江苏省2021-2022学年高二上学期数学开学考试(一)全解全析
2020-2021学年度高二数开学分班考试数学·全解全析1．A【解析】因为|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为120︒，所以a a +211cos120=111=22a b a a b ⎛⎫=+⨯︒+⨯⨯- ⎪⎝⎭. 故选：A 2．A【解析】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为()()()sin 2sin2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数， 周期22T ππ==， 所以此函数最小正周期为π的奇函数， 故选：A.3．C【解析】因为3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5α， 所以7sin sin cos cos sin 4442510πππααα⎛⎫+=+=⨯=⎪⎝⎭. 故选：C.4．A 【解析】sin sin3()sin coscos sinsin()333cos cos3xf x x x x x πππππ==-=-，所以为了得到函数sin y x =的图象，只需要把函数()πsin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π3个单位长度， 故选：A ．5．C 【解析】（1）sin 2sin105sin 1,3a B Ab ︒==<又∵a b <,∴A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（1）中的条件的三角形有唯一解；（2）sin 2sin 35sin 1,3a B Ab ︒==<又∵a b <,∴A B <,∴A 为锐角，故A 有唯一解，∴满足（2）中的条件的三角形有唯一解；（3）sin 3sin 903sin 1,22b A B B a ︒===>∴无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解； （4）sin 3sin 35sin 1,2a B Ab ︒==<又∵a b >,∴A B >,∴A 为锐角或钝角，故A 有两解，∴满足（4）中的条件的三角形有两解； 故选：C. 【名师点评】由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦值大于1，则无解；若正弦值等于1，则只有一解；若正弦值小于1，要结合大边对大角进行判定解的个数.6．A 【解析】如图示：AB =30，A =30°，∠DBC =45°，旗杆为CD ，设CD =h ，在直角三角形ACD 中，tan =CD A AC 3CDAC所以=3AC CD ， 在直角三角形BCD 中，tan =CD BC DBC ∠，即1=CDBC所以=BC CD ， 由题意可得：303h h +=，解得：15153h =+ 即旗杆的高度为(15153m +. 故选：A7．D 【解析】因为12i z i +=，化简得()212122i i i z i i i++===-，故2z i =+，所以22215z =+=故选：D 8．A【解析】如图所示，设正方体的棱长为3，取CD 的三等分点H ，则//GH FB ，所以延迟GF 与HB 交于点P ，连接PE 并延长，交于AB 和CD 延长线于,N Q ，连接QG 交1D D 于点M ，过点G 作//GZ EN 交11B C 于点Z .平面EFG 截正方体所得截面即为ENFZGM , 设AN x =， 易知23PB BF PH GH ==,所以23BN PB QH PH ==，12AN AE QD ED ==, 所以2,21QD x QH x ==+，32123x x -=+，解得1x =，所以点N 与1M 重合， 1112,2D G D M QD QD MD ===，所以点M 与1P 重合， 因为//GZ EN ，所以点G 与1N 重合. 故选：A. 9．ACD【解析】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得12sin 75cos 75sin1502==，故选项A 正确；对于选项B ：由二倍角余弦公式2ππ312sin cos 1262-==，故选项B 不正确；对于选项C ：由两角和的余弦公式()cos 45cos15sin 45sin15cos 4515-=+1cos 602==；故选项C 正确； 对于选项D ：由两角差的正切公式可得：()()tan 77tan 32111tan 7732tan 4522221tan 77tan 32-=-==+⋅故选项D 正确. 故选：ACD 10．AC【解析】B 中DA 与BC 共线，D 中OD 与OB 共线，A 、C 中两向量不共线， 故选：AC. 11．AD【解析】解：∵1,6AB AC B π===，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ∴2320BC BC -+=， ∴1BC =，或2BC =，∴由ABC ∆的面积公式1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅得ABC S ∆=或ABC S ∆=， 故选：AD ． 【名师点评】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题． 12．BCD【解析】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1AG ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF AG D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时1D N ==，EF =1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NFD F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【名师点评】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD选项，通过//BM平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题. 13．102【解析】因为()()()()212i 1i 12i 12i 3i 13i 1i 1i 1i 222z +++++====-+--+， 所以221310222z ⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：102. 14．40【解析】根据分层抽样原理知，抽取500人的样本中，AB 血型的样本数为25004076102⨯=+++(人).故答案为：40 15．0.02【解析】从羽毛球产品中任取一个，A ={质量小于4.8 g}，B ={质量在[4.8，4.85)(g)范围内}，C ={质量小于4.85 g}，事件A 与B 互斥，且C =A +B ，而P (A )=0.3，P (C )=0.32， 由P (C )=P (A +B )=P (A )+P (B )，得P (B )=P (C )-P (A )=0.32-0.3=0.02， 所以质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是0.02. 故答案为：0.02 16．33π 【解析】如图，1AB BC ==，2AC PA PC ===3PB =90ABC ∴∠=︒，90PAB PCB ∠==︒，取AC 中点D ，连接PD ，BD，则2BD =，PD =， 且AC BD ⊥，AC PD ⊥． 在PBD ∆中，由BD =，PD =，PB =得133cos 3PDB +-∠==-sin PDB ∴∠=．则1224PDB S ∆=⨯=．∴1136P ABC V -==，即116V =；取PB 中点O ，连接OA ，则OA 为三棱锥P ABC -的外接球的半径，12∴==OA PB ． ∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为3224(32π=⨯=V ．∴21216==VV ．【名师点评】本题主要考查多面体及其外接球的体积的求法，意在考查学生的直观想象和数学运算能力． 17．（1）3m =或6m =；（2）5m =．【解析】（1）因为复数z 为实数，则29180m m -+=，可得3m =或6m =；（2）因为复数z 为纯虚数，则2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =.18．（I ）(0)1f =；（II ）2T π=；（III ）() f xx 值为{2,}4x x k k Z ππ=+∈.【解析】（1）2(0)cos()2sin 0112π=--+=f .（2）2 ()cos 2sin 1sin cos )224ππ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭x f x x x x x ，所以函数() f x 的最小正周期2T π=.（3）由（II ）得， ())4π=+f x x ，所以当2,42x k k Z πππ+=+∈，即2,4x k k Z ππ=+∈时，() f x () f x x 值为{2,}4x x k k Z ππ=+∈.19．（1）||7a b +=， 13a -；（2）7. 【解析】（1）21||||cos32()332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯-=-，所以3a b ⋅=- 222||29467a b a b a b +=++⋅=+-=， 所以||7a b +=b 在a 上的投影向量为∶211||cos2()3||233a ab a a π⋅⋅=⨯-⨯=- （2）2()936a a b a a b ⋅+=+⋅=-=设向量a 与a b +夹角为α，则()6cos ||||37a ab a a b α⋅+===⋅+⨯20．（1）3B π=，ABCS=（2） 14【解析】解：（1）由余弦定理可得222642549401cos 2285802AB BC AC B AB BC +-+-====⋅⨯⨯,因为(0,)B π∈， 所以3B π=，所以11sin 85222ABCSAB BC B =⋅=⨯⨯⨯=， （2）在BCD △中，由于3B π=，5BC CD ==，所以BCD △为等边三角形，所以5DB =所以3AD AB BD =-=,在ACD △中，由余弦定理得，222492596513cos 22757014AC CD AD ACD AC CD +-+-∠====⋅⨯⨯，因为(0,)ACD π∈∠，所以sin ACD ∠===21．（1）A 地区抽取400户，B 地区抽取100户；（2）10；（3）当12μμ<时，1202μμμ+<，12μμ=时，1202μμμ+=，12μμ>时，1202μμμ+>．【解析】（1）设A ，B 两个地区抽取的用户人数分别为,x y ，则400005004000010000x =+，所以400x =，500400100y =-=；（2）由频率分布图知，B 地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户频率为0.005200.1⨯=，人数0.110010⨯=；（3）由题意1212040010045005μμμμμ++==，12121212043()25210μμμμμμμμμ+++--=-=，所以当12μμ<时，1202μμμ+<，12μμ=时，1202μμμ+=，12μμ>时，1202μμμ+>． 22．（1）证明见解析；（2）16.【解析】证明：（1）连接AC 交BD 于点O ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以BD AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以1BD AA ⊥，又1AA AC A =，所以BD ⊥平面11ACC A .因为CF ⊂平面11ACC A ， 所以BD CF ⊥；（2）因为点F 与点1C 重合，所以1E BCF E BCC V V --=， 又因为1//AA 平面11BCC B ，所以点E 到平面11BCC B 的距离与点A 到平面11BCC B 的距离相等， 又因为AB ⊥平面11BCC B ，所以线段AB 即为四面体1E BCC -的高，所以1111136E BCC A BCC BCC V V S AB --==⋅=， 故四面体BCEF 的体积为16.。
2021-2022年高二数学上学期入学考试试题
2021年高二数学上学期入学考试试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
） 1．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )A ．a n ＝4n －7B ．a n ＝(－1)n (4n ＋1)C ．a n ＝(－1)n (4n －1)D ．a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)2．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．1763. 在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C 为( ) A.π6 B.π4 C.π2 D.2π34. 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.565. 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形6. 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2 2D ．2 7. 下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ； ④a >b >0⇒1a 2>1b2. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．①③8. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 9.等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 10. 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 11. 若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)12.如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．是等差数列B ．是等差数列C ．是等差数列D ．是等差数列二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________.14、在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________. 15. 过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ．16. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （文科）（1）解不等式（2）若关于x 的不等式：(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围。
2021-2022年高二数学上学期入学考试试题
2021-2022年高二数学上学期入学考试试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．请将你所选的答案填涂在答题卡相应位置．1．设集合，，若，则A. B. C. D.2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是A． B． C． D．3.已知，则下列不等式正确的是A． B． C． D．4.已知等差数列的前15项之和为，则=A. B. C. 1 D.5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图像可能是A B C D6．等比数列{}中，，是方程的两根，则等于A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对7. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是A． B．Ｃ．Ｄ．8．在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于A．B．C．D． 49．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．12＋4 2B．18＋82C．28D．20＋8210．设是ABC 内一点，且0AB AC BAC⋅=∠=，若2330的面积分别为，则得最小值为A．8 B．9 C．16 D．1811．设是等比数列的各项的和，其中，则关于的方程在解的情况是A．有且仅有一个解 B．有两不同的解 C．有无穷多个解 D．无解12. 定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意恒成立，则的最小正整数值为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应的位置上． 13.21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则 ．14．已知正方体的棱长为，该正方体的外接球的半径为，则=________．15．在中，tan tan 33tan A B A B +=，则角的弧度数为__________．16.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是__________．三、解答题：本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解题过程书写在答题卡相应位置.17．（本小题满分10分）已知向量121243,2a e e b e e =+=-+，其中.（Ι）求与夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量与垂直，求实数的值.18．（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．(Ⅰ) 求数列通项公式；(Ⅱ) 记，求数列的前项和．19. （本小题满分12分）已知定义在上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.20．（本小题满分12分） 设2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，求△ABC 面积的最大值．21．（本小题满分12分）某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.（Ⅰ）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ （Ⅱ）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.22. （本小题满分12分）已知定义域在上的单调函数，存在实数，使得对于任意的实数,，总有()0102012()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且对任意正整数，有11,1()2n n n a b f f n ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，记12231n n n T b b b b b b +=+++，求与； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．双流中学xx 高二（上）入学试题数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．请将你所选的答案填涂在答题卡相应位置．1．设集合，，若，则 ( B )A. B. C. D.[解] {}20log 010P Q a a b =⇒=⇒=⇒=，经检验满足，2.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的是（D ）A ．B ．C ．D ．3. 已知，则下列不等式正确的是（ C ）A ．B ．C ．D ．4.已知等差数列的前15项之和为，则=（ A ）A. B. C. 1 D.[解]()115158878981531515tan tan 3tan 12444a a S a a a a a a πππ+=⨯==⇒=⇒++===- 5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像可能是( B )A ．B ．C ．D ．6．等比数列{}中，, 是方程的两根，则 等于( C )A ．8B ．－8C ．±8D ．以上都不对7. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ C ）A ．B ． Ｃ．Ｄ．[解] 因为函数的最小正周期为，若，则值域为，不符合题意.8．在△ABC ，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（ B ）A ．B ．C ．D ． 4 [解] ∵内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B =60°，∵不等式﹣x 2+6x ﹣8＞0的解集为{x |a ＜x ＜c }，∴a =2，c =4，∴b 2=a 2+c 2﹣2accos 60°=4+16﹣2×2×4×=12，∴．故选：B ．9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 （ D ）A ．12＋4 2B ．18＋82C ．28D ．20＋82 10．设是ABC 内一点，且023,30AB AC BAC ⋅=∠=，若的面积分别为，则得最小值为A ．8B ．9C ．16D ．18[解] 由条件可得，，∴1||||sin 12S AB AC BAC =⋅∠=，而，∴，∴141442()()2(5)18y x x y x y x y x y +=++=++≥，当且仅当1613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立． 11．设是等比数列的各项的和，其中 ，则关于的方程在解的情况是（ A ）A ．有且仅有一个解B ．有两不同的解C ．有无穷多个解D ．无解[解] 2()()212n n F x f x x x x =-=++++-在上递增，当时，，∵11111220,(1)1012212n n F F n --⎛⎫=-=-<=-> ⎪⎝⎭-，由零点存在性定理在内有且仅有一个零点，∴关于的方程在解的情况是有且仅有一个零点.12. 定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意恒成立，则的最小正整数值为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5[解]画图可知，1234231111,,,,333a a a a ====…，， ∴2111111131331133323213n n n n S ---=++++==-<-， ∴，解得，即的最小正整数值为3. 选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应的位置上．13.21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则 ．[解]()22(1)(1)12(1)(2)12f f f f -=-+=⇒-=== 14. 已知正方体的棱长为，该正方体的外接球的半径为，则=________． [解] 215．在中，tan tan 33tan A B A B ++=，则角的弧度数为__________．[解] )tan tan 33tan tan tan 31tan tan A B A B A B A B +=⇒+=-- tan tan 2tan()31tan tan 33A B A B A B C A B ππ+⇒+==-+=⇒=- 16.如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，测得点的仰角为60°，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是__________．[解] 设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC ＝x ，AC ＝x在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可得，可得，BC ＝= ，解得三、解答题：本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解题过程书写在答题卡相应位置.17．（本小题满分10分）已知向量121243,2a e e b e e =+=-+，其中.（Ⅰ）求与夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量与垂直，求实数的值.17[解] （Ⅰ）由已知，，∴||5,||5,2a b a b ==⋅=，………3分∴与夹角的余弦值为25cos ,25||||a b a b a b ⋅<>==．………………………………5分（Ⅱ）∵，∴，化简得222(12)0a xb x a b -+-⋅=， ……………………………………………8分即，解得． ………………………………………10分18.（本小题满分12分）已知公差大于零的等差数列满足：．(Ⅰ) 求数列通项公式；(Ⅱ) 记，求数列的前项和．[解] (Ⅰ) 由公差及，解得． ·················· 3分所以，所以通项． ····················· 6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有， ······················ 8分所以是等比数列，首项，公比． ··············· 10分 所以数列的前项和. ····················· 12分19.（本小题满分12分）已知定义在上的函数2()(3)2(1)f x x a x a =--+-(其中).（Ⅰ）解关于的不等式;（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求的取值范围.19[解]（Ⅰ） ，而，等价于，于是当时，，原不等式的解集为；……………………2分当时，，原不等式的解集为； ………………………4分当时，，原不等式的解集为………………………6分（Ⅱ）不等式，即恒成立 ……………………………………8分又当时，=，(当且仅当时取“=”号).…10分∴的取值范围为…………………………………………………………………12分20．（本小题满分12分） 设2()sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC面积的最大值．20．解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣…………………………………………………………………3分由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；………………………………………………………………6分（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，[法一]由题意知A为锐角，所以cosA=，………………………………………………8分由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c 时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为． (12)分[法二] 由为锐角，所以，而，∴由正弦定理，，∴，………7分∴15sin sin sin sin sin26ABCS bc A B C B Bπ∆⎛⎫===-⎪⎝⎭ (8)分211sin cos sin cos 22B B B B B B ⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭11sin 2cos 2)sin 2242B B B B ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦……………………………………………………9分∵△ABC 为锐角三角形且，∴0256B B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得 ∴ ， ……………………………………………………………11分故当即时，△ABC 的面积取得最大值.……………12分21．（本小题满分12分）某渔业公司今年初用98万购进一艘渔船用于捕捞.第一年需各种费用12万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加4万元，该船捕捞总收入预计每年50万元.（Ⅰ）该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ （Ⅱ）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：① 年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；② 盈利总额达到最大时，以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.解： （Ⅰ）设年后盈利额为元()215012498240982n n y n n n n -⎡⎤=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦令，得，从第3年开始盈利. …………………………………………………………………6分（Ⅱ） ①平均盈利982404012y n n n =--+≤-= 这种情况下，盈利总额为万元，此时.…………………………………………………………………………9分②()2210102102y n =--+≤，此时.这种情况下盈利额为.……………………………………………11分两种情况的盈利额一样，但方案①的时间短，故方案①合算. …………………12分22. （本小题满分12分）已知定义域在上的单调函数，存在实数，使得对于任意的实数,，总有()0102012()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且对任意正整数，有11,1()2n n n a b f f n ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，记12231n n n T b b b b b b +=+++，求与； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若不等式212211224[log (1)log (91)1]35n n n a a a x x +++++>+--+ 对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围．[解] （Ⅰ）令得：00(0)()2(0)()(0)f f x f f x f =+⇒=-……………①令，得00()()(1)(0)(1)(0)f x f x f f f f =++⇒=-………②由①②得，又因为是单调函数，∴……………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得121212()(1)()()()()1f x x f f x f x f x f x +=++=++ 令，且，则(1)()(1)1()2f n f n f f n +=++=+∴数列为等差数列，又∵，∴，∴ ………………………………………6分11)21(,0)21()1()21()21()2121()1(1=+==∴++=+=f b f f f f f f 法一：11111211222n n n n b f -⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭ 法二：111111111()()2()(1)2()122222n n n n n f f f f f ++++=+=+=+ 1111111122()2()2()12222n n n n n n b f f f b ++++=+=+=+= ∴ ……………………………………………………………7分12311211)21()21()21()21()21()21()21()21()21(--+⋯++=⨯+⋯+⨯+⨯=n n n o n T ……………………………………………………………………………8分令122()n n n F n a a a ++=+++，则 1111(1)()0414321(43)(41)(21)F n F n n n n n n n +-=+-=>++++++ ∴数列单调递增，∴当时3412()(1)(2)35F n F n F a a >->>=+= ∴ 21122124[log (1)log (91)1]3535x x >+--+，即21122log (1)log (91)2x x +--<， 即211221log (1)log (91)4x x +<-，亦即22119104(1)91x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得或，故 ………………12分36210 8D72 赲24517 5FC5 必 21114 527A 剺<#23346 5B32 嬲}39251 9953 饓35233 89A1 覡35317 89F5 觵y37996 946C 鑬40591 9E8F 麏26387 6713 朓。
江苏省2021-2022学年高二上学期数学开学考试(二)全解全析
2021—2022学年度高二开学分班考试（二）数学·全解全析1．C 【详解】由题得(2,2)a b -=， 因为a b -与c 共线， 所以22(1)0m -⨯-=， 解得1m =-. 故选：C ． 2．C 【详解】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，单位向量只是模相等，故A 错误； 对于B ，cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，a 与b 的夹角不确定，故B 错误； 对于C ，由向量数乘的定义可知正确；对于D ，0a b →→⋅=，说明a 与b 垂直，故D 错误； 故选：C. 3．A 【详解】因为21sin cos 12sin cos 1sin 222225ααααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭，所以24sin 25α=. 故选：A 4．C 【详解】 因为3cos 5α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5α，所以7sin sin cos cos sin 4442510πππααα⎛⎫+=+==⎪⎝⎭. 故选：C.5．C 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，sin sin sin C A c aB b++=，又sin sin sin b C A a c B+=-，所以b c aa cb +=-， 整理得222bc a +=. 所以ABC 为直角三角形. 故选：C. 6．D 【详解】设AB =x 米，在直角△ACB 中∠ACB =45°，所以BC =AB =x 米. 在直角△ABD 中，∠D =30°，tan AB D BD ∠=，∴=3tan30ABBD x =︒. ∵BD BC CD -=， ∴3100,x x -=解得:50(31)x =+.故选：D 7．C 【详解】由题意将平面1I DCC D 展开到矩形1I ACC A 所在平面，结合展开图可知当1,,A M D 三点共线时，1MD MA +取得最小值，最小值为展开图中1D A 的长度，求出展开图中1D A 的长度即可.，当1,,A M D 三点共线时，1MD MA +取得最小值，最小值为展开图中1D A 的长度，因为222AC AB BC +=，1CD =，所以展开图中3AD =，又因为1132DD CC ==所以展开图中2213236322D A ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C. 8．D 【详解】前200名学生中A 校人数20046%92⨯=人，C 校人数20020%40⨯=人，92402=80>⨯,故A 一定正确；前100名学生中A 校人数约为292554人，超过半数的50人，故B 一定正确； 成绩前150名以内的学生中A 校人数约为29252175++=人，B 校人数最多全在这个范围，有34%20068⨯=人,所以C 校至少有15075687--=人，又∵成绩前200名学生中C 校人数为40人，所以C 校至多有407-=33人测试成绩前151—200名之间，故C 一定正确； 测试成绩前51—100名学生中A 校人数约为25人，这200名学生中B 校学生总数为20034%68⨯=人，有可能也有25人在51—100名之间，故D 不一定正确，故选：D. 9．ABC 【详解】解：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A 正确；2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为1650123214421240128913861109934877++++++=(万人)，又934813007>，故选项B 正确；2017年末我国农村贫困人口为551110913863046++=(万人)，故选项C 正确； 由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D 错误. 故选：ABC. 10．ABD 【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 22sin 2126y x x x x πππ⎡⎤=++=+=-≠⎢⎥⎣⎦，C 错误；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确． 故选：ABD ．11．BCD 【详解】 因为,a b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，所以设,AB a AC b ==，建立如图所示直角坐标系：,,AP c a c PB b c PC =-=-=，由()()0a c b c -⋅-=，即0PB PC ⋅=，所以点P 在以BC 为直径的圆上， 所以3a b +=，故A 错误；1a b BC -==，故B 正确；由图可知，a b +与c 的夹角为锐角，所以a b +与c 不可能垂直，故C 正确；AP 的最大值为：13322+<，故D 正确，故选：BCD 12．BD 【详解】连接AC ，显然11//AC AC ，而直线DE 与平面ABCD 相交于点D ，且D 不在直线AC 上， ∴直线AC 与直线DE 异面，则直线11AC 与直线DE 异面，选项A 错误；在正方体1111ABCD A BC D -中，显然1//D F BE ，选项B 正确；显然平面EBD 不垂直平面FBD ，即二面角E BD F --的大小不为2π，选项C 错误；直线11AC 与平面EDB 所成角即为直线AC 与平面EDB 所成角，设为α， 设正方体边长为2，则11222,1,3,223622BCD BDE S CE OE S ∆∆=⨯⨯====⨯，设点C 到平面BDE 的距离为d ，则1133BCD BDE S CE S d ∆∆⋅=⋅，即26d =，解得63d =，∴633sin 32d OC θ===，选项D 正确． 故选：BD ．13．1-.【详解】 因为3i 2iz=+-，所以()()23i 2i 63i+2i i 7i z =+-=--=-，所以z 的虚部为1-， 故答案为：1-. 14．53【详解】在ABC 中，记53a BC ==，b AC =，15c AB ==，又30B =︒， 由余弦定理得，22232cos 7522525315752b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，解得53b =，即53AC =. 故答案为：53. 15．1【详解】由题意，沿圆锥的一条母线将圆锥剪开，其侧面如图所示，设小虫爬行的最短路程为PP '，在POP '△中，3OP OP '==，PP '=由余弦定理可得2221cos 22OP OP PP POP OP OP ''+-'∠==-'⋅，()0,POP π'∠∈，故23POP π'∠=， 设圆锥底面圆半径为cm r ，则2233r ππ=⨯，解得1r =. 故答案为：1. 16．23【详解】由题意知：cos cos 3(3G αβ++，∴cos cos 33αβ⎧++⎪=⎪⎨=，即cos cos sin sin αβαβ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，∴2224(cos cos )cos 2cos cos cos 3αβααββ+=++=， 222(sin sin )sin 2sin sin sin 2αβααββ+=++=，将两式相加，得：1022(cos cos sin sin )3αβαβ++=， ∴()2cos cos sin s cos in 3αβαβαβ-==+. 故答案为：23. 17．（1）59m =，89n =-；（2）1613k =-. 【详解】解：（1）因为(3,2)a =，(1,2)b =-，(4,1)c =，且a mb nc =-(3，2)(1a mb nc m ==-=-，2)(4n -，1)(4m n =--，2)m n -.∴4322m n m n --=⎧⎨-=⎩，解得59m =，89n =-.（2）(3a kc +=，2)(4k +，1)(34k =+，2)k +.22(1b a -=-，2)(3-，2)(5=-，2).5(2)2(34)0k k ∴-+-+=，解得1613k =-. 18．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】解：2cos cos 1y x x x =+13cos 22222x x =++3sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （1）令()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由02x π≤≤得72666x πππ≤+≤， ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 从而函数()y f x =的值域为51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．（1）6π；（2）4π. 【详解】（1sin cos A BC B ⋅=⋅，在ABC 中结合正弦定理得sin sin cos B A A B ⋅=⋅，因为()0,A π∈，所以sin 0A >cos B B =，06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,B π∈，所以6B π=；（2）由（1）知6B π=，又因为3C π=，所以2BAC π∠=，又因为AB =100AC =，设BAD ∠=α，则0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且56BDA πα∠=-，在ABD △中，由正弦定理5sinsin 66ADAB ππα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 6AD α=- ⎪⎝⎭3CAE πα∠=-，所以3AEC πα∠=+，在ACE 中，由正弦定理得sin sin 33AEAC ππα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故sin 3AE α=+ ⎪⎝⎭，结合三角形得面积公式得1sin 2ADES AD AE DAE =⋅⋅⋅∠1sin 52sin sin 63DAEππαα=⋅⋅⋅∠⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14==因为0,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以220,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当22πα=，即4πα=时2sin 2α大值2(75002-，此时4BAD π∠=.20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由鳖臑的概念，可知DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥， 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥， ∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDE ， ∵AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面BDE ．（Ⅱ）由已知可得点M 为线段AF 的三等分点，111333232ABF DCE B EFM E BCD AMEDB V V V V ---=--=⨯⨯-⨯⨯多面体1133332⨯⨯⨯⨯⨯=21．（1）613；（2）3万，2.6万元；（3）26925，甲组的研发水平应高于乙组研发水平. 【详解】（1）至少有一组研发成功有13种情况，甲乙都研发成功有6种情况，则概率为613P =. （2）甲组研发新药的贡献效益依次为5，5，5，1-，1-，5，5，5，1-，5，1-，5，5，1-，5．则甲组贡献经济效益金的平均值15054531515X -===（万元）． 乙组研发新药的贡献效益依次为5，1-，5，5，1-，5，5，1-，5，1-，1-，5，1-，5，5．则乙组贡献经济效益金的平均值45639132.615155X -====3（万元）． （3）甲组获得奖金额依次为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1（千元）， 甲组获得资金的平均值102153X ==2（千元），甲组获得资金的方差 222212221*********X S⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 乙组获得奖金额依次为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1（千元） 乙组获得奖金的平均值93155X ==4（千元），乙组获得奖金的方差 22213361906155525X S⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦4． 从而可以确定X X >13；但422X X S S <2，综上所述，从所得数据看，甲组的研发水平应高于乙组研发水平． 22．（1）4355OE a b →→→=+；（2）证明见解析.【详解】 解：（1）B ，E ，C 三点共线，∴(1)2(1)OE xOC x OB x a x b →→→→→=+-=+-，①同理，A ，E ，D 三点共线，可得3(1)OE y a y b →→→=+-，②比较①，②，得213(1)x y x y =⎧⎨-=-⎩解得25x =，45y =，∴4355OE a b →→→=+．（2）2a b OL →→→+=，143210a b OM OE →→→→+==，123()22a b ON OC OD →→→→→+=+=，∴61210a b MN ON OM →→→→→+=-=，210a b ML OL OM →→→→→+=-=，∴6MN ML →→=，L ∴，M ，N 三点共线．。
2021-2022年高二数学上学期入学考试试题文
2021-2022年高二数学上学期入学考试试题文一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.在△ABC 中，若a=c=2，B=120°，则边b=（ ） A ． B ． C ． D ．2.在△ABC 中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（ ） A ． B ．2C ．2D ．43．在中，,， 在边上，且,则（ ） A ． B ． C ． D ．4.已知数列{a n }的首项为1，公差为d （d ∈N *）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（ ） A ．2B ．3C ． 4D ．55.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知向量a ＝(1,2)，a·b＝5，|a －b|＝25，则|b|等于( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．257．定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f(x)＝sinx ，则f(－5π3)的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.328．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别为( )A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π610．已知函数f(x)＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( ) A ．[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z) B ．[kπ，kπ＋π2](k ∈Z)C ．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k ∈Z)D ．[kπ－π2，kπ](k∈Z)11．在中，角所对应的边分别为，B B A C 2sin 3)sin(sin =-+.若,则( ) A. B.3 C.或3 D.3或12 . 如果数列{a n}满足a1，a 2－a1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an ＝( )A ．2－1B ．2－1C ．2D ．2＋1 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知角的终边落在上，求的值 ．14.如表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程，那么表中的值为 ． x 3 4 5 6 y2.5m44.515.若圆22:240C x y x y m +--+=与相交于两点，且，则实数的值为 ． 16.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++= ．三、解答题（共70分）17．（本题满分10分）已知函数()mxxxf--=2cos2sin23，（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）若时，函数的最大值为0，求实数的值.18. （本小题满分12分）已知等差数列的通项公式为．试求（Ⅰ）与公差；（Ⅱ）该数列的前10项的和的值．19.已知函数,其中，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，，，且向量与向量共线，求的面积.20．已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，.（1）求数列、的通项公式；（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由.21.（本题12分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn22.设函数，其中，，.（1）求的解析式；（2）求的周期和单调递增区间；（3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.参考答案B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.CC 12.B13. 14. 2.8 15. 4 16.17.（1），单调递增区间为，；（2）.18.19．解:（Ⅰ）()(2cos ,3sin 2)(cos ,1)f x a b x x x =⋅=-⋅22cos 32cos 232112sin(2)6x x x x x ==+=--π令222()262k x k k z -+≤-≤+∈πππππ错误！未找到引用源。
2021-2022年高二上学期开学考试 数学文试题 含答案
2021-2022年高二上学期开学考试数学文试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．恩图中1．已知集合{}{}=-=，则如图所示韦1,0,1,0,1,2M N的阴影部分所表示的集合为（ C ）A．B．C．D．2．在下列命题中，不是公理．．的是（ A ）A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）A．B．C．D．4．过点且与直线平行的直线方程是（ D ）A． B．C． D．5．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ B ）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ B ）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7．等比数列，，，的第四项等于（ A ）A．B．C．D．8．在中，角A、B、C所对的边分别为、、，若，则的形状为( B ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为，则该几何体的体积为（ C ）A．B．C．D．10．已知点、、、，则向量在方向上的投影为（ A ）A．B．C．D．11．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则、、的大小关系是（ D ）A．B．C．D．12．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（ B ）A．B．C．D．试卷II（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13．已知函数，则*** ．14．设变量、满足521802030x yx yx y+-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线经过该可行域，则的最大值为．115．已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的体积为．16．已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是．【解析】由题意得，，，…，，∵，且＞0，∴，易得==…====，∴+=+=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）(Ⅰ)的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别确定的值．①轴上的截距是； ②的倾斜角为；(Ⅱ)求经过直线，的交点，并且与直线 垂直的直线方程．17解：(Ⅰ)①把代入方程整理得：， 解得：（舍去）所以，．………………………………………3分（2）②由已知得：，整理得：，解得：（舍去）所以，．………………………………………………6分 (Ⅱ)设所求直线为，斜率为，设，交点为．由已知，解得，∴ 点坐标为． 设直线斜率为，则，∵ 它与所求直线垂直，∴ ，解得：．代入直线方程的点斜式得：………………10分18．（本小题满分12分） 已知函数，．(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求．18解：(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………4分(Ⅱ)222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………6分因为，，所以，…………8分 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos 2cos sin 25θθθ=-=-…10分 所以．……………12分19．（本小题满分12分）如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明://平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积.【答案】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中 也成立, ,平面,平面,平面; …………………………………3分 (2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥平面; …………………………………6分(3)由(1)可知,结合(2)可得.111111132323323324F DEG E DFGV V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭……10分20．（本小题满分12分） 设为数列{}的前项和,已知,2,N图 4(Ⅰ)求,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.【答案】解: (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 …………………2分11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当.*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为………………………………5分 (Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT …………………7分 上式左右错位相减:nn n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒. …………………10分21．（本小题满分12分）19.（本小题满分12分） 已知向量，，且与满足，其中实数．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）求的最小值，并求此时与的夹角的值． 解：（I ）因为，所以，2222223632b k b a k a b b a k a k +-=++⋅⋅，……3分，kk k b a 81)13(1)3(22⋅⋅⋅-+-=． …………6分 （Ⅱ）由（1）214142414412=≥+=+=⋅k k k k k k ，…………9分当且仅当，即时取等号． …………10分 此时，，，，所以的最小值为，此时与的夹角为 …………12分 22．（本小题满分12分）已知函数，若存在，使，则称是函数的一个不动点．设二次函数2()(1)(1)f x ax b x b =+++-．（Ⅰ）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．解：（Ⅰ）∵函数恒有两个相异的不动点， ∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对恒成立，∴ ，得的取值范围为．……………4分 （Ⅱ）由得，由题知，，……………6分设中点为，则的横坐标为，……………10分 ∴ ，∴2112142aba aa=-=-≥-++，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．……………12分35541 8AD5 諕35818 8BEA 诪20360 4F88 侈28843 70AB 炫32693 7FB5 羵K40283 9D5B 鵛24294 5EE6 廦hk25271 62B7 抷C29290 726A 牪。
2021-2022学年江苏省徐州市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.2.已知函数的定义域为R ，若，则( )A. 1B. 2C. 3D. 43.在等差数列中，，，则( )A. 2B. 3C. 4D. 54.函数的极小值为( )A.B. C. 18D. 205.设等比数列的前n 项和为，且，则( )A.B.C. D.6.已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆E ：上，若E 的焦点在正方形ABCD 的外面，则E 的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.7.已知抛物线的焦点F 恰为双曲线的一个顶点，C 的另一顶点为A ，C 与E 在第一象限内的交点为，若，则直线PA 的斜率为( )A.B.C.D.8.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点C 的坐标可以是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知曲线，( )A. 若C 是圆，则B. 若C 是双曲线，则C. 若C是长轴在y轴上的椭圆，则D. 若C是焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的范围是10.若动点P在圆上，动点Q在圆上，则( )A. 两圆有3条公切线B. 两圆公共弦所在直线方程为C. PQ的最大值为D. 两圆公共弦长为11.已知数列的前n项和，则( )A. 是等差数列B. 是等比数列C. D. 的前20项和为32012.Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为Sigmoid函数的导函数，则( )A. B. Sigmoid函数是单调减函数C. 函数的最大值是D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数，则的值是__________.14.已知圆，若圆C的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是__________.15.已知椭圆C：的右顶点为A，P为C上一点，则PA的最大值为__________.16.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
2021-2022学年江苏省盐城市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省盐城市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则过点C且与线段AB平行的直线方程为( )A. B. C. D.2.等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成简称为8步“雹程”当时，需要多少步“雹程”？( )A. 11B. 12C. 13D. 144.已知函数既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.5.在数列中，，，若，则n的值为( )A. 9B. 10C. 11D. 126.过圆上的点P作圆的切线，切点为Q，则的最大值为( )A. B. C. D.7.已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C在第一象限上的点，直线PO交双曲线C的左支于点M，若，且，则双曲线C的离心率为( )A. B. 3 C. 2 D.8.，不等式恒成立，则的最大值是A. 1B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知单调递增的正项等比数列中，，其公比为q，前n项和，则下列选项中正确的有( )A. B. C. D.10.已知直线l：与圆P：，则下列说法中正确的有( )A. 当时，直线l与圆P相切B. 当时，直线l与圆P的相交弦最长C. 直线l与圆P一定相交D. 圆心P到直线l的距离的最大值为11.某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“伴随圆”．利用此结论解决下列问题：已知椭圆C：的离心率为，，为C的左、右焦点且，A为C上一动点，直线l：下列说法中正确的有( )A. 椭圆C的“伴随圆”的面积为B. 对直线l上任意点P，都有C. 动点A到直线l的距离最大值为D. 椭圆C的“伴随圆”的两条弦PM、PN都与椭圆C相切，则面积的最大值为312.已知函数，则下列选项中正确的有( )A. 函数有两个零点B. 若，则恒成立C. 若恒成立，则D. 若，则三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知抛物线上一点P到x轴的距离是8，则点P到该抛物线焦点的距离是__________.14.若圆和圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是__________.15.九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，需按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数，在某种玩法中，推广到m连环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，若数列满足：，且则解下为偶数个圆环所需的最少移动次数 __________用含n的式子表示16.过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数m的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏省南通市2022-2022学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含解析
第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.已知集合，，，则集合的真子集的个数为____【答案】【解析】【分析】由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果.【详解】,,则集合的真子集的个数为，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2.已知函数，则的值是____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出，进而可得结果.【详解】因为函数，所以所以故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3.函数在区间上的值域为____．【答案】【解析】【分析】先求出取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数在区间上的值域. 【详解】由题意，，得，，故答案为.【点睛】形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.4.已知向量，，其中，若，则____．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】向量，，，，即，又，故答案为4.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，，则____．【答案】【解析】【分析】利用的取值范围和，求得的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值.【详解】，，，，解得，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.设数列的前的和为，且满足,则____【答案】【解析】【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，，解得，，解得，，解得，，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则，可设三个角分别为，故，又，令，且，则，在上是增函数，，故答案为.9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.视频10.在中，，，，，若，则实数____．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，，，，解得，故答案为.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.若正实数满足，则的最小值是____．【答案】8【解析】当y=2x取得等号，所以的最小值是812.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的周长的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】由，，可得，由正弦定理可得化简整理为，利用正弦函数的有界性可得出结论.【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，sinA=，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13.已知,且,则的最小值是____．【答案】【解析】【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是____．【答案】【解析】【分析】由对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，知在上单调递减，由的奇偶性可判断的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解，进而得到结论.【详解】对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，函数在上单调递减，又的奇函数，为偶函数，在上单调递增，且，作出草图如图所示，，即，由图象得，或，解得或，不等式解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且，，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【答案】⑴；⑵的面积为【解析】【分析】⑴由，可得，又为三角形内角，则，在中，由余弦定理可得结果；⑵由题设可得，则，故面积与面积的比值为，求出的面积，即可得结果.【详解】⑴，，又为三角形内角，则在中，由余弦定理可得，即，解得，舍去，⑵由题设可得，则故面积与面积的比值为的面积为的面积为【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在三棱锥中，，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)【答案】(1)见解析；⑵见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得平面 . 因为平面，所以又，可得平面，从而可得结论.【详解】(1)在平面内，因为，，且在同一平面内，所以又因为平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面因为平面，所以又，，平面，平面，所以平面又因为平面，所以【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北50海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【答案】(1)；⑵见解析【解析】【分析】（1）先以点为原点，正东方向为轴正半轴建立坐标系，如图，得出点的坐标，再利用两点距离公式得从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，则船的行驶速度为海里∕小时（也可用余弦定理求）（2）直线方程为整理得原点到直线的距离为所以不会进入警戒水域。
2021-2022学年江苏省镇江市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.倾斜角为，在x 轴上的截距为的直线方程是( )A. B.C.D. 2.已知等比数列的前6项和为，公比为，则( )A.B.C. 32D. 243.如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆4.设，则当数列的前n 项和取得最小值时，n 的值为( )A. 4B. 5C. 4或5D. 5或65.函数的图象大致是( )A. B.C. D.6.已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，则的值为( )A. B. C. D.7.若点A是函数图象上的动点其中e的自然对数的底数，则点A到直线的距离最小值为( )A. B. C. D. 178.若、且，则下列式子一定成立的是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 为函数的递增区间B. 为函数的递减区间C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值10.设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有( )A.B. 双曲线C的实轴长是C. 双曲线C的离心率是D. 存在实数t，使直线与双曲线左右两支各有一个交点11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，则( )A. B.C. D.12.已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则m可能的取值为( )A. 7B. 6C. 5D. 4三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数，则函数在处切线的斜率为__________.14.椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为__________15.数列满足，则__________.16.函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
江苏省高2021—2022学年度高二上学期开学分班考试(八)【原卷版+精析版】
2021—2022学年度高二开学分班考试（八）数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若单位向量,a b 满足()()122a b a b -⋅+=-，则a b -等于（）A ．1B C D 2．若平面向量()()1,22,,a x b =-=且//a b ，则x 的值为（） A ．12B ．-1C ．-4D ．43．设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 1B ．()f x 的一个零点为π8x =C ．()f x 的最小正周期为πD ．()y f x =的图象关于直线3π8x =对称 4．化简2222tan 7.51tan 7.57sin 7.5cos 7.5︒+=︒-︒+︒（）A B C D ．25．将函数()sincos sin 1222f x x x x ωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=（0>ω）在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（） A ．02ω<≤B ．322ω<≤ C ．31528ω≤≤ D ．1528ω<≤ 6．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若tan tan b a a b B A-=-，则ABC的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为24.5 1.414≈，1.732≈2.449A ．17米B ．22米C ．30米D ．35米8．在ABC ∆中，已知AB AC ==BC =D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是（）A ．(0,B ．C ．D ．(二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．2020年上半年受疫情影响，我国居民人均消费支出情况也受到了影响，现统计出2015-2020年上半年我国居民人均消费支出情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．从2015年到2019年我国居民人均消费支出逐年减少B ．若2020年下半年居民消费水平与上半年相当，则全年消费与2018年基本一致C ．若2020年下半年居民消费水平比上半年提高20％，则全年消费支出将超过2019年D ．随着疫情的有效控制，2020年下半年居民消费水平比上半年有所提高，居民人均消费支出较2019年减少不会超过10％10．ABC 中，45,10B AB ∠=︒=，可使得C ∠有两个不同取值的AC 的长度是（） A ．7B ．8C ．9D ．1011．下列各式中，值为2的是（） A ． 15 15sin cos ︒︒B ．22cossin 66ππ-C ．2tan 301tan 30︒︒-D 12．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（）A ．1D D ⊥平面AEFB ．1//AG 平面AEFC ．异面直线1AG 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 的共轭复数为z ，若i 34i z ⋅=-(其中i 为虚数单位)，则||z =__________. 14．已知角α的终边与单位圆交点P 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.将α的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到β角，则角β的终边与单位圆交点的坐标是_______.15．窗花是贴在窗纸或户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是______.16．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，2BC a =，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿BE翻折到△A BE '的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角A DCB '--的平面角为α，则当α最大时，cos α的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知复数z 1满足：|z 1|=1+3i ﹣z 1. （1）求z 1（2）若复数z 2的虚部为2，且21z z 是实数，求2z .18．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 及对边a ，b ，c ，满足22cos c b a B -=． （1）求A 的大小；（2）若1a =，求b c +的取值范围．19．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 且cos cos 2cos a B b A c C +=；（1）求角C；==（2）如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于,D AE BC求AD长．20．如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距40nmile的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以20nmile/h的速度追缉．（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？21．某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩，将数据分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300].并整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求直方图中x 的值；（2）用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个，记理综成绩位于区间[220，260）内的个数为y ，求y 的分布列及数学期望E （y ）；（3）若变量S 满足P （μ﹣σ＜S ≤μ+σ）≈0.6827，且P （μ﹣2σ＜S ≤μ+2 σ）≈0.9545，则称S 近似服从正态分布N （μ，σ2），若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N （225，225），则给予这套试卷好评，否则差评，试问：这套试卷得到好评还是差评？ 22．在三棱锥中P ABC AB BC AB BC kPA -⊥==，，，点O 是AC 的中点，PO ⊥底面ABC .（1）求证：OB ⊥平面PAC ； （2）当122k AB ==，时，求点A 到平面PBC 的距离； （3）当k 为何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？2021—2022学年度高二开学分班考试（八）数学·全解全析1．C 【详解】解：因为,a b 为单位向量，所以()()22122=12a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅--⋅-=-，所以12a b ⋅=-, 所以()222=2+3a b a b a ab b -=--=，故选：C. 2．C 【详解】由//a b ，可知40x +=，即4x =-. 故选：C. 3．B 【详解】2π()(sin cos )cos 21sin 2cos 2124f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎝-⎪⎭，所以()f x 的最小正周期为π，()f x 1，C ，A 正确；当3π8x =时，3ππsin 2184⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线3π8x =对称，D 正确；因为π108f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以π8x =不是函数()f x 的零点，B 错误， 故选：B. 4．B 【详解】原式222222222tan 7.51sin 7.5cos 7.5tan 7.58sin 7.51sin 7.58sin 7.5cos 7.5cos 7.5︒+︒+︒==︒-︒+︒-︒︒+︒21112sin 15cos303===-︒︒．故选：B ． 5．C 【详解】()11cos 1sin 124π222f x x x x ωωω-⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，依题意有πππ26422ππ3π2π342k k ωπω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩∴31221538k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，0,1,2,3,k =⋅⋅⋅，且2π12π2π36ω⋅≥-，∴02ω<≤ 当0k =时满足题意，∴31528ω≤≤， 故选：C 6．D 【详解】由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,代入已知条件tan tan b aa b B A-=-中并化简得：sin A +cos A =sin B +cos B ,两边平方,并结合平方关系得：2sin A cos A =2sin B cos B ,即sin2A =sin2B , 因为0,π,0π,A B A B <<<+<所以22A B =或22,A B π+=即A B =或π2A B +=,易于验证当A B =或π2A B +=，sin A +cos A =sin B +cos B 成立. 故选：D . 7．C 【详解】根据题意,将各个位置用点标出来如下图所示:由题意可得:301545,18015601051801054530ACBCABABC∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，在ABC中，利用正弦定理得:sin452,sin306sin6022.49924.530.0002302ACAB ACBD AB AC︒==︒∴=︒=⨯≈⨯=≈故选:C.8．C【详解】将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A-BCD，且点A在底面BCD的射影M在线段BC上，如图2，AM⊥平面BCD，则AM⊥BD，过M作MN⊥BD，连接AN，则AN⊥BD，因此，折叠前在图1中，AM⊥BD，垂足为N.在图1中，过A作AM1⊥BC于M1，运动点D，当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近；在图2中，由于AB 是Rt △ABM 的斜边，BM 是直角边，因此BM ＜AB 由此可得:BM 1＜BM ＜AB因为△ABC 中，AB ＝BC ＝∠ABC ＝45°，由余弦定理可得AC ＝B M 1=BM ∴∈故选：C 9．BD【详解】 A 显然错误；9718219436⨯=，与2018年基本一致，B 正确； 9718 2.221379.621559⨯=<，不会超过，C 错误；215599718210021559-⨯⨯％9.8≈％，不会超过10％，D 正确.10．BC 【详解】ABC 中，45,10B AB ∠=︒=，当sin AB B AC AB <<，即10AC <时使得C ∠有两个不同取值， 故选：BC. 11．CD 【详解】因为1111sin15cos15sin 302224==⨯=，所以A 不正确； 因为22cossin 66ππ-1cos32π==，所以B 不正确； 因为2tan 301tan 30︒︒-212tan 3013tan 6021tan 302=⨯==-，所以C 正确；==，所以D 正确.故选：CD. 12．BCD 【详解】选项A ：假设1D D ⊥平面AEF ，又11//D D A A ，于是1AA ⊥平面AEF ， 显然这是不可能的，所以假设不成立，故A 错误；选项B ：取11B C 的中点Q ，接1GQ AQ ，，则1////GQ EF AQAE ，， 于是//GQ 平面AEF ，1//AQ 平面AEF ，又1GQ AQ Q =， ∴平面1//AGQ 平面AEF ，又1AG ⊂平面1AGQ ， ∴1//AG 平面AEF .故B 正确； 选项C ：∵//EF GQ ，∴1AGQ ∠为异面直线1AG 与EF 所成的角或其补角，设正方体的棱长为2，则11AG AQ QG =由余弦定理得：1cos AGQ ∠==C 正确； 选项D ：连接GC ，交FE 于O ，连接GF ，则OCE OGF ∽. ∴2OG GFOC CE==.∴点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍. 故D 正确. 故选：BCD 13．5 【详解】由34i z i ⋅=-，得3443iz i i-==--，而||||5z z ==. 故答案为：5.14．43,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【详解】解：因为角α的终边与单位圆交点P 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以43sin ,cos 55αα==-， 因为将α的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到β角，所以6πβα=+，所以431sin sin sin cos cos sin 666552πππβααα⎛⎫⎛⎫=+=+=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3414cos cos cos cos sin sin 666525210πππβααα⎛⎫=+=-=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭，所以角β的终边与单位圆交点的坐标是43,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：⎛ ⎝⎭15．[]8,12 【详解】正六边形ABCDEF 的内切圆半径为sin 604r OA === 外接圆的半径为4R =，()()2PM PN PO OM PO ON PO PO ON PO OM OM ON ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ()222224PO PO ON OM OM PO OM PO =+⋅+-=-=-，因为r PO R ≤≤，即4PO ≤≤， 所以21216PO ≤≤，可得28412PO ≤-≤， 故答案为：[]8,12.16 【详解】取BC 中点F ，易得AF BE ⊥，在翻折过程中A '的射影H 在AF 上，且A '的轨迹是以AF 为直径的圆，如上图，在ABCD 内作HG CD ⊥，垂足为G ，连A G '，∴A GH '∠是二面角A DC B '--的平面角，即A GH α'=∠且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由AF BE ⊥，故AO BE '⊥，∴A OF '∠是二面角A BE C '--的平面角，设A OF θ'∠=，由上下对称故只考虑()0,θπ∈即可．由ABa ，则2OA '=，2sin A H a θ'=，2cos OH θ=，31cos 22HG a a θ=-， 而A H '⊥面ABCD ，故2sin 22tan 313cos cos 22A H HG a a θθαθθ'===--， 令23cos k θθ=-，则232cos 2)k k k θθθϕ=+=++且tan 2ϕ=，∴232k k +，得1122k -≤≤， ∴由正切函数单调性，当α最大时1tan 2α=，故25cos α=，此时1cos 3θ=．25 17．（1）z 1= -4+3i ；（2）2823z i =--. 【详解】解：（1）设z 1=x +yi (x ，y ∈R )，2213()(1)(3)x y i x yi x y i +=+-+=-+-，故22103x y x y+=-=-⎪⎩，解得43x y =-⎧⎨=⎩，∴ z 1=﹣4+3i ；（2）令z 2=a +2i ，a ∈R ， 由（1）知，z 1=-4+3i ，则212(2)(43)43(43)(43)z a i a i i z i i i ++--==-+-+--= 46382525a a i -++-， ∵21z z 是实数， ∴3a +8=0，即a =83- ∴2823z i =-+，则2823z i =--. 18．（1）3A π=；（2）2⎤⎦【详解】解：（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C B A B -=， 又因为sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+， 所以sin 2sin 2sin cos 2cos sin B C A B A B =-=， 可得1cos 2A =， 由(0,)A π∈，可得3A π=．（2）因为1a =，3A π=，由正弦定理sin sin b c B C ==，可得3b B =，2sin()3c C B π==-，可得21sin()]sin ]cos 2sin()326b c B B B B B B B B ππ+=+-=++=+=+，因为锐角三角形ABC 中，所以203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，所以sin()6B π⎤+∈⎥⎝⎦，可得2sin()6b c B π⎤+=+∈⎦． 19．（1）3C π=；（2）AD =【详解】（1）cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理得:sin cos cos sin 2sin cos A B A B C C +=， 则()sin 2sin cos ,A B C C A B C π+=++=，即1cos 2C =， 又C 是锐角三角形的内角，故;3C π=（2）,AD DB ADB =∴是等腰三角形，且A ∠是一个底角，故0,2A E π<<为AB的中点，则2AB AE == 在ABC中，,3AB C BC π===，由正弦定理得sin :sin C A BC AB =⋅==，故cos 4A =，故在Rt AED △中，cos AE AD A == 20．（1）缉私艇应该往东偏北30方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获. 【详解】解：（1）假设t 小时后缉私艇在点M 处将走私船截获． 在APM △中，20,,135,sin sin AM PMAM t PM P P A ==∠=︒=，解得1sin 2A =， 则30A =︒，即缉私艇应该往东偏北30方向追缉．（2）在APM △中，根据余弦定理得，2222cos135AM AP PM AP PM =+-⋅⋅︒ 所以()()22222040102240102t tt ⎛=+-⨯⨯⨯ ⎝⎭化简得2480t t --=，解得232t =或232t =-（舍去）， 此时走私船前进了10220(26)356t =< 所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．21．（1）0.0075；（2）分布列见解析，()=1.2E y ；（3）得到差评. 【详解】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025）×20＝1， 解得x ＝0.0075；（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， 所以随机变量y 服从二项分布B ～（3，0.4）， 故P （y ＝k ）＝C 3k 0.4k 0.63﹣k ，k ＝0，1，2，3， 故y 的分布列为y 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064则E （y ）＝3×0.4＝1.2； （3）记该市高三考生的理综成绩为z ，由题意可知，P （210＜z ＜240）≤P （200＜z ＜240）＝20×（0.011+0.0125）＝0.47＜0.6827， P （195＜z ＜255）≤P （180＜z ＜260）＝20×（0.0095+0.011+0.0125+0.0075）＝0.81＜0.9545， 所以z 不近似服从正态分布N （225，225），所以这套试卷得到差评.22．（1）证明见解析；（2）221015；（3）当1k =时，O 在平面内的射影恰好为PBC 的重心. 【详解】（1）因为PO ⊥底面ABC ，PO ⊂面PAC ，所以面PAC ⊥面ABC ， 因为AB BC =，点O 是AC 的中点，所以OB AC ⊥， 又因为面PAC 面ABC AC =，OB ⊂面ABC ，所以OB ⊥平面PAC ；（2）当122k AB ==，时，2,4BC PA ==， 因为AB BC AB BC ⊥=，，点O 是AC 的中点，所以2,4,14OA OB OC PA PB PC PO =======， 取BC 的中点D ，连接PD ，则15PD =， 设点A 到平面PBC 的距离为h ， 由P ABC A PBC V V --=，得111122142153232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 解得221015h =，即点A 到平面PBC 的距离为221015；（3）取PC 的中点E ，连接BE 交PD 于点F ，则F 为PBC 的重心，连接OF ， 由题意知：OF ⊥面PBC ，OF PD ⊥， 设,AB BC n PA m ===，则22221,22OA n PO m n ==-，12OD n =，22214PD m n =-，13FD PD =，22251189OF n m =-，则由OP OD OF PD ⨯=⨯，得m n =，又由AB BC kPA ==，所以1k =，k 时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心. 所以当1。