【VIP专享】离散数学--6.5 平面图
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离散数学——图论PPT课件
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• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
第20页/共93页
定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
离散数学平面图课件ppt
i 1
i 1
i 1
i 1
经整理得 n-m+r = k+1。
2、 与欧拉公式有关的定理
定理17.8 设G为连通的平面图，且每个面的次数至少为 l(l3)，则 G的边数与顶点数有如下关系：
m l (n 2) l2
证明
由定理17.3（面的次数之和等于边数的2倍）及欧拉公式得
r
2m deg(Ri ) l r l(2 m n)
由于n3, 又G必为简单平面图，可知，G每个面的次数均3。
因为G为平面图，又为极大平面图。可证G不可能存在次数>3 的面。
假设存在面Ri的次数deg(Ri)=s≥4， 如图所示。
s
S-1
在G中，若v1与v3不相邻，在Ri内加边(v1,v3)不破坏平面性，这 与G是极大平面图矛盾，因而v1与v3必相邻，由于Ri的存在， 边(v1,v3)必在Ri外。
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(u,v)，称为在G中消去2度顶点w。
2、图之间的同胚 若两个图G1与G2同构，或通过反复插入或消去2度顶点后
是同构的，则称G1与G2是同胚的。
上面两个图分别与K3,3, K5同胚 。
复旦大学计算机科学与工程系 吴永辉 离散数学 平面图
二、欧拉公式 1 定义6.2（面/外部面/内部面）
平面图G嵌入平面后将Ğ分成若干 个连通闭区域，每一个连通闭区域称为G 的一个面。
恰有一个无界的面，称为外部面。 其余的面称为内部面。
6.1 平面图与欧拉公式
2 欧拉公式 （1）定理6.1
若连通平面图G有n个顶点，e条边和f 个面，则
n-e+f=2 称为欧拉公式。 证明方法：归纳法
球面等，如果图G能画在曲面S上使得它 的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面 (embeddable in the surface) S。
2. 定理6A.
图G可嵌入球面S
面P。
G可嵌入平
/*证明基于球极平面射影。*/ /*图嵌入平面与球面是一回事。*/
二、平面图
1 边界和度数
1）定义6A：
证明：
（1）归纳基础：一条边，欧拉公式成立；
（2）归纳步骤：假设m-1条边，欧拉公式成立；
考察m条边的连通平面图：
1）若有度数为1的顶点，则删去该顶点及其关联边， 便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去 的点和边加回G’得到G也满足欧拉公式；
2）若没有度数为1的顶点，则删去有界面边界上的 任一边，便得到连通平面图G’， G’满足欧拉公式， 再将删去的边加回G’得到G也满足欧拉公式。
设G是有n个顶点，e条边，f个面的连 通平面图；又设G的几何对偶G*有n*个 顶点，e*条边，f*个面，则n*=f, e*=e, f*=n。
证明方法：前两个关系式直接由G*的定义 给出，第3个关系式由欧拉公式推出。
3 定理6.5 G是连通平面图G**同构于G。
6.1 平面图与欧拉公式（补充）
一、球面与平面 1. 嵌入曲面 设S是一个给定的曲面，比如平面，
平面图G嵌入平面后将Ğ分成若干 个连通闭区域，每一个连通闭区域称为G 的一个面。
恰有一个无界的面，称为外部面。 其余的面称为内部面。
6.1 平面图与欧拉公式
2 欧拉公式 （1）定理6.1
若连通平面图G有n个顶点，e条边和f 个面，则
n-e+f=2 称为欧拉公式。 证明方法：归纳法
球面等，如果图G能画在曲面S上使得它 的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面 (embeddable in the surface) S。
2. 定理6A.
图G可嵌入球面S
面P。
G可嵌入平
/*证明基于球极平面射影。*/ /*图嵌入平面与球面是一回事。*/
二、平面图
1 边界和度数
1）定义6A：
证明：
（1）归纳基础：一条边，欧拉公式成立；
（2）归纳步骤：假设m-1条边，欧拉公式成立；
考察m条边的连通平面图：
1）若有度数为1的顶点，则删去该顶点及其关联边， 便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去 的点和边加回G’得到G也满足欧拉公式；
2）若没有度数为1的顶点，则删去有界面边界上的 任一边，便得到连通平面图G’， G’满足欧拉公式， 再将删去的边加回G’得到G也满足欧拉公式。
设G是有n个顶点，e条边，f个面的连 通平面图；又设G的几何对偶G*有n*个 顶点，e*条边，f*个面，则n*=f, e*=e, f*=n。
证明方法：前两个关系式直接由G*的定义 给出，第3个关系式由欧拉公式推出。
3 定理6.5 G是连通平面图G**同构于G。
6.1 平面图与欧拉公式（补充）
一、球面与平面 1. 嵌入曲面 设S是一个给定的曲面，比如平面，
离散数学 第四章平面图与图【完全免费,强烈推荐】.ppt
定理4.6.6
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
f (Tn , t ) t (t 1)n1.
这由 (Tn ) 2即可得证。当 t 2时，f (Tn ,t) 2.
色数与色数多项式
定理 4.6.7
设i,j是G的不相邻结点，则
_
0
—0
f (G, t) f (Gij , t) f (Gij , t). 其中Gij ，Gij 由定义4.6.3给出
d0
，因此
(G' ) d0
1．即
d0
1 种颜
色可以对G '的结点着色，放回结点 vi 恢复成Ｇ，由
于d (vi ) d0 ，所以比有一种与 vi邻点都不同的颜色可
对vi 着色．
色数与色数Байду номын сангаас项式
定理 4.6.3 对于任意一个图G. γ(G) <= 1 + maxδ(G’) 其中δ(G’)是G的导出子图G’中结点的最小度, 极大是对所有的G’而言.
定理 4.5.4 若任何一个3-正则平面图的域可四着色,则任何 一个平面的域也可以四着色.
4.6 色数与色数多项式
定义 4.6.1 给定图G,满足相邻点结点着以不同颜色的最少 颜色数为G的色数,记为γ(G).
定义 4.6.2 给定图G,满足相邻边着以不同颜色的最少颜色 数目称为G的边色数,记为β(G).
色数与色数多项式
定理 4.6.1 一个非空图,γ(G) = 2,当且仅当它没有奇回路.
证明：充分性：在Ｇ中确定一个林 T '，其每个连通子
图都是树Ｔ， (T ) 2．由于每个回路都是偶回路．所
以加入每一条余树边都不会使结点着色发生变化，因
此 (G) 2．
必要性：如果Ｇ中有奇回路，则 (G) 3 ．矛盾．
离散数学PPT课件 9平面图(ppt文档)
v1 v2 v7 v6 v10 v5
v8 v9
v3
v4
v1 v2 v7 v6 v10 v5
v8 v9
v3
v4
v1 v3 v8 v2v7 v6
v9 v10 v4
v5
本节要求掌握: 平面图的概念, 平面图的边界, 欧拉公式及其应用 平面图的判定.
面的边界中出现, 所以所有面的边界总数=2e, 所以有:
2e=(r个面边界总数)≥ 3r, 即2e≥3r 所以r≤
2 3
e
由欧拉公式: v-e+r=2
得
v-e+
2 3
e≥2
整理得 e≤3v-6
用此定理可以判定一个图不是平面图, 例如证明K5不是
平面图: K5中有v=5 e=10 3v-6=3×5-6=9 不满足e≤3v-6,
K5
e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e≤3v-6.
证明:⑴ 当e=2 时, 因为G是简单连通图, 所以v=3, 显然有
2≤3×3-6 即e≤3v-6
⑵当e>2时, (通过计算每个面的边界来证明)
设G有r个面, 因为G是简单图, 所以每个面至少由三条边
围成, 所以r个面的总边界数≥3r, 另外由于每条边在两个
例如右图.就是
v1
可平面化的图. v2
v3
下面是两个
重要的非平面图: v4
v5
K5和K3,3
v1
v2
v3
v4
v5
1 3 5 2 4 6
a b
c
f e
d
v1
v2
v3
v4
离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即：6-9+r=2，解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
离散数学--6.5 平面图
例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6 证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
13
同Hale Waihona Puke 与收缩消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1) G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构 收缩边e 如图从(3)到(4)
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1 其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式, ni mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p 求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 nm+r=p+1
R3 R2 R1
(2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边
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(4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
2
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示
K3,3 : n=6, m=9, l=4 不满足定理6.15的条件
例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6
证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.
13
同胚与收缩
消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1)
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
6
极大平面图
定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图
nm+r=p+1
11
欧拉公式(续)
定理6.15 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次 数不小于l (l 3), 则
m l (n 2) l2
证 由各面次数之和等于边数的2倍及欧拉公式得 2m lr = l (2+m-n)
可解得所需结论.
12
实例
例3 证明 K5 和 K3,3不是平面图 证 K5 : n=5, m=10, l=3
15
实例
例5 证明下面2个图均为非平面图.
与K3,3同胚 也可收缩到K3,3
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边 ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek只在面Ri的边界上, 则作环 ek*=(vi*,vi*). E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
8
极小非平面图
定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图 例如 K5, K3,3都是极小非平面图 下述4个图也都是极小非平面图
9
欧拉公式
定理6.14 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2
证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论成立. 设m=k(k0)时结论成立, 对m=k+1, 若G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及关联的 边, 记作G. G连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归纳假 设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作G. G连通, 有n个顶点,k 条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2. 得 证m=k+1时结论也成立. 证毕.
17
实例
(1)
(2)
(3)
性质
• G*是平面图，而且是平面嵌入. • G*是连通的. • 若e为G中的环, 则G*中e*为桥; 若e为桥, 则G*中e*为环. • 同构的平面图的对偶图不一定同构. 如(1)和(3)
18
对偶图(续)
定理6.18 设G*是连通平面图G的对偶图, n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri)
说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 甚至还可能是非连通的回路之并.
3
实例
例1 右图有 4 个面
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8
10
欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1
其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式,
ni mi + ri +…+rp p+1, 即得
例如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图 (1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.
(1)
(2)
(3)
7
极大平面图的性质
• 极大平面图是连通的 • 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条
件是, G每个面的次数均为3.
例如
极大平面图
外部面的次数为4 非极大平面图
6.4.4 平面图
–平面图与平面嵌入 –平面图的面及其次数 –极大平面图 –极小非平面图 –欧拉公式 –库拉图斯基定理 –平面图的对偶图
1
平面图与非平面图
定义6.22 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面 嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入，
G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构
收缩边e 如图从(3)到(4)
(3)
(4)
14
库拉图斯基(Kuratowski)定理
定理6.16 一个图是平面图当且仅当它既不含与K5同胚的 子图, 也不含与K3,3同胚的子图. 定理6.17 一个图是平面图当且仅当它既无可收缩为K5的 子图, 也无可收缩为K3,3的子图.
4
实例
例2 右边2个图是同一
平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面,
R1
R3 R2
R2
在(2)中是内部面;
(1)
R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面.
R3 R1 (2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面
2
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示
K3,3 : n=6, m=9, l=4 不满足定理6.15的条件
例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6
证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至 少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.
13
同胚与收缩
消去2度顶点v 如图从(1)到(2) 插入2度顶点v 如图从(2)到(1)
5
平面图的面与次数(续)
定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍 证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界 中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算 2次.
6
极大平面图
定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点 之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图
nm+r=p+1
11
欧拉公式(续)
定理6.15 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次 数不小于l (l 3), 则
m l (n 2) l2
证 由各面次数之和等于边数的2倍及欧拉公式得 2m lr = l (2+m-n)
可解得所需结论.
12
实例
例3 证明 K5 和 K3,3不是平面图 证 K5 : n=5, m=10, l=3
15
实例
例5 证明下面2个图均为非平面图.
与K3,3同胚 也可收缩到K3,3
与K5同胚 也可收缩到K5
16
对偶图
定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶 图G*=<V*,E*>构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边 ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek只在面Ri的边界上, 则作环 ek*=(vi*,vi*). E*={ ek*| k=1,2, …,m }.
8
极小非平面图
定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都 是平面图, 则称G为极小非平面图 例如 K5, K3,3都是极小非平面图 下述4个图也都是极小非平面图
9
欧拉公式
定理6.14 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2
证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论成立. 设m=k(k0)时结论成立, 对m=k+1, 若G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及关联的 边, 记作G. G连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归纳假 设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作G. G连通, 有n个顶点,k 条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2. 得 证m=k+1时结论也成立. 证毕.
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实例
(1)
(2)
(3)
性质
• G*是平面图，而且是平面嵌入. • G*是连通的. • 若e为G中的环, 则G*中e*为桥; 若e为桥, 则G*中e*为环. • 同构的平面图的对偶图不一定同构. 如(1)和(3)
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对偶图(续)
定理6.18 设G*是连通平面图G的对偶图, n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri)
说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 甚至还可能是非连通的回路之并.
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实例
例1 右图有 4 个面
R1的边界: a R2的边界: bce R3的边界: fg R0的边界: abcdde, fg
deg(R1)= 1 deg(R2)= 3 deg(R3)= 2 deg(R0)= 8
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欧拉公式(续)
推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 nm+r=p+1
其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数. 证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各 连通分支用欧拉公式,
ni mi + ri +…+rp p+1, 即得
例如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图 (1)是K5删去一条边, 是极大平面图. (2)、(3)不是.
(1)
(2)
(3)
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极大平面图的性质
• 极大平面图是连通的 • 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条
件是, G每个面的次数均为3.
例如
极大平面图
外部面的次数为4 非极大平面图
6.4.4 平面图
–平面图与平面嵌入 –平面图的面及其次数 –极大平面图 –极小非平面图 –欧拉公式 –库拉图斯基定理 –平面图的对偶图
1
平面图与非平面图
定义6.22 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面 嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入，
G1与G2同胚: G1与G2同构, 或 经过反复插入、或消去2度顶 点后同构
收缩边e 如图从(3)到(4)
(3)
(4)
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库拉图斯基(Kuratowski)定理
定理6.16 一个图是平面图当且仅当它既不含与K5同胚的 子图, 也不含与K3,3同胚的子图. 定理6.17 一个图是平面图当且仅当它既无可收缩为K5的 子图, 也无可收缩为K3,3的子图.
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实例
例2 右边2个图是同一
平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面,
R1
R3 R2
R2
在(2)中是内部面;
(1)
R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面.
R3 R1 (2)
说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构. (2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为 外部面