2014年北京市怀柔区中考一模数学试题及答案

2014年北京市怀柔区中考一模数学试题及答案2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．- 5的相反数是A ．51 B ．51- C ． -5 D ．52．党中央、国务院从扩大就业等方面保障和增加居民收入，据统计2013年，全国城镇新增就业人数1310万人，将1310用科学计数法表示应为A ．2101.13⨯B ．31031.1⨯C ．41031.1⨯D ．410131.0⨯3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于A．50° B ．30° C ．20° D ．15° 4．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到6的点数，掷得面朝上的点数小于3的概率为A ．61B ．21C ．41D ．315．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，•长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）．A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m6.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是1 23A B C D7．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差 8．在矩形ABCD 中，AB=23，BC=6，点E 为对角线AC 的中点，点P 在边BC 上，连接PE 、PA.当点P 在BC 上运动时，设BP=x ，△APE 的周长为y ，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数y=1x 2中自变量x 的取值范围是_________________． 10．分解因式：ab 2－4a ＝.11．请写出一个在各自象限内，y 的值随着x 值的增大而减小的反比例函数的表达式_________________．12．已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有________________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_________________个．PAEDCB yx4681012142468102OyxO4681012142468102yx4681012142468102Oyx4681012142468102O三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．已知：如图，点A 、B 、C 在同一直线上，AD ∥CE ，AD=AC ，∠D=∠CAE.求证：DB=AE. 14.计算：011(20142013)2cos30()2--+-︒+15.解不等式组：30,2(1) 3.x x x -<⎧⎨+≥+⎩16．已知23210x x +-=，求代数式()23(2)(2)(1)1x x x x x ++---+的值.17.列方程或方程组解应用题某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．求原计划每天生产多少台机器.18．已知：关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m （m>1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC=45°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE∥BD，∠EFC=30°， AB=2.求CF 的长．20.学生的上学方式是初中生生活自理能力的一种反映．为此，怀柔区某初三数学老师组织本班学生，运用他们所学的统计知识，对初一学生上学的四种方式：骑车、步行、乘车、接送，进行抽样调查，并将调查的结果绘制成图（1）、图（2）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)抽样调查的样本容量为________，其中步行人数占样本容量的_____%，骑车人数占样本容量的_____%．(2)请将图（1）补充完整． (3)根据抽样调查结果，你估计该校初一年级800名学生中，大约有多少名学生是由家长接送上学的？ECBAD21.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE. （1）求证：DE 与⊙O 相切.（2）若tanC=25，DE=2，求AD 的长．22．如图，定义：在Rt △ABC 中，∠C =90°,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α，即ctan α=ACBCαα=角的角的邻边对边. 根据上述角的余切定义，解答下列问题： （1）ctan60°= . （2）求ctan15°的值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=2x 2+bx+c 的图象经过（-1，0）和（23，0）两点. （1）求此二次函数的表达式. （2）直接写出当-23＜x ＜1时，y 的取值范围. （3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后，与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标分别是a 和b,其中a<2<b ，试求m 的取值范围.24．问题：在ABC Δ中，AC AB =，∠A=100°，BD 为∠B 的平分线，探究AD 、BD 、BC 之间的数量关系.图(2)图(1)___%___%20%10%接送乘车步行骑车y x 11O CB AαODECBA请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD 、BD 、BC 之间的数量关系为 . （2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC= 度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC 上截取BE=BD ，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.25.在平面直角坐标系xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC ⊥AB 于点A ，AC=2，BD ⊥AB 于点B ，BD=6，以AB 为直径的半圆O 上有一动点P （不与A 、B 两点重合），连接PD 、PC ，我们把由五条线段AB 、BD 、DP 、PC 、CA 所组成的封闭图形ABDPC 叫做点P 的关联图形，如图1所示. （1）如图2，当P 运动到半圆O 与y 轴的交点位置时，求点P 的关联图形的面积. （2）如图3，连接CD 、OC 、OD,判断△OCD 的形状，并加以证明.（3）当点P 运动到什么位置时，点P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.D C B A y x D CB A O P怀柔区2013—2014学年度中考模拟练习（一）数学试卷答案及评分参考三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．证明：∵AD ∥CE ，∴∠DAB=∠C, 在△ABD 和△CEA 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAB ACAD CAE D ………………………………………………3分 ∴△ABD ≌△CEA (ASA)，………………………………………………4分 ∴DB=AE. ………………………………………………………………5分 14.解：原式=1+223+⨯……………………………………4分 =1+3+2=3+3…………………………………………………………5分15. 解：.3)1(2,03⎩⎨⎧+≥+<-②①x x x解①得：x<3，…………………………………………………………2分 解②得：x ≥1，…………………………………………………………4分 所以不等式组的解集为：1≤x<3. ……………………………………5分 16． 解： ()23(2)(2)(1)1x x x x x ++---+22236441x x x x x =++-+-+2325x x =++……………………………………………3分∵23210x x +-=，∴2321x x +=. ………………………………………………4分 ∴原式＝6. ……………………………………5分17.解：设原计划每天生产x 台机器，则现在可生产（x+50）台．…………1分 依题意得：60045050x x=+．………………………………………………………2分 解得x =150. ………………………………………………………………………3分 经检验x=150是原方程的解，且符合题意. ……………………………………4分 答：原计划每天生产150台机器. …………………………………………………5分 18．（1）证明：∵4)1)(1(4)2(2=+---=∆m m m >0．……………………………1分 ∴方程总有两个不相等的实数根. ………………………………2分 （2）解：∵4)1)(1(4)2(2=+---=∆m m m ，m-1≠0.由求根公式解得11)1(2221-+=--=m m m m x ，1)1(2222=--=m m x ．…………………………………………3分∵121111-+=-+=m m m x ，方程的两个根都为正整数，m 是整数且m>1. ∴12-m 是正整数． ∴11=-m 或2．………………………………………………………………………4分 ∴2=m 或3．………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB=DC ，∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE=CD ，……………………………………………2分 即D 为CE 中点，∵AB=2，∴CE=4，…………………………………………3分 又∵AB ∥CD ，∴∠ECF=∠ABC=45°， 过点E 作EH ⊥BF 于点H ，∵CE=4，∠ECF=45°，∴EH=CH=22，………………………………………………4分HFE DCB A∵∠EFC=30°，∴ FH=26，∴ CF=22+26．…………………………………5分 20. 解：(1)50，30，40. ……………………………………………………3分 (2)如图所示. ……………………………………………………4分(3)800⨯10%=80………………………………………………5分 21（1）证明：连接BD 、OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵E 为BC 边的中点，∴DE=EC ，∴∠1=∠C ，∵OA=OD ，∴∠2=∠A ， ∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C =90°，∴∠1+∠2 =90°，∴∠ODE =90°，∴OD ⊥DE 于点D ，………………………………………1分 ∵以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∴D 是半径的外端，∴DE 与⊙O 相切. ………………………………………………2分 (2) ∵∠BDC=90°，E 为BC 边的中点，∴ 12DE BC =，∵DE=2，∴BC=4， 在Rt △ABC 中，tanC=BCAB ， ∴AB=B C ·25=25，…………………………………3分 在Rt △ABC 中， AC=22BC AB +=224)52(+=6，………………4分又∵△ABD ∽△ACB ，∴ACABAB AD =， 即65252=AD ， ∴AD=310.………………………………………………5分 22． 解：（1）33.……………………………………………2分 （2）如图，作△DEG ，使DE=GE ，∠D=15°.过点G 作GH ⊥DE 的延长线于点H. ……………………………………………3分∵ED=EG ，∠D=15°. ∴∠2=30°，21ABED O在Rt △GEH 中，∵∠H =90°, ∠2=30°.∴设GH=x ，则EH=x 3 ，GE=DE=2x, ∴DH= DE+EH=2x+x 3.∴ctan15°=3232+=+=xxx GH DH ……………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.解：（1）由二次函数的图象经过（-1，0）和（23，0）两点，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=c b cb 2329020解这个方程组，得⎩⎨⎧-=-=31c b ∴此二次函数的表达式为y=2x 2-x-3………………………………………2分（2）如图，当x=-23时，y=3，当x=1时y=-2， 又二次函数的顶点坐标是（82541-，）. ∴当-23＜x ＜1时y 的取值范围是-825＜y ＜3…………………………4分3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后的 一次函数表达式为y=(1-m)x+2-m.∵y=(1-m)x+2-m 与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标为a 和b, ∴2x 2-x-3=(1-m)x+2-m ，整理得2x 2+(m-2)x+m-5=0. ………………………5分∵a<2<b ，∴a ≠b ，∴△=(m-2)2-4⨯2(m-5)=(m-6)2+8>0, ∴m ≠1. ……………………………6分∵a 和b 满足a<2<b ，∴如图，当x=2时，(1-m)x+2-m >2x 2-x-3，把x=2代入(1-m)x+2-m >2x 2-x-3，解得m ＜31， ∴m 的取值范围为m ＜31的全体实数. ……………………7分 24． 解：（1）AD+BD=BC ………………………………………1分 （2）20……………………………………………………2分 (3)画出图形……………………………………………………3分 继续证明：在BC 上截取BF=BA ，连接DF,∵∠ABD=∠DBC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△FBD ， ∴AD=DF ，①………………………………4分∵∠A=100°，∴∠DFB=∠A=100°，∴∠DFC=80°， ∵BE=BD ，∠DBC=20°,∴∠BED =∠BDE =80°，∠DFE =∠FED,EF DCBAyxba211OEGHD12∴DF=DE ，②………………………………5分 ∵∠FED=80°，∠C=40°，∴∠EDC=40°，∴∠EDC =∠C ，∴DE =EC ，③………………………………………………6分 ∴AD =EC ，∴AD+BD=BC. ……………………………………………………7分 （其它方法对应给分）. 25. 解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2, ∵P 是半圆O 上的动点，P 在y 轴上，∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四边形AOPC 是正方形， ∴正方形的面积是4， 又∵BD ⊥AB ，BD=6， ∴梯形OPDB 的面积=822)62(2)(=⨯+=⨯+OB DB OP ,∴点P 的关联图形的面积是12. ……………………………………………2分（2）判断△OCD 是直角三角形. ………………………3分证明：延长CP 交BD 于点F.则四边形ACFB 为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，又∵四边形AOPC 是正方形，∴∠OCP=45°， ∴∠OCD=90°，∴O C ⊥CD.∴△OCD 是直角三角形………………………………5分（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 记为所确定的点的位置. ………………………………6分 理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=1624)62(2)(=⨯+=⨯+AB DB AC 为定值，要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小.连接OC ，设交半圆O 于点P ，∵AC ⊥OA ，AC=OA, ∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴O C ⊥CD,OC=22,∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P ‘到CD 的距离为P ‘H,则P ‘H+P ‘O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P ′H> PC, ∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大. ………………………………7分 ∵CD=42,CP=22-2, ∴△PCD 的面积=248)222(242121-=-=⋅CD CP ， 又∵梯形ACDB 的面积=1624)62(2)(=⨯+=⨯+AB DB AC ，∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积-△PCD 的面积=16-（8-42）=8+42.………………………………………………8分yxHA BCDPFOP'。