轴对称图形-北京习题集-教师版

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2023北京八十中初三(上)期中数学(教师版)

2023北京八十中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A． B． C．D．4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若线段AB＝3，则BE＝（）A．2B．3C．4D．55．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．55°6．根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.207．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠AOC＝120°，则∠ABC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．如图，在边长为4的等边△ABC中，点D为BC边上的动点．设x＝BD，，y2＝S△ACD，则y1，y2与对应的x满足的函数关系分别是（）A．二次函数，一次函数B．二次函数，二次函数C．一次函数、一次函数D．一次函数、正比例函数二、填空题（本题共16分，每题2分）9．将抛物线y＝2x2向下平移4个单位，则平移后的抛物线的解析式为．10．二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值为．11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝．12．将二次函数y＝x2+2x+4化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在△ABC中，CA＝CB＝2，∠ACB＝120°，以点C为圆心，R为半径的圆与AB相切，则半径R为．15．如图，AB是半径为4的⊙O的弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，若OC＝1，则弦AB为．16．对于一个半径为R的⊙O，有如下几个结论：①存在无数个△ABC内接于⊙O，满足∠ABC＝70°，但AC边的长是唯一确定的；②存在无数条弦AB，满足点O AB的距离等于d（0≤d＜R），但AB的长是唯一确定的；③在所有与⊙O相离的直线中，至少存在一条直线l，l上存在一点P到O的距离等于R．上述结论中，所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分，第19，20，22题每题5分，第21，23-25题每题6分，第26-28题每题7分）.17．（4分）解下列方程：x2﹣4x+3＝0．18．（4分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．19．（5分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根．（1）填空：x1+x2＝，x1•x2＝；（2）求代数式的值．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．21．（6分）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．（2）当﹣3＜x＜4时，y的取值范围是；（3）当y＜0时，x的取值范围是．22．（5分）如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0）．作如下操作：（1）画出△OAB关于原点对称的图形△OA1B1，点A1的坐标为．（2）以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB2O2，在图中画出△AB2O2，点O2的坐标为．23．（6分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理的依据）．24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若CD＝8，EB＝2，求⊙O的半径．25．（6分）悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住．某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图．小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB＝CD，两个索塔均与桥面垂直．主桥AC的长为600m，索塔顶端D与锚点E的距离DE为155m．缆索最低处的吊杆MN长为3m，桥面上与点M相距100m处的吊杆PQ长为13m．若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息解决问题．（1）根据题意．在图3中建立适当的坐标系，并写出以下点的坐标：N，Q；（2）求这条抛物线的解析式；（3）求引桥CE的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）若3a+b＝0，比较m，n的大小关系，并说明理由；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上，若m＜c＜n，求t及x0的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AD⊥BC于点D，P为线段BD上的动点（不与点B、D重合），连接AP并将线段AP绕点A逆时针旋转180°﹣2α，得到线段AP′，连接PP′，取PP′的中点Q．（1）依题意补全图形；（2）用含α的式子表示∠BCP′，并说明理由；（3）点M为线段DC上一点，当MD与BP满足的数量关系为时，对于任意的点P，总有∠QMB＝2α，证明你的结论．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值．参考答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．3．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．【分析】根据旋转的性质可得AB＝AE，∠BAE＝60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE＝AB．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，∵AB＝3，∴BE＝3．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．5．【分析】根据题意可知＝，即可推出∠AOC＝50°．【解答】解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°，∴＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出＝．6．【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．【点评】该题考查了用表格的方式求函数的值的范围．7．【分析】根据圆周角定理求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8．【分析】作AE⊥BC于点E，根据等边三角形的性质得BE＝2，所以AE＝2，因为CD＝4﹣x，DE＝2﹣x，所以根据勾股定理和三角形的面积公式得＝12+（2﹣x）2，y2＝S△ACD＝﹣x x+4，即可得出答案．【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，则BE＝2，∴AE＝＝2，设x＝BD，∴CD＝4﹣x，DE＝2﹣x，∴＝AE2+DE2＝12+（2﹣x）2，y2＝S△ACD＝×CD×AE＝×（4﹣x）×2＝﹣x+4，∴y1，y2与对应的x满足的函数关系分别是二次函数，一次函数．故选：A．【点评】本题考查一次函数和二次函数的定义，等边三角形的性质，关键是根据勾股定理和三角形的面积公式表示出解析式．二、填空题（本题共16分，每题2分）9．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2x2向下平移4个单位，则平移后的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4；故答案为：y＝2x2﹣4．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值．【解答】解：∵a＝1＞0，∴当x＝2时，y有最小值﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的性质，y＝a（x﹣h）2+k，当a＞0时，x＝h时，y有最小值k，当a＜0时，x＝h时，y有最大值k．11．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．【解答】解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，∴a+1﹣2＝0，解得，a＝1；故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．12．【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可得解．【解答】解：y＝x2+2x+4＝x2+2x+1﹣1+4＝（x+1）2+3，故答案为：y＝（x+1）2+3．【点评】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．13．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心Q的位置是解此题的关键．14．【分析】设⊙C与AB相切于点D，连接OD，则AD⊥CD，由CA＝CB＝2，∠ACB＝120°，得∠A＝∠B＝30°，则CD＝CA＝1，所以⊙C的半径R的长为1，于是得到问题的答案．【解答】解：设⊙C与AB相切于点D，连接OD，则AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵CA＝CB＝2，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝×（180﹣120°）＝30°，∴CD＝CA＝1，∴⊙C的半径R的长为1，故答案为：1．【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．15．【分析】连接OB，根据垂径定理求出CB，根据勾股定理计算，求出OB．【解答】解：连接OB，∵OD⊥AB，∴CB＝AC，在Rt△OCB中，CB＝＝＝，∴AB＝2BC＝2故答案为：2．【点评】本题考查的是勾股定理，垂径定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．16．【分析】利用∠ABC＝70°可确定的长度为定值，则AC的长为定值，根据圆周角定理，当点A在弦AC所对的优弧上（点A、C除外）时，满足∠ABC＝70°，则可对①进行判断；以O点圆心，d为半径作⊙O的同心圆，由于与小圆相切的大圆的弦都等于AB，从而可对②进行判断；根据直线与⊙O相离可得到圆心O到直线的距离大于R，从而可对③进行判断．【解答】解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝140°，∴的长度为定值，∴AC的长为定值，当点A在弦AC所对的优弧上（点A、C除外）时，满足∠ABC＝70°，所以①正确；以O点圆心，d为半径作⊙O的同心圆，则与小圆相切的大圆的弦都等于AB，所以②正确；∵直线与⊙O相离，∴圆心O到直线的距离大于R，∴l上不存在一点P到O的距离等于R，所以③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和直线与圆的位置关系．三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分，第19，20，22题每题5分，第21，23-25题每题6分，第26-28题每题7分）.17．【分析】先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝3，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．18．【分析】根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明．【解答】证明：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．19．【分析】（1）直接利用根与系数的关系x1+x2＝﹣，x1•x2＝即可得出答案；（2）根据＝（x1+x2）2﹣2x1x2，把x1+x2＝1，x1x2＝﹣1代入即可．【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1+x2＝1，x1x2＝﹣1；故答案为：1，﹣1；（2）∵x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2，＝1+2＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．20．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝a2，由偶次方的非负性可得出a2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；（2x1＝1，x2＝a+1，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出a的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）＝a2+4a+4﹣4a﹣4＝a2．∵a2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．（2）解：解方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0，得x1＝1，x2＝a+1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴a+1≥1．∴a≥0．∴a的最小值为0．【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．21．【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（﹣1，4），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，利用待定系数法即可求得解析式，然后利用描点法画出图象即可．（2）把x＝4求得函数值，然后观察图象即可求解．（3）根据图象求得即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（﹣1，4），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，∵x＝0时，y＝3，∴3＝a+4，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2+4即y＝﹣x2﹣2x+3．函数图象如图所示，．（2）当x＝﹣1时，y＝4；当x＝4时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣21，观察图象，当﹣3＜x＜4时，y的取值范围是﹣21＜y≤4；故答案为：﹣21＜y≤4；（3）当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．22．【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求.点A1的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．（2）如图，△AB2O2即为所求．点O2的坐标为（1，5）．故答案为：（1，5）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．23．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．24．【分析】（1）连接OC，则∠OCA＝∠A，由AB是⊙O的直径，AB⊥CD，得∠ACB＝∠AEC＝90°，则∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，所以∠OCA＝∠BCD，而∠BCP＝∠BCD，则∠BCP＝∠OCA，可推导出∠OCP＝∠ACB＝90°，即可证明CP是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE＝x C D＝4，因为∠CEB＝∠AEC＝90°，∠BCE＝∠A，所以△BCE∽△CAE，则＝，可求得AE＝＝8，则AB＝10，所以⊙O的半径长为5．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴∠ACB＝∠AEC＝90°，∴∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ACD，∴∠OCA＝∠BCD，∵∠BCP＝∠BCD，∴∠BCP＝∠OCA，∴∠OCP＝∠BCP+∠OCB＝∠OCA+∠OCB＝∠ACB＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CP⊥OC，∴CP是⊙O的切线．（2）解：AB⊥CD，CD＝8，BE＝2，∴CE＝DE＝CD＝4，∠CEB＝∠AEC＝90°，∴∠BCE＝∠A＝90°﹣∠ACE，∴△BCE∽△CAE，∴＝，∴AE＝＝＝8，∴AB＝AE+BE＝8+2＝10，∴OA＝AB＝5，∴⊙O的半径长为5．【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、同角的余角相等、切线的判定、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）以点M为原点，建立平面直角坐标系，即可求解；（2）由待定系数法即可求解；（3）将点C的坐标代入抛物线表达式，求出CD＝93，即可求解．【解答】解：（1）以点M为原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，由题意得，点N、Q的坐标分别为：（0，3）、（100，13），故答案为：（0，3）、（100，13）；（2）设抛物线的表达式为：y＝ax2+c＝ax2+3，将点Q的坐标代入上式得：13＝10000a+3，解得：a＝0.001，则函数表达式为：y＝0.001x2+3；（3）由题意得，点C（300，y），将点C的坐标代入抛物线表达式得：y＝0.001x2+3＝0.001×90000+3＝93，即CD＝93（米），则CE＝＝＝124（米）；即CE的长度为124米．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．26．【分析】（1）根据题意求得t＝，然后根据两点到对称轴的距离的大小即可判断；（2）再根据m＜c＜n，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．【解答】解：（1）函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，∵3a+b＝0，∴b＝﹣3a，∴t＝﹣＝，∵抛物线开口向上，且﹣1＜4﹣，∴m＜n；（2）∵m＜c＜n，∴a+b+c＜c＜16a+4b+c，解得﹣4a＜b＜﹣a，∴a＜﹣b＜4a，∴＜﹣＜，即＜t＜2．由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称；∴t＝；当t＝时，x0＝0；当t＝2时，x0＝3．∴x0的取值范围0＜x0＜3．综上，t的取值范围为＜t＜2；x0的取值范围0＜x0＜3．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．27．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据旋转的性质和SAS证明△ABP与△ACP'全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质得出比例，进而解答即可．【解答】（1）解：如图所示：（2）解：连接P'C，∵∠B＝∠ACB＝α，∴AB＝AC，∠BAC＝180°﹣2α，∵将线段AP绕点A逆时针旋转180°﹣2α，∴∠P'AP＝∠BAC＝180°﹣2α，AP＝AP'，∴∠P'AP﹣∠P AC＝∠BAC﹣∠P AC，即∠BAP＝∠CAP'，在△ABP与△ACP'中，，∴△ABP≌△ACP'（SAS），∴∠ABP＝∠ACP'，∵∠ABP＝α，∴∠ACP'＝α，∴∠BCP'＝∠ACB+∠ACP'＝2α，即∠BCP'＝2α；（3）解：M为线段DC上的一点，连接QM，若要满足∠QMB＝2α，则由（2）可得，∠QMB＝∠P'CB，∴QM∥P'C，∴△PQM∽△PP'C，∴，∵Q是PP'的中点，∴，∴，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，设BD＝CD＝a，BP＝x，DM＝y，∴PM＝PD+DM＝a﹣x+y，PC＝2BD﹣BP＝2a﹣x，∴，∴2a﹣2x+2y＝2a﹣x，∴2y＝x，即BP＝2DM，则当MD与BP满足BP＝2DM时，对于任意点P，总有∠QMB＝2α，故答案为：BP＝2DM．【点评】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，关键是构建全等三角形和相似三角形解答．28．【分析】（1）利用旋转的性质、点A到圆上一点的距离范围及“关联线段”的定义来进行判别即可；（2）先利用旋转的性质，“关联线段”的定义以及等边三角形的性质求出B′C′的位置，进而求出t的值即可；（3）利用旋转的性质以及“关联线段”的定义，求出四边形AB'OC'的各边长，利用四边形的不稳定性画出OA最小和最大的图形，然后问题可求解．【解答】解：（1）由旋转的性质可知：AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，由图可知点A到圆上一点的距离d的范围为，∵AC1＝3＞d，∴C1′点不可能在圆上，∴B1C1不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，∵，∴C2′（0，1），B2′（1，0），∴B2C2是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，∵，当B3′在圆上时，则B3′（1，0）或（0，﹣1），由图可知此时C3′不在圆上，∴B3C3不是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，故答案为B2C2；（2）设BC绕点A旋转得到⊙O的弦B′C′，则B'C'＝BC，AB'＝AB，AC'＝AC，∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴根据旋转的性质可知△AB'C'也是边长为1的等边三角形，∵OB'＝OC'＝1，∴△OB'C'是边长为1的等边三角形，∵A（0，t），且t≠0，∴点A与点O不重合，∴B'C'⊥y轴，且B′C′＝1，∴AO为B′C′边上的高的2倍，且此高的长为，∴或；（3）由旋转的性质和“关联线段”的定义可知：AB'＝AB＝OB'＝OC'＝1，AC'＝AC＝2，如图1，利用四边形的不稳定性可知，当A、O、C'在同一直线上时，OA最小，最小值为1，如图2所示：当A、B'、O在同一直线上时，OA最大，如图3所示：此时OA＝OB'+AB'＝2；∴综上所述：OA的最小值为1，最大值为2．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形及圆的综合，熟练掌握旋转的性质、等边三角形及圆的综合问题是解题的关键．第21页/共21页。

轴对称(全章知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础

专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1）四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。

2023北京首都师大附中初三(下)开学考数学(教师版)

2023北京首都师大附中初三（下）开学考数学一、选择题1. 2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 用配方法解一元二次方程26100x x −−=时，下列变形正确的是（） A. ()231x += B. ()231x −=C. ()2319x +=D. ()2319x −=3. 如图，AB 是O 的直径，CD 是弦（点C 不与点A ，点B 重合，且点C 与点D 位于直径AB 两侧），若110AOD ∠=︒，则BCD ∠等于（）A. 25︒B. 35︒C. 55︒D. 70︒4. 如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，则AB 的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 65. 如图，ABC 绕点C 按顺时针旋转30︒到DEC ，若点A 恰好在DE 上，则BAC ∠的度数为（）A. 15︒B. 55︒C. 65︒D. 75︒6. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与AB围成的扇形的面积是（）A. 2πB. 5πC. 25π6D. 10π7. 小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．其中合理的是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8. 已知不等式ax+b>0的解集为x<2，则下列结论正确的个数是（）（1）2a+b＝0；（2）当c>a时，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；（3）当c>0时，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝ax+b的上方；（4）如果b<3且2a﹣mb﹣m＝0，则m的取值范围是﹣34<m<0．A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题9. 在平面直角坐标系中，点()23−，关于原点对称的点的坐标是______． 10. 写出一个开口向下，顶点坐标为(0,3)的抛物线的解析式____________ 11. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点()1,2A 和点()1,B m −，则m 的值为______________． 12. 如图，,PA PB 是O 的切线，,A B 是切点．若50P ∠=︒，则AOB ∠=______________．13. 如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为：BAC ∠_______DAC ∠（填“＞”，“＝”或“＜”）．14. 如图，点A ，B ，C 均在的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为_______．15. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 700.94︒≈ 1.73≈）16. 已知n 行n 列(2)n ≥的数表111212122212n n n n nn a a a a a a a a a A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎭中，对任意的1,2,,,1,2,,i n j n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，都有0ij a =或1．若当0st a =时，总有()()1212t t nt s s sn a a a a a a n +++++++≥，则称数表A 为典型表，此时记表A中所有ij a 的和记为n S ．（1）若数表11000011100100001111000,11B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中典型表是_________；（2）5S 的最小值为________．三、解答题17.计算：(1112sin 602−⎛⎫++−︒ ⎪⎝⎭18. 解不等式组：5322132x x x x −>⎧⎪−⎨<⎪⎩19. 已知2310x x +−=，求代数式()()()2321213x x x x −−+−−的值．20. 如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与矩形的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为矩形的“化方”．已知：矩形ABCD ．求作：一个正方形使其面积等于矩形ABCD 的面积．作法：①如图，延长AD 到E ，使DE DC =； ②以AE 为直径作半圆，延长CD 交半圆于点H ；③以DH 为边作正方形DHGF ，则正方形DHGF 即为所求根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由②可知：AHE ∠=_________，其依据是_________．（2）由（1）可得，ADH ∽△_________，所以()()DHDH=；（3）由此可得正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．21. 关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++−=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最小整数时，求方程的解．22. 如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与y 轴交于点()0,A m ，与反比例函数()20=>y x x的图像交于点B ，过点B 作BH x ⊥轴于点H ．（1）若()0,1A ，(),2B n ，求直线l 的解析式；（2）平移（1）中的直线l ，若12AO BH >，直接写出m 的取值范围．24. 2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，其中“冰墩墩”盲盒特别受欢迎，现将3个基础款和1个隐藏款的“冰墩墩”放到一个大盒子中．（1）从盒子中随机挑选一个，是“冰墩墩”隐藏款的概率是________；（2）若从盒子中随机抽取两个，请用画树状图或列表的方法，求其中含有“冰墩墩”隐藏款的概率， 25. 如图，在ABC 中，AB BC =，AB 为O 的直径，AC 与O 相交于点D ，过点D 做DE BC⊥于点E ，CB 延长线交O 于点F ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若1BE =，2BF =，求AD 的长． 26. 已知抛物线2222y x ax a =−+−．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）设直线y b =与抛物线交于不同的两点A ，B ，若4AB ≤，直接写出b 的取值范围；（3）若抛物线上存在两点(),M m m 和(),N n n −，且当0m <，0n >时，有0m n +>，求a 的取值范围．27. 在等腰Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上动点（与点B ，C 不重合），连接AP ，过点C 作CD AP ⊥交AB 于点D ，在线段AC 上截取CQ CP =，过点Q 作QE AP ⊥交AB 于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：PAC BCD ∠=∠；（3）用等式表示线段DB 与DE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：记点P 与图形W （点P 不在图形W 上）上各点距离的最大值与最小值的比值为q ．若2q ≤，则称点P 为图形W 的“墩墩点”．已知点()0,6A ，()4,0B ，()C（1）在点()2,2M −，()0,2N ，()2,2R ，()3,2T 中，是线段OB 的“墩墩点”的是________；（2）若线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，求k 的取值范围；（3）以点O 为圆心，r 为半径作O ，若线段AC 上存在O 的“墩墩点”，直接写出r 的取值范围．参考答案一、选择题1. 【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形【详解】A 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B 选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 【答案】D【分析】按照一元二次方程配方的一般步骤把方程配方即可．【详解】解：26100x x −−= 解：移项，得2610x x −=，方程两边同加上一次项系数一半的平方，得269109x x +=+−，即()2319x −=，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 3. 【答案】B【分析】由平角定义解得BOD ∠的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半解题．【详解】解：110AOD ∠=︒18011070BOD ∴∠=︒−︒=︒11703522BCD BOD ∴∠=∠=⨯︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，涉及同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. 【答案】D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，解出AB 的值即可．【详解】∵△ABO ∽△CDO ，BO ＝8，DO ＝4，CD ＝3，∴BO ABDO CD =，即843AB =， ∴AB =6．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5. 【答案】D【分析】先根据旋转的性质得30ACD ∠=︒，BAC D ∠=∠，再根据三角形外角性质得BAE BAC D ACD ∠+∠=∠+∠，所以30BAE ACD ∠=∠=︒，根据旋转的性质得CA CD =，进而得D CAD ∠=∠，所以BAC CAD ∠=∠，进而求出BAC ∠的度数．【详解】解：∵ABC 绕点C 按顺时针旋转30︒到DEC ， ∴30ACD ∠=︒，BAC D ∠=∠，CA CD =， ∵EAC D ACD ∠=∠+∠，即BAE BAC D ACD ∠+∠=∠+∠， ∴30BAE ACD ∠=∠=︒， ∵CA CD =， ∴D CAD ∠=∠， ∴BAC CAD ∠=∠，∴()18030275BAC ∠=︒−︒÷=︒．故选：D ．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了三角形外角的性质，等边对等角．掌握旋转的性质是解题的关键． 6. 【答案】B【分析】先求出圆心角∠AOB 的度数，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆． ∴∠AOB =360=725︒︒ ∴OB 与AB 围成的扇形的面积是2725=360π⨯⨯5π故选B ．【点睛】此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用． 7. 【答案】C【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．【详解】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确； ④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误．故选C ．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8. 【答案】C【分析】由不等式的解集得出a ＜0，﹣ba=2，即b =﹣2a ，从而得出2a +b =0，即可判断（1）；根据△=4a （a ﹣c ）＞0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，a ﹣c ）即可判断（3）；求得0＜﹣1mm +＜3，得出不等式组的解集为﹣34＜m ＜0即可判断（4）．【详解】（1）∵不等式ax +b ＞0的解集为x ＜2， ∴a ＜0，﹣ba=2，即b =﹣2a ， ∴2a +b =0，故结论正确；（2）函数y =ax 2+bx +c 中，令y =0，则ax 2+bx +c =0， ∵b =﹣2a ，∴△=b 2﹣4ac =（﹣2a ）2﹣4ac =4a （a ﹣c ）， ∵a ＜0，c ＞a ， ∴△=4a （a ﹣c ）＞0，∴当c ＞a 时，函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，故结论错误；（3）∵b =﹣2a ，∴﹣2b a =1，244ac b a−=2444ac a a −=c ﹣a ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为（1，c ﹣a ），当x =1时，直线y =ax +b =a +b =a ﹣2a =﹣a ＞0 当c ＞0时，c ﹣a ＞﹣a ＞0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在直线y =ax +b 的上方，故结论正确；（4）∵b =﹣2a ，∴由2a ﹣mb ﹣m =0，得到﹣b ﹣mb ﹣m =0，∴b =﹣1m m +，如果b ＜3，则0＜﹣1m m +＜3， ∴﹣34＜m ＜0，故结论正确；故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b =﹣2a 是解题的关键．二、填空题9. 【答案】(2,3)−【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：点()23−，关于原点对称的点的坐标为()3−2，．故答案是：()3−2，．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 10. 【答案】y=-x 2+3(答案不唯一)【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标是（0，3），故设出抛物线的顶点式方程y=ax 2+3，再由开口向下可知a<0，故可取a=-1，即得结果．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0，3）∴可设抛物线的解析式为y=ax 2+3，又∵抛物线的开口向下，∴a<0，故可取a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x 2+3．故答案为y=-x 2+3（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．11. 【答案】2−【分析】由题意易得2k =，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．【详解】解：把点()1,2A 代入反比例函数()0k y k x=≠得：2k =， ∴12m −⨯=，解得：2m =−，故答案为-2．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 12. 【答案】130°【分析】由题意易得90∠=∠=︒PAO PBO ，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵,PA PB 是O 的切线，∴90∠=∠=︒PAO PBO ， ∴由四边形内角和可得：180AOB P ∠+∠=︒，∵50P ∠=︒，∴130AOB ∠=︒；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．13. 【答案】=【分析】如图，连接CE 、CD ，利用勾股定理求得AE 、EC 、CD 、DA 、AC 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【详解】解：如图，连接CE 、CD ，AE ==同理求得EC =CD =DA ==AC ==，∴AE =EC =CD =DA ，∴四边形AECD 是菱形，∵222+=， ∴222AE EC AC +=，∴∠AEC =90︒，∴菱形AECD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC ，故答案为：=．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14. 【答案】5【分析】根据圆的确定先做出过A ，B ，C 三点的外接圆，从而得出答案．【详解】如图，分别作AB 、BC 的中垂线，两直线的交点为O ，以O 为圆心、OA 为半径作圆，则⊙O 即为过A ，B ，C 三点的外接圆，由图可知，⊙O 还经过点D 、E 、F 、G 、H 这5个格点，故答案为：515. 【答案】6.3【分析】作辅助线如图，则四边形CDGF 是矩形，可得CD =FG ，然后分别解直角△ABG 和直角△BCF 求出BG 和BF 的长即可．【详解】解：如图，作CD ⊥AE 于点D ，作BG ⊥AE 于点G ，作CF ⊥BG 于点F ，则四边形CDGF 是矩形，∴CD =FG ，在直角△ABG 中，16cm AB =，60=︒∠BAE ，∴·60162BG AB sin =︒=⨯=（cm ），∠ABG =30°， ∵50ABC ∠=︒，∴∠CBF =20°，∴∠BCF =70°，在直角△BCF 中，8cm BC =，∠BCF =70°，∴sin 7080.947.52BF BC =⋅︒≈⨯=（cm ），∴CD =FG =7.52 6.3≈（cm ），即点C 到AE 的距离为6.3cm ；故答案为：6.3．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求解的方法是关键．16. 【答案】 ①. C ②. 13【分析】（1）有题意典型表的定义，结合给定的数表判断即可；（2）根据题设及给定数表可表示出5行5列的数表A ，即可得到答案．【详解】（1）对于数表B 有120a = ，而()()()()12223211121300100123a a a a a a +++++=+++++=≤，∴ 数表B 不为典型表；对于数表C 有0st a = ，总有()()1212t t nt s s sn a a a a a a n +++++++≥∴ 数表C 为典型表；故答案为：C ；（2）要使5S 最小，即典型表A 中的“1”最少或()()12125t t nt s s sn a a a a a a +++++++=则1110011100001000011100111A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或1100011000111110001100011A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则有5S 的最小值为13故答案为：13．三、解答题17.【答案】1+【分析】先计算负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：原式2122=+−−⨯21=+−+−1=【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，负整数指数幂和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】12x <<【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．【详解】解：5322132x x x x −>⎧⎪⎨−<⎪⎩①②解不等式①得：1x >，解不等式②得：2x <，∴此不等式组的解集为12x <<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．19. 【答案】7【分析】将原式去括号、合并同类项进行化简，再把已知等式整体代入计算即可求得结果．【详解】解：原式()2269413x x x x =−+−−− 2269413x x x x =−+−+−23910x x =−−+()2=3310x x −++∵2310x x +−=，231x x ∴+=，把231x x +=代入得：()23310=3110=7x x −++−⨯+，【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握整式的乘法法则、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．20. 【答案】（1）90︒，直径所对的圆周角是直角（2）HDE ，AD ，DE（3）见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行求解即可；（2）先证明DAH DHE =∠∠，进而证明ADH HDE △∽△，得到AD DH DH DE=；（3）根据（2）得结论证明2AD DC DH ⋅=，即可证明正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．【小问1详解】解：∵以AE 为直径作半圆，∴90AHE =︒∠，其依据是直径所对的圆周角是直角，故答案为：90︒，直径所对的圆周角是直角；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADH HDE ADC ===︒∠∠∠，∴90DAH DHA DHA DHE +=︒=+∠∠∠∠，∴DAH DHE =∠∠，∴ADH HDE △∽△， ∴AD DH DH DE=，故答案为：HDE ，AD ，DE【小问3详解】解：由（2）得AD DH DH DE=， ∴2AD DE DH ⋅=，又∵DE DC =，∴2AD DC DH ⋅=，∴正方形DHGF 的面积等于矩形ABCD 的面积．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．21. 【答案】（1）54m >−；（2）10x =，21x = 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）得到m 的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1222110x m x m +++−=（）有两个不相等的实数根， ∴22=(21)4(1)450m m m ∆+−−=+>， ∴54m >−；（2）m 满足条件的最小值为1m =−，此时方程为20x x −=，解得10x =，21x =．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 22. 【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD ，AC 平分∠BAD ，再根据等腰三角形的三线合一即可；（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG 为平行四边形，得出∠G=∠ABD ，再根据tanG=12即可求出AO 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB=AD ，AC 平分∠BAD∵BE=DF ， ∴AB BE AD DF −=− ， ∴AE=AF∴△AEF 是等腰三角形， ∵AC 平分∠BAD ， ∴AC ⊥EF（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD 为菱形，∴CG ∥AB ，BO=12BD=2，∵EF ∥BD∴四边形EBDG 为平行四边形，∴∠G=∠ABD ，∴tan ∠ABD=tan ∠G=12∴tan ∠ABD=122AO AO BO ==，∴AO=1 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．23. 【答案】（1）1y x =+（2）1m >或3m < 【分析】（1）先把点B 坐标代入反比例函数解析式求出点B 的坐标，再把点A 和点B 坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）先求出点B 的坐标，进而求出BH ，再根据12AO BH >列出不等式求解即可．【小问1详解】解：把(),2B n 代入()20=>y x x 中得：22n =， ∴1n =，∴()1,2B ，设直线l 的解析式为y kx b =+，把()0,1A ，()1,2B 代入y kx b =+中得：11k b b +=⎧⎨=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线l 的解析式为1y x =+；【小问2详解】解：由题意得，平移后的直线AB 解析式为y x m =+，联立2y x m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴220x mx +−=， ∴22211244x mx m m ++=+，解得12x m =−或12x m =（舍去），∴1122B m m ⎫−⎪⎭，∴12BH m =+， ∵12AO BH >，∴m >，∴122m m >+，当0m ≥时，则122m m >+，即23m > ∴2212494m m >+， ∴21m >，解得1m >或0m <（舍去）；当0m <时，则122m m +−>，即52m −>， ∴22124425m m >+， ∴231m >，解得m <m >（舍去）；综上所述，1m >或m <【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数与不等式的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．24. 【答案】（1）14 （2）12【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵一共有四个“冰墩墩”盲盒，其中隐藏款“冰墩墩”盲盒有1个，且每个盲盒被挑选到的概率相同， ∴从盒子中随机挑选一个，是“冰墩墩”隐藏款的概率是14，故答案为：14【小问2详解】解：设用A 、B 、C 表示基础款“冰墩墩”，用D 表示隐藏款“冰墩墩”，列表如下：的结果数有6种，∴从盒子中随机抽取两个，其中含有“冰墩墩”隐藏款的概率61122==．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．25. 【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先根据等边等等角证明∠=∠ODA C ，再由三角形内角和定理证明90C CDE ∠+∠=︒，进而得到90ODA CDE ∠+∠=︒，由此即可证明结论；（2）如图所示，过点O 作OH BF ⊥，连接OF ，由垂径定理得到112BH BF ==，则2HE =，证明四边形ODEH 是矩形，得到2OD OB EH DE DE ====，，由勾股定理得OH =，则DE =，由勾股定理得：2BD =，由圆周角定理得到90ADB ∠=︒，则AD ==【小问1详解】证明：∵ AB BC =，OA OD =，∴ODA OAD A C ==∠∠，∠∠，∴∠=∠ODA C ，∵DE BC ⊥，即90DEC ∠=︒，∴90C CDE ∠+∠=︒，∴90ODA CDE ∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴OD DE ⊥，∵OD 是O 的半径， ∴DE 为O 的切线；【小问2详解】解：如图所示，过点O 作OH BF ⊥，连接OF ， ∴112BH BF ==， ∴2HE =，∵OH HE DE HE OD DE ⊥，⊥，⊥，∴四边形ODEH 是矩形，∴2OD OB EH DE DE ====，，在Rt OBH △中，由勾股定理得：OH ==∴DE =在Rt BDE △中，由勾股定理得：2BD =，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴AD ==．【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．26. 【答案】（1）抛物线的顶点坐标(),2a −；（2）b 的取值范围为22b −<≤；（3）a的取值范围为0a <<【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可解答；（2）根据题意可求出A ，B 两点的横坐标，根据两点的间的距离公式可表示出AB ，根据4AB ≤可算出b 的取值范围；（3）根据点(),M m m和(),N n n −在抛物线上可得M 和N 所在的象限，再根据0,0m m <>时，有0m n +> 得到两个临界值，从而求出a 的取值范围．【小问1详解】解：()222222y x ax a x a =−+−=−−，∴抛物线的顶点坐标(),2a −；【小问2详解】由题意得：()22y by x a =⎧⎪⎨=−−⎪⎩ 以此可得方程()22x a b −−=，解得：12x a x a ==−12AB x x ∴=−=，4AB ≤，4∴≤，2∴≤，直线y b =与抛物线交于不同的两点A ，B ，2024b b +>⎧∴⎨+≤⎩， 22b ∴−<≤，b ∴的取值范围为22b −<≤；【小问3详解】(),M m m 和(),N n n −，M ∴在一象限或三象限，N 在二象限或四象限， ∵当0,0m n 时，有0m n +>，M ∴在三象限，N 在四象限时，有n m >−，∴此时N 点到y 轴的距离大于M 点到y 轴的距离，如下图所示，当顶点为()0,2−，0a =，此时m n <−与n m >−矛盾，∴只有当0a >，才满足条件，抛物线过点()0,0时，2222220y x ax a a =−+−=−=，a ∴=0a >，a ∴=，此时抛物线不过第三象限，如下图所示，∴只有当a <综上，a 的取值范围为0a <<．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．27. 【答案】（1）见解析（2）证明见解析（3）BD DE =，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据三角形内角和定理得到90CPA BCD +=︒∠∠，90CPA CAP +=︒∠∠，由此即可证明PAC BCD ∠=∠；（3）如图所示，过点E 作EN CD ⊥于N ，过点C 作CH EQ ⊥交EQ 延长线于H ，过点B 作BM CD ⊥交CD 延长线与M ，设AP CD 、于F ，则四边形QCNE 是矩形，可得CH EN =，90HCD ∠=︒，证明CHQ CFP △≌△，得到CF CH =，再证明ACF CBM △≌△，推出EN BM =，进一步证明END BMD △≌△，即可证明BD DE =．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵CD AP ⊥，∴90CPA BCD +=︒∠∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CPA CAP +=︒∠∠，∴PAC BCD ∠=∠；【小问3详解】解：BD DE =，证明如下：如图所示，过点E 作EN CD ⊥于N ，过点C 作CH EQ ⊥交EQ 延长线于H ，过点B 作BM CD ⊥交CD 延长线与M ，设AP CD 、于F ，则四边形QCNE 是矩形，∴CH EN =，90HCD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴HCQ FCP =∠∠，又∵90CHQ CFP CQ CP ==︒=∠∠，，∴()AAS CHQ CFP △≌△，∴CF CH =，∵90AC CB CAP BCM AFC CMB ====︒，∠∠，∠∠，∴()AAS ACF CBM △≌△，∴CF BM =，∴EN BM =，又∵90END BMD EDN BDM ==︒=∠∠，∠，∴()AAS END BMD △≌△，∴BD DE =．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．28. 【答案】（1）R 、T （2）k ≥0k ≤< （3）01r <≤或9r ≥【分析】（1）根据“墩墩点”的定义进行求解即可；（2）先求出当6y =时，3x k+=，当0y =时，3x k −=，进一步推出线段()306y kx y =−+≤≤经过定点()；再由线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，得到当0k >时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x增大而增大，则线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA大值为3k+32k+≤，解不等式即可；当0k <时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x增大而减小，则线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA 的距离的最大值为3k −，最小值为3k+2k≤，解不等式即可；（3）如图所示，过点O 作OD AC ⊥于D，求出6OA OC ==，，直线AC解析式为6y =+，进而求出3OD =；设点()6P m −+，是线段AC 上一点，且P 是O 的“墩墩点”，则当3r <时，则点P 到Or，最大距离为r ，当3r ≥时，则点P 到O上一点的最大距离为r −，最r，两种情况根据“墩墩点”的定义列出不等式求解即可．【小问1详解】解：∵()2,2M −，()4,0B ，∴OM ==，BM ==，∴2M OB BM q OM−==>， ∴点()2,2M −不是线段OB 的“墩墩点”；∵()0,2N ，∴2ON =，BN ==∴2N OB BN q ON−==>， ∴点()0,2N 不是线段OB 的“墩墩点”；∵()2,2R ，()3,2T ，∴R 和T 到线段OB 的最小距离都为2，点R 到线段OB =，点T 到线段OB 的=∴2222R OB T OB q q −−==<=<，， ∴R 和T 都是线段OB 的“墩墩点”；故答案为：R 、T ；【小问2详解】解：当6y =时，3x k+=，当0y =时，3x k −=，∵(()3306y kx k x y =−+=−+≤≤，∴线段()306y kx y =−+≤≤经过定点()；又∵线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，∴当0k >时，线段()306y kx y =−+≤≤与x 轴的交点在x 轴正半轴，且y 随x 增大而增大，∴线段()306y kx y =−+≤≤上的点到线段OA 的距离的最小值为3k−，最大值为∵线段()306y kx y =−+≤≤上的点都是线段OA 的“墩墩点”，2≤，∴36+≤−，∴k≥当0k<时，线段()306y kx y=−+≤≤与x轴的交点在x轴正半轴，且y随x增大而减小，∴线段()306y kx y=−+≤≤上的点到线段OA的距离的最大值为3k−，最小值为3k+，∵线段()306y kx y=−+≤≤上的点都是线段OA的“墩墩点”，32−≤，∴36−≤+，∴0k≤<；综上所述，k≥k≤<；【小问3详解】解：如图所示，过点O作OD AC⊥于D，∵()0,6A，()C，∴6OA OC==，AC解析式为6y=+，∴AC==，∵1122AOCS OA OC AC OD=⋅=⋅△，∴3OA OCODAC⋅==；设点()6P m+，是线段AC上一点，且P是O的“墩墩点”，当3r<时，则点P到Or，最大距离为r，2≤，2r r +≤−，∴r ≤，P 到原点的距离， 3≥，∴1r ≤≤，∴01r <≤；当3r ≥时，则点P 到O 上一点的最大距离为r ，最大距离为r ，2≤，2r r+≤−∴r ≥P 到原点的距离，3≥，∴9r ≥≥，∴9r ≥；综上所述，01r <≤或9r ≥．点到圆上一点的最值问题，解不等式，灵活运用所学知识是解题的关键．。

旋转体(圆柱、圆锥、圆台)-高中数学知识点讲解(含答案)

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019春•西城区校级期中）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是 () A ．4SB ．4S πC ．S πD ．2S π2．（2019•西城区校级模拟）用一块圆心角为240︒、半径为R 的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为( )ABCD3．（2018春•西城区期末）圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是( ) A ．2πB ．1πC ．22π D ．21π4．（2017春•丰台区期中）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是( ) A ．12πB ．1445πC ．485πD ．48π5．（2015秋•西城区校级期中）下列命题中错误的是( ) A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形6．（2014秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，4AB =，3BC =，90ABC ∠=︒，若使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A ．36πB ．28πC ．20πD ．16π二．填空题（共8小题）7．（2017秋•西城区期末）在ABC ∆中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥．以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为．8．（2018春•西城区校级期中）圆台两底面半径分别是2和5，母线长是，则它的轴截面的面积是． 9．（2017秋•东城区期末）一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为．10．（2017秋•东城区期末）圆22(1)2x y -+=绕直线0kx y k --=旋转一周所得的几何体的表面积为． 11．（2017秋•海淀区校级期中）用一张48cm cm ⨯的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为 2cm （接头忽略不计）．12．（2017春•丰台区期中）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是．13．（2015秋•昌平区期末）已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为，表面积为． 14．（2016秋•昌平区月考）四边形ABCD 四顶点的坐标分别为(0,0)A ，(1,0)B ，(2,1)C ，(0,3)D ，将四边形绕y 轴旋转一周得到一几何体，则此几何体的表面积为．三．解答题（共1小题）15．（2015秋•海淀区校级期中）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆的中点，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，6PB D =是PB 的中点，E 是PC 上一点．（Ⅰ）若DE PB ⊥，求PEEC的值；（Ⅱ）若点Q 是平面ABC 内一点，且||2||QA QC =，求点Q 在ABC ∆内的轨迹长度．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019春•西城区校级期中）若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S ，则它的一个底面面积是 () A ．4SB ．4S πC ．S πD ．2S π【分析】根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是4S ，出圆柱底面圆的直径，代入面积公式计算．【解答】解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为4S ，故此正方形的边长为故此圆柱的底面直径为，故圆柱的底面面积为：S π，故选：C ．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆柱的几何特征是解答的关键．2．（2019•西城区校级模拟）用一块圆心角为240︒、半径为R 的扇形铁皮制成一个无底面的圆锥容器（接缝忽略不计），则该容器的体积为( )ABCD【分析】根据题意求出扇形围成的圆锥底面圆半径和高，再计算圆锥的体积．【解答】解：扇形的圆心角为42403π︒=，半径为R ；设扇形围成的圆锥底面半径为r ，高为h ；则423r R ππ=，解得23Rr =；h =，则该圆锥的体积为221454339R V r h R ππ===．故选：A ．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．3．（2018春•西城区期末）圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是( ) A ．2πB ．1πC ．22π D ．21π【分析】由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．【解答】解：如图所示，圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则圆柱的高为2h =，底面圆的周长为22r π=，解得1r π=，∴圆柱的体积是2212()2V r h ππππ===．故选：A ．【点评】本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．4．（2017春•丰台区期中）直角三角形的两条直角边的长度分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，旋转一周形成几何体的体积是( ) A ．12πB ．1445πC ．485πD ．48π【分析】由已知中，3AC =，4BC =，5AB =，可得三角形ABC 为直角三角形，我们可以判断出以斜边AB 为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB 边的高CO 为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高之和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；【解答】解：以该直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，其中圆锥的底面半径为125，高的和为5，所以该几何体的体积211248()5355V ππ=⨯⨯⨯=．故选：C ．【点评】题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键． 5．（2015秋•西城区校级期中）下列命题中错误的是( ) A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形【分析】对于A ，B ，计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C ，D ，利用旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A ，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a ，则截面面积2S ah rh =．∴当2a r =时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A 正确．对于B ，设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB a =，则O 到AB 的距离为，∴截面三角形SAB ∴截面面积22221)(222h r h r S ++==．故截面的最大面积为222h r hr +．故B 错误．对于C ，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C 正确．对于D ，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D 正确．故选：B ．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．6．（2014秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，4AB =，3BC =，90ABC ∠=︒，若使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( ) A ．36πB ．28πC ．20πD ．16π【分析】使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积2143163V ππ=⨯⨯⨯=，故选：D ．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．二．填空题（共8小题）7．（2017秋•西城区期末）在ABC ∆中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥．以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 15π ．【分析】以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，形成的旋转体是底面半径为3r AB ==，高为4BC =的圆锥，由此能求出旋转所得圆锥的侧面积．【解答】解在ABC ∆中，3AB =，4BC =，AB BC ⊥．229165AC AB BC ∴=+=+=，以BC 所在的直线为轴将ABC ∆旋转一周，形成的旋转体是底面半径为3r AB ==，高为4BC =的圆锥，∴旋转所得圆锥的侧面积：S rl AB AC ππ==⨯⨯ 3515ππ=⨯⨯=故答案为：15π．【点评】本题考查过圆锥的侧面积的求法，考查圆锥、旋转体等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，数形结合思想，是中档题．8．（2018春•西城区校级期中）圆台两底面半径分别是2和5，母线长是310，则它的轴截面的面积是 63 ．【分析】圆台的轴截面为等腰梯形，求出梯形的高，即可求出轴截面的面积．【解答】解：由题意，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台两底面半径分别是2和5，母线长是310∴22(310)(52)9--，∴轴截面的面积是1(410)9632⨯+⨯=．故答案为：63．【点评】本题考查轴截面的面积，考查学生的计算能力，确定梯形的高是关键．9．（2017秋•东城区期末）一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为 (2):4ππ- ．【分析】直接求出水桶两种放置时，水的体积相等，即可得到水的高度与桶的高度的比值．【解答】解：横放时水桶底面在水内的面积为221142R R π-．221142V R R h π⎛⎫=- ⎪⎝⎭水，直立时2V R x π=水，:(2):4x h ππ∴=-故答案为：(2):4ππ-【点评】本题考查简单几何体和球的知识，考查空间想象能力，计算能力．10．（2017秋•东城区期末）圆22(1)2x y -+=绕直线0kx y k --=旋转一周所得的几何体的表面积为 8π ．【分析】由题意知圆22(1)2x y -+=的圆心在直线0kx y k --=上，圆绕直线旋转一周所得的几何体是球，由球的表面积公式求解即可．【解答】解：圆22(1)2x y -+=的圆心坐标为(1,0) 而直线0kx y k --=过定点(1,0)，∴圆22(1)2x y -+=绕直线0kx y k --=的球，其表面积为24(2)8S ππ==．故答案为：8π．【点评】本题考查了球的结构特征以及球表面积公式的计算问题，是基础题．11．（2017秋•海淀区校级期中）用一张48cm cm ⨯的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为 32π2cm （接头忽略不计）．【分析】以4为高卷起，则28r π=，82r π=；若以8为高卷起，则24R π=，42R π=，由此能求出轴截面面积．【解答】解：以4为高卷起，则28r π=，82r π∴=，∴轴截面面积为232cm π．若以8为高卷起，则24R π=， 42R π∴=，∴轴截面面积为232cm π．故答案为：232cm π．【点评】本题考查轴截面面积的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．12．（2017春•丰台区期中）已知圆柱底面半径是2，高是3，则圆柱的表面积是 20π ．【分析】利用圆柱的表面积公式直接计算．【解答】解：由题意，圆柱的底面积是228r ππ=，侧面积4312ππ=⨯=，故圆柱的表面积81220S πππ=+=．故答案为：20π．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的表面积公式，是解答的关键．属于基础题．13．（2015秋•昌平区期末）已知一个圆柱的底面半径为2，体积为16π，则该圆柱的母线长为 4 ，表面积为．【分析】代入体积和表面积公式计算．【解答】解：由圆柱的体积公式2V r h π=得164h ππ=，∴圆柱的高4h =，∴圆柱的母线长4l h ==；圆柱的表面积22222222424S r rl πππππ=+=⨯+⨯⨯=．故答案为4，24π．【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的体积，表面积计算，属于基础题．14．（2016秋•昌平区月考）四边形ABCD 四顶点的坐标分别为(0,0)A ，(1,0)B ，(2,1)C ，(0,3)D ，将四边形绕y 轴旋转一周得到一几何体，则此几何体的表面积为 (721)π+ ．【分析】过C 作y 轴的垂线交y 轴于E ，则三角形DCE 是直角三角形，四边形ABCE 是直角梯形，进而可得四边形ABCD 绕y 轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，结合圆台和圆锥的表面积公式，可得答案．【解答】解：过C 作y 轴的垂线交y 轴于E ，则三角形DCE 是直角三角形，四边形ABCE 是直角梯形，四边形ABCD 绕y 轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得1AB =，2BC ，2CD =，1AE =，2ED =，22DC =，所得旋转体的表面积是21(12)2222(721)S ππππ=+++=．故答案为(721)π+．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台和圆锥表面积公式是解答的关键．三．解答题（共1小题）15．（2015秋•海淀区校级期中）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆的中点，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，6PB D=是PB 的中点，E 是PC 上一点．（Ⅰ）若DE PB ⊥，求PEEC的值；（Ⅱ）若点Q 是平面ABC 内一点，且||2||QA QC =，求点Q 在ABC ∆内的轨迹长度．【分析】（1）由PA ⊥平面ABC 可得PA BC ⊥，又BC AC ⊥，故而BC ⊥平面PAC ，于是BC PC ⊥，又DE PB ⊥故~PDE PCB ∆∆，利用勾股定理和相似比求出PE ，CE 得出比值；（2）在平面ABC 上建立平面直角坐标系，求出Q 点的轨迹为圆，利用弧长公式计算点Q 在ABC ∆内的轨迹长度．【解答】解：()I AB 为直径，AC BC ∴⊥，PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，又AC PA A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，BC PC ∴⊥，6PB =，PA AB =，∴232PA AB ==，23AC BC ==， 222233PC PA AC PB AB +=-=132PD PB ==．在Rt PBC ∆中，DE PB ⊥，~PDE PCB ∴∆∆，∴PD PEPC PB=， ∴2333PB PD PE PC ===33233EC PC PE =-=， ∴2323PE EC ==． ()II 以点C 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立如图所示的面直角坐标系，则(0,3)A ，(0,0)C ．设动点Q 的坐标为(,)x y ，则22||(3)QA x y =+-22||QC x y +，∴2222(3)2x y x y +-+整理可得：22(1)4x y ++=，即Q 的轨迹是以(0,1)P -为圆心，以2为半径的圆，设Q 的轨迹与x 轴，y 轴的交点分别为M ，N ，则(3M ，0)，(0,1)N ．连结PM ，PN ，则3sin MC MPN PM ∠==，3MPN π∴∠=． ∴点Q 在ABC ∆内的轨迹长度2233MN ππ=⨯=．【点评】本题考查了线面垂直的判定，轨迹方程，弧长公式，属于中档题．。

新人教版数学八年级上册第十三章第4课时画轴对称图形(教师版)

新人教八年级数学上册画轴对称图形导学案一、学习目标通过具体实例学画轴对称图形，认识轴对称变换，探索它的基本性质和定义；能利用轴对称进行图案设计，通过利用轴对称作图和图案设计发展实践能力；通过作轴对称图形的另一半，设计图案，锻炼克服困难的意志，培养创新精神．二、知识回顾1．什么样的图形是轴对称图形？什么是轴对称？如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．2．轴对称图形或成轴对称的两个图形上的对称点与对称轴有什么联系？对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，也就是说对称点到对称轴的距离相等．3．如何画轴对称图形的对称轴？对于轴对称图形或成轴对称的两个图形，只要找到任意一对对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就可以找到它们的对称轴．三、新知讲解1．轴对称变换由一个平面图形得到与它成轴对称的另一个图形的过程，叫做轴对称变换．2．轴对称变换的特征（1）成轴对称的两个图形中的任何一个图形可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到，一个轴对称图形也可以看作以它的部分为基础经过轴对称变换后扩展而成的；（2）经过轴对称变换得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；（3）经过轴对称变换得到的新图形上的每一点都和原图形上的某一点关于对称轴对称；（4）连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分；（5）当对称轴的方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．3．对称点的画法画某点关于某直线的对称点的一般步骤如下：（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线的另一侧从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．轴对称图形的画法（1）几何图形都可以看做由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再顺次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些直线、线段或射线，或由线段组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，再顺次连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．画出已知图形关于某条直线对称的图形【例1】（1）已知线段AB和直线CD，如图，画AB关于CD的轴对称图形．（2）如图，作出△ABC关于直线l的对称图形．总结：画已知图形关于直线的轴对称图形的方法：（1）找点：确定图形中的一些特殊点；（2）画点：画出特殊点关于已知直线的对称点；（3）连点：连接这些对称点，注意顺次连接．注意：所画轴对称图形用实线，其他的线可以用虚线．练1．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点；（2）分别延长DM，EP，FN至，使=，=，=；（3）顺次连接，，，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．练2．（2014•厦门模拟）如图，画出△ABC关于BC对称的图形．2．在网格图中补画图形使之成为轴对称图形【例2】（2015•杭州模拟）如图，下面均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．总结：在网格图中画已知图形的轴对称图形的步骤：（1）确定对称轴（2）确定已知图形中的对称点；（3）用数格子的方法画出特殊点关于已知直线的对称点；（4）顺次链接其对称点．练3．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个.五、课后小测1．（2011•潮州校级模拟）如图，已知△ABC和直线m，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）2．以直线l为对称轴，画出图形的另一半．3．如图，以虚线为对称轴，请画出下列图案的另一半．4．（2014秋•上蔡县校级期末）如图是边长为1个单位的小正方形组成的网格，按要求作答．（1）在网格内画出△ABC关于直线L对称的△A′B′C′．（2）计算△ABC的面积．5．（2011春•内江期末）如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）作△DEF的EF边上的高；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．6．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小．7．（2013秋•丹阳市校级期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）线段CC′被直线l；（3）△ABC的面积为；（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．8．（2014秋•厦门期末）如图，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线l对称．（保留作图痕迹）9．（2013秋•泗阳县校级月考）（1）生活中因为有美丽的图案，才显得丰富多彩，以下是来自现实生活中的三个商标（图1、2、3），请在图4，图5中画出两个是轴对称图形的新图案；（2）把图中（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的蝴蝶案．典例探究答案：【例1】【解析】根据轴对称的性质分别找到A、B的对应点A’，B’，连接A’B’即可．解：如图所示：点评：本题考查了轴对称作图及尺规作图的知识，注意熟练掌握作已知点关于已知直线对称点的方法．（2）【解析】分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接即可．解：△ABC关于直线l的对称图形△A′B′C′如图所示．点评：本题考查了利用轴对称，熟练掌握已知点关于对称轴对称点的作法是解题的关键．练1．【解析】作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接所成的图形．根据这个做法填空．解：依据轴对称的性质得：（1）M，P，N；（2）点G，H，L，MG=DM，PH=EP，NL=FN；（3）GH，HL，LG．点评：考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．练2．【解析】作AA′⊥BC，使BC垂直平分AA′，连接A′B、A′C即可得解．解：△ABC关于BC对称的图形如图所示．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称点的作法确定出点A的对称点是解题的关键．【例2】【解析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以先找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．解：点评：作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．练3．【解析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可.解：如图，有4个位置使之成为轴对称图形.故答案为：4.点评：此题利用方格图，考查学生对轴对称性的认识.此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置得到4种画法.课后小测答案：1．【解析】找出点A、B、C关于直线m的对称点的位置，然后顺次连接即可．解：如图所示，△A′B′C′即为△ABC关于直线m对称的图形．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，准确找出点A、B、C的对称点的位置是解题的关键．2．【解析】作AO⊥l于点O，并延长，在延长线上截取OA′=OA，得到点A的对称点A′，同法作出左侧图形中其余关键点关于直线l的对称点，按左侧图形中的次序连接即可．解：如图所示：．点评：用到的知识点为：两点关于某条直线对称，那么这两点的连线被对称轴垂直平分．3．【解析】根据轴对称图形的定义，右侧和左侧对折后重合．解：所作图形如下所示：点评：解答此题要明确轴对称的性质：（1）对称轴是一条直线；（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；（4）在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份；（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．4．【解析】（1）利用关于轴对称图形的性质得出各对应点位置进而得出答案；（2）利用矩形面积减去周围三角形面积求出即可．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）△ABC的面积为：2×4﹣×1×2﹣×1×2﹣×2×2=4．点评：此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积，得出对应点位置是解题关键．5．【解析】（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH 即为所求作的高线；（3）DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．解：（1）如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）如图所示，DH为EF边上的高线；（3）△DEF的面积=×3×2=3．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．6．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据轴对称确定最短路线问题连接A1C与DE的交点即为所求点Q．解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）点Q如图所示．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．7．【解析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，在于点A（即A′）顺次连接即可；（2）根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对称点的连线；（3）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（4）根据轴对称确定最短路线问题，连接B′C与对称轴的交点即为所求的点P．解：（1）△A′B′C′如图所示；（2）线段CC′被直线l垂直平分；（3）△ABC的面积=2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2=8﹣1﹣2﹣2=8﹣5=3；（4）点P如图所示．故答案为：（2）垂直平分；（3）3．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．8．【解析】过点C，点B′作关于直线l的对称点，连接AB，BC，B′C及A′C′即可．解：如图所示．点评：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于直线对称的点的坐标特点是解答此题的关键．9．【解析】（1）根据线段及长方形是轴对称图形，所以可根据可在圆中画对称的线段可长方形．（2）将三角形不在对称轴的那两个顶点分别向l轴引垂线并延长相同长度得到对应点，顺次连接．解：（1）如图：（2）所画图形如下：．点评：本题主要考查了轴对称图形的性质，及垂直平分线的性质，难度不大，注意作图的标准性．。

剪纸问题-北京习题集-教师版

剪纸问题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2018春•海淀区期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为()A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒2．（2017春•通州区期末）如图所示，在矩形纸片ABCD中，E，G为AB边上两点，且AE EG GB==；F，H为==．沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折CD边上两点，且DF FH HC叠，使B落在点E上，点C落在点F上．叠完后，剪一个直径在EF上的半圆，再展开，则展开后的图形为( )A．B．C．D．3．（2017•门头沟区一模）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断()A．是轴对称图形但不是中心对称图形B．是中心对称图形但不是轴对称图形C．既是轴对称图形也是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形4．（2017•通州区一模）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90︒后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为()A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形5．（2014秋•延庆县期末）一张正方形纸片按图中方式经过两次对折，并在如图3位置上剪去一个小正方形，打开后是()A．B．C．D．二．解答题（共1小题）6．（2007春•石景山区期末）如图1（1），将正方形沿着对角线剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形，请你试一试：能否将正方形沿着某条直线剪成两部分，由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形，若能请在图2的正方形中用虚线表示剪裁线，并仿照图1（2）、（3）将拼后的图形画出．剪纸问题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2018春•海淀区期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．【解答】解：α为45︒就可以得到一个正方形．根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形，菱形里只要有一个角是90︒就是正方形．展开四边形后的角为：290α=︒，即45α=︒．故选：B ．【点评】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．2．（2017春•通州区期末）如图所示，在矩形纸片ABCD 中，E ，G 为AB 边上两点，且AE EG GB ==；F ，H 为CD 边上两点，且DF FH HC ==．沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上．叠完后，剪一个直径在EF 上的半圆，再展开，则展开后的图形为( )A ．B ．C ．D ．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【解答】解：在矩形纸片ABCD 中，E ，G 为AB 边上两点，且AE EG GB ==；F ，H 为CD 边上两点，且==，DF FH HC∴四边形AEFD，EGHF，GBCH是三个全等的矩形．现在把矩形ABCD三等分，标上字母；严格按上面方法操作，剪一个直径在EF上的半圆，展开后实际是从矩形ABCD的一条三等分线EF处剪去一个圆，从一边BC上剪去半个圆．故选：B．【点评】本题考查了剪纸问题，学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．3．（2017•门头沟区一模）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断()A．是轴对称图形但不是中心对称图形B．是中心对称图形但不是轴对称图形C．既是轴对称图形也是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：既是轴对称图形也是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（2017•通州区一模）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90︒后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为()A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据对角线互相垂直平分的四边形的菱形即可判断．【解答】解：将一张矩形的纸对折，旋转90︒后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．故选：B．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．5．（2014秋•延庆县期末）一张正方形纸片按图中方式经过两次对折，并在如图3位置上剪去一个小正方形，打开后是()A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．【解答】解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是D．故选：D．【点评】本题主要考查了剪纸问题，关键是根据折叠方法亲手做一做，这样可以直观的得到答案．二．解答题（共1小题）6．（2007春•石景山区期末）如图1（1），将正方形沿着对角线剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形，请你试一试：能否将正方形沿着某条直线剪成两部分，由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形，若能请在图2的正方形中用虚线表示剪裁线，并仿照图1（2）、（3）将拼后的图形画出．【分析】第一个正方形沿虚线剪成两部分，这两部分可拼成平行四边形；第二个既可拼成平行四边形，也可以拼成下三角形和梯形；第三个拼成的图形为特殊的平行四边形正方形；第四个可拼成平行四边形．【解答】解：根据题意得：【点评】本题主要考查剪纸问题，充分考查了学生的空间想象能力．。

2022北京海淀初二(上)期末数学(教师版)

2022北京海淀初二（上）期末数学2022.1 学校____________姓名____________准考证号____________考生须知1．本样题共8页，共三部分，28道题，满分100分。

考试时间90分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是A B C D2. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递. 微波理论上可以在0.000 003秒内接收到相距约1千米的信息. 将数字0.000 003用科学记数法表示应为A．33010-⨯B．6310-⨯C．5310-⨯D．40.310-⨯3. 下列变形是因式分解的是A．2(1)x x x x+=+B．2264(3)5x x x++=+-C．23()3x xy x x y+-=+-D．2221(1)x x x++=+4. 下列计算正确的是A．326(3)9a a=B．3252a a a+=C．326a a a⋅=D．824a a a÷=5. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E.若EC = 3，则DC的长为A．4 B．5C．6 D．76. 下列变形正确的是A．3=3y yx x++B．=y yx x--C．22=y yx x D．=y xx y7. 如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为A．20°B．25°C．30°D．40°8. 某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福. 小冬以长方形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示. 若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD 的面积为 A ．1B ．32C ．2D ．83二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式12x -有意义，则x 的取值范围是____________. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （2，4）与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是____________. 11. 分解因式：2312a -=____________. 12. 若4x =是关于x 的方程233x mx -=-的解，则m 的值为____________. 13. 若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角度数为____________.14. 在处填入一个整式，使关于x 的多项式2+x +1可以因式分解，则可以为______.（写出一个即可）15. 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线， CE ⊥AB 于点E ，AD 与CE 交于点F ，连接BF . 若BF 平分∠ABC ，EF =2，BC =8，则△CDF 的面积为____________.16. 如图，在△ABC 中，AC =BC ，以点A 为圆心，AB 长为半径作弧交BC 于点D ，交AC于点E . 再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧相交于F ，G 两点. 作直线FG . 若直线FG 经过点E ，则∠AEG 的度数为_______°.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分） 17. 计算：01861(π)()223--+-÷.18. 化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.19. 化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.20. 解方程：153x x =+ .21. 如图，已知线段AB 及线段AB 外一点C ，过点C 作直线CD ，使得CD ⊥AB . 小欣的作法如下：① 以点B 为圆心，BC 长为半径作弧；② 以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点D ； ③ 作直线CD . 则直线CD 即为所求.（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明. 证明：连接AC ，AD ，BC ，BD . ∵ BC =BD ，∴ 点B 在线段CD 的垂直平分线上.（______________）（填推理的依据） ∵ AC =______________， ∴ 点A 在线段CD 的垂直平分线上. ∴ 直线AB 为线段CD 的垂直平分线. ∴ CD ⊥AB .22. 在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形. 中△ABC 是一个格点三角形. 请在图1和图2中各画出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形，并画出对称轴.图1 图223. 如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，点D ，E 在BC 边上，AD=AE . 求证：CD=BE .24. 已知2210a a +-=，求代数式 222111211a a a a a a ⎛⎫--÷ ⎪-+--⎝⎭的值．25. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)，给出如下定义：若P 为△ABC 内(不含边界)一点，且AP 与△BCP 的一条边相等，则称P 为△ABC 的友爱点．（1）在P 1(0，3)，P 2(-1，1)，P 3(-2，1)中，△ABC 的友爱点是_______；（2）如图2，若P 为△ABC 内一点，且15PAB PCB ∠=∠=︒, 求证：P 为△ABC 的友爱点；（3）直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴平行的直线，若直线l 上存在△ABC 的三个友爱点，直接写出m 的取值范围_______．图1 图227. 在分式NM中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b (当N 为常数时，0b =)，则称分式NM为()a b -次分式. 例如，431x x x +-为三次分式. （1）请写出一个只含有字母x 的二次分式__________；（2）已知23mx A x +=-，239nx B x +=-（其中m ，n 为常数）. ① 若0m =，5n =-，则A B ⋅，A B +，A B -，2A 中，化简后是二次分式的为_________________； ② 若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m n +的值.28．在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED =_______°；（2）当∠BAC=60°时，①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE．P为直线CF上一动点．当PE PD的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_________，并证明．图1 图2 图32022北京海淀初二（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）9. 2x ≠； 10.（2-，4）； 11. 3(2)(2)a a +-； 12. 5； 13. 40°或100°； 14. 2x （答案不唯一）；15. 4； 16. 126.三、解答题（本题共60分，第17、18、19、21、22题每题4分，第20、23、24、25题每题5分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）17.01861(π)()223--+-÷.解：原式=134+-----------------------3分 =0.----------------------4分 18.化简：2(2)(3)(1)x x x -+++.解：原式=224443x x x x -++++----------------------2分=227x +.----------------------4分 19.化简：2(3)(3)9x y x y x y ⎡⎤+--÷⎣⎦.解：原式=()22299x y x y --÷----------------------2分 =299y y -÷----------------------3分 =y -.----------------------4分 20.解方程：153x x =+.解：方程两边同乘(3)x x +，得----------------------1分35x x +=.----------------------3分解得34x =.----------------------4分检验：当34x =时，(3)0x x +≠. ∴原分式方程的解为34x =.----------------------5分 21.（1）---------------------2分（2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；----------------------3分 AD .----------------------4分 22.如图（答案不唯一）.---------------------2分---------------------4分23.证明：∵AD =AE ，∴∠AEB =∠ADC .----------------------1分在△CAD 与△BAE 中，C B ADC AEB AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△CAD ≌△BAE .----------------------4分 ∴CD BE =.----------------------5分 24.解：∵2210a a +-=，∴221a a +=．----------------------1分原式=()()()()21111111a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=()11111a a a a a +⎛⎫+⋅- ⎪--⎝⎭ =()211a a a a +⋅------------------------3分 =22a a +----------------------4分 =1．----------------------5分25.解：设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产()50x +台机器．---------1分依题意，得60045050x x=+．----------------------2分解得150x =．----------------------3分经检验，150x =是原分式方程的解且符合实际．----------------------4分 ∴50200x +=．答：现在平均每天生产200台机器．----------------------5分 26．（1）P 1，P 2；----------------------2分（2）证明：∵点A (-4，0)，B (4，0)，C (0，4)， ∴AO =CO =BO ． ∵∠AOC =∠BOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =∠BCO =∠ABC =45°．∴AC ＝BC ，∠ACB =∠ACO +∠BCO =90°．----------------------3分 ∵∠PAB =∠PCB =15°，∴∠CAP =∠CAO -∠PAB =30°，∠ACP =∠ACB -∠PCB =75°． ∴∠APC =180°-∠ACP -∠CAP =75°． ∴∠APC=∠ACP ． ∴AP =AC ． ∴AP =BC ．∴点P 为△ABC 的友爱点．----------------------4分（3）0＜m ＜2．----------------------6分 27.（1）21x ，答案不唯一．----------------------1分（2）①A B ⋅，2A ；----------------------3分 ②∵223,39mx nx A B x x ++==--， ∴2223(32)939(3)(3)mx nx mx m n x A B x x x x +++++++=+=--+-． ∵A 与B 的和是一次分式， ∴m =0．----------------------4分 ∴(2)9(3)(3)n x A B x x +++=+-．∵A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1， ∴(2)93(3)n x x ++=+或(2)93(3)n x x ++=--． ∴1n =或5n =-．----------------------6分∴21m n +=或25m n +=-．----------------------7分 28.（1）80；----------------------1分（2）①△AED 是等边三角形．----------------------2分证明：90B ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴150ACD B BAC ∠=∠+∠=︒．线段AC,CD 的垂直平分线交于点E ， ∴EA=EC=ED ．----------------------3分 ∴∠EAC=∠ACE ，∠EDC=∠DCE ．在四边形EACD 中，360360260AED EAC ACD EDC ACD ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠=︒． EA=ED ，∴△AED 是等边三角形．----------------------4分 ②数量关系：PE -PD ＝2AB .----------------------5分证明：作点D 关于CF 的对称点G ，直线EG 交CF 于点P ，此时PE －PD 最大. 连接AD ，GC ，GD.∵∠CFD ＝∠CAE ，∠CFD ＋∠CFE ＝180°， ∴∠CAE ＋∠CFE ＝180°. ∵∠AEF ＝60°，∴∠ACF ＝360°-(∠CAE ＋∠CFE ＋∠AEF )＝120°.∵∠ACD ＝150°，∴∠DCP ＝∠ACD -∠ACF ＝30°.----------------------6分 ∵点D 与点G 关于CF 对称，∴∠GCD ＝2∠DCP ＝60°，GC ＝CD ，GP ＝PD . ∴△GCD 为等边三角形.∵∠CDG ＝∠ADE ＝60°，DG ＝DC ，DE ＝DA ， ∴∠1＝∠2.∴△ACD ≌△EGD （SAS ）. ∴AC ＝EG .∴PE -PD ＝EG ＝AC .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠ACB ＝30°， ∴AC =2AB .∴PE -PD ＝2AB.----------------------7分。

2021北京东城初三(上)期末数学(教师版)

2021北京东城初三（上）期末数学2021.1一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是A.2yx= B. y＝－x－1C. y＝－x2－1D. y＝－3x3. 若关于x的方程ax2－2ax＋1＝0的一个根是－1，则a的值是A. 1B. －1C.13- D. －34. 若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是A.正比例函数关系B.反比例函数关系C.一次函数关系D.二次函数关系5. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是6. 不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宜传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张.从中随机摸出1张片，若印有冰墩墩图案的概率是15，则n的值是A. 250B. 10C. 5D. 17. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点，为P，点C，D之间有一座假山. 为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离. 小明应该测量的是A.线段BPB.线段CPC.线段ABD.线段AD8. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是A. RB. R＝2rC. R＝3rD. R＝4r二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小.这个二次函数的解析式可以是_______________.10. 如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D.若OA＝4，则BC的长为__________.11. A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是__________.12. 2017年生产1吨某种商品的成本是3 000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x，则所列的方程应为______________________________（不增加其它未知数）.13. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为______________________________.14. 如图，△ABC是等边三角形.若将AC绕点A逆时针旋转角a后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠C'C的度数为__________.15. 已知抛物线y＝x2－2x＋c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝－1，则点B的横坐标x B的值为__________.16.如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示. 则线段AC的长为__________，线段AB的长为__________.三、解答题（本题共52分，第17－21题，每小题5分，第22题6分，第23－25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.已知：如图，线段AB.求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°.作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，O A长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC.△ABC就是所求作的直角三角形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝____________°（_______________________________）（填推理的依据）.∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.∴∠A＝________°18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，－1），且过点B（1，4），C（－2，1）.（1）求二次函数的解析式;（2）当－1≤x≤0时，求y的取值范围.19.如图，AM平分∠BAD.作BF//AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E.（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC : S△EAD的值.20.关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0.（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝－4.①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根.21.在平面直角坐标系xOy中已知双曲线kyx=过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）.（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线kyx=，交于点D（t，y），与直线y＝4x交于点E（t，y2）.当y1<y2时，写出t的取值范围.22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D.（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径.23.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2bx＋1.（1）若此抛物线经过点（－2，－2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|<2，求b的取值范围.24.在△ABC中，AB＝，CD⊥AB于点D，CD（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为_______________；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是___________________________，∠BCE与∠A的数量关系是______________________________；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE.①按要求补全图形；②求AE的长.25.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）.线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B在x轴上.①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为_____________；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为_____________；（2）若点A，B都在直线443y x=+上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围.2021北京东城初三（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACBDBCD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 答案不唯一，如2y x =- 10. 43 11.1612. ()230001+5000x = 13. y =x 2+2 ,或y =x 2−2 14. 30°15. 3 16. 13，25三.解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分） 17.解：（1）补全的图形如图所示.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 2分（2）90，直径所对的圆周角是直角，30.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 18.解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.∵点A (0，-1)，B (1，4), C (-2，1)都在二次函数的图象上，∴1,4,42 1.c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得2,3,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以，二次函数的解析式为2231y x x =+-. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）函数图象的顶点坐标为31748⎛⎫- ⎪⎝⎭，-. 当-1≤x ≤0时， y 的取值范围是171.8y -≤≤- ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 19.（1）证明：∵AE 平分∠BAD ,∴∠1=∠2. ∵BF //AD,∴∠3=∠2. ┈┈┈┈┈┈┈┈1分 ∴∠1=∠3.∴AB =BF . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 (2) 解：∵CF =B F , AB =1，∴CF =1. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 ∵BF //AD,∴△EFC ∽△EAD . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分∴2211416EFC EAD S FC S AD ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 20.解：(1)∵方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，∴2=-4=0m n ∆.∴2=4m n . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分(2) 当m =-4,方程为240x x n -+=. ①∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴=1640n ∆-＞ .解得n ＜4. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分②答案不唯一，如=3n 时，方程的两根为121,3x x ==. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 (参考：12x x ==21. 解：(1)∴1k =. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分去分母，得24=1x .∴12y =-，22y =.∵点B 的横坐标小于点C 的横坐标，3分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 22. 解：（1）补全图形如图，直线AB 与⊙D 相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分证明：作DE ⊥AB 于点E ．∵∠DCA =90°，AD 是∠BAC 的平分线，∴DE=DC ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分∴直线AB 与⊙D 相切．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）∵DE=DC ，AC =2DC ，∴AC =2DE ．∵∠BCA =∠BED =90°，∠B =∠B ，∴∆BCA ∽∆BED ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ∴DE AC DB AB =． ∴AB =2DB ．∵BD =5，∴AB =10．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分设DC =r ，则AC =2r ．Rt ∆ABC 中，222AB AC BC =+，∴22210)2()5(=++r r ．解得3=r ．∴⊙D 的半径为3．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分23.解：（1）∵抛物线经过点（-2,-2），∴4+41 2.b +=-∴7.4b =- ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分（2）抛物线的对称轴为直线x b =，纵坐标21y b =-，顶点坐标()2,1b b -.┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分（3）由（1）知，当抛物线经过点（-2,-2）时，7.4b =- 当抛物线经过点（2,2）时，3.4b =令2x =，则441= 4+5y b b =-+-＞2.∵x b ＞时，y 随着x 的增大而增大，x b ＜时，y 随着x 的增大而减小，②当令2x =，则441= 4+5y b b =-+-＜2.∵x b ＜时，y 随着x 的增大而减小，x b ＞时，y 随着x 的增大而增大，令2x =，则441= 4+5y b b =-+-≥2.∵抛物线的开口向上，综上所述，b 7分24.解：（1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②CE ＝CB ,∠BCE ＝2∠A . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（2）解：按要求补全图形，如图. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分作∠ACM ＝∠BCE ，在射线CM 上截取CF ＝CA ，连接BF ， AF .∴∠ACM ＋∠FCE ＝∠BCE ＋∠FCE ，即∠ACE ＝∠FCB .∵CE ＝CB ,∴△ACE≌△FCB(SAS) .∴AE＝BF. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分过点C作CG⊥AF于点G，∴∠CGF=90°.∵CF＝CA，∴∠ACF＝2∠ACG， AF=2AG.∵∠BCE＝2∠BAC，∴∠ACG＝∠BAC.∴CG∥AD.∴∠AGC＝∠BAF＝∠ADC＝90°.∴四边形ADCG是矩形. ┈┈┈┈┈┈┈┈6分∴AG＝CD＝2.∴AF＝22.在Rt△BAF中，∠BAF＝90°，AB＝23，AF＝22，∴BF＝25.∴AE＝25. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分25. 解：(1)①线段AB到⊙O的“平移距离”为12. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分②B点的坐标为(-5，0)或(7，0). ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分(2)如图，取AB的中点M，连接OM交⊙O于点M '，以M '为中点作线段A'B'，使得A'B'∥AB且A'B’=AB =2，则四边形AA'BB' 为平行四边形．∴M 'M=AA'．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分由题意可知，AA'=d1．设直线443y x=+交x轴于点C，交y轴于点D，∴点C(-3,0)，D(0，4)．∴CD=5.过点O作ON⊥直线CD于点N，交⊙O于点N'．在Rt△COD中，可得ON=125．∴NN'=ON-ON'=1271=55．∵MM'≥NN'，∴MM'≥7 5 .∴AA'≥75．∴d1的最小值是75(当点M与点N重合时取得).┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分(3)3≤d2≤5．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分。

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轴对称图形（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区期末）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是()A．北汽新能源B．长城新能源C．东风新能源D．江淮新能源2．（2019秋•东城区期末）如图是33的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()A．①B．②C．③D．④3．（2019秋•顺义区期末）国有银行，是指由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行．下面是我国其中五个国有银行的图标，分别是中国工商银行、交通银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行，其中轴对称图形有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2019秋•西城区期末）下列图案中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．5．（2019秋•北京期末）下列图形中，对称轴条数最多的是()A．B．C．D．二．填空题（共7小题）6．（2018•朝阳区模拟）如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是（写出一个即可）．7．（2016•丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是(1,1)-，(0,0)和(1,0)．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标：．8．（2015•怀柔区一模）下面有五个图形，与其它图形众不同的是第个．9．（2013秋•顺义区校级期中）请写出4个是轴对称图形的汉字：．10．（2010春•海淀区校级期末）在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有个．11．（2009秋•通州区期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，那么这个三角形是三角形．12．（2010春•北京校级期末）下列五种图形：①线段②角③平行四边形④正方形⑤等腰三角形，是轴对称图形的有．三．解答题（共3小题）13．（2019秋•西城区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．14．（2011秋•海淀区校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．15．（2019秋•石景山区期末）如图，在44⨯的正方形网格中，有5个黑色小正方形．（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将号小正方形移至号（填写标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）．轴对称图形（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区期末）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是()A．北汽新能源B．长城新能源C．东风新能源D．江淮新能源【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．（2019秋•东城区期末）如图是33的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()A．①B．②C．③D．④【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，故选：D．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．3．（2019秋•顺义区期末）国有银行，是指由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行．下面是我国其中五个国有银行的图标，分别是中国工商银行、交通银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行，其中轴对称图形有()A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．【解答】解：第一个图形、第三个图形、第四个图形都是轴对称图形，共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．4．（2019秋•西城区期末）下列图案中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、不是轴对称图形，本选项不合题意；D、是轴对称图形，本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（2019秋•北京期末）下列图形中，对称轴条数最多的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、此图共有3条对称轴，故此选项不合题意；B、此图共有1条对称轴，故此选项不合题意；C、此图共有2条对称轴，故此选项不合题意；D、此图共有无数条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．二．填空题（共7小题）6．（2018•朝阳区模拟）如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是答案不唯一．如：正方形（写出一个即可）．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．【解答】解：如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是：答案不唯一．如：正方形．故答案为：答案不唯一．如：正方形．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．7．（2016•丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy ，三颗棋子A ，O ，B 的位置分别是(1,1)-，(0,0)和(1,0)．如果在其他格点位置添加一颗棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C 的位置的坐标： (1,2)-，(2,1)，(1,1)--，(0,1)- ．【分析】根据A ，B ，O ，C 的位置，结合轴对称图形的性质，进而画出对称轴即可．【解答】解：如图所示，C 点的位置为(1,2)-，(2,1)，A ，O ，B ，C 四颗棋子组成等腰梯形，直线l 为该图形的对称轴，C 点的位置为(1,1)--，x 轴是对称轴，C 点的位置为(0,1)-，故答案为：(1,2)-，(2,1)，(1,1)--，(0,1)-．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．（2015•怀柔区一模）下面有五个图形，与其它图形众不同的是第 ③ 个．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，第③个不是．故答案为：③．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．9．（2013秋•顺义区校级期中）请写出4个是轴对称图形的汉字：如中、日、土、甲等．【分析】根据轴对称图形的概念，以及汉字的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．【解答】解：答案不唯一，如中、日、土、甲等．【点评】解答此题的关键是掌握轴对称图形的概念，以及汉字的特征．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．（2010春•海淀区校级期末）在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有3个．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．【解答】解：角的平分线所在的直线就是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；等边三角形每条边的垂直平分线是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；钝角三角形形状无法确定，故此图形不一定是轴对称图形，故不符合题意．故轴对称图形共有3个．故答案为：3．【点评】此题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．（2009秋•通州区期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，那么这个三角形是等边三角形．【分析】先得到轴对称三角形的特殊形状，进而判断三角形的形状即可．【解答】解：如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，则它是等腰三角形，而有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．12．（2010春•北京校级期末）下列五种图形：①线段②角③平行四边形④正方形⑤等腰三角形，是轴对称图形的有①②④⑤．【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形．故是轴对称图形的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．三．解答题（共3小题）13．（2019秋•西城区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握对称图形的性质是解题关键．14．（2011秋•海淀区校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：所补画的图形如下所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案的知识，难度不大，注意掌握轴对称的概念是关键．15．（2019秋•石景山区期末）如图，在44⨯的正方形网格中，有5个黑色小正方形．（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将9号小正方形移至号（填写标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）．【分析】（1）依据轴对称图形的定义，即可得到移动的方法；（2）依据轴对称图形的定义，即可得到移动的方法（答案不唯一）．【解答】解：（1）移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形，另一种做法是将9号小正方形移至3号；（2）移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，做法是将9号小正方形移至3号、将13号小正方形移至4号（答案不唯一）．故答案为：9，3；9，3，13，4．【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．。