第1章基本概念和基本规律

第一篇电阻电路第一章基本概念和基本规律1.1电路和电路模型•电路（electric circuit）是由电气器件互连而成的电的通路。

•模型（model）是任何客观事物的理想化表示，是对客观事物的主要性能和变化规律的一种抽象。

•电路理论（circuit theory）为了定量研究电路的电气性能，将组成实际电路的电气器件在一定条件下按其主要电磁性质加以理想化，从而得到一系列理想化元件，如电阻元件、电容元件和电感元件等。

•由于没有任何一种实际器件只呈现一种电磁性质，而能把其它电磁性质排除在外，所以器件建模是有条件的，一种近似表示只有在一定的条件下适用，条件变了，电路模型的形式也要作相应的改变。

•电路分析（circuit analysis ），就是对由理想元件组成的电路模型的分析。

虽然分析结果仅是实际电路的近似值，但它是判断实际电路电气性能和指导电路设计的重要依据。

如：不同工作频率下的电阻模型R RCL•当实际电路的尺寸远小于其使用时的最高工作频率所对应的波长时，可以无须考虑电磁量的空间分布，相应的电路元件称为集中参数元件。

由集中参数元件组成的电路，称为实际电路的集中参数电路模型或简称为集中参数电路。

描述电路的方程一般是代数方程或常微分方程。

•如果电路中的电磁量是时间和空间的函数，使得描述电路的方程是以时间和空间为自变量的代数方程或偏微分方程，则这样的电路模型称为分布参数电路。

电路集中化条件：实际电路的各向尺寸d远小于电路工作频率所对应的电磁波波长λ，即d例1.1.1我国电力用电的频率是50Hz ，则该频率对应的波长8/(310/50)km 6000kmc f λ==⨯=可见，对以此为工作频率的实验室设备来说，其尺寸远小于这一波长，因此它能满足集中化条件。

而对于数量级为103km 的远距离输电线来说，则不满足集中化条件，不能按集中参数电路处理。

例1.1.3对无线电接收机的天线来说，如果所接收到信号频率为400MHz ，则对应的波长为86/[310/(40010]m 0.75m )c f λ==⨯⨯=因此，即使天线的长度只有0.1m ，也不能把天线视为集中参数元件。

1.2 电路变量•分析电路需要对电路进行数学描述，这种描述是由电路的一些物理量，如电压、电流、电荷、磁通、功率和能量等来表示的。

这些物理量统称为电路变量或网络变量。

其中电压和电流是描述电路特性的两个基本变量•电流：单位时间内通过导体横截面的电量，用i表示。

电流的方向规定为正电荷运动的方向。

如果电流的大小和方向不随时间变化，则称为恒定电流或直流电流，否则称为时变电流。

若时变电流的大小和方向都随时间周期性变化，则称为交变电流。

•分析复杂电路时往往难以事先判断某支路电流的实际方向，因此分析电流时先假定一个方向，称为参考方向，通常用带有箭标的线段表示，也可以采用双下标字母表示，如I表示电流的参考方ab向由a端指向b端。

当电流实际方向与参考方向一致时，电流的数值就为正值；反之，当电流的实际方向与参考方向相反时，则电流的数值为负值。

电流的实际方向与参考方向的关系：i i i ia ab b（a）实际方向与参考方向一致（b）实际方向与参考方向相反•电压：库仑电场力将单位正电荷由电场中的a点移动到b点所作的功称为a、b两点间的电压，用u表示。

如果正电荷由a移动到b获得能量，则a点为低电位，即负极，b点为高电位，即正极。

电压的方向为正极指向负极。

为便于分析计算，电压也引入参考方向。

参考方向可以任意假定，通常采用“＋”、“－”极性符号表示，也可以采用双下标字母表示，并规定由前一个字母（高电位端）指向后一个字母（低电位端）。

电压参考极性的表示：a bu•分析电路时，既要为流经元件的电流假设参考方向，也要为元件两端的电压假设参考方向，它们彼此可以独立无关。

但为了方便起见，常常采用一致参考方向，即电流参考方向与电压“＋”极到“－”极的参考方向一致，于是在电路图上只需标出电流参考方向或电压参考方向即可。

一致参考方向也称为关联参考方向。

一致参考方向：u i u iaa a bb b•功率是指某一段电路吸收或提供能量的速率。

功率用符号p 表示。

功率的参考方向：一段电路在电压、电流取一致参考方向的情况下，功率的参考方向指定为进入该电路。

ab u i pw当任意一个二端电路元件的电压和电流取一致参考方向时，其吸收（即外界输入）的功率为p ui•一段电路在电压电流取一致参考方向下，从t 0到t 的时间内该部分电路吸收的能量为0(,)()()()ttt t w t t p d u i d τττττ==⎰⎰1.3 电路基本规律1.3.1 图论的基础知识与基本结论•图是一组节点和一组支路的集合，且每条支路的两端必须终止在两个节点上。

电路及其图：12345②①③5②③1234①•全部节点都为支路所连通的图称为连通图，否则称为非连通图。

M321456⑤①②③④⑥④①②③⑤123456⑥12345②①③④5②③④1234①1i2i3i4i5i•各支路都标有参考方向（用箭标表示）的图称为有向图，否则称为无向图。

•对于一个多端元件的两个端钮，如果在任一时间t ，从一个端钮流入的电流等于从另一个端钮流出的电流，则称这两个端钮为一个端口。

若多端元件的端钮能两两组成端口，则称为多端口元件。

n 端元件及其有向图：选端钮n 作为参考点1i 2i ni 211i 2i ni 21121n n nn二端口元件及其有向图：1i 2i 1u 2u 1'i M1211'2'21'2'2'i•给定图G 和G i ，如果G i 的每个节点都是图G 中的节点，每条支路都是图G 中的支路，则称图G i 是图G 的子图。

图G 的子图②④123①5②③④1234①②③④234①③•给定图G 的一个子图G i ，如果G i 是连通的，且其每一个节点仅与两条支路相关联，则称这个子图G i 为回路。

•给定图G 的一个子图G i ，如果G i 是包含图G 中的所有节点而不形成回路的连通图，则称子图G i 为连通图G 的一个树。

图G 中构成树的支路称为树支，而把图G 中除去树支以外的支路称为连支②④123①5②③④1234①②③④234①③•设一图G ，如果将其画在平面上，且不出现两条支路交叉于一个非节点处，那么称图G 为平面图。

否则称为非平面图。

平面图与非平面图：•对于平面图G的一回路，如果在回路所限定的区域内不包含支路，则称该回路为网孔。

网孔是一种特殊的回路，它包括内网孔和外网孔。

•对于连通图G的任一支路集，如果移去该集的所有支路，能使图G分成两个分离部分，然而只要少移去其中的任一支路，图仍然是连通的，则此支路集称为图G的一个割集。

•对于任意一个连通图G ，选定一个树后，由一条连支和若干条树支构成的回路称为基本回路(或单连支回路)。

基本回路的参考方向一般取与连支的参考方向一致。

图G 的部分割集：5②③④1234①对于一个连通图，确定其割集的一个比较方便的方法是先作一个高斯面（闭合曲面），然后看高斯面切割到的一组支路是否满足割集的定义。

•对于任意一个连通图G ，选定一个树，每条树支总能和若干条连支构成一个割集，这种仅包含一条树支的割集称为基本割集（或单树支割集）。

基本割集的参考方向一般取与树支的参考方向一致。

图G 的基本割集：选定树支集为{2,3,5}5②③④1234①•对于一个具有n个节点、b条支路的连通图G，其树支数必为n-1，其连支数必为b-(n-1)。

其基本必为n-1，基本回路数，即独立回路数l割集数nt等于连支数。

即支路数与节点数和基本回路数的关系为1=+-b n l1.3.2 基尔霍夫电流定律•基尔霍夫电流定律（简记为KCL）可表述为：对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。

基尔霍夫电流定律又称基尔霍夫第一定律，其物理背景是电荷守恒公理。

12345②①③④1i2i3i4i5i对图示电路应用KCL，取流出节点的电流为正例：节点①i1+i2=0节点②-i2+i3+i4=0节点③-i4+i5=0节点④-i1-i3-i5=0节点应用KCL建立电路方程时，根据各支路电流的参考方向，既可规定流出节点的电流为正，也可规定流入节点的电流为正，两种取法任选一种。

12345②①③④1i2i3i4i5i例：节点①i1+i2=0节点②-i2+i3+i4=0节点③-i4+i5=0节点④-i1-i3-i5=0 KCL适用于任何集中参数电路，与元件的性质无关。

由KCL所得到的电路方程是线性齐次代数方程。

把上面的四个方程相加，可以发现所得方程为0≡0。

所以对任一具有n个节点，b条支路的，电路列写KCL方程，所得方程组中的独立方程只有n-1个。

所以一般先选定参考节点，然后对除去参考节点外的其它n-1个独立节点列写KCL方程。

•KCL通常适用于集中参数电路的节点，但对电路中任一割集（或闭合面）也是成立的，即：对于任一集中参数电路中的任一割集（或闭合面），在任一时刻，流出（或流入）该割集（或闭合面）的所有支路电流的代数和等于零。

KCL应用于闭合面：12345②①③④1i2i3i4i5i6i6124560i i i i i +-+-=1.3.3 基尔霍夫电压定律•基尔霍夫电压定律(简记为KVL)可表述为：对于任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该回路所有支路电压的代数和等于零基尔霍夫电压定律又称基尔霍夫第二定律，其物理背景是能量守恒公理。

例：3u ①②③④3l 1u 2u 4u 5u 6u 1l 2l 回路l 1-u 1+u 2+u 4=0回路l 2-u 4+u 5+u 6=0回路l 3-u 2+u 3-u 5=0KVL 适用于任何集中参数电路，它与元件性质无关。

由KVL 所得到的电路方程是线性齐次代数方程，它表明了构成回路的各支路电压所受的线性约束。

对任一具有n 个节点，b 条支路的电路列写KVL 方程，其独立方程数等于独立回路数。

独立的KVL 方程数为b -(n -1)。

1.3.4 关联矩阵和基尔霍夫定律的矩阵形式•具有n 个节点、b 条支路的有向图的关联矩阵A a 的第(i ，k )个元素1,1,0ik k a k k ⎧⎪=- ⎨⎪ ⎩支路与节点相关联且其方向离开节点支路与节点相关联且其方向指向节点支路与节点无关联ⓘⓘⓘⓘⓘ例1.3.3试求图(a)所示有向连通图的关联矩阵A a5②③④1234①()a ()b 1 2 3 4 5110000111000011a A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥①②③解：图(a)所示有向连通图具有4个节点和5条支路，首先对其节点和支路进行编号，如图(b)所示。