二维离散小波变换
小波分析实验：二维离散小波变换(Mallat快速算法)
小波分析实验：实验2二维离散小波变换（Mallat快速算法）实验目的：在理解离散小波变换原理和Mallat快速算法的基础上，通过编程对图像进行二维离散小波变换，从而加深对二维小波分解和重构的理性和感性认识，并能提高编程能力，为今后的学习和工作奠定基础。
实验工具：计算机，matlab6.5分解算法:重构算法: “"二工必（刃- 2上*［十三g （刃- 2k ）d ［ *分解算法写成矩阵的形式！ （lb g 的长度为4）4[0]如]力⑵ h[3] 0 0 0 '［勺【0】• 记"h[0] h[\]h[2]山⑶ …• ••••・ • •C J=勺【1] • •申[2] h[3] 00 0-.^[0] ^[1]_.勺［乃-1】_>[0] g[l] g ⑵ g[3] 0 • • •e=• 0 •g[0] g[l]g ⑵ • • g[3]■ • •・■ 0• D J =<[i]■•目2] ■g[3]0 0…茎0] 畀］|g[0] g[l] g[2] g[3] 0 0 0 I0 0 g[0] g[l]g[2] S [3] - 0• ••••• • ••・•・・■ • • g[2] g[3] 0 00 ...g[0] g[l]J |_勺4-1[叨］I二・(2»于是Mallat分解公式为矩阵变换？丄Cj- = PC^................. ⑶卩D j = Q D J-L..... .......... ⑷重构算法写成矩阵变换：-C J_I =C$ + Dj------------------------------------ (5) 4M NPPq. 一片『峰值信噪比计算公式：P沁沁逻竺皿E卢H耿V 屈E M ｛皿，00分别表示原始图像和重建图像，且本实验采取的一些小技乐P (I)分SW法…编程时用如下思想：（h, g 的长度为4）“今［1］勺［刀-1］■ V■■丐⑼£［1］ 4刀-1】将数据。
手算二维离散小波分解
手算二维离散小波分解二维离散小波分解是一种用于信号处理和图像压缩的数学算法。
它可以将二维信号分解为多个不同频率的子带，并对每个子带进行进一步的分解，直到达到所需的精度。
本文将介绍手算二维离散小波分解的基本步骤和原理。
我们需要选择一个合适的小波基函数。
常用的小波基函数有Haar 小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。
在本文中，我们选择使用Haar小波作为例子进行说明。
第一步是将原始信号进行水平和垂直方向的平滑和细节分解。
对于一个N×N的二维信号，我们可以将其分割为四个N/2×N/2的子信号。
其中，水平平滑系数表示水平方向上的低频分量，垂直平滑系数表示垂直方向上的低频分量，水平细节系数表示水平方向上的高频分量，垂直细节系数表示垂直方向上的高频分量。
接下来，我们对水平平滑系数和垂直平滑系数进行进一步的分解。
重复前面的步骤，将每个子信号再次分解为四个更小的子信号。
这样，我们可以得到水平平滑系数和垂直平滑系数的多层分解结果。
对于水平细节系数和垂直细节系数，我们不再进行分解，而是保留它们用于后续的重构。
这些细节系数表示了原始信号中的高频分量，对于图像压缩和边缘检测等应用非常重要。
在完成分解后，我们可以对每个子信号进行进一步的处理，例如进行阈值处理、量化和编码等。
这些处理可以根据具体的应用需求进行，以达到对信号的压缩或分析的目的。
我们可以通过逆小波变换将分解后的信号重构为原始信号。
逆小波变换是小波分解的逆过程，可以通过对每个子信号进行逆处理和合并来实现。
重构后的信号可以用于恢复原始图像，或者用于其他信号处理任务。
总结起来，手算二维离散小波分解的步骤包括选择合适的小波基函数、进行水平和垂直方向的平滑和细节分解、对平滑系数进行进一步的分解、保留细节系数、对子信号进行处理和逆变换重构。
通过这些步骤，我们可以将二维信号分解为多个子带，并对每个子带进行进一步的分析和处理。
二维离散小波分解在信号处理和图像压缩领域具有广泛的应用，可以提取信号中的有用信息并减少冗余数据，从而提高数据传输和存储的效率。
傅里叶变换、离散余弦变换与小波变换
二维离散傅里叶、余弦、小波变换专业班级：10 信息安全学生姓名：***学生学号：_ ************** _指导教师：***完成时间：2022年4月28日数字图像处理实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换一、实验目的1. 了解图像正变换和逆变换的原理。
2. 了解图像变换系数的特点。
3. 掌握常用图像变换的实现过程。
4. 掌握图像的频谱分析方法。
5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。
二、实验主要仪器设备1. 微型计算机：Intel Pentium 及更高。
2. MATLAB 软件。
三、实验原理二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB 中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。
1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：∑∑-=-=+-=101)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π （1） ∑∑-=-=+=1010)//(2),(),(M u N v N vy M ux j e v u F y x f π （2）频谱公式如式（3）所示：),(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(v u I v u R v u F v u jI v u R e v u F v u F v u j +=+==ϕ （3） 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。
先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。
显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。
此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。
二维haar小波变换
二维haar小波变换
二维Haar小波变换是一种基于数学理论的图像处理技术，可以将图像分解为一组基函数，同时还可以从中提取出特征信息。
Haar
小波变换是一种快速离散小波变换，具有高效、简便的特点，适用于图像压缩、图像增强等领域的应用。
二维Haar小波变换通常是通过将图像分解为多个子图像来实现的。
在每个子图像中，Haar小波变换被应用于每一行和每一列，从而分别得到水平和垂直方向的小波系数。
这些小波系数表示了图像在空间域中的局部变化。
通过对这些小波系数进行适当的处理和量化，就可以实现图像压缩。
同时，这些小波系数还可以用于图像增强和特征提取。
例如，通过对小波系数进行阈值处理，可以去除图像中的噪声，从而提高图像的清晰度和质量。
除了二维Haar小波变换之外，还有其他的小波变换技术，如三维小波变换和连续小波变换等。
这些技术都可以用于图像处理领域，并且具有各自的优缺点。
在实际应用中，需要根据具体情况选择最适合的小波变换技术。
综上所述，二维Haar小波变换是一种重要的图像处理技术，可以实现图像压缩、增强和特征提取等功能。
随着计算机技术的不断发展和进步，小波变换技术在图像处理领域的应用将会越来越广泛。
- 1 -。
第10章 二维小波变换及其应用(1)
• ↓2为下采样， 故A1与D1的长度为X的一半；↑2为上采样 • 计算
• A1(k) = X(2k-1)*H0(1) + X(2k)*H0(2) + … + X(2*k+L-2)*H0(L) • D1(k) = X(2k-1)*H1(1) + X(2k)*H1(2) + … + X(2*k+L-2)*H1(L)
第十章 二维小波变换及其应用 Chapter 10
2
目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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1D-DWT原理(1)
正变换(分解)
逆变换(重构)
• X为原始信号, A1与D1为低、高频信号, Y为重构信号; 四者为矢量 • H0与H1为分解的低通与高通滤波器，G0与G1为重构滤波器；四
• 逐列变换后，得列变换子图，亦即DWT子图
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目录
2D-DWT背景 2D-DWT效果 2D-DWT原理 1D-DWT效果 1D-DWT原理 2D-SWT
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1D-DWT效果(1)
原始信号为Barbara图像的第一行
• 经过一级1D-DWT变换(正变换)，原始信号被分解为两个子信号： 低频A1，以及高频D1. 两个子信号的长度为原始信号的1/2
二维小波变换的缺点
二维小波变换的缺点
二维小波变换作为一种信号处理与图像处理中常用的技术，在很多领域都有着广泛的应用。
它可以将信号或图像在时间和频率域上进行分析，提取出其中的特征信息，从而实现降噪、压缩和边缘检测等功能。
然而，二维小波变换也存在一些缺点，限制了它在某些情况下的应用。
首先，二维小波变换对于图像中的局部特征提取能力较弱。
在图像处理中，通常需要对图像中的边缘、纹理等局部特征进行分析和提取，但是二维小波变换往往无法有效地捕捉到这些局部特征，导致在一些图像处理任务中表现欠佳。
其次，二维小波变换在处理非平稳信号时存在一定的局限性。
由于二维小波变换是基于一组固定的基函数进行的，因此对于非平稳信号的处理效果不佳。
在实际应用中，很多信号都是非平稳的，这就限制了二维小波变换在一些实际场景下的应用。
另外，二维小波变换的计算复杂度较高。
在进行二维小波变换时，需要进行大量的卷积运算和下采样操作，这就导致了计算量较大，特别是对于大尺寸的图像来说，计算时间会更长，限制了其在实时处理和大规模数据处理中的应用。
此外，二维小波变换在编程实现上也相对较为复杂。
相比于其他一些信号处理和图像处理技术，二维小波变换的编程实现相对困难一些，需要对其原理和算法有较深入的理解，这就增加了在实际应用中的成本和难度。
综上所述，二维小波变换虽然在信号处理和图像处理中有着广泛的应用，但是它也存在一些缺点，限制了其在某些情况下的应用。
在未来的研究中，可以通过改进算法和技术，来克服这些缺点，使二维小波变换能够更好地适应各种实际应用场景。
静态二维离散小波变换
静态二维离散小波变换
静态二维离散小波变换（2D-DWT）是一种信号处理技术，用于在图像和视频等多维数据上进行特征提取、降噪和压缩等任务。
通过将频率和空间信息分离，2D-DWT可以将图像分解成低频和高频子带，在不同频带内对图像进行不同程度的平滑和细节保留，从而实现信号的压缩和降噪。
2D-DWT通常采用多级分解的方式，即将原始图像重复进行分解，直到达到所需的分辨率或特定的应用要求。
每个分解级别包括一个水平低频分量（LL）、一个水平高频分量（LH）、一个垂直高频分量（HL）和一个对角线高频分量（HH）。
图像的2D-DWT过程如下：
对于二维图像，首先对每一行进行一维离散小波变换（DWT），得到该行的低频分量和高频分量。
将第一步得到的结果进行转置操作，然后再对每一行进行一维DWT，得到该列的低频分量和高频分量。
将第二步得到的结果再次转置，得到该图像对角线位置的高频分量。
将第二步得到的低频分量进行下采样，得到一半大小的低频分量。
将第二步得到的高频分量进行下采样，得到一半大小的高频分量。
重复以上步骤直到达到所需分解级别，最终得到原始图像在不同尺度下的低频和高频子带。
dwt2函数
dwt2函数dwt2函数是数字图像处理中常用的一种离散小波变换函数。
它可以将一幅图像分解成多个不同频率的子图像，从而实现图像的多尺度分析和压缩。
本文将介绍dwt2函数的基本原理和应用。
dwt2函数是MATLAB中的一个内置函数，用于对二维图像进行离散小波变换。
它的输入参数包括图像矩阵、小波滤波器和分解层数。
其中，图像矩阵是一个二维数组，表示待处理的图像；小波滤波器是一个二维数组，用于对图像进行滤波；分解层数表示将图像分解成多少层子图像。
dwt2函数的基本原理是将图像分解成低频子图像(LL)和三个高频子图像(LH、HL和HH)。
其中，LL子图像包含图像的低频信息，而LH、HL和HH子图像则包含图像的高频信息。
通过对这些子图像进行进一步的分解，可以得到更多不同频率的子图像。
dwt2函数的应用非常广泛。
首先，它可以用于图像的多尺度分析。
通过对图像进行不同层次的分解，可以得到不同尺度下的图像信息。
这对于图像的特征提取、边缘检测等任务非常有用。
其次，dwt2函数还可以用于图像的压缩。
由于小波变换具有良好的能量集中性，可以将图像的能量集中在少数系数上，从而实现图像的压缩。
此外，dwt2函数还可以用于图像的去噪、图像融合等应用。
在使用dwt2函数时，需要注意一些问题。
首先，选择合适的小波滤波器非常重要。
不同的小波滤波器对图像的分解效果有很大影响。
常用的小波滤波器有haar、db、sym等。
其次，分解层数的选择也需要根据具体应用来确定。
分解层数越多，得到的子图像越多，但计算量也会增加。
最后，对于图像的重构，可以使用idwt2函数进行逆变换。
总之，dwt2函数是数字图像处理中常用的一种离散小波变换函数。
它可以将图像分解成多个不同频率的子图像，实现图像的多尺度分析和压缩。
在实际应用中，我们需要根据具体需求选择合适的小波滤波器和分解层数。
通过合理使用dwt2函数，可以实现对图像的高效处理和分析。
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小波变换实验一
二维离散小波变换(Mallat 快速算法)
一、实验目的
本实验的目的在于利用matlab 程序实现二维离散小波变换，并对小波系数矩阵进行重构，进而在程序的编辑过程中理解二维离散小波变换和重构的原理和实现。
同时利用不同的小波和边缘沿途哦方法，对小波系数矩阵的能量、均值、方差、信噪比等统计量进行分析比较，更深入的了解小波变换。
二、实验原理、实验编程思路
本实验基于matlab 平台，编程实现二维离散小波变换的分解和重构。
已经知道离散小波变换的 1、分解算法：
~
2、重构算法：
基于这样的分解和重构算法公式，可以将二维离散小波变换的分解算法写成矩阵的形式，以h 、g 的长度为4为例：
）
∑∑---=-=n
j n j k n j n j
k
d k n g d c k n h c 1
1
)2()2(∑∑-+-=-k
j
k k
j k k n
d k n g c k n h c )2()2(1
~
所以此时，mallat 分解公式写成矩阵变换就应该为：
同样，重构算法写成矩阵形式应该为：
在进行分解计算的过程当中，将数据1 j C 进行几种不同方式的边缘扩展（周期、补零、连续等），再将低通（高通）滤波器进行填零到数据长度，然后进行卷积计算，再2抽样，组合即可得到)(j j D C 。
{
对于重构算法，对小波系数矩阵的前一半系数和后一半系数分别进行插零后，利用高通和低通滤波器进行重构，得到的结果组合后就形成重构结果。
在程序中，进行原始数据的边缘拓展的时候，采用Y = WEXTEND(TYPE，MODE，X，L，LOC)函数进行不同类型的扩展。
对扩展的数据进行小波变换分解之后，再对小波系数进行截断处理，得到最终的小波系数矩阵。
;
编写的程序架构主要分为一级小波分解和重构函数mdec1和mrec1，多级小波分解和重构函数mallatdec2和mallatrec2，主函数通过对上述几个函数的调用实现二维离散小波变换的分解和重构。
然后通过改变主函数的参数（小波类型），来实现对不同类型小波来计算得到结果的比较；在通过改变Wextend函数的参数实现对采取不同的边缘延拓的方法得到的峰值信噪比的比较。
三、实验结果
1、对图像进行二维离散小波变换，变换级数大于等于3级。
然后进行阈值化处理(阈值约为10左右)，再统计系数中0的个数（百分比表示）并进行重构，最后计算重构图像的峰值信噪比(PSNR)。
对图像进行三级变换，选取阈值为10，最后得到实验结果为：3级变换得到的小波系数：
!
、
原始图像和重构图像的比较：
,
系数中0的个数：
c=53715，num_0=%。
重构图像的峰值信噪比(PSNR)：
psnr =。
2、取不同的边缘延拓的方法时，得到峰值、信噪比的比较。
在edgeextend进行小波变换的函数中，通过改变Y=WEXTEND(TYPE,MODE,X,L)中的参数mode：'zpd' 补零延拓、'spd' (or 'sp1')平滑延拓、'symw'对陈延拓、'ppd'周期延拓，来实现几种不同的边缘处理方法，最后得到小波系数的峰值和信噪比如下：边缘延拓类型峰值信噪比（psnr）@245
'zpd'
'spd' 245
'symw'245
'ppd'245
[
3、取不同的小波滤波器对其小波系数能量分布、均值、方差等参数的比较。
在main函数中，改变A=mallatdec2(I,'db5',3)里面的小波类型，从而得到不同的小波滤波器对图像进行小波变换。
常见的小波有Daubechies: 'db1' or 'haar',
'db2', ... ,'db45'；Coiflets: 'coif1', ... , 'coif5'；Symlets:
'sym2' , ... ,'sym8', ... ,'sym45'；Discrete Meyer wavelet: 'dmey'等。
几种小波分别选取'db5'、'coif3'、'sym2'、'dmey'，最终的到的比较结果如下表：小波类型能量分布均值方差
'db5'%
+004
'coif3'+004
'sym2'+004 'dmey'+004
从表中可以看出，利用几种不同的小波进行小波变化分解计算，最终得到的结果可以看出，小波系数的均值和方差都相差无几'sym2'的均值最大，方差最小，故能量分布较为均匀。
几幅能量分布图中可以看出，小波系数的能量主要都集中在低频段，而在中高频的范围内只有少量的能量分布，且用'sym2'和'dmey'较另外两种小波'db5'、'coif3'在中频附近的能量要稍大。