高一数学上册期末复习题及详细解答
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
2023-2024学年湖南省怀化市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省怀化市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|12,1,0,1A x x B =-<≤=-，则A B ⋂=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【正确答案】C【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】∵集合{}=1<2A x x -≤，{}1,0,1B =-，∴{}0,1A B ⋂=.故选：C.2．命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan 0x >”的否定是()A ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0tan 0x ≤B ．00,2x π⎛⎫∃∉ ⎪⎝⎭，0tan 0x ≤C ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan 0x ≤D ．00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0tan 0x >【正确答案】A【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan 0x >，则p ⌝为00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0tan 0x ≤．故选A ．本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．3．“π6θ=-”是“1sin 2θ=-”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由π6θ=-，可得1sin 2θ=-，故充分性成立，当7π6θ=时，1sin 2θ=-，则由1sin 2θ=-不能得出π6θ=-，故必要性不成立，所以“π6θ=-”是“1sin 2θ=-”成立的充分不必要条件.故选：A.4．函数f(x)＝log3x ＋x －2的零点所在的区间为()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【正确答案】B【分析】根据零点存在性定理判断即可得到所求的区间．【详解】函数f(x)＝log 3x ＋x －2的定义域为(0,＋∞)，并且f(x)在(0,＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．又f(1)＝－1<0，f(2)＝log 32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．故选B ．求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用零点存在性定理，二是解方程，三是用函数的图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．5．我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周八步，径四步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（）A ．8平方步B ．6平方步C ．4平方步D ．16平方步【正确答案】A【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：∵弧长8步，其所在圆的直径是4步，∴12882S =⨯⨯=（平方步），故选：A.6．将函数sin2y x =的图像（），可以得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π12个单位【正确答案】D【分析】由题意，利用函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论即可．【详解】解：由于函数ππsin 2sin 2612y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则将函数sin2y x =的图像向右平移π12个单位，可得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选：D.7．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,1上为增函数的是（）A ．y =B ．13y x =C ．ln y x=D ．1y x x=+【正确答案】B【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义求解.【详解】对于A ，定义域为[)1,-+∞，所以函数为非奇非偶函数，A 错误；对于B ，根据幂函数的性质可知，13y x =在()0,1上为增函数，且()1133()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数为奇函数，B 正确；对于C ，当()0,1x ∈时，ln ln y x x ==单调递增，()ln ln ()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，C 错误；对于D ，根据双勾函数的性质，函数为奇函数，但在()0,1上为减函数，D 错误，故选:B.8．已知()y f x =不是常函数，且是定义域为R 的奇函数，若()21y f x =+的最小正周期为1，则（）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数的周期性和奇函数即可根据选项逐一求解.【详解】()21y f x =+的最小正周期为1，则()()21=23f x f x ++，所以()f x 是以2为周期的周期函数，因此()()=2f x f x +，故B 错误；对于A ，()()()111f x f x f x +=-=--+，故A 错误；对于C ，由周期得()()11f f =-，又()()11f f =--，因此()()110f f =-=，故C 正确；对于D ，131333=,=0222222f ff f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 错误，故选：C.二、多选题9．与π4角终边相同的角是（）A ．7π4-B ．π4-C ．5π4D ．9π4【正确答案】AD【分析】利用终边相同的定义求解.【详解】与π4角终边相同的角是π2π,4k k Z α=+∈，当1k =-时7π4α=-，当0k =时π4α=，当1k =时9π4α=，所以A,D 满足题意，故选:AD.10．已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期是πB ．π6x =是()f x 图象的对称轴C ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心D ．()f x 在区间π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】AC【分析】根据三角函数的性质一一求解.【详解】最小正周期为2ππ2T ==,A 正确；π2sin ππ363f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π6x =不是()f x 图象的对称轴，B 错误；π2sin 0π336πf ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪⎝⎝- ⎪⎭⎭，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心，C 正确；因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2,π33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有增有减，D 错误，故选:AC.11．如果某函数的定义域与其值域的交集是[],a b ，则称该函数为“[],a b 交汇函数”．下列函数是“[]0,1交汇函数”的是（）．A ．y =B ．y =C ．21y x =-D ．y =【正确答案】BD【分析】根据[]0,1交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.【详解】由[],a b 交汇函数定义可知：[]0,1交汇函数表示函数定义域与值域交集为[]0,1；对于A ，y =[)0,A =+∞，值域[)0,B ∞=+，则[)0,A B =+∞ ，A 错误；对于B ，y =(],1A =-∞，值域[)0,B ∞=+，则[]0,1A B =I ，B 正确；对于C ，21y x =-的定义域为A =R ，值域(],1B =-∞，则(],1A B ⋂=-∞，C 错误；对于D ，y []1,1A =-，值域[]0,1B =，则[]0,1A B =I ，D 正确.故选：BD.12．已知M 是同时满足下列条件的集合：①0,1M M ∈∈；②若,x y M ∈，则x y M -∈；③x M ∈且0x ≠，则1M x ∈．下列结论中正确的有（）A ．13M∈B ．1M-∉C ．若,x y M ∈，则x y M +∈D ．若,x y M ∈，则xy M∈【正确答案】ACD【分析】根据集合M 满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1）由①0,1M M ∈∈，则由②011M -=-∈，1(1)2M ∴--=∈，2(1)3M --=∈，由③得13M ∈，故A 正确；（2）由（1）可知1M -∈，故B 错误；（3）由①知0M ∈，y M ∈ ，0y y M ∴-=-∈，x M ∈ ，()x y M ∴--∈，即x y M +∈，故C 正确；（4）,x y M ∈ ，则1x M -∈，由③可得1M x∈，11M x ∈-，111M x x ∴-∈-，即1(1)M x x ∈-，(1)x x M ∴-∈，即2x x M -∈，2x M ∴∈；由（3）可知当,x y M ∈，x y M +∈，112M x x x∴+=∈，∴当,x y M ∈，可得22222(),,,22x y x y x y M ++∈，222()22x y x y xy M ++∴-=∈，故D 正确．故ACD三、填空题13．化简：()()ππcos πcos πcos cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【正确答案】cos2α【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】()()()22ππcos πcos πcos cos cos cos sin sin cos sin cos 222ααααααααααα⎛⎫⎛⎫+-++-=-⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故cos2α14．若0.5e a =，lg2b =，2log 0.2c =，则它们的大小关系为______.【正确答案】a b c >>##c b a<<【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，利用中间值可以比较出三个数的大小关系【详解】因为0.50e e 1a =>=，0lg1lg 2lg101b =<=<=，22log 0.2log 10c =<=，即1a >，01b <<，0c <，所以由大到小的顺序为a b c >>.故答案为a b c>>15．已知函数()lg ,010,{16,102x x f x x x ≤=-+＜＞若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是．【正确答案】（10，12）【详解】不妨设a <b <c ，作出f (x )的图象，如图所示：由图象可知0<a <1<b <10<c <12，由f (a )=f (b )得|lg a |=|lg b |，即−lg a =lg b ，∴lg ab =0，则ab =1，∴abc =c ，∴abc 的取值范围是(10,12)，16．已知1m >，1n >，且2332log log m n=，则log 2log 3m n +的最小值为______.【正确答案】3+##3+【分析】首先根据对数的运算性质得到232log log 1m n +=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为1m >，1n >，所以3log 0n >，2log 0m >，因为232332332log log 2log log 3log 2log log 1m m n m n n=⇒=-⇒+=.所以()2323231111log 2log 32log log log log log log m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭3232log 2log 333log log n m n m =++≥+=+当且仅当3232log 2log log log nm n m=，即32log 1n m ==-时，等号成立.故3+四、解答题17．（1）求值：223log 31cosπ28-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭（2）设1x ≥，试比较321x +与42x x +的大小.【正确答案】（1）3e -；（2）34212x x x +≤+【分析】（1）根据指数幂的运算以及对数的运算性质即可化简，（2）根据作差法即可求解.【详解】（1）原式143e 33e =-+-+-=-.（2）1x ≥时，10x -≥，所以()()()()()()()34342222122212111x x x x x x x x x x +-+=---=---+()()()()322121110x x x x x =---=-+-≤，所以34212x x x +≤+.18．已知函数()21f x kx kx =-+.(1)若R x ∀∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围.(2)若()27f -=，解关于x 的不等式.()e 3xf >【正确答案】(1)04k ≤<(2){}ln2x x >【分析】（1）分0k =和0k ≠两种情况讨论，从而可得出答案；（2）先根据()27f -=求出k ，再解关于e x 的一元二次不等式，最后根据指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）当0k =时，()1f x =满足x ∀∈R ，()0f x >恒成立，当0k ≠时，则只需()204Δ410k k k k >⎧⎪⇒<<⎨=--⨯⨯<⎪⎩，综上，要使x ∀∈R ，()0f x >恒成立，则04k ≤<；（2）因为()2421617f k k k -=++=+=，所以1k =，此时()21f x x x =-+，所以()e 3xf >，即2e e 13x x -+>，令e x t =，即为220t t -->，解得1t <-或2t >，即e 1x <-或e 2x >，因为e 0x >，所以e 1x <-无解，解e 2x >得ln2x >，所以不等式()e 3xf >的解集为{}ln2x x >.19．已知锐角α与钝角β，sin 5α=，sin 10β=.(1)求()sin αβ-的值；(2)求πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；(2)根据两角和的正切公式求解.【详解】（1）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin α=sin β=，所以cos α==cos 10β==-，所以()sin sin cos cos sin 51051010αβαβαβ⎛-=-=⋅--⋅=- ⎝⎭.（2）由（1）得sin tan 2cos ααα==，所以πtan tanπ83tan π3111tan tan 3ααα++⎛⎫+==- ⎪⎝⎭-⋅.20．已知函数()2122log log f x x x =+．(1)求()f x 在区间[]1,8上的最大值；(2)设函数()()g x f x a =+，其中0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【正确答案】(1)3(2)1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】（1）化简可得()2log f x x =，由对数函数单调性计算即可得出结果.（2）由题意得，()()2log g x x a =+，由()g x 在[],1t t +上单调递增,只需()()11g t g t +-≤成立，计算即可得出结果.【详解】（1）∵()2122222log log 2log log log f x x x x x x =+=-=，又()f x 在[]1,8上单调递增，∴当8x =时，()f x 有最大值3．（2）由题意得，()()2log g x x a =+.因为0a >，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[],1t t +上单调递增，所以，当x t =时，()g x 取得最小值；当1x t =+时，()g x 取得最大值.所以原题可转化为任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()11g t g t +-≤成立，即()()22log 1log 1t a t a ++-+≤，即()()()222log 1log 1log 2t a t a t a ++≤++=+，∴()012t a t a <++≤+，∴1a t ≥-恒成立，又1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1012t ≤-≤，∴12a ≥，即a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处.(1)已知在()min t 时点P 距离地面的高度为()()πsin 0,0,2f t A t h A ωϕωϕ⎛⎫=++>>≤ ⎪⎝⎭.求23t =时，点P 距离地面的高度；(2)当离地面(503+m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌.【正确答案】(1)70m(2)转一圈中在点P 处有0.5min 的时间可以看到公园的全貌.【分析】（1）根据题意，确定()sin()f t A t h ωϕ=++的表达式，代入23t =运算即可；（2）要求()503f t >+23cos 32πt <-，解不等式即可.【详解】（1）依题意知，40A =，50h =，3T =，由2π3T ω==，解得2π3ω=，所以()2π40sin 503f t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()010f =，所以sin 1ϕ=-，又π2ϕ≤，所以π2ϕ=-，所以()()2ππ2π40sin 505040cos 0323f t t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以()46πππ235040cos 5040cos 15π5040cos 70333f ⎛⎫=-=-+=+= ⎪⎝⎭，即23t =时点P 距离地面的高度为70m ；（2）令()503f t >+2π3cos32t <-，解得()*5π2π7π2π2πN 636k t k k +<<+∈，即()*5733N 44k t k k +<<+∈，又()*751330.5N 442k k k ⎛⎫+-+==∈ ⎪⎝⎭，所以转一圈中在点P 处有0.5min 的时间可以看到公园的全貌.22．已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m mm ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
高一数学上册期末试题(含答案)
高一数学上册期末试题（含答案）一、选择题1. 已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}, B={2,4}，则(∁U B)∩A=()A.{0,1,2,3}B.{1,3}C.{1,2,3,4}D.{0,2,4}2. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A.y=x3B.y=x2C.y=xD.y=√x3. 在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(−√3,1)，则sin(π−α)=()A.−12B.12C.−√32D.√324. 已知函数f(x)=log2(x2−x)，则f(x2)的定义域为()A.(−∞,−1)∪(1,+∞)B.(−∞,0)∪(1,+∞)C.(−1,1)D.(0,1)5. 已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c<0”是“b2−4ac<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（）A.a2+b2=1B.ab=1C.a2+b=12D.a2−b2=127. 某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有()A.10个B.15个C.20个D.25个8. 已知函数f(x)=ln(√sin2x+1+sinx)(x∈R)，则存在非零实数x0，使得()A.f(x0)=−1B.f(x0)−f(−x0)=2C.f(f(x0))=ln(√2+1)D.f(π+x0)−f(x0)=32二、多选题9.已知θ为第二象限角，则下列结论正确的是( )A.cosθ>0B.cos (π−θ)>0C.cos (π+θ)>0D.cos (π2+θ)>0 10.已知函数f (x )=|sinx|，则下列说法正确的是( )A.f (x )的图像关于直线x =π2对称B.(π,0)是f (x )图像的一个对称中心C.f (x )的周期为πD.f (x )在区间[−π2,0]单调递减11.已知函数y =f (x )是定义在[−1,1]上的奇函数，当x >0时，f (x )=x (x −1)，则下列说法正确的是( )A.函数y =f (x )有2个零点B.当x <0时， f (x )=−x (x +1)C.不等式f (x )<0的解集是(0,1)D.∀x 1，x 2∈[−1,1]，都有|f (x 1)−f (x 2)|≤12 12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N =Q ，M ∩N =⌀，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(M,N )为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )A.M ={x|x <0}，N ={x|x >0}是一个戴德金分割B.M 没有最大元素，N 有一个最小元素C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D.M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题13.已知sinα=−35，α是第四象限角，则tan(α−π4)=________.14.当x >0时，函数f (x )=x x 2+1的最大值为________.15.将函数y =sinx 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为________.16. 某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位： m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为v =alog 2Q 10（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在耗氧量为80个单位时，其飞行速度为 18m/s ，则a =________；若这种候鸟飞行的速度不能低于60m/s ，其耗氧量至少要________个单位．四、解答题17.已知函数f (x )=x 2−ax +4−a 2的定义域是[−2,3].(1)当a =2时，求函数f (x )的值域；(2)设p:a ∈M ，q:∀x ∈[−2,2]，都有f (x )≤0，若p 是q 的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M 并说明理由．18.已知函数f (x )是偶函数，且当x ≥0时，f(x)=log a (3−ax)(a >0且a ≠1）.(1)求当x <0时的f (x )的解析式；(2)在①f (x )在(1,4)上单调递增；①在区间(−1,1)上恒有f (x )≥x 2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g (a )=(12)a 的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）19.已知函数f (x )=(sin x 4+cos x 4)2−2√3cos 2x 4+√3−1.(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的单调递减区间；(2)将f (x )的图象先向左平移π6个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数g (x )，若g (x 0)=√24，x 0∈(π,5π4)，求sinx 0的值．20.已知函数f (x )=3x −a 3x+1+3是奇函数．(1)求a 的值，判断f (x )的单调性并用定义证明之；(2)解不等式：log 2|f (x )|+2≤021.游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光．据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟．以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)试将游客甲离地面的距离ℎ(t)（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数；(2)若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大．22.若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](n >m >0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；(3)已知函数ℎ(x)=(x −a)2(a ≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”.若存在实数x ∈[43,4] ，使得对任意的t ∈R ,不等式ℎ(x)≥−t 2+(s −t)x +4恒成立，求实数s 的最大值.参考答案:一、1-8 BDBA ADCD 二、9.B,C10.A,C,D11.B,C,D12.B,D三、13.−714.1215.y=sin(12x−π6)16.6,10240S有最大值为12−√34．四、17.解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，又函数的定义域是[−2,3]，则其值域是[−1,8]．(2)据题意使“∀x∈[−2,2]，都有f(x)≤0”为真命题的充要条件是f max(x)≤0，即要{f(−2)=−a2+2a+8≤0, f(2)=−a2−2a+8≤0,其解集是{a|a≤−4或a≥4}，故使p是q的充分不必要条件的集合M可以是[4,+∞).18.解：(1)当x<0时，−x>0，又f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=log a(3+ax)即f(x)=log a(3+ax),x<0．(2)选条件①：由于f(x)在(1,4)上单调递增，显然a>1不合题意，则{0<a <1,3−4a ≥0,⇒0<a ≤34， 此时g (a )=(12)a 的取值范围是[√242,1)， 选条件①：若0<a <1，则f (0)=log a 3<0，显然不合要求．当a >1时，f (0)=log a 3>0，而f (x )与y =x 2都是偶函数，则只需考虑x ∈[0,1)即可，此时f (x )是单调递减的，而y =x 2是单调递增的， 则{a >1,f (1)≥1,即{a >1,log a (3−a )≥1, 解得a ∈(1,32]，此时g (a )=(12)a 的取值范围是[√24,12)．19.解：(1)f (x )=(sin x 4+cos x 4)2−2√3cos 2x 4+√3−1=1+2sin x 4cos x 4−√3(1+cos x 2)+√3−1 =sin x 2−√3cos x 2=2sin (x 2−π3)． 则f (x )的最小正周期为T =4π，由π2+2kπ≤x 2−π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ， 解得5π3+4kπ≤x ≤11π3+4kπ，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间是[5π3+4kπ,11π3+4kπ]，k ∈Z . (2)将f (x )的图象先向左平移π6个单位长度，得到函数y =2sin (x+π62−π3)=2sin (x 2−π4)， 再将其横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变得到函数g (x )=2sin (x −π4)，据题意有sin(x 0−π4)=√28，且x 0−π4∈(3π4,π)， 则cos (x 0−π4)=−√628， 则sinx 0=sin [(x 0−π4)+π4]=sin (x 0−π4)cos π4+cos (x 0−π4)sin π4=1−√318．20.解：(1)显然函数f (x )的定义域是R ，据题意有f (0)=0，得a =1，即f(x)=3x −13x+1+3=3x −13(3x +1)，此时f(−x)=3−x −13(3−x +1)=1−3x 3(1+3x )=−f(x)满足题意． f(x)=3x −13x+1+3=3x −13(3x +1)=13−23⋅13x +1，由此可判断出f (x )是R 上的递增函数．以下用定义证明：∀x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，则3x 2−3x 1>0， 所以f(x 2)−f(x 1)=23(13x 1+1−13x 2+1)=23⋅3x 2−3x 1(3x 1+1)(3x 2+1)>0，即f(x)<f(x 2)，故f (x )是R 上的递增函数．(2)由log 2|f (x )|+2≤0得0<|f (x )|≤14，即−14≤13−23⋅13x +1<0或0<13−23⋅13x +1≤14，即：12<13x +1≤78或18≤13x +1<12，整理得17≤3x <1或1<3x ≤7，解得−log 37≤x <0或0<x ≤log 37，即解集为[−log 37,0)∪(0,log 37]．21.解：(1)据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为2π20=π10弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是π10t ，因为圆的半径为r =50米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为y =50sin(π10t −π2)， 则其离地面的距离为ℎ(t)=20+50+50sin(π10t −π2) =70−50cos π10t(t ≥0)．(2)由(1)可知游客乙离地面的距离：g (t )=70−50cos [π10(t −5)]=70−50sin π10t ， 其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：Δℎ=ℎ(t)−g(t)=50(sin π10t −cos π10t)=50√2sin(π10t −π4)， 当π10t −π4=π2+2kπ(k ∈Z )，即t =152+20k (k ∈Z )时，甲乙离地面距离之差达到最大， 所以t =152，即游客乙坐上摩天轮t −5=52分钟后， 甲乙的离地面距离之差首次达到最大．22.解：(1)对于函数g(x)=sinx 的定义域R 内存在x 1=π6，则g(x 2)=2无解， 故g(x)=sinx 不是“依赖函数”.(2)因为f (x )=2x−1在[m,n ]递增，故f(m)f(n)=1，即2m−12n−1=1， m +n =2，由n >m >0，故n =2−m >m >0，得0<m <1，从而mn =m (2−m )在m ∈(0,1)上单调递增， 故mn ∈(0,1).(3)①若43≤a <4，故ℎ(x )=(x −a )2在[43,4]上最小值为0，此时不存在x 2，舍去；①若a ≥4，故ℎ(x)=(x −a)2在[43,4]上单调递减，从而ℎ(43)⋅ℎ(4)=1，解得a =1（舍）或a =133， 从而，存在x ∈[43,4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式(x −133)2≥−t 2+(s −t )x +4恒成立， 即t 2+xt +x 2−(s +263)x +1339≥0恒成立，由Δ=x 2−4[x 2−(s +263)x +1339]≤0， 得4(s +263)x ≤3x 2+5329， 由x ∈[43,4]，可得4(s +263)≤3x +5329x ， 又y =3x +5329x 在x ∈[43,4]单调递减， 故当x =43时， (3x +5329x )max =1453， 从而4(s +263)≤1453， 解得s ≤4112.故实数s 的最大值为4112.。
2024北京丰台区高一(上)期末数学试题及答案
2024北京丰台高一（上）期末数 学2024.01考生须知：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID 号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID 号、姓名。
在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次练习所有答题均在答题卡上完成，选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在练习卷、草稿纸上答题无效。
4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}21A x x =−<<，{}12B x x =−≤<，则AB =（ ） A.{}22x x −<< B.{}11x x −≤< C.{}11x x −≤≤ D.{}12x x −≤< 2.下列函数在区间()0,+∞上单调递减的是（ ）A.ln y x =B.cos y x =C.e x y =D.y x =−3.若0a b >>，c d >，则下列结论一定成立的是（ ）A.0a b −<B.a c b c +>+C.ac bc >D.ac bd > 4.已知tan 24πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A.3−B.1−C.13D.15.13lg 2lg58−+−+=（ ） A.12π− B.2π− C.4π− D.32π− 6.函数()sin cos 2f x x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 是最小正周期为2π的奇函数B.()f x 是最小正周期为2π的偶函数C.()f x 是最小正周期为π的奇函数D.()f x 是最小正周期为π的偶函数7.函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b >>8.若α，β都是第一象限角，则“sin sin αβ>”是“tan tan αβ>”成立的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%n a −，则甲、乙的知识储备量之比为2时需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg20.3010≈，lg102 2.0086≈，lg98 1.9912≈） A.15 B.18 C.30 D.3510.记()R A 为非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,R A R B R A R B A B R B R A R A R B −≥⎧⎪=⎨−<⎪⎩ .若{}1,2A =，()(){}2250B x x ax x ax =+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()R S 等于（ ）A.1B.2C.3D.4 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐高一上册期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，则M N ⋂等于（）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x ≤<D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合{}03|M x x =<<，1{|}24N x x =≤≤，所以1{|3}2M x N x =≤< .故选：B2．已知p ：4x y +>，q ：2x >且2y >，则q 是p 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据给定条件，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为2x >且2y >，则有4x y +>，即q 能推出p ，而当4x y +>时，如4,1x y ==满足4x y +>，显然2x >且2y >不成立，即p 不能推出q ，所以q 是p 的充分不必要条件.故选：A3．在下列函数中，与||y x =表示同一函数的是（）A ．2y =B ．y =C ．y =D ．2||x y x =【正确答案】C【分析】化简解析式否定选项A ；化简解析式否定选项B ；化简解析式可知选项C 正确；化简解析式否定选项D.【详解】选项A.2(0)y x x ==≥与||y x =不表示同一函数；选项B.y x ==与||y x =不表示同一函数；选项C.y x ==与||y x =表示同一函数；选项D.()20x y x x x==≠与||y x =不表示同一函数.故选：C4．计算22sin 22.51︒-的结果等于（）A ．2B ．2C ．D ．2【正确答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式即可求得结果.【详解】因为()2cos 45cos 222.512sin 22.5︒=⨯︒=-︒，所以22sin 22.51cos 45︒-=-︒=故选：A.5．函数()3log 62f x x x =-+的零点一定位于区间（）A ．()4,5B ．()3,4C ．()2,3D ．()1,2【正确答案】C【分析】先判断函数单调性,再将选项的区间端点代入,直到端点处的函数值异号,即为所求.【详解】解:由题知()3log 62f x x x =-+,因为3log y x =,2y x =在()0,∞+上均单调递增,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,故()f x 最多有一个零点,因为()()33331log 0,2log 220,f f >=-<==()()320,f f ⋅<所以()f x 零点一定位于()2,3内.故选:C6．设2212log 3,log 3,3a b c -===,则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．c b a>>【正确答案】C【分析】根据2log y x =在()0,∞+上单调递增,可判断a 的范围,根据对数换底公式及a 的范围,可判断b 的范围,求出c 的值,即可判断,,a b c 的大小关系,选出选项.【详解】解:因为2log y x =在()0,∞+上单调递增,所以22log 3log 21>=,即1a >,因为122log 3log 31b ==-<-,2139c -==,所以a c b >>.故选:C7．已知函数()()210,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过一点P ，且点P 在直线()100mx ny mn +-=>的图像上，则11m n+的最小值为（）A ．4B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】求出函数()f x 的图象所过的定点坐标，由此建立,m n 的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解作答.【详解】函数()()210,1x f x a a a -=+>≠中，当20x -=，即2x =时，恒有()2f x =，则点(2,2)P ，依题意，2210m n +-=，即12m n +=，又0mn >，因此0,0m n >>，11112()()2(2)2(2)8n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当n m m n =，即41m n ==时取等号，所以11m n+的最小值为8.故选：D 8．函数1()xxf x e -=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A由函数的性质结合图象的特征逐项排除即可得解.【详解】当1x <时，10x ->，1()0xxf x e -=>，故排除B 、C ；当1x >时，10x -<，1()0xxf x e -=<，故排除D.故选：A.函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．若π1sin34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin αα+的值为（）A ．14-B ．12C ．2D ．1-【正确答案】B【分析】将π1sin 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭按照两角和的正弦公式展开,化简即可得出结果.【详解】解:因为π1sin 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即ππ1sin cos cos sin 334+=αα,即11cos sin 224+=αα,1sin 2+=αα.故选:B10．为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位D ．向右平移π12个单位【正确答案】D【分析】先将两函数转化为()sin y x ωϕ=+的形式，计算两者ϕ的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.【详解】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=，所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.11．已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A ．2325B ．2325-C ．35D ．35-【正确答案】B【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得263ππα<<，2736ππβ<<，从而利用()cos cos 66ππβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1f f αβ==，所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 65πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()cos cos cos cos sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1123555525-⨯⨯=-=+，故选：B.12．若()f x 的定义域为R ，且满足()1f x +为偶函数，()2f x +的图象关于()0,0成中心对称，则下列说法正确的个数是（）①()f x 的一个周期为4②()223f =③()f x 图象的一条对称轴为5x =④()()()12230f f f ++⋅⋅⋅+=A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得(2)(),(2)(2)0f x f x f x f x -=-+++=，由此推理计算即可判断各命题作答.【详解】()f x 的定义域为R ，由()1f x +为偶函数，得(1)(1)-+=+f x f x ，即(2)()f x f x -=，由()2f x +图象关于()0,0成中心对称，得(2)(2)0f x f x -+++=，于是(2)()f x f x +=-，则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期为4的周期函数，①正确；由(2)()f x f x -=，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，因此()f x 图象的一条对称轴为5x =，③正确；由(2)(2)0f x f x -+++=，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ===，(1)(3)0f f +=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此()()()12235[(1)(2)(3)(4)](1)(2)(3)0f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++=，④正确；而(22)(2)0f f ==，则②错误，所以正确说法的个数是3，C 正确.故选：C结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.(2)存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二、填空题13．函数()sin()4f x x π=-的图象的对称轴方程是______．【正确答案】3,4x k k Z ππ=+∈【分析】令,42x k k Z πππ-=+∈，即可求得函数()f x 的对称轴的方程，得到答案.【详解】由题意，函数()sin(4f x x π=-，令,42x k k Z πππ-=+∈，解得3,4x k k Z ππ=+∈，即函数()f x 的对称轴的方程为3,4x k k Z ππ=+∈.故答案为.3,4x k k Z ππ=+∈14．已知扇形的圆心角为60°,面积为3π2,则扇形的半径为________．【正确答案】3【分析】根据扇形的面积公式代入,即可得半径.【详解】解:因为扇形面积22π60π3π3603602n r r S === ,解得3r =.故答案为:315．函数()212log 65y x x =-+的单调递增区间为_______.【正确答案】(),2-∞【分析】先由对数函数真数大于零求得()212log 65y x x =-+的定义域，再利用复合函数的的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为()212log 65y x x =-+，所以()()265230x x x x -+=-->，则2x <或3x >，所以()212log 65y x x =-+的定义域为{2x x <或}3x >，又因为265u x x =-+开口向上，对称轴为3x =，所以265u x x =-+在(),2-∞上单调递减，在()3,+∞上单调递增，因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，所以由复合函数的的单调性可知函数()212log 611y x x =-+的单调递增区间为(),2-∞.故答案为.(),2-∞16．如图，OPQ 是半径为2，POQ α∠=的扇形，C 是弧PQ 上的点，ABCD 是扇形的内接矩形，设COP θ∠=，若3cos 5α=，四边形ABCD 面积S 取得最大值，则cos θ的值为_______.【分析】先把矩形的各个边长用角θ表示出来，进而表示出矩形的面积；结合辅助角公式与三角函数的基本关系式即可求得矩形面积最大时角θ的值.【详解】因为在直角OBC △中，COP θ∠=，所以cos cos ,2in 2s sin OB OC BC OC θθθθ====，因为在直角OAD △中，tan ,AD OA α=且3cos 5α=，π02α<<，所以4sin 5α=，sin 4tan cos 3ααα==，所以33332sin 4442tan AD O B A AD C θαθ===⨯==，所以()32cos sin 2sin 2ABCD S S AB BC OB OA BC θθθ⎛⎫==⋅=-⋅=-⨯ ⎪⎝⎭23332sin 23sin 2sin 2(1cos 2)2sin 2cos 2222θθθθθθ=-=--=+-53sin(2)22θϕ=+-，其中43cos ,sin 55j j ==，当sin(2)1θϕ+=时，S 取得最大值，此时43sin 2cos 2155θθ+=，则222283sin cos (cos sin )cos sin 55θθθθθθ+-=+，即2(2sin cos )0θθ-=，即2sin cos θθ=，因为22πsin cos 1,02θθθ+=<<，所以cos 5θ=.故答案为关键点睛：本题的突破口是利用直角三角形中三角函数定义求得四边形ABCD 各边关于θ的表达式，从而利用辅助角公式得解.三、解答题17．已知集合2{|650}A x x x =+->，集合{|[(1)][(1)]0}B x x a x a =---+>，其中0a >．(1)若2a =，求R ()A B ⋂ð﹔(2)设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){|13}x x -<≤(2)(0,2)【分析】（1）把2a =代入集合B ，再由交、并、补集的混合运算得答案；（2）由p ⌝是q 的充分不必要条件，得R A ðB ，，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】（1）2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<，){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+．若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，R {|13}B x x =-≤≤ð，()R {|16}{|13}{|13}A B x x x x x x ∴⋂=-<<⋂-≤≤=-<≤ð；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，R A ð1{|x x =≤-或6}x ≥，则R AðB ，∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<．a ∴的取值范围是(0,2)．18．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(4,3)P -．(1)求cos(π)πsin(π)cos()2ααα+--+的值；(2)若β是第三象限角，且4sin 5β=-，求cos()αβ-的值．【正确答案】(1)23；(2)0.【分析】（1）利用三角函数定义求出α的正余弦，再结合诱导公式计算作答.（2）利用平方关系求出cos β，再用差角的余弦公式计算作答.【详解】（1）依题意，||5OP ==，则34sin ,cos 55αα==-，所以4()cos(π)cos 25π3sin sin 3sin(π)cos()225αααααα--+-===+--+⨯.（2）因为β是第三象限角，且4sin 5β=-，则3cos 5β===-，由（1）知，34sin ,cos 55αα==-，所以4334cos()cos cos sin sin ()()05555αβαβαβ-=+=-⨯-+⨯-=.19．已知,,a b c 是正实数.(1)若42a b ab +=，证明：92a b +≥；(2)证明.a b c ++【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先将42a b ab +=变形成2112b a+=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.（2）由,,a b c 都是正实数，三次利用基本不等式，再相加整理即得.【详解】（1）因为42a b ab +=，0a >，0b >，所以2112b a+=，所以()21255922222b a a b a b b a a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b=且2112b a +=，即3,32a b ==时，等号成立，所以92a b +≥.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以a b +≥，当且仅当a b =时取等号；b c +≥，当且仅当c b =时取等号；c a +≥a c =时取等号；上述三式相加可得2())a b c ++≥，即a b c ++当且仅当a b c ==时，等号成立.所以a b c ++≥20．为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C （单位：万元）与太阳能电池板面积x （单位：平方米）之间的函数关系为()4,010520,10 1m x x C x m x x -⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩（m 为常数）.已知太阳能电池板面积为5平方米时，每年消耗的电费为8万元，安装这种供电设备的工本费为0.5x （单位：万元），记()F x 为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和.(1)求常数m 的值；(2)写出()F x 的解析式；(3)当x 为多少平方米时，()F x 取得最小值？最小值是多少万元？【正确答案】(1)60m =；(2)()1207.5,0108000.5,101x x F x x x x -≤≤⎧⎪=⎨+>⎪-⎩；(3)当41x =平方米时，()F x 有最小值为40.5万元.【分析】（1）代入数据计算即可.（2）()()100.5F x C x x =+，代入解析式化简即可.（3）考虑010x ≤≤和10x >两种情况，分别计算最小值，比较得到答案.【详解】（1）()20585m C -==，解得60m =；（2）()()6041207.5,010100.5,0105100.5800800.5,10100.5,1011x x x x x F x C x x x x x x x x -⎧-≤≤⨯+≤≤⎧⎪⎪⎪=+==⎨⎨+>⎪⎪⨯+>-⎩⎪-⎩，（3）当010x ≤≤时，()1207.5F x x =-，()()min 1045F x F ==；当10x >时，()()5800800.50.5100.11F x x x x x +=+-+=--0.540.5≥=，当()18000.51x x =--，即41x =时等号成立.综上所述：当41x =平方米时，()F x 有最小值为40.5万元.21．已知函数()2sin sin )1f x x x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期及()f x 的单调区间﹔(2)将()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；(3)若8()5f α=，π(0,)3α∈，求cos 2α的值；【正确答案】(1)πT =，单调增区间πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间：π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)1,1⎡⎤⎣⎦【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据三角函数最小正周期、单调区间的求法求得正确答案.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x ，根据三角函数值域的求法求得()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.（3）先求得ππsin 2,cos 266αα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角和的余弦公式求得cos 2α.【详解】（1）()2sin sin )1f x x x x =+-2cos 2sin 1x x x =+-π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.由πππ2π22π262k x k -≤-≤+解得ππππ63k x k -≤≤+，所以()f x 的递增区间是πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+解得π5πππ36k x k +≤≤+，所以()f x 的递减区间是π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）将()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位得到函数()πππ2sin 212sin 21463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，πππ4π0,,2,2333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以ππsin 2,2sin 211,133x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈+-∈⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（3）()π8π42sin 2,sin 26565f ααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππππ0,23662αα<<-<-<，所以π3cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯=22．已知函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数.(1)若a =3，解方程2()()60f x f x +-=；(2)若(2)f x +在区间[,]m n (2)m >-上的值域为[log ,log ]aa p p m n，求实数p 的取值范围.【正确答案】(1)127或9；(2)(1,0)-.【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数与对数函数的关系求出()f x ，把a =3代入解方程作答.（2）根据给定条件，按函数()f x 的单调性分类讨论，再结合一元二次方程的实根分布求解作答.【详解】（1）函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，则()log a f x x =（0a >且1a ≠），当3a =时，3()log f x x =，原方程化为233(log )log 60x x +-=，解得3log 3x =-或3log 2x =，即127=x 或9x =，经检验符合题意，所以原方程的解为127或9.（2）由（1）知()log a f x x =（0a >且1a ≠），当01a <<时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为(2)f x +在区间[,]m n (2)m >-上的值域为[log ,log a a p p m n，于是log (2)log log (2)log a a a a p m n p n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即有22p m n p n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得22mn n p mn m p +=⎧⎨+=⎩，则m n =与m n <矛盾，当1a >时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(2)f x +在区间[,]m n (2)m >-上的值域为[log ,log a a p p m n，于是log (2)log log (2)log aa a a p m m p n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即有22p m m p n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得222020m m p n n p ⎧+-=⎨+-=⎩，因此,m n 是关于t 的一元二次方程2()20g t t t p =+-=在区间(2,)-+∞上的两个不等实根，因此()Δ4402012p g p =+>⎧⎪-=->⎨⎪->-⎩，解得10p -<<，所以实数p 的取值范围是(1,0)-.思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高一上册期末考试数学试题一、单选题1．下列各式中，错误的个数是（）①{0}{0,1,2}∈;②{0,1}={(0,1)};③{0,1,2}∅⊆;④{0}∅=.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据元素与集合的关系以及空集的概念和性质，一一判断，可得答案.【详解】因为{0}是以0为元素的集合，{0,1,2}的元素是0,1,2,故{0}不是{0,1,2}的元素，故①错误；{0,1}是含有两个元素的数集，而{(0,1)}是含有一个元素的点集，二者不相等，②错误；∅是任何集合的子集，故{0,1,2}∅⊆正确，③正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有元素0的集合，二者不相等，④错误，故错误的个数是3个，故选：C2．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b <，则ln ln a b <D ．若a b <，则11a b>【正确答案】A【分析】根据不等式性质可判断A ；举反例可判断B,C,D ,即得答案,【详解】对于A ，若22ac bc >，则20,0c c ≠∴>，则a b >，A 正确；对于B,若a b >,取1,2a b =-=-，则22a b <，B 错误；对于C ，若0a b <<，则ln ,ln a b 无意义，C 错误；对于D,若a b <,1,2a b =-=,则11a b <，D 错误，故选：A3．若一元二次不等式20x ax b ++<的解集为{|12}x x -<<，则a b +=（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【分析】根据一元二次不等式的解集，可得1,2-为方程20x ax b ++=的两实数根，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案.【详解】一元二次不等式20x ax b ++<的解集为{|12}x x -<<,则1,2-为方程20x ax b ++=的两实数根，故12,12,1,2a b a b -+=--⨯=∴=-=-，则3a b +=-，故选：A4．若函数()y f x =的定义域为{22}M x x =-≤≤∣，值域为{02}N y y =≤≤∣，则函数()y f x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】根据函数的定义可以排除C 选项，根据定义域与值域的概念排除A ，D 选项.【详解】对于A 选项，当2(]0,x ∈时，没有对应的图像，不符合题意；对于B 选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C 选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D 选项，值域当中有的元素在集合M 中没有对应的实数，不符合题意.故选：B ．5．已知函数1lg 2102x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，，（），，则()()20f f 等于（）A ．20B ．19C ．2D ．lg2【分析】由分段函数解析式,分别求函数值即可【详解】因为()20lg202lg100f =<=,所以()()()lg20lg201102020lg201021010f f f -====.故选:C .6．函数()()110,1x f x a a a -=+>≠的图象恒过定点（）A ．()1,1B ．()1,2C ．()1,1-D ．()1,2-【正确答案】B【分析】令10x -=，求出x 的值，再代入函数解析式计算可得.【详解】解：因为()()110,1x f x a a a -=+>≠，令10x -=，即1x =，所以()0112f a =+=，即函数的图象过定点()1,2.故选：B7．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ）C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】先求得幂函数的解析式，由解析式得到该函数的单调性，根据1110b a a b>>>>>及单调性得出正确选项.【详解】设幂函数y =f （x ）=xα，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得12α=，∴f （x ）=12x ，∵0<a <b <1，∴1110b a a b >>>>>，∴f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故选A ．本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，考查函数值比较大小，属于基础题.8．设0.443a ⎛⎫= ⎪⎝⎭、0.534b ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()334log log 4c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．c b a<<【正确答案】D【分析】根据指数函数的单调性可判断,a b 的大小，根据对数函数的性质可判断c 的正负，从而可得正确的选项.【详解】因为43⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 为R 上的增函数，且0.40.5>-，故0.40.50.5443334-⎛⎫⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故a b >，又33log 4log 31>=，故()33344log log 4log 10<=，但0.5304⎛⎫> ⎪⎝⎭，故b c >，故a b c >>，故选：D.9．若奇函数()f x 在区间[3,1]--上单调递减，且最小值为5，则()f x 在区间[]13，上（）A ．单调递增且有最大值5-B ．单调递增且有最小值5-C ．单调递减且有最大值5-D ．单调递减且有最小值5-【正确答案】C【分析】根据奇函数的性质结合已知条件可得()f x 在[]13，上单调递减，从而可求出其最值.【详解】因为函数()f x 在区间[3,1]--上单调递减，且最小值为5，所以()15f -=，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在[]13，上单调递减，所以()f x 在[]13，上的最大值为()()115f f =--=-，故选：C10．已知25x y k ==，且211x y+=，则k 的值为（）A B ．C ．10D ．20【正确答案】D【分析】由题意可得25log ,log x k y k ==，然后代入211x y+=中可求出k 的值.【详解】由25x y k ==，得25log ,log x k y k ==，因为211x y+=，所以2521log lo 1g k k+=，所以2log 2log 51k k +=，所以log 4log 5log 201k k k +==，得20k =，故选：D11．已知角α的终边与单位圆的交点为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos αααα-=+（）A ．7-B ．17-C ．17D ．7【正确答案】C【分析】根据题意结合任意角三角函数的定义可求出sin ,cos αα，然后代入求解即可.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点为34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以34cos ,sin 55αα=-=-，所以43sin cos 15543sin cos 755αααα-+-==+--.故选：C12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点(1A ，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为()x y ，，其纵坐标满足πsin 00.2y f t R t t ωϕωϕ==+≥><（）（）（，，）则下列叙述正确的是（）A ．π6ϕ=-B ．当[]030t ∈，时，函数()y f t =单调递增C ．当[]030t ∈，时，点P 到x D ．当50t =时，2PA =【正确答案】D【分析】首先根据条件求函数的解析式，再分别代入选项，判断函数的单调性，以及函数值.【详解】2R =，2π60T ω==，π30ω∴=，当0=t 时，()y f t ==，且||2ϕπ<，π3ϕ∴=-，所以30ππ()2sin 3f t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误;当[0,30]t ∈时，πππ2π,33330t ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[0,30]不是单调递增的，故B 错误;当[0,30]t ∈时，πππ2π,33330t ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f t =在[0,30]的最大值为2，故C 错误;当50t =时，ππ4π3303t -=，此时y =，点(1,P -，(1A ，,2PA =，故D 正确．故选：D二、双空题13．函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则ω=__________，ϕ=__________.【正确答案】2；3π-##13π-【分析】①先由图像求出周期，进而求得2ω=；②由()f x 过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，结合22ππϕ-<<，求出ϕ即可.【详解】①由图知：11521212T ππ=-，可得2T ππω==，解得2ω=；②故()()2sin 2x x f ϕ=+，又()f x 过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，故52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，又22ππϕ-<<，故0,3k πϕ==-.故2；3π-.三、填空题14．已知πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______.【正确答案】13-【分析】根据题意，结合诱导公式以及二倍角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππsin 2sin 2cos 26323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21112sin 1233π6α⎡⎤⎛⎫=--=-+⨯=-⎪⎝+⎢⎥⎭⎣⎦故答案为:13-15．若正实数a 、b 满足3a b +=，则14a b+的最小值为______.【正确答案】3【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】解：因为正实数a 、b 满足3a b +=，所以()14114141553333a a b a b a b a b b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b =，则23b a a b =⎧⎨+=⎩，即1a =，2b =时取等号，即14a b +的最小值为3.故316．若关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x -+--≥解集是空集，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】3(,1]5-【分析】由题意推出22(1)(1)10a x a x -+--<对于x ∈R 恒成立，讨论21a -是否为0，不等于0时，列出相应的不等式，综合讨论结果，即可求得答案.【详解】由题意关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x -+--≥解集是空集，可得22(1)(1)10a x a x -+--<对于x ∈R 恒成立，当210a -=时，1a =±，若1a =，则10-<恒成立，适合题意；若1a =-，则120,12x x -∴->-<，不合题意；当210a -≠时，需满足210a -<且22(1)4(1)0a a ∆=-+-<，解得315a -<<，综合以上可得实数a 的取值范围3(,1]5-，故3(,1]5-四、解答题17．已知全集U =R ，集合{|26}A x x =-<≤，集合()()2{|2330}B x x m x m m =-+++≤.(1)若0m =，求()R A B ð；(2)设p ：x A q ∈；：x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)()()(]R 2,03,6A B =- ð；(2)23m -<≤【分析】（1）求出集合B 后可求()R A B ð.（2）由条件关系可得集合的包含关系，从而可求参数的取值范围.【详解】（1）当0m =时，[]0,3B =，故()()R ,03,B =-∞+∞ ð，故()()(]R 2,03,6A B =- ð.（2）因为p 是q 的必要不充分条件，故,B A B A ⊆≠，而[],3B m m =+，故236m m -<⎧⎨+≤⎩，故23m -<≤18．（1）计算()113441lg 238-⎛⎫⎡⎤+- ⎪⎣⎦⎝⎭（2）已知sin 2cos 2αα+=，求tan α.【正确答案】（1）7；（2）tan 0α=或4tan 3α=.【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解；（2）对sin 2cos 2αα+=两边平方化简，再结合22sin cos 1αα+=和同角三角函数的关系可求得结果.【详解】（1）()113441lg 238-⎛⎫⎡⎤+- ⎪⎣⎦⎝⎭2lg 23=++2lg 51lg 23=++++6(lg 5lg 2)7=++=；（2）因为sin 2cos 2αα+=，所以22sin 4cos 4sin cos 4αααα++=，因为22sin cos 1αα+=，所以2222sin 4cos 4sin cos 4sin cos αααααα++=+，由题意可得cos 0α≠，所以22tan 44tan 4tan 1ααα++=+，化简得23tan 4tan 0αα-=，解得tan 0α=或4tan 3α=.19．已知函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数.(1)求实数m 的值；(2)判断函数()y f x =在[)0,∞+上单调性，并用定义法证明；(3)求函数()y f x =在[]2,1-上的最大值与最小值.【正确答案】(1)0(2)在[)0,∞+上单调递减，证明见解析(3)最大值为1，最小值为15【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；（3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可.【详解】（1）解：因为函数()211mx f x x +=+是R 上的偶函数，所以有()()2211112011mx mx f x f x mx mx mx x x +-+=-⇒=⇒+=-+⇒=++，因为x ∈R ，所以0m =；（2）解：由（1）可知0m =，即()211f x x =+，则()f x 在[)0,∞+上单调递减，理由如下：设12,x x 是[)0,∞+上任意两个实数，且12x x <，即120x x ≤<，则()()()()()()()()()22212121122222221212121111111111x x x x x x f x f x x x x x x x +++--=-==+-+++++，因为120x x ≤<，则210x x +>，210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减；（3）解：由（2）可知：函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，而函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，因为[]2,1x ∈-，又()01f =，()112145f -==+，()112f =，所以()max 1f x =，()min 15f x =.20．已知函数22()log 1)lo ()(g 1f x x x =--+.(1)求函数的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性，并用定义法证明；(3)求不等式()1f x >的解集.【正确答案】(1)()1,1-(2)奇函数，证明见解析(3)11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】(1)根据对数的真数大于零，列出不等式组，求解即可；(2)用定义证明即可求解；(3)利用对数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）要使函数有意义，则有1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<，函数的定义域为()1,1-．（2）函数()f x 为奇函数，证明：由(1)函数的定义域为()1,1-，关于原点对称，又因为22()log (1)log (1)()f x x x f x -=+--=-，所以函数()f x 为奇函数．（3）解不等式()1f x >，即21log 11x x ->+，即221log log 21x x->+，从而有11121x x x-<<⎧⎪-⎨>⎪+⎩，所以113x -<<-．不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．已知函数2cos cos f x x x x a ωωω=-+（）的最小正周期为π，且函数f x （）在R 上的最小值为1.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)πππ,π63k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z (2)3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意，由二倍角公式以及辅助角公式将函数()f x 化简，结合条件求得,a ω的值，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中的函数()f x 的解析式，结合正弦型函数的值域即可得到结果.【详解】（1）因为函数2cos cos f x x x x a ωωω=-+=（）11sin 2cos2222x x a ωω-+-π1sin 262x a ω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．函数()f x 的最小值为1，且x ∈R ，312a ∴-+=，52a ∴=．2ππ,ω12T ω==∴= 即()πsin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由πππ2π22π262k x k -≤-≤+，k ∈Z ，可得ππππ63k x k -≤≤+，k ∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k 轾犏-+犏臌，k ∈Z ．（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即πsin 22,3362x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦函数()f x 的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．已知函数()124x x f x a +=⋅-(1)若函数f x （）的零点是12，求a 的值；(2)设f x （）在区间[]11-，上的最大值为g a （），求g a （）的解析式.【正确答案】(1)2a =(2)()211,421,2244,2a a g a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩【分析】（1）根据函数零点的定义，列出方程即可求得结果；（2）根据题意，将函数()f x 变形，利用换元法，令2x t =，结合二次函数的性质，分类讨论，即可得到结果.【详解】（1）因为函数f x （）的零点是12；则11122124202f a +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭，所以2a =；（2）因为()()2124222x x x x f x a a +=⋅-=-+⋅令2x t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()22212,22h t t at t a a t ⎛⎫=-+=--+≤≤ ⎪⎝⎭，()h t 的图像开口向下，对称轴为t a =，当12a <时，()1124g a h a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当122a ≤≤时，()()2g a h a a ==；当2a >时，()()244g a h a ==-．所以()211,421,2244,2a a g a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩．。
高一数学上学期期末试题及答案
高一数学上学期期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. -2C. 1D. 22. 函数y=x^3-3x^2+2的导数为：A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-6x^2+63. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x>0}，则A∩B的元素个数为：A. 0C. 2D. 无数个4. 以下哪个不是等差数列：A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 1, 4, 7, 105. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)6. 若a, b, c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为：A. 2C. 7D. 147. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2(x)B. y=2^(-x)C. y=-2^xD. y=x^(1/2)8. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a+b的坐标为：A. (5, 3)B. (1, 3)C. (5, -3)D. (1, -3)9. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (3, 1)C. (-3, 1)D. (-3, -1)10. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
12. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则a5=________。
13. 已知向量a=(1, 2)，b=(3, -2)，则向量a·b=________。
高一数学上册期末试卷（附答案）
高一数学上册期末试卷（附答案）高一数学期末考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的定义域为( )A.( ,1)B.( ,∞)C.(1，+∞ )D.( ,1)∪( 1，+∞)2.以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为( )A.( ，1，1)B.(1，，1)C.(1，1， )D.( ，，1)3.若，，，则与的位置关系为( )A.相交B.平行或异面C.异面D.平行4.如果直线同时平行于直线，则的值为( )A. B.C. D.5.设，则的大小关系是( )A. B. C. D.6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则直线EF与CD所成的角为( )A.45°B.30°C.60°D.90°7.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.圆：和圆：交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )A. B.C. D.9.已知，则直线与圆的位置关系是( )A.相交但不过圆心B.过圆心C.相切D.相离10.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.28+65B.60+125C.56+125D.30+6511.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.12.已知直线与函数的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若是奇函数，则 .14.已知，则 .15.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3 cm，则球的体积是 .16.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥D-ABC的体积是26.其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题10分)根据下列条件，求直线的方程：(1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1;(2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0.18.(本小题12分)已知且，若函数在区间的最大值为10，求的值.19.(本小题12分)定义在上的函数满足 ,且 .若是上的减函数，求实数的取值范围.20.(本小题12分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱) 中，，分别是棱上的点(点不同于点 )，且为的中点.求证：(1)平面平面 ;(2)直线平面 .21.(本小题12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形A BCD所在的平面，BC=22，M为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM;(2)求二面角P-AM-D的大小.22.(本小题12分)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程.(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.高一数学期末考试试题答案一、选择题ACBAD BDCAD BC二、填空题13. 14.13 15. 16.①②三、解答题17.(本小题10分)(1)x+2y-2=0或2x+y+2=0.(2)3x-y+2=0.18.(本小题12分)当0当x=-1时，函数f(x)取得最大值，则由2a-1-5=10，得a=215，当a>1时，f(x)在[-1，2]上是增函数，当x=2时，函数取得最大值，则由2a2-5=10，得a=302或a=-302(舍)，综上所述，a=215或302.19.(本小题12分)由f(1-a)+f(1-2a)<0，得f(1-a)<-f(1-2a).∵f(-x)=-f(x)，x∈(-1,1)，∴f(1-a)又∵f(x)是(-1,1)上的减函数，∴-1<1-a<1，-1<1-2a<1，1-a>2a-1，解得0故实数a的取值范围是0，23.20.(本小题12分)(1)∵ 是直三棱柱，∴ 平面。
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高一数学期末复习测试题一姓名: 班级:一、选择题: 本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、若),1,3(),2,1(-==b a 则=-b a 2 （ ）A 、 )3,5(B 、 )1,5(C 、 )3,1(-D 、 )3,5(-- 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度。
A 、 1B 、 2C 、3 D. 43、如图是函数f (x)sin(x )=+ϕ一个周期内的图像，则ϕ可能等于 （ ） A 、 56π B 、C 、 6π- D 、6π 4．化简结果是（ ）A B 、 C 、-5、 已知函数f (x)sin(x )cos(x )=+ϕ++ϕ为奇函数，则ϕ的一个取值为（ ） A 、0 B 、2πC 、4π- D 、π6.把函数742++=x x y 的图像按向量a 经过一次平移以后得到2x y =的图像，则a 是A 、 )3,2(-B 、 )3,2(-C 、 )3,2(--D 、 )3,2(7.设),6,2(),3,4(21--P P 且P 在21P P 的延长线上，=则点P 的坐标是A 、)15,8(-B 、 (0,3)C 、)415,21(- D 、)23,1( 8.函数44f (x)sin(x)sin(x)ππ=+-是（ ）A 、周期为2π的奇函数B 、周期为2π的偶函数C 、周期为π的奇函数D 、周期为π的偶函数 9. 若为则ABC AB BC AB ∆=+•,02（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰直角三角形 10.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y （每平方面积的价格，单位为元）与第x 季度之间近似满足：y 500sin(x )9500(0)=ω+ϕ+ω>，已知第一、二季度平均单价如右表所示： 则此楼群在第三季度的平均单价大约是（ ）元A 、 10000B 、 9500C 、9000D 、8500二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上. 11、已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为 ； 12、m,n a 2m a n,|a |=⊥=设是两个单位向量，向量-n ，则 ； 13、函数y cos 2x 4cos x,x [,]32ππ=-∈-的值域是 ； 14、在三角形ABC 中，设a =AB ，b =AC ，点D 在线段BC 上，且DC BD 3=，则AD 用b ,a 表示为 ；15、已知偶函数f (x)2sin(x )(0,0)=ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期是π，则f(x)的单调递减区间为 ； 16、下列命题：①若c a c b b a =⋅=⋅，则 ②若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量：-=+，则0=⋅b a ④若a 与b 是单位向量，则1=⋅b a 其中真命题的序号为 。
三、 解答题：本大题共4小题，满分46分.17. （本小题满分10分）已知21()sin(2)cos(2)cos 263f x x x x ππ=-+-+-+ .（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间5[,]88ππ上的最大值，并求出f(x)取最大值时x 的值.18．（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知31tan ,21tan ==B A 且最长边为1.（1）求角C ；（2）求△ABC 的面积S.19、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A （3，0），B （0，3），C (sin ,cos )αα，其中322π<α<π，（1）若AC BC =，求角α的值；（2）若AC BC 1=-，求22sin sin 21tan α+α+α的值。
20、（本小题满分12分）设ABC ∆的外心为O ，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC 、OD 为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H 。
（1）若，，，c OC b OB a OA ===用OHc b a 表示、、 ；（2）求证：BC AH ⊥；（3）设ABC ∆中，，，004560=∠=∠B A 外接圆半径为R ，用R 表示.(外心是三角形外接圆的圆心)高一数学期末复习试题二姓名: 班级: 学号:一、选择题（每小题4分，共40分）1．时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 ( ) A 、π34B 、π92 C 、 π92- D 、π34-2．在平行四边形ABCD 中，M 为上任一点，则AM DM DB -+等于 ( )(A )(B )(C )(D )3．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．64．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,122PP PP =, 则P点坐标为（ )A ．(－2,11)B ．()3,34C ．(32,3) D ．(2,－7)5．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-； ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-； ③ 若(,0)ma mb m R m =∈≠，则a b =；④ 若(0)ma na a =≠，则m n =.其中正确的命题个数是 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )46．已知123()AB e e =+，12CB e e =-，122CD e e =+，则下列关系一定成立的是( )(A )A ，B ，C 三点共线 (B )A ，B ，D 三点共线(C )A ，C ，D 三点共线 (D )B ，C ，D 三点共线 7．已知53)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（ ）AB→BC → AB→AC→AD→A ．54- B ．54 C ．54± D ．538．若函数)cos(3)(ϕω+=x x f 对任意x 都有)6()6(x f x f +=-ππ，则)6(πf 值为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0 9．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形10．设α、β、γ∈R ，且βγαsin sin sin =+，βγαcos cos cos =+，则βα-（ ）A ．3π- B ．6π C ．33ππ-或 D ． 3π二、填空题( 每小题4分，共16分 )11．已知）若（b a k b a 2),3,(),1,2(+==∥），（b a -2 则k 的___________________.12. 函数)3cos(π+-=x y 的增区间________________________。
13．把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数是 .14．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于______________________.三、解答题（第15题10分，第16,17题各11分，第18题12分,） 15．已知ABC ∆中，(3,1),(7,),(5,7)A B y C -，且重心(,4)G x ，,x y R ∈。
⑴ 求,x y 的值； ⑵ 若线段BC 的三等分点依次为M ，N ，求,AM AN 的坐标； 16．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,3ππx （1）求函数x y cos =的值域； （2）求函数4cos 4sin 32+--=x x y 的最大值和最小值. 17．已知1027)4sin(=-πα，2572cos =α， （1）求ααcos sin +的值；（2）求)3tan(πα+的值.18．已知3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（1）化简)(x f 的解析式；（2）若πθ≤≤0，求θ使函数)(x f 为奇函数；（3）在（2）成立的条件下，求满足[]ππ,,1)(-∈=x x f 的x 的集合.19。
已知关于x 的方程4x 2-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值.20.已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小高一数学期末复习题三 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于（ ）. A ．9B ．1C ．－9D ．－12．函数x x y cos sin =是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数3．定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗b a b b a a b a ,,，令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是（ ）（ ） A ．45 B ．1 C．1-D ．45-4．设ααααα则锐角若,),sin 451,(cos ),sin ,(cos b a b a ⊥-==为（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°(2008)++f C ．1 D 6．已知3)6sin(=+α，则)23cos(α-的值等于（ ） A ．97B ．31C ．97-D ．31-7．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ） A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)4sin(2)(π+=x x fD ．)4321sin(4)(π+=x x f 8．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ）. A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．]4,3[sin 2)(ππωω-=在区间是正实数，函数x x f 上递增，那么 ( ) A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω10．已知非零向量,22||||,0||||(,=⋅=⋅+BC AC BC AC BC AC AC AB AB BC AC AB 满足和 则△ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形 D ．等腰直角三角形11．设1(1,)2OM=，()0,1ON =为坐标原点，动点(),P x y 满足01OP OM ≤•≤，01OP ON ≤•≤，则z y x =-的最大值是（ ）A ．－1B ． 1C ．－2D ．3212．函数()22242cos x x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为N ，则（ ）A 、4M N -=；B 、4M N +=；C 、2M N -=；D 、2M N +=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）13．已知,0>a 若平面上的三点),3(),,2(),,1(32a C a B a A -共线,则=a 14．通过观察所给两等式的规律， ①;23150sin 90sin 30sin 222=︒+︒+︒请你写出一个（包含下面两命题）一般性的命题： ．15．已知向量a =（2,3）,b =（－4,7）,则a 在b 方向上的投影为___________. 16．已知向量()2cos ,2sin a αα=,()3cos ,3sin b ββ=,其夹角为60°,则直线1cos sin 02x y αα-+=与圆()()221cos sin 2x y ββ-++=的位置关系是 ．三．解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 2cos sin 3sin )(22.（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间;（2）函数)(x f 的图像可以由函数)(2sin R x x y ∈=的图像经过怎样的变换得到? 18．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||BC AC =求角α的值；（II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且2sin 2)2cos(12C B A +=++π.(Ⅰ)求角A 的大小；（Ⅱ）当6a =时,求其面积的最大值,并判断此时ABC ∆的形状。