2017郑州市二中高二分班考试数学试题及详解

郑州二中2017年开学考试

数学试题及详解

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合A ={x |x ＜1}，B ={x |3x

＜1}，则（ ）

A ．A ∩

B ={x |x ＜0} B ．A ∪B =R

C ．A ∪B ={x |x ＞1}

D ．A ∩B =∅ 2. 如果角α的终边过点(2sin 60,2cos60)︒-︒，则sin α的值等于( )

1133. . . .2223

A B C D --- 3. 设函数f (x )=cos(x +

3

π

)，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =

83

π

对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =

6π D ．f (x )在(2

π

,π)单调递减 4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月 至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5. 设偶函数f(x)的定义域为R ，在区间（-∞，0]上f(x)是单调递减函数，则f(-2),f(π)， f(-3)的大小关系是（ ）

A. f(-3)＞f(-2)＞f(π)

B. f(π)＞f(-2)＞f(-3)

C. f(-2)＞f(-3)＞f(π)

D. f(π)＞f(-3)＞f(-2)

6. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班 随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，

设其回归直线方程为ˆˆˆy

bx a =+．已知101

225i i x ==∑，10

1

1600i i y ==∑，ˆ4b =．该班 某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )

A. 160

B. 163

C.166

D. 170 7. 给出如下四对事件： ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”； ②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”； ③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”， 其中属于互斥事件的有（ ）

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

8. 如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL

后面的“条件”应为( ) A. i>10 B. i<8 C. i<=9 D. i<9 9. 如图所示，已知AB ，CD 是圆O 中两条互相垂直的直径，两个 小圆与圆O 以及AB ，CD 均相切，则往圆O 内投掷一个点，该 点落在阴影部分的概率为（ ）

A ．12﹣8

B ．3﹣2

C ．8﹣5

D ．6﹣4

10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为 锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 则下列等式成立的是( )

A. 2a b =

B. 2b a =

C. 2A B =

D. 2B A = 11.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin （2x +

），则下面结论正确的是（ ）

A ． 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C 2

B ． 把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C 2

C ． 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C 2

i=11 s=1

DO

s=s*i i=i-1 LOOP UNTIL “条件” PRINT S END

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C 2

12.在矩形ABCD 中，

1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相

切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）

A.3

B. 22

C. 5

D.2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值 是

14.在[]0,2π上任取一个实数x ，则2

sin 2

x ≥

的概率为 15.已知一组数据132x +，123432,32,32,32x x x x ++++的平均数为8，第二组数据

22221234,,,x x x x 的平均数为6，则第三组数据1234,,,x x x x 的方差为 .

16.关于函数f （x ）=tan （2x ﹣

），有以下命题：

①函数f （x ）的定义域是{x |x ≠k π+，k ∈Z}；

②函数f （x ）是奇函数； ③函数f （x ）的图象关于点（

，0）对称；

④函数f （x ）的一个单调递增区间为（﹣

，

）．

其中，正确的命题序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17.（本题满分10分）

()()()()()().

2.

.1.

47112:252-y 1-x :2

的值以及最短弦长截得的弦长最短时被圆求出直线并求出此定点恒过定点求证：直线，直线已知圆m C l l m y m x m l C +=+++=+.

18.（本题满分12分）

22岁到32岁时足球运动员的黄金时间，某足球运动员20岁进入某足球联赛，通过一年的锻炼，技术日渐成熟，下面统计了他在该联赛的第2年到第6年的成绩，其进入联

赛的年数x与全年进球数y（单位：个）之间的数据如下表所示.

（1）画出散点图；

（2）求该足球运动员在进入联赛后全年进球数y与他进入联赛的年数x之间的回归直线方程；

（3）试预测该足球运动员在进入联赛的第10年的全年进球数（精确到个位数）.

如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点

（１）当点E在AB上移动时，三棱锥D﹣D1CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积

（２）当点E在AB上移动时，是否始终有D1E⊥A1D，证明你的结论．

20．（本题满分12分）

某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频

组号分组频数频率

230,2358 0．16

第一组[)

235,240①0．24

第二组[)

240,24515 ②

第三组[)

245,25010 0．20

第四组[)

第五组[250,255] 5 0．10

合计50 1．00 （1）写出表中①②位置的数据；

（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；

（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

已知二次函数f (x )=x 2

+mx+n 对任意x ∈R，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量 →

a = ( sinx , 2) ，→

b = (2sinx , 12

)，→c = ( cos 2x , 1 )，→

d =(1,2)，

（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；

（Ⅱ）当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→

d )的解集.

22.（本题满分12分）

已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫作把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P .

（1）已知平面内点(2,3)A ，点(2B +，把点B 绕点A 逆时针方向旋转π6

角得到点P ，求点P 的坐标；

（2）设平面内曲线C 上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转π

4

后得到的点的轨迹方程是曲线1

y x

=，求原来曲线C 的方程.

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数学答案

一选择题ABDAD CBDDA DA

二填空题13. 33 14. 1

4 15.2 16. ①③

三解答题 17.

()()()()()()()()

分

，则最短弦长垂直的弦，

最短时为与，由题意知，设定点为分的交点即为定点

与过可化为直线证明：65

4252113)21(,13,24--1,307-y 2x 04-y x 0

72412

2

2

2

---=-==-+-=

=+=+∴=-++-+CA R CA CA C A A l y x m y x l

18

19

．解（１）三棱锥D﹣D1CE的体积不变，

∵S△DCE===1，DD1=1．

∴===．-----5分（２）当点E在AB上移动时，始终有D1E⊥A1D，

证明：连接AD1，∵四边形ADD1A1是正方形，

∴A1D⊥AD1，

∵AE⊥平面ADD1A1，A1D⊆平面ADD1A1，

∴A1D⊥AB．

又AB∩AD1=A，AB⊂平面AD1E，

∴A1D⊥平面AD1E，

又D1E⊂平面AD1E，

∴D1E⊥A1D．---------12分

20 解： (1) ①②位置的数据分别为12、0.3； ……………………………3分

(2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；……………………6分 (3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的

所有情形为：{ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，

ef }

共有15种．……………………………………………………………8分 记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本

事件的种数有9种．……………………………………………………………10分 所以93()155P A ==，故2人中至少有一名是第四组的概率为3

5

．………12分 21

21．解（1）设f (x )图象上的两点为A(－x ,y 1）、B(2＋x , y 2），因为(－x )＋(2＋x )

2=1

f (－x ) = f (2＋x )，所以y 1= y 2

由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称， ∴f (x )的增区间为[)1,+∞； f (x ) 的减区间为(]

,1-∞

（2）∵→a ·→b =（sinx ， 2）·（2sinx , 12

）=2sin 2

x ＋1≥1，

→c ·→

d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥1，

∵f (x )在是[1，+∞）上为增函数，∴f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )⇔f (2sin 2

x ＋1)＞

f (cos 2x ＋2)

⇔ 2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2

⇔ cos 2x ＜0⇔2k π＋2

π＜2x ＜2k π＋23π

,k ∈z

⇔k π＋4π＜x ＜k π＋43π, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴4

π＜x ＜

43π

综上所述，不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→

d )的解集是：{ x |4

π＜x ＜43π } 。

22.

(22)AB ∴=-

设点P 的坐标为),(y x P ，则

(2,3)AP x y =--

AB 绕点A 逆时针方向旋转π

6

角得到： ππππ

(22sin 2cos )6666

AP =+-)0,4(=

)0,4()3,2(=--∴y x 即⎩⎨

⎧=-=-0

34

2y x

⎩

⎨⎧==∴36y x 即)3,6(P

（Ⅱ）设旋转前曲线C 上的点为),(y x ，旋转后得到的曲线x

y 1

=上的点为),(y x ''， 则

ππcos sin 44ππsin sin

44x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨

⎪''=+⎪⎩解得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-='+=')(22)(2

2x y y y x x 代入x

y 1=

得1=''y x 即22

2=-x y