离散数学中的图的平面图与平面图的判断

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离散数学第八章

12
欧拉图(续)
例图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3)，(6)既不是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?
13
欧拉图的判别法
定理无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 定理有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余顶点的入度等于出度.
9
8.2 欧拉图
欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图
10
哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
11
欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
第8章一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图
1
8.1 二部图二部图完全二部图匹配极大匹配最大匹配匹配数完备匹配
2
二部图
定义设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.

大学离散数学试卷八及答案

大学离散数学试卷八及答案一、判断题（每题1分，共10分）1、设<S, *>是群<G, *>的子群，则<G,*>中幺元e 是<S, *>中幺元。

（ √ ）2、如果一个有向图D 是欧拉图，则D 是强连通图。

（ √ ）3、设G 为无向图，若G 中恰好n 个结点，n-1条边，则G 必为一棵树。

（ ⨯ ）4、 “如果地球体积比太阳小，那么雪是白色的。

”是真命题。

（ ⨯ ）5、 A 上二元关系R 是可传递的，则R 2也是可传递的。

（ ⨯ ）6、 4个顶点的简单无向图一定是平面图。

（ √ ）7、设A ，B 是任意集合，则P(A)∪P(B) = P(A ∪B)。

（ ⨯ ）8、设函数B A f →：，C B g →：，若f g 是满射的，则g 是满射的。

（ √ ）9、布尔格一定是分配格。

（ √ ）10、群中不可能有幂等元。

（ ⨯ ）二、填空题(每空2分，共34分)1．设A={2,3,4,5,6}，定义R 是A 上的关系，且xRy 当且仅当x=y+2，那么R=__{<4,2>,<5,3>,<6,4>}_。

.2．∃yF(x,y)→ ﹁∀xG(x, y)的前束范式为___∀y ∃x(F(u,y)→ G(x, u))___。

3．设F(x):x 为整数；G （x ）：x 是自然数；L(x,y): x<y 。

则命题“有些整数比所有的自然数都小。

” 在一阶逻辑中的符号化形式为 ∃x(F(x)˄∀y(G(y)→L(x,y))_。

4．一棵无向树T 有5片树叶，3个3度顶点，其余顶点均为4度。

则T 共有__8__个结点。

5．设G 是具有9个顶点的简单图并且是二部图，则其边数m 最大为___20___。

6．设集合A={1,2}，则A 上可定义____3___ 个不具有传递性的二元关系。

7．设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b }, 那么 P(B )－P(A )=__∅____ . 8．设循环群G 有4个元素，a 为生成元，则其含有2个元素的子群为___{a,a 4}___。

离散数学中的图的平面图与平面图的着色

图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。

平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。

平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。

他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。

欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。

对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。

四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。

这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。

对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。

四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。

这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。

平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。

比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。

另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。

总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。

平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。

平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。

第3章平图与平面图

第1节平图与Euler公式
基本性质性质1
10
若图 G 是平面图，则 G 的任何子图都是平面图。
性质2
性质3
若图 G 是非平面图，则 G 的任何母图都是非平面图。
若图 G 是平面图，则在 G 中添加重边或环边后所得之
图仍是平面图。
注：由以上定理知
(1) K n ( n ≤ 4 ) 和 K1,n (n ≥ 1) 及其所有子图都是平面图。 (2) 环边和重边不影响图的平面性。
返回结束
第1节平图与Euler公式
定理3.1.2
14
平面图 G 中所有面的次数之和等于 G 的边数的
两倍，即
deg( f ) 2
i 1 i
r
其中 f1 , … , fr 是 G 的所有面。
证明：对
G 的任何一条边 e ，若 e 是两个面 fi 和 fj 的公共
边界，则在计算 fi 和 fj 的次数时， e 各提供了 1 ；若 e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时， e 提供了 2 。
返回结束
第2节 Kuratowski定理
定理3.2 (Kuratowski定理 1930)
24
P125
图G是平面图 G不含K5或K3,3的细分图。
根据Kuratowski定理，可以断定：所有树都是平面图。
补充 (Wager定理 1937)
P128
图G是平面图 G不含边收缩为K5或K3,3的子图。
定理3.1.4 设G是简单平面图，则G是极大的 ε= 3ν- 6。推论3.1.4.1 设G是简单平面图，则 ε≤ 3ν- 6。推论3.1.4.2 若图G是简单平面图，则δ≤5。推论3.1.4.3 K5是非平面图。

计算机科学与技术离散数学第9章图的应用

3
欧拉图
欧拉通路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路
欧拉回路：图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路
欧拉图：有欧拉回路的图半欧拉图：有欧拉通路，但无欧拉回路的图
几点说明： ①上述定义对无向图和有向图都适用。 ②规定，平凡图为欧拉图。 ③欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路。 ④环不影响图的欧拉性。
定理树T 的每一个分支节点都是T 的割点
27
练习①判断下列各图是否是树
v1
v4
v1
v4 v1
v4
v2 v3 v5
v2 v3 v5
v2 v3 v5
连通，有回路，连通，无回路，不连通，
n=5,m=5
n=5,m=4
n=5,m=3
不是树
ห้องสมุดไป่ตู้
是树
不是树
②在保持连通性的条件下，从K5中删去( 6 )条边，得到一棵树
之间的道路，边的权表示对应道路的长度。沿道路架设通讯线路，将这些城市联系起来，要求架设线路最短(费用最省)，此问题就是求一棵最小生成树的问题。
31
克鲁斯卡尔 (Kruskal)算法（P156） ——求最小生成树的算法设G是n阶无向连通带权图G， (1)按权从小到大排列边(环除外)，
设W(e1)≤W(e2)≤…≤W(em)； (2) 令T，i1，k0； (3) 若ei与T中的边不构成回路，
注：有向树是弱连通的；反之，无回路的弱连通有向图不一定是有向树如，
34
在根树中，从根到其余每个结点都有唯一的一条初级有向通路。 ①从根到某一顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数 ②从根到树叶的最大层数称为有根树的树高注：树根位于根树的第0层
35

离散数学第8章图论

第8章图论
两图同构的必要条件:
(1) 结点数相等; (2) 边数相等; (3) 度数相同的结点数相等。但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以上 3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b)中的y仅与一个次数为1的点w邻接。
A
C
B
第8章图论
8.1 图的基本概念
8.1.1 图定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中
V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从
边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)
第8章图论
定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉
中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n 的基本回路。
定义 8.2―3 在图 G=〈V,E〉中 , 从结点 vi 到 vj 最短路径
的长度叫从 vi 到 vj 的距离 , 记为 d(vi,vj) 。若从 vi 到 vj 不存在路径,则d(vi,vj)=∞。注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足以下性质:
其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。 (3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉, G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。

离散数学第17章平面图

6/2/2013 9:05 PM
Discrete Math. , Chen Chen
19
平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系
CHAPTER seventeen
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri) 证明线索 (1)、(2)平凡. (3) 应用欧拉公式. (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两个面的边界上.
定理17.12 设G为n（n3）阶m条边的简单平面图，则m3n6. 证设G有k（k1）个连通分支，若G为树或森林，当n3时， m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成，又 l 2 1 l2 l2 在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6. 定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证. 定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证阶数 n6，结论为真. 当n7 时，用反证法. 否则会推出 2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
轮图都是自对偶图. 图中给出了W6和W7. 请画出它们的对偶图，从而说明它们都是自对偶图.
6/2/2013 9:05 PM Discrete Math. , Chen Chen 22
第十七章习题课
CHAPTER seventeen
主要内容平面图的基本概念欧拉公式平面图的判断平面图的对偶图

平面图有4个面， deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界. 定理17.4 平面图各面次数之和等于边数的两倍.

离散数学第四篇7图 5-6平面图及图的着色

2m＝ d (vi ) 6n
n i 1
因而m 3n，这与定理7-5-12矛盾。所以，假设不成立，即G的最小度(G)5。
说明
23 本定理在图着色理论中占重要地位。
定理7-6-4 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。（仅证充分性）
无限面（外部面）——面积无限的面，记作R0。
有限面（内部面）——面积有限的面，记作R1, R2, …, Rk。
面Ri的边界——包围面Ri的所有边组成的回路组。
面Ri的次数——Ri边界的长度，记作deg(Ri)。
8
2、几点说明若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需要指出外部面。回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路之并。
10≤(3/(3-2))(5-2) = 9
这是个矛盾，所以K5不是平面图。若K3,3是平面图，由于K3,3中最短圈的长度为l≥4，于是边数9 应满足 9≤ (4/(4-2))(6-2) = 8
20 这又是矛盾的，所以K3,3也不是平面图。
定理7-5-11 设G是有k(k≥2)个连通分支的平面图，各面的次数至少为l(l≥3)，则边数m与顶点数n应有如下关系：
小节结束
7-5-2 欧拉公式
一、欧拉公式相关定理 1、欧拉公式定理7.8 对于任意的连通的平面图G，有 n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 (1) m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 (2) m＝1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论显然成立。 16

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离散数学是一门研究离散的数学结构的学科，其中图论是离散数学中的重要分支。

图论研究的是图的性质及其应用，而平面图是图论中一个非常重要的概念。

在离散数学中，平面图的概念以及平面图的判断是一个非常有趣且具有实际应
用的问题，本文将对平面图的概念以及如何判断图是否为平面图进行探讨。

首先，我们来定义平面图。

在离散数学中，平面图是指可以画在平面上并且其
中不同边和不同顶点之间没有交叉的图。

换句话说，如果将图的各个顶点用点
表示，将图的各个边用线段表示，那么这些点和线段在平面上的位置不会相互
交叉。

接下来，我们来看一下如何判断一个图是否为平面图。

首先，我们需要了解一
个重要的定理，即欧拉定理。

欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它表明对于任何平面图都有一个重要的等式：顶点数减去边数再加上面（连通
分量的个数）等于2。

这个定理为我们判断一个图是否为平面图提供了一个重
要的依据。

根据欧拉定理，我们可以得出一个结论：如果一个图的顶点数大于2且边数大
于等于3，并且满足顶点数减去边数再加上面（连通分量的个数）等于2的等式，那么这个图就是一个平面图。

但这只是一个判断的充分条件，并不是必要
条件。

除了欧拉定理，我们还可以借助其他一些方法来判断图是否为平面图，例如柯
尼格斯堡七桥问题和柯辞定理。

柯尼格斯堡七桥问题是一个历史上著名的问题，它可以用图论的方式进行描述：在柯尼格斯堡的一座岛屿上有7个桥，这些桥
将岛屿分为四个部分。

问题是能否依次经过这7个桥恰好一次并且回到原点。

通过研究这个问题，柯辞定理得出了一个结论：如果一个图中的所有顶点的度
数都是偶数，则该图是一个平面图。

除了欧拉定理和柯辞定理，还有其他许多方法可以用来判断图是否为平面图，
例如平面图的化简和平面图的染色等方法。

通过这些方法的结合使用，我们可
以更加准确地判断一个图是否为平面图。

总结起来，离散数学中的图的平面图与平面图的判断是一个非常有趣且具有实
际应用的问题。

通过欧拉定理、柯尼格斯堡七桥问题和其他一些方法的运用，
我们可以准确地判断一个图是否为平面图。

因此，研究图的平面图以及判断方
法对于离散数学的发展和实际应用具有重要意义。