离散数学平面图
离散数学PPT课件10着色与对偶图(ppt文档)
不同颜色.
四. 图G的正常着色(简称着色):
1. 对G的每个结点指定一种颜色,使得相邻接的两个结点
着不同颜色. 如果G着色用了n种颜色,称G是 n-色的.
2.对G着色时,需要的最少颜色数,称为G的着色数,记作
x(G) .
3.对G着色方法:(下面介绍韦尔奇.鲍威尔法)
3.对G着色方法:(介绍韦尔奇.鲍威尔法 Welch.Powell) ⑴将G中的结点按照度数递减次序排序,(此排序可能不唯 一,因为可能有些结点的度数相同) ⑵用第一种颜色对第一个结点着色,并按照排序,对与前面 着色点不邻接的每一个点着上相同颜色. ⑶用另一种颜色对尚未着色的点, 重复执行⑵和⑶,直到
⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时, vi*上有一个环ek* 与ek相交.
v3*
则称图G*是G的对偶图.
v5
F1 v1*
F3
可见G*中的结点数等于
F2 v2*
G中的面数.
二. 自对偶图:如果图G对偶图G*与G同构,则称G是自对偶
图. (如下图) 三.对偶图与平面图着色的关系:
对平面图面相邻面用不同颜 色的着色问题,可以归结到对 其对偶图的相邻接的结点着
有共同的学生在读, 就在两门课程之间连一直线.得到图:
结点度数递减排序:
A
B,C,D,G,A,E,F 对图正常着色后, 标有同一种颜色的 G
课,可以同时考试.安排考试日程: 周一: A 周二: B,F 周三:C,E 周四: D,G
F E
作业 P189 – 8.16 8.17
B C
D
所有结点都着上颜色为止.
B C
例如:结点排序:A,B,E,F,H,D,G,C A
离散数学课件_9 树与平面图
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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5 2019/12/4
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
离散数学第七章图论习题课
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
证明 ：
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
割点。
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
离散数学CH04_图论_根树
4.6 树
4.6 树
图中的三棵树T1，T2和T3都是带权2，2，3，3，5
的二叉树，它们的权分别是：
W(T1)=2×2＋2×2＋3×3＋5×3＋3×2=38 W(T2)=3×4＋5×4＋3×3＋2×2＋2×1=47 W(T3)=3×3＋3×3＋5×2＋2×2＋2×2=36 以上三棵树都是带权2,2,3,3,5的赋权二叉树，但不 是最优树。
【例】求图所示的二叉树产 生的前缀码。 解：在图(a)中，每一个 分枝点引出的左侧边标记0， 右侧边标记1。由根结点到 树叶的路经上各边的标记组 成的0、1序列作为对应树叶 的标记，如图 (b)所示。产 生的前缀码为： 01,11,000,0010,0011
4.6 树
定理 任意一个前缀码，都对应一个二叉树。 证明：
4.6 树
给定了一个前缀码，设h是其中最长序列的长度。画出一个高为 h的正则二叉树。按定理9.6.7中描述的办法给各边标记0或1。 每一个结点对应一个0、1序列，它是由根结点到该结点的路经 上各边的标记组成的。如果某个0、1序列是前缀码的元素，则 标记该结点。将已标记结点的所有后代和该结点的射出边全部删 除，得到了一个二叉树，再删除未加标记的树叶，就得到要求的 二叉树。
在通信中常用0、1字符串表示英文字母，即用二进制 数表示英文字母。最少用多少位二进制数就能表示26
个英文字母呢？1位二进数可以表示2=21个英文字母
，两位二进制数可以表示4=22个英文字母，……，n 位二进制数可以表示2n个英文字母。如果规定，可以 用1位二进制数表示英文字母，也可以用两位二进制数 表示英文字母。
4.6 树
定理 在完全m叉树中，其树叶数为t，分枝点数为i，则 (m1)*i=t-1。 证明：
离散数学第17章 平面图
6/2/2013 9:05 PM
Discrete Math. , Chen Chen
19
平面图与对偶图的 阶数、边数与面数之间的关系
CHAPTER seventeen
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri) 证明线索 (1)、(2)平凡. (3) 应用欧拉公式. (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两 个面的边界上.
定理17.12 设G为n（n3）阶m条边的简单平面图，则m3n6. 证 设G有k（k1）个连通分支，若G为树或森林，当n3时， m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成 ，又 l 2 1 l2 l2 在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6. 定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证 由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证. 定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证 阶数 n6，结论为真. 当n7 时，用反证法. 否则会推出 2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
轮图都是自对偶图. 图中给出了W6和W7. 请画出它们的对偶图， 从而说明它们都是自对偶图.
6/2/2013 9:05 PM Discrete Math. , Chen Chen 22
第十七章 习题课
CHAPTER seventeen
主要内容 平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图
平面图有4个面， deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界. 定理17.4 平面图各面次数之和等于边数的两倍.
离散数学符号表
《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足） ┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算 → 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ） ↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ） ↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ） □ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数n A A A ⨯⨯⨯ （nA ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪ 集合的并运算∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包 +R ，)(R t关系R 的传递闭包 *R ，)(R rt关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则） UG 全称推广规则（全称量词引入规则） US 全称特指规则（全称量词消去规则） A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r r B B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数 e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集 )(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核） A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk n C 组合数),(v u d 点u 与点v 间的距离 )(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图 G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图 W(G) 图G 的连通分支数 )(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ 图G 的最小点度)(G ∆ 图G 的最大点度 A(G) 图G 的邻接矩阵 P(G) 图G 的可达矩阵 M(G) 图G 的关联矩阵 n K n 阶完全图m n K , 完全二分图C 复数集N 自然数集（包含0在内） +N 正自然数集P 素数集Q 有理数集+Q 正有理数集-Q 负有理数集R 实数集Z 整数集m Z ]}[,,]2[,]1{[m Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴 Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R 的左模范畴 mod-R 环R 的右模范畴 Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学符号表
离散数学符号表∀ 全称量词任意量词∃ 存在量词├ 断定符公式在L 中可证╞ 满足符公式在E 上有效,公式在E 上可满足 ┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”“与”运算∨ 命题的“析取”“或”,“可兼或”运算 → 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算 “异或门” ↑ 命题的“与非” 运算 “与非门” ↓ 命题的“或非”运算 “或非门” □ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于∉不属于A μ· 集合A 的特征函数P A 集合A 的幂集A 集合A 的点数nA A A ⨯⨯⨯ n A 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合” 0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪ 集合的并运算∩ 集合的交运算- ～ 集合的差运算⊕ 集合的对称差运算m + m 同余加m ⨯ m 同余乘〡 限制R x ][ 集合关于关系R 的等价类A /R 集合A 上关于R 的商集)(A R π 集合A 关于关系R 的划分)(A R π 集合A 关于划分π的关系][a 元素a 产生的循环群R a ][ 元素a 形成的R 等价类r C 由相容关系r 产生的最大相容类 I 环,理想)/(n Z 模n 的同余类集合)(mod k b a ≡ a 与b 模k 相等)(R r 关系R 的自反闭包)(R s 关系R 的对称闭包+R ,)(R t 关系R 的传递闭包*R ,)(R rt 关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理CP 规则EG 存在推广规则存在量词引入规则ES 存在量词特指规则存在量词消去规则 UG 全称推广规则全称量词引入规则 US 全称特指规则全称量词消去规则 A I ,0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数 )(][A A K 集合A 的势基数R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R c R 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r rB B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂 r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域前域ranf 函数f 的值域Y X f →： Y X f −→−f 是X 到Y 的函数 ),(y x GCD y x ,最大公约数 ),(y x LCM y x ,的最小公倍数 e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元 )(Ha aH H 关于a 的左右陪集 )(f Ker 同态映射f 的核或称f 的同态核 A,B,C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数1,n 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk n C 组合数),(v u d 点u 与点v 间的距离 )(v d 点v 的度数 )(v d + 点v 的出度 )(v d - 点v 的入度 ),(E V G = 点集为V ,边集为E 的图 G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构 *G 平面图G 的对偶图 WG 图G 的连通分支数 )(G κ 图G 的点连通度 )(G λ 图G 的边连通度 )(G δ图G 的最小点度 )(G ∆图G 的最大点度 AG图G 的邻接矩阵 PG图G 的可达矩阵 MG图G 的关联矩阵 n Kn 阶完全图 m n K ,完全二分图 C复数集 N自然数集包含0在内 +N正自然数集 P素数集 Q有理数集 +Q正有理数集 -Q负有理数集 R实数集 Z整数集 m Z]}[,,]2[,]1{[m Set集范畴 Top拓扑空间范畴 Ab交换群范畴 Grp群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的结合环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
《离散数学》图论 (上)
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
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显然成立。
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(3)设m＝k(k≥1)时成立，当m＝k+1时，对G进行如下讨论。 若G是树，则G是非平凡的，因而G中至少有两片树叶。
设v为树叶，令G'=G-v，则G'仍然是连通图，且G'的边数 m'=m-1=k，n'=n-1，r'=r。 由假设可知 n'-m'+r'=2，式中n'，m'，r'分别为G'的顶点数， 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 若G不是树，则G中含圈。 设边e在G中某个圈上，令G'=G-e，则G'仍连通且m'=m-1=k ， n'=n，r'=r-1。 由假设有 n'-m'+r'=2。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r-'-+---1精)品=文n档'--m----'-+r'=2
类似地，v2与v4也必相邻，且边(v2,v4)也必在Ri外部，于是必 产生(v1,v3)与(v2,v4)相交于Ri的外部，这又矛盾于G是平面图， 所以必有s＝3，即G中不存在次数大于或等于4的面，所以G的
每个面为3条边所围，也就--是---精各品文面档次------数均为3。
只有右边的图为极大平面图。 因为只有该图每个面的次数都为3。
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（2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。
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2、 几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时， 一定是指平面嵌入。
K5和K3,3都不是平面图。 定理17.1 设GG，若G为平面图，则G也是平面图。
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四、极小非平面图 定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所得图G为平面
图，则称G为极小非平面图。 由定义不难看出： K5, K3,3都是极小非平面图。 极小非平面图必为简单图。 例如：以下各图均为极小非平面图。
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小节结束
17.2 欧拉公式
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2、几点说明
若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。
回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。
R1
R0
R3
R2
平面图有4个面，deg(R1)=--1--,-精d品e文g(档R--2--)--=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。
于是每条边在计算总次数时，都提供2，因而deg(Ri)=2m。 -----精品文档------
三、极大平面图 1、 定义 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之
间加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图。 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平
面图，如K1（平凡图）, K2, K3, K4都是极大平面图。 2、极大平面图的主要性质 定理17.4 极大平面图是连通的，并且n(n3)阶极大平面图
因为G为平面图，又为极大平面图。可证G不可能存在次数>3 的面。
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假设存在面Ri的次数deg(Ri)=s≥4， 如图所示。
s
S-1
在G中，若v1与v3不相邻，在Ri内加边(v1,v3)不破坏平面性，这 与G是极大平面图矛盾，因而v1与v3必相邻，由于Ri的存在，边 (v1,v3)必在Ri外。
中国地质大学本科生课程
离散数学
第17章 平面图
本章说明
本章的主要内容
–平面图的基本概念 –欧拉公式 –平面图的判断 –平面图的对偶图
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本章所涉及到的图均指无向图。
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17.1 平面图的基本概念 Nhomakorabea17.2 欧拉公式
17.3 平面图的判断
17.4 平面图的对偶图
定理17.3 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即
r
deg(R i)2m 其 中 r为 G 的 面 数
证
i 1
明
本定理中所说平面图是指平面嵌入。
e∈E(G)，
当e为面Ri和Rj(i≠j)的公共边界上的边时，在计算Ri和Rj的次 数时，e各提供1。
当e只在某一个面的边界上出现时，则在计算该面的次数时， e提供2。
中不可能有割点和桥。
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定理17.5 设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G为极大平面图 当且仅当G的每个面的次数均为3。
证 明 思 路
本节只证明必要性，即设G为n(n3) )阶简单连通的平面图，G 为极大平面图，则G的每个面的次数均为3。
由于n3, 又G必为简单平面图，可知，G每个面的次数均3。
设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图。
由定理可知， Kn(n5)和K3,n(n3)都是非平面图。
定理17.2 若G为平面图，则在G中加平行边或环所得图还是 平面图。 即平行边和环不影响图的平面性。
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二、平面图的面与次数（针对平面图的平面嵌入） 1、 定义 定义17.2 设G是平面图， G的面——由G的边将G所在的平面划分成的每一个区域。 无限面（外部面）——面积无限的面，记作R0。 有限面（内部面）——面积有限的面 ，记作R1, R2, …, Rk。 面Ri的边界——包围面Ri的所有边组成的回路组。 面Ri的次数——Ri边界的长度，记作deg(Ri)。
本章小结
习题
作业
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17.1 平面图的基本概念
一、关于平面图的一些基本概念 1、 平面图的定义 定义17.1 G可嵌入曲面S——如果图G能以这样的方式画在曲面S上，
即除顶点处外无边相交。 G是可平面图或平面图——若G可嵌入平面。 G的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 非平面图——无平面嵌入的图。
一、欧拉公式相关定理
1、 欧拉公式 定理17.6 对于任意的连通的平面图G，有
n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。
(1) m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶
点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。
(2) m＝1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论