<π)，则（）A．函数f(x)的最小正周期为πB．若函数f(x)为偶函数，则φ=π2C．若φ=−π3，则函数y=f(x)的图象可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到D．若φ=π6，则函数y=f(x)的图象的对称中心为(kπ2+5π12,0)(k∈Z)11．已知椭圆C:x 216+y29=1上有一点P，F1、F2分别为左､右焦点，∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S，则下列选项正确的是（）A．若θ=60°，则S=3√3B．若S=9，则θ=90°C．若△PF1F2为钝角三角形，则S∈(0,9√74)D．椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20]12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1,10i−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i，在[10,10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则（）A．P i<P i+1(2≤i≤n−1)B．Qn <1n−1∑P ini=2C．Qn >1n−1∑P ini=2D．∑P ii=2n<1三、填空题 (每题5分，共4题；共20分)13．已知正三角形 ABC 的边长为 3 ， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14．为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A 类药，2盒B 类药，1盒C 类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A 类药中只有2盒在相邻两天被检测．则不同的检测方案的个数是 ．15．若不等式 (ax 2+bx +1)e x ≤1 对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，则a＋b 的取值范围是 ．16．正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为1， E ， F 分别为 BC ， CC 1 的中点．则平面 AEF截正方体所得的截面面积为 ；以点 E 为球心，以 √104 为半径的球面与对角面 ACC 1A 1的交线长为 ． （前一个空2分，后一个空3分）四、解答题 (共6题；共70分)17．（10分）①acosC +√3asinC −b −c =0 ；②tanB +tanC −√3tanBtanC =−√3 ；③cos2A −3cos(B +C)=1 ；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值.若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在 △ABC ，它的内角其 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且， a =√3 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．（12分）数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ， a 1=1 ， S n =12(a n+1−1) .（1）（5分）证明数列 {a n } 是等比数列，并求通项 a n ；（2）（7分）若等差数列 {b n } 的各项均为正数，且 ∑b i 4i=1=24 ， a 1+b 1 ， a 2+b 2 ， a 3+b 3 成等比数列，求数列 {a n b n } 的前 n 项和 T n19．（12分）如图，已知五面体 ABCDEF 中， CDEF 为正方形，且平面 CDEF ⊥ 平面 ABCD ，∠ADC =∠BCD =120∘ .（1）（5分）证明： ABCD 为等腰梯形；（2）（7分）若 AD =DE ，求二面角 F −BD −C 的余弦值.20．（12分）利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围 x(cm) 与肺活量 y(ml) 的样本，计算平均值 x̅=80.5 ， y ̅=4030 ，并求出线性回归方程为 y ̂=32.26x +a .高一男生胸围与肺活量样本统计表(参考公式及数据： b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x ̅)2n i=1， r =∑(x i −x ̅)i=1(y −y ̅)√∑(x i −x ̅)2n i=1∑(y i −y̅)2n i=1， √∑(x i −x̅)220i=1≈38 ， √∑(y i −y̅)220i=1≈2040 .) 附：相关性检验的临界值表（1）（3分）求a的值；（2）（4分）求样本y与x的相关系数r，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001)；（3）（5分）将肺活量不低于4500ml视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取4名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.21．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且点(1,−32)在椭圆上．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（7分）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线BN的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点．22．（12分）设函数f(x)=a x+e−x(a>1).（1）（5分）求证：f(x)有极值点；（2）（7分）设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n−m的最小值.2022年新高考模拟测试卷一数学试题答案与解析1．【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={x|2−x⩾0}={x|x⩽2}，B={x∈Z|y=ln(x+1)}={x∈Z|x>−1}，∴A∩B={0，1，2}。
故答案为：C．【分析】利用已知条件结合一元一次不等式求解集的方法，从而求出集合A，再利用对数型函数的定义域求解方法和元素与集合的关系，从而求出集合B，再利用交集的运算法则，从而求出集合A 和集合B的交集。
2．【答案】A【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】因为z=2+i1+i=(2+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i+i+12=32−12i，所以z̅=32+i2，因此z的虚部为12。
故答案为：A.【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。
3．【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】因为随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，所以正态曲线的对称轴为x=1，因为P(ξ<3)=0.8，所以P(ξ≥3)=P(ξ≤−1)=0.2，所以P(−1<ξ<1)=0.5−P(ξ≤−1)=0.5−0.2=0.3，故答案为：B【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 4．【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】设f(x)=e 2x−1e2x+1⋅cosx，该函数的定义域为R，f(−x)=e −2x−1e−2x+1cos(−x)=e2x(e−2x−1)e2x(e−2x+1)cosx=1−e2x1+e2x⋅cosx=−f(x)，所以，函数f(x)为奇函数，排除BD选项；当0<x<π2时，e2x−1e2x+1>0，cosx>0，所以，f(x)>0，排除C选项.故答案为：A.【分析】由函数奇偶性的概念可判断函数f(x)为奇函数,排除选项B和D,再对比选项A和C,只需考虑0<x<π2时，f(x)与0的大小关系,即可得解.5．【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】正三棱锥S−ABC中，SA=2，AB=2√2, 所以SA2+SB2=AB2,故SA⊥SB,同理可得SA⊥SC, SB⊥SC,以SA,SB,SC为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以(2R)2=22+22+22=12，故球的表面积为 S =4πR 2=12π , 故答案为：C【分析】 由正三楼维中 SA =2 ， AB =2√2 ，可知三条侧棱互相垂直，可补为正方体求解.6．【答案】A【考点】数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；二倍角的余弦公式 【解析】【解答】由 a ⃗ ⊥b⃗ 有 2sin 2θ−1=0 ，化简有 cos2θ=0 。
故答案为：A.【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，从而得出2sin 2θ−1=0，再利用二倍角的余弦公式，从而求出cos2θ的值。