地层水力压裂中的应力强度因子
地层压裂缝高度预测方法及应用
关 键 词 水 力 压 裂 ； 力 强 度 因子 ； 石 韧 度 ； 缝 高度 应 岩 裂
裂裂 缝 的高度 与 测试 时相 同 ， ４ 为 ０米 ， 到 了预期 达
的效 果 。
６ 结 束 语
（ ） 测 井资 料应 用 于水 力 压裂 中 ， 压裂 设计 １将 为
提 供 缝高 输人 参数 ， 据缝 高与施 工压 力关 系 ， 根 可调 整并 控制 裂缝 的垂 向扩 展 ， 而 达到 指导 压裂施 工 ， 进
达 式 为 单 轴 抗 压 强 度 Ｓ ＝ Ｅ『 ． ０ Ｖ ＝ Ｏ ８ ＋ ０ ０ ４ （ ～ Ｖ ］ ＝ ０ ．０ ５１ ）
了
一
ａ 一 （ ＋ Ｓ ） ２ — Ｓ ）ｏ ２ 一 （ 一 ａ ） （ ） ｏ ｆ一 （ ｃຫໍສະໝຸດ ｓ０ ｐＰ ７ （） １
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版 社 ，９ ７ １９．
Ｅ３ 杨 雷 、 洪 亮 等 ， 裂 压 力 预 测 的应 用 研 究 ［］ 新 疆 石 油 学 院 学 ２ 王 破 Ｊ，
报 ，０ ２ １ （ ）６ — ７． ２０ ，４４ ：７ ０
Ｅ ３刘萍英、 ３ 郑淑芬 、 周政英等 ， 井资料 在压裂技术 中的 应用［ ］ 测 Ｊ，
空 航 天大学 、 西大学 等 ３ 广 ０所 院校 获得 了大赛优 胜 学校 。大赛 由工业 和 信 息化 部 人 才交 流 中心 、 育 部高 教
等学 校计算 机 科学 与技术 教学 指 导委 员会 主办 。
[doc]确定地层最小主应力及临界应力强度因子的新方法
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确定地层最小主应力及临界应力强度因子的新方法实测数据拟台.可确定地层的最小水平主应力和岩石的临界应力强度因子-并用实倒说明了进种方击前:瑟’数值幽㈣Ⅱ栅舭蜘瞰酬锄馥覆硒分主蠢谒数值模型a拟合a 强度理论a主应力I[强度因子]膨刃了q暖倒F÷目法再石_~E一312/.O前言随着油层压裂规模的增大,迪里圭墨里全三堡塞丝三垄矍型丝堑里翌堡进垫直堂l,行.但是对于三维模型,普遍存在储,盖层最小水平主应力及临界应力强度因子的确定问题,而这两个参数恰恰是控制裂缝三维扩展的主要因素,它们的正确与否直接影响着压裂设计的水平….对于确定地层最小主应力,通常采用小型压裂,即用压裂施工曲线来确定;但对于地层临界应力强度因子的确定,虽然曾借鉴测定机械材料临界应力强度因子的原理,试图通过室内实验来确定,但都因地层岩石脆性大,易破碎而失败.本文以美国的哥哈塔布(khattabHA)采用的方法为基础,通过研究裂缝和油藏间的相互作用和影响,运用油藏中两相流动方程及在裂缝中流动方程,综合考虑岩石力学性质对裂缝开启及扩展的影响,建立一模拟现场阶跃性实验的有限差分摸型.利用模拟数据和现场实测数据拟台可同时确定地层最小主应力及临界应力强度因子.1数值模型的建立图ic”是模拟油藏系统示意图.一口注入井位于矩形油藏的中心;截面为椭圆形的垂直裂缝垂直井身,两翼关于井筒对称;由于油藏及裂缝的对称性,选取四分之一油藏(“抖眼为原点)为研究单元.@~eltil日期;1991—0903盹定口期;1992—12—06审稿人:曹I茈润曹此文联莱人,捌忠春,女.1965生.1lIH6年毕业于★虞石油学院开发系.1989年秩夫庆石油学馥硬士学位?讲师.科研方向:水力压裂觳值模拟.第l期刘忠軎等r确定地层最小主应力及临界应力强度园子的新方法圈1油藏及裂缝孽坑示意图1.1岩石的力学性质1.1.t基本假设(1)地层厚度均匀为h,饱含流体的地层初始饱和压力为P..(2)岩石是弹性,各向同性,均匀的.(3)岩石的抗拉强度低.1.1.2裂缝开启,延伸压力及宽度方程的确定(1)裂缝开启压力P”6.一o—3-—~p.,(1)p“一1j矿一,’其中7/=1一羔1似一a臀},’.柚4%-+旧而而}n.“一二l矧㈣os√警J式中n是毕奥特常数.v为泊松比,户.,是油藏平均压力,如为最小主应力.(2)裂缝延伸压力h.此压力为裂缝扩展延伸时所需的井底压力.当裂缝尖端应力强度因子K.大于地层岩石的临界应力强度围子K—一时.裂缝失稳扩展.K.≥K.(2)根据断裂力学理论:KI.志巴…c筹考幽f(3)(3)裂缝宽度方程Ⅳ(州)2.h等等‰(州)_柚(4)大庆石油学院弟17卷1993年1.2流体流动方程,它决定于支撑剂的性质.由物质守恒定律可知:在裂缝中,沿X方向流量的变化等于流体向周围岩石滤失的量与液体.储存速度之和,一咄If)+(6)合并(5),(6)得:(chapr,.一2(z一-一o(“.初始条件为:W(x,0)一W(0≤≤厶())(8)边界条件为:(O,f)一q—o(t一)(9)(厶,)一0(10)1.2.2在油藏中的流动方程基本假设(1)油藏中为单相流体渗流,呈层流状态,并遵守达西定律.(2)油藏流体是微可压缩的,压裂液压缩系数牯度及岩石的渗透率都不随压力而变.(3)不考虑压裂液重力的影响,油藏中温度分布均匀.油藏流动方程为:c鲁鬈,+c鲁考+z蛳c)=g71薯Ⅲ边界条件:塞I一0Wf<<..)(12)I..=0(鲁<z<一)(13)第期削忠春等-确定地层最小主应力及I临界应力强度嗣子的新方接limp=p;Jimp—P.差=.(o<<{Ⅳfj初始条件;P(-r,,O)一P1.2.3油藏和裂缝间物质平衡由物质守衡定律可知,泵注液体体积等于裂缝体积和滤失流体体积之和¨=Vf+VI其中::2IAf(T,t)dx“(出(I6)(17)(17)(17)2模型求解2.1网格的划分图2表明了取÷油藏单元点L-网格划分情况,z,方向上均为非均匀网格,从原点起逐渐由密到疏,成等差级数,即:蕾一i_l+△.I(=Z,3……N+1),一t+A yJj(一2,3……N,}J)Ⅳ,Ⅳ分别是z和方向划分的网格数. :i十b.虻1+c.:{一F其中:圄?盖呵格划井围r2O)(21)七庆石油学院学括第1卷i993年一一c鲁+警=嫠c去+,++肘一毒c鲁+=[+一M—n2hEZ((11--~)由方程(5)得:苎_IA二xt一一三Chq(n)r…..由(15)得:一.))=P2.3曲线拟台求地层参数2.3.1确定值(1)先假定地层最小主应力和临界应力强度因子K 合,此时<,o.(21)(22)(24)足够大,以保证裂缝暂且闭(2)建立裂缝开启前的模型,(2】)及(21)中M--0,根据假定,K,值,求得井底压力随注入时间的变化关系.(3)将此数据和现场数据绘于同一坐标系中,由于模拟时,K为假定值,则两曲线定在某一时刻出现偏离,此时说明裂缝内住一点的压力已大于裂缝的开启压力,估出值,由(1)式可求值.2.3.2确定当为定值而K仍为有限大常数时,方程(21)及(21)中肘一1.根据模型求得井底压力随时问的变化关系,同样由于的不真实,和实测数据曲线在定时刻又一次友生偏离现象,此时,说明裂缝内压力已达到裂缝扩展延伸压力.分离点压力为P估出,代八(3),(2)式可求.3实例分析对井A进行小型压裂后关井90h,然后进行阶跃性实驻,测得数据如表l,表2.衰l压裂液及岩石袖性参数衰参数l扦号单位盈荷号袁示敷值地层厚度I米(m)45淳适率IK毫米’(ram’)4×10小孔隙废无田攻0.Za弹性压缩乐致’C.千帕’(k540546375705.496260055009,630558326605.60376907Z05.”/432750580247805.9788810596828406.O19487’0608999006.122Z9306.1587960620919906_301810206{01610506_62驺108068256图345中曲线I为阶跃性实验中实测的户～￡曲线.表3表4分别为假设K,为足够大常数及为定值,为足够大时两种情况的模拟数据,绘成曲线分别为图3,4中的曲线1.从图3可看出,当,K为足够太常效时,曲线在8小时这一时刻分离,分离点处=4.87×10’kPa,从而确定=4.75MPs.由图4得户=5.21×108kPa,则Klc=3.31MPa/m.将前两步求得的及.值代人模型重新摸拟,得数据如表5,如图5中曲线I,可看出,和现场实测曲线捌合得很好.说明确定的及,值比较正确大庆石恤学院第l7告1993年图3第一次模拟拟台曲线圈4第二玻橄台曲线表4当地应力为定位而应力强度因子无限太时用追赶法孵得井底压力和时间数据衰时间Y(m)井底压力,(MPa)时间T(min)井底压力p(MPa) 480487655104.89685405704.963760063000090605.O8326905.10377207505.2437805.3024,B10597888405.968287060l949006.08999306I229606-15B70906.2(】l0206.301810500.401610a0662339B765432{蓐1辫刘忠眷等t确定地晨量小主应力厦临界应力强度固于的新方法圈5第三次模拟瓤合曲线寰5当地应力和应力强度因子都为定值时用追赶法解井底压力和时闻精据裹时』町T(min)井底压力p(MPs)时问T(mln)井底压力(MPa’7804.87658104.89588404.9428704.96079004.99529305.00099605.08829905.302410205.878810506.458210805.51944结论本文建立的模拟现场阶跃性实验油藏——裂缝联合系统的有限差分数值模型是利用模拟数据和实测数据,来确定地层的最小主应力及临界应力强度因子,其方法简单可靠.地层的这两个参数的确定,为压裂设计向三维方向发展奠定了基础.●考文献[1】陈蕾坦.王世厢.关于地应力I|约裂缝取向厦袖藏开发几十闩题的讨论.诂采工艺?19891(I)t49--59C毒】霄艳青,王博勋.用敦位筷损方谊璜蔫压裂井的生产曲杰.石油太学.1990.’5)?32:--45DFRACTURETOUGHNESSL/UZhongchun.CHENdunguo,WUDi.z’iang DeptofPetroleumDevelopmentAbstract Afiniteelementmodelwasestablishedbystudyingtheinteractionofthefractu re andtheformationbycouplingthefluidflowinbothfractureandreservoir.The modalincorporatestheeffectsofrockmechanics0nthefractureopening/closingand fractureextensionandconsequently.onthepressurebehaviorduring8stepratetest.Ap roce-duretohistorymatchesthestepratetestdata,toestimatethehorizontaIin-situs tressandthefracturetoughnessofthereservoirrock.Thishasbeendemonstratedby apply-ingtheactuaIfielddata.SUBJECTTERMS:numericalsimulation,fitting,principalstress,strengtht heory,[Strengthfactors]可燃性气体计算机检测报警装置(KJB—I型,KJB-I型)通过鉴定KJB--I型与K]B～I型可燃性气体汁算机检测报警装置是为了解决石油天然气等行业存在的易燃,易爆及有毒气体场所的危险气体的检测,报警问题而研制的.于1992年4月通过了石油天然气总公司组织的技术鉴定.该装置是将计算机,集成电路及电子线路融为一体的高科技产品.可检澍天然气,石油演化气,煤气,汽油等多种可燃气体的浓度.它可对多点可燃气浓度连续检攫l并把检测数据用计算机实时处理,辕时显示浓度数值,随时或定时打印各点浓度及时间.当一点或多点浓度超限时,装置立即发出声,光报警,显示超限浓度值,同时打印机打出超限点,超限浓度值,超限时闻.该装置具有检测精度高,速度快,功能齐全,操作简便,易学,维护方便,通用性强等优点,深受现场各用户的好评.成果辩常瑛。
地层破裂压力的影响因素综述
地层破裂压力的影响因素综述陶永富，乔 梁，张华琴，孙继丰（１．玉门油田分公司勘探开发研究院，甘肃酒泉 ７３５０００；２．玉门油田分公司鸭儿峡采油厂，甘肃玉门 ７３５２００） 摘 要：地层破裂压力是压裂设计所需的基础参数之一，有效降低地层破裂压力对于确保压裂成功具有重要意义。
然而影响破裂压力的因素较多，对压裂施工提出了极大挑战。
本文在国内外研究工作的基础上，总结了各因素对地层破裂压力的具体影响，提供了有效降低地层破裂压力的方法和思路。
关键词：压裂；破裂压力；套管；射孔 中图分类号：ＴＥ２４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—７９８１（２０１９）０１—００４９—０３ 地层破裂压力定义为使地层产生水力裂缝或张开原有裂缝时的井底流体压力，它是钻井和压裂设计的基础和依据。
如今地层破裂压力预测技术已有多种，特别是破裂压力预测模型，这对预防漏、喷、塌、卡等钻井事故的发生有着重要的意义。
对压裂而言，大多数油气井都是套管射孔完井，对破裂压力的预测除了考虑地应力和岩石力学性质外，还需考虑套管、水泥环和射孔对破裂压力的影响。
１ 套管对破裂压力的影响当套管和地层岩石的弹性模量相同时，可忽略套管的影响。
然而随着套管的弹性模量的增加，裂缝起裂压力增加［１］。
原因在于，随着套管弹性模量的增加，一部分井筒压力不能传播到地层，进而需要更高的井筒压力去压开地层。
２ 水泥环对破裂压力的影响在压裂施工时井底压力逐渐增加，压裂液将在射孔通道某处垂直于最小主应力方向压开一条裂缝。
起裂位置可能发生在水泥环上进而产生微环隙，也有可能发生在地层岩石的某个位置。
一般来说，射孔方案的设计应当满足：避免裂缝在水泥环上起裂和避免产生微环隙。
在射孔孔眼的的第一段（水泥环），压裂液暴露于水泥环上，如果水泥环的抗张强度小于射孔孔道上其它位置的起裂压力，那么裂缝将在水泥环上起裂而产生微环隙［２］。
根据的Ｆａｌｌａｈｚａｄｅｈ等人研究表明在地层温度高于压裂液的条件下，随着泊松比、弹性模量、热线性膨胀系数和孔隙压力的增加，水泥环破裂压力降低［１］。
页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟进展
页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟进展一、本文概述随着全球能源需求的持续增长，页岩气作为一种重要的清洁能源，其开发与应用日益受到人们的关注。
页岩储层水力压裂裂缝扩展是页岩气开发过程中的关键技术，其模拟研究对于优化压裂工艺、提高页岩气采收率具有重要的指导意义。
本文旨在全面综述页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟的最新研究进展，以期为相关领域的研究人员和技术人员提供有益的参考。
本文首先介绍了页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟的研究背景和意义，阐述了水力压裂技术在页岩气开发中的重要作用。
接着，文章回顾了国内外在该领域的研究现状，包括裂缝扩展模型的建立、数值模拟方法的发展以及实际应用案例的分析等方面。
在此基础上，文章重点分析了当前研究中存在的问题和挑战，如裂缝扩展过程中的多场耦合作用、裂缝形态的复杂性以及模型参数的确定等。
为了推动页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟研究的发展，本文提出了一些建议和展望。
应加强基础理论研究，深入探究裂缝扩展的物理机制和影响因素，为模型的建立提供更为坚实的理论基础。
应发展更为先进、高效的数值模拟方法，以更好地模拟裂缝扩展的复杂过程。
还应加强实验研究和现场应用，以验证和完善模拟模型，推动水力压裂技术的不断进步。
通过本文的综述和分析，相信能够为页岩储层水力压裂裂缝扩展模拟研究提供新的思路和方向，为页岩气的高效开发提供有力的技术支持。
二、页岩储层特性分析页岩储层作为一种典型的低孔低渗储层，其独特的物理和化学特性对水力压裂裂缝的扩展具有显著影响。
页岩储层通常具有较高的脆性，这是由于页岩中的矿物成分（如石英、长石等）和微观结构（如层理、微裂缝等）所决定的。
脆性高的页岩在受到水力压裂作用时，更容易形成复杂的裂缝网络，从而提高储层的改造效果。
页岩储层中的天然裂缝和层理结构对水力压裂裂缝的扩展具有重要影响。
这些天然裂缝和层理结构可以作为裂缝扩展的潜在通道，使得水力压裂裂缝能够沿着这些路径进行扩展，从而提高裂缝的复杂性和连通性。
2-岩石力学实验及地层压裂设计
岩石的纵横波 速度受其本身的弹 性参数影响。根据 纵横波速度可以得 出岩石的动态弹性 参数。
d
2 2 0.5 t s t p 2 2 t s t p
Ed G
2 3 ts 4 t 2 p
ts2 t 2 p
动静连测装置
动、静态参数转换
岩样的动、静态弹性参数呈相同的变化趋势。通 过进行回归计算，得到动静态参数转换公式。其系数 需要进行试验确定。
2
） 2S0ctg (45
2 o
2
）
c 2C octg(45o / 2）
3、岩石抗拉强度
岩石的抗拉强度远下于岩石的抗压强度，以岩体中一旦出现拉应力区，往 往该区先破坏。岩石抗拉强度室内测试方法分为两类：一类是直接法；另一类 是间接法。 1）直接拉伸实验
受力状态
将岩石两端固定，拉伸
式中：σr为井眼周围所受径向应力； σθ为井眼周围所受周向应 力；τ θr为井眼周围所受切应力；Pi为钻井液柱压力；θ为井眼 周围某点径向与最大水平主应力方向的夹角； σH为最大地应 力； σh为最小地应力；Pp为地层孔隙压力；a为有效应力系数。
重点， 随θ 角变 化而 变化
地层力学模型
直井--井壁稳定性-坍塌
A 2H
2
式中：
A ctg(45o
)
H为井深（m）
ρb为坍塌压力（g/cm3） η为应力非线性系数
Co为岩石的粘聚力（MPa）
岩石剪切破坏
直井--井壁稳定性-破裂
当井内的钻井液柱所产生的压力升高（泥浆密度过大）足以压裂地层，使其原有的裂 隙张开延伸或形成新的裂隙时的井内流体压力称为地层的破裂压力。从力学上说地层破 裂是由于井内钻井液密度过大使岩石所受的周向应力达到岩石的抗拉强度而造成的（压 裂、井漏、井喷）。即：
地层破裂压力计算公式
地层破裂压力计算公式地层破裂压力相关计算公式地层破裂压力是地层中发生裂缝或破裂的临界应力值，是岩土力学中的一个重要参数。
本文将列举几个与地层破裂压力相关的计算公式，并举例解释说明。
1. 维里准则(Von Mises Criterion)维里准则是地层破裂压力计算中常用的一个准则，其公式如下：维里应力= √[(σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)² + 6(τ₁₂² + τ₂₃² + τ₃₁²)]/ √2其中，σ₁、σ₂和σ₃为主应力，τ₁₂、τ₂₃和τ₃₁为主应力之间的切应力。
例子：假设某地层的主应力大小分别为σ₁ = 20 MPa，σ₂ = 15 MPa，σ₃ = 10 MPa，切应力大小分别为τ₁₂ = 5 MPa，τ₂₃ = 2 MPa，τ₃₁ = 3 MPa。
按照维里准则计算地层破裂压力：维里应力= √[(20 - 15)² + (15 - 10)² + (10 - 20)² + 6(5² + 2² + 3²)] / √2 = √[5² + 5² + (-10)² + 6(25 + 4 + 9)] /√2 = √[100 + 100 + 100 + 6(38)] / √2 = √[100 + 100 + 100 + 228] / √2 = √528 / √2 ≈ MPa因此，该地层的维里应力约为 MPa。
2. 摩尔—库伦准则(Mohr-Coulomb Criterion)摩尔—库伦准则是另一种常用的地层破裂压力计算准则，其公式如下：摩尔应力= (σ₁ - σ₃) / 2 + √[((σ₁ - σ₃) / 2)² + τ²]其中，σ₁和σ₃为主应力，τ为主应力之间的切应力。
例子：假设某地层的主应力大小分别为σ₁ = 20 MPa，σ₃ = 10 MPa，切应力大小为τ = 5 MPa。
水力压裂理论模型及数值计算方法综述
Crouch[18-19] 最早提出了位移不连续法并用于处理
裂缝壁面间的不连续位移场问题。Dontsov 等 [20-21] 以 边界元方法为基础建立了改进的拟三维模型。Chen 等 [22] 针对边界元法求解拟三维水力压裂模型效率不 高的问题，提出了一种基于 Runge-Kutta-Legendre 方 法的显式时间步长算法。Adachi[23] 利用其提出的拟三 维模型，研究在两个对称应力边界上的水力裂缝的扩 展高度。
水力压裂数值模型的研究工作已经取得了长足的 进步，从二维模型发展到现今的全三维模型甚至真三 维模型，从过去边界元占主导地位的情形发展到现今 边界元方法和有限元方法共同主导的情形。边界元 法 [2] 只在定义域的边界划分单元，因而计算模型单元 个数少，数据准备简单，在处理中小规模问题时求解 效率高。离散元法 [3] 将研究对象离散为刚性块体（或 颗粒）的集合，块体间不必满足连续性条件，在处理 多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。随着 计算机和计算数学的快速发展，传统有限元法 [4] 及其 衍生的扩展有限元法 [5] 在模拟非均质岩石中裂缝的扩 展方面具有极大优势，目前已成为水力压裂数值计算 方法的强大工具。
在处理不连续界面问题时，边界元法的精度较高， 且能够将问题进行降维处理，在水力压裂研究中得到 了广泛应用。边界元法的不足之处在于它需要利用问 题的已知解析解求解，仅适于线性、均质问题求解， 并且它产生的系统方程的系数矩阵为满阵，限制了处 理问题的规模。 2.4 离散元法（DEM）
离 散 元 法 的 概 念 最 早 由 Cundall[24] 于 20 世 纪 70 年代提出，是基于非连续介质力学的数值计算方法。 其主要思想是把研究对象离散为刚性块体 ( 或颗粒 ) 的集合，使每个块体满足牛顿第二定律，各刚性块体 之间通过接触连接以描述运动及相互作用，并且在各 不连续单元之间形成的通道内允许流体流动。由于离 散元法形成的块体间不必满足连续性条件，因此在处 理多裂缝、天然裂缝等不连续结构方面具有优势。
水力压裂讲义
孔隙流体压力
热应力 。
(1) 重力应力（上覆压力）
z 10
6
H
0
r (h) gdh
其中：r(h) 为上覆岩层密度，由密度测 井曲线获得。 有效垂向应力为
z z ps
为Boit孔隙弹性常数。
研究对象：地层中任意单元体。
由广义虎克定律计算总应变
（1） 矿场测量
— 水力压裂法(Page 245 ) — 井眼椭圆法（井壁崩落法） （2）岩心分析（实验室） —滞弹性应变恢复 （ASR） —微差应变分析 （DSCA） （3） 测井解释 （4） 有限元计算
第二节
压裂液
ห้องสมุดไป่ตู้
压裂液及其性能要求 压裂液添加剂 压裂液的流动性 压裂液的滤失性 压裂液对储层的伤害 压裂液选择
特点：与温度变化、岩石力学性质有关 产生环境：火烧油层、注蒸汽开采、注水
2 人工裂缝方位
原理：裂缝面垂直于最小主应力方向 当z最小时，形成水平裂缝； 当Y或x>z，形成垂直裂缝。
z
y y
x
x
显裂缝地层很难出现人工裂缝。 微裂缝地层 —垂直于最小主应力方向； —基本上沿微裂缝方向发展，把微裂缝串成显裂缝
构造运动的边界影响使其在传播过程
中逐渐衰减。
• 断层和裂缝发育区 — 正断层，水平应力x可能只 有垂向应力z的1/3。 — 逆断层或褶皱带的水平应力 可大到 z的3倍。
正断层
右旋走向滑动断层
逆断层
(3) 热应力 原因：地层温度变化引起的内应力增量。 计算方法
T ET x y 1
1 2 z Pi ( Pi Ps ) 1 1 2 v z ( Pi Ps ) t 1