天津市高二下学期期末数学试卷
天津市高二下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则∁IA∪∁IB=（）
A . {0}
B . {0，1}
C . {0，1，4}
D . {0，1，2，3，4}
2. （2分） (2016高一上·吉林期中) 三个数60.7 ，（0.7）6 ， log0.76的大小顺序是（）
A . （0.7）6＜log0.76＜60.7
B . （0.7）6＜60.7＜log0.76
C . log0.76＜60.7＜（0.7）6
D . log0.76＜（0.7）6＜60.7
3. （2分）已知函数f（x）=ln|x﹣2|﹣|x﹣2|，则它的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）已知m＞0，n＞0，在（1+mx）3+（1+ nx）2的展开式中，当x2项系数为3时，则m+n的最大值为（）
A .
B .
C . 2
D . 2
5. （2分）下面说法中正确的是（）
A . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值
B . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平
C . 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平
D . 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值
6. （2分）已知函数，则f（2）=（）
A . 9
B . 3
C . 0
D . -2
7. （2分） (2016高二下·漯河期末) 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（）种．
A . 240
B . 180
C . 150
D . 540
8. （2分）下列命题中的假命题是（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
二、填空题 (共7题；共18分)
9. （10分） (2016高一上·慈溪期中) 计算下列各式的值：（写出化简过程）
（1）；
（2）．
10. （1分）(2017·河北模拟) （x2﹣）8的展开式中x7的系数为________（用数字作答）
11. （1分） (2016高一上·兴国期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）满足f（x+π）=f（x），当[0，）时，f（x）=tanx，则f（）=________．
12. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 下图中共有________个矩形.
13. （1分）(2017·上海) 已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3 ，④y=x ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．
14. （3分） (2019高一上·汪清月考) 图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间之间的函数关系的图像，根据图像判断：通话，需付电话费________元；通话，需付电话费________元；如果，电话费（元）与通话时间之间的函数关系式是________．
15. （1分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为________．
三、解答题 (共5题；共40分)
16. （10分） (2017高二下·蚌埠期末) 已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N*）
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
17. （5分） (2017高二下·咸阳期末) 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
18. （10分） (2016高一上·哈尔滨期中) 已知二次函数f（x）=x2+bx+c，且f（﹣3）=f（1），f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最值．
19. （5分） (2016·北区模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e= ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，与圆x2+y2= 相切于点M．
（i）证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（ii）设λ= ，求实数λ的取值范围．
20. （10分） (2018高二下·石嘴山期末) 已知函数 .
（1）求曲线在点（0,f(0)）处的切线方程；
（2）求函数在区间[0， ]上的最大值和最小值.
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共7题；共18分)
9-1、
9-2、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、
16-2、
17-1、
18-1、
18-2、
20-1、
20-2、
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天津市部分区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
故选：C. 3．C 【分析】根据样本相关系数，回归直线方程，相关指数和残差的概念判断即可．
【详解】对于 A 选项，样本相关系数 r 来刻画成对样本数据的相关程度，当 r 越大，则成 对样本数据的线性相关程度越强，故 A 正确；
天津市部分区 2022-2023 学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．在下列各散点图中，两个变量具有正相关关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设全集U = {-2, -1, 0,1, 2} ， A = {-2, -1,0} ， B = {0,1, 2} ，则 (ðU A) Ç B = （ ）
的三位数，这样的三位数共有（ ）
A．24 个
B．36 个
C．48 个
D．54 个
8．已知每门大炮击中目标的概率都是 0.5，现有 10 门大炮同时对某一目标各射击一次．
记恰好击中目标 3 次的概率为 A；若击中目标记 2 分，记 10 门大炮总得分的期望值为
B，则 A，B 的值分别为（ ）
A． 15 ，5 128
【分析】求导
f ¢(x) =
2 x
，可得斜率 k
=
f ¢(1) = 2 ，进而得出切线的点斜式方程.
【详解】由
y
=
f
( x)
=
2 ln
x ，得
f
¢( x )
=
2 x
，
则曲线 y = 2 ln x 在点 (1, 0) 处的切线的斜率为 k = f ¢(1) = 2 ，
2022-2023学年天津市西青区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（ ） A ．20种B ．10种C ．21种D ．36种2．下列函数求导正确的是（ ） A ．(1x )′=1x 2B ．（cos x ）'＝sin xC ．（e ﹣x ）′＝e ﹣x D ．（2x 3+x 2）′＝6x 2+2x3．已知随机变量ξ的分布列为P （ξ＝k ）＝mk （k ＝1，2，3，4，5），则实数m ＝（ ） A ．15B ．110C ．115D ．1204．某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A ．14种B ．48种C ．72种D ．120种5．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则P （B |A ）＝（ ） A ．1011B ．56C ．12D ．5126．已知函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）A ．B ．C．D．7．在(√x−1)n的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（）x①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④x﹣3的系数为15．A．4B．3C．2D．18．下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（）A．在儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程y=28.957+0.839x中，若父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加约0.839cmB．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r就越接近于1D．若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好9．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≥4）＝0.2，则P（0＜X＜2）＝（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.810．已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）＝2023，若对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），则不等式f（x）＜2023e x的解集为（），+∞)A．（0，+∞）B．(2023e2C．(−∞，2023)D．（﹣∞，0）e2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．函数f(x)=2x−1在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为．x+212．已知随机变量X服从两点分布，P（X＝1）＝2P（X＝0），则P（X＝0）＝，若随机变量η～B（4，P（X＝0）），则E（η）＝．13．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特1名专家．则分派方法的种数为 ．（用数字作答） 14．（x +1x ）（2x −1x ）5的展开式中，常数项为 ．15．主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85；如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水．那么主人出差回来树还活着的概率为 ．16．已知函数f(x)={8x −m ，x ≤12xe x −2mx +m ，x ＞12（e 是自然对数底数）在定义域R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．17．（12分）今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d（Ⅰ）完成上面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）（Ⅱ）从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数ξ的分布列和数学期望． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3−ax +4在x ＝2处有极值． （Ⅰ）求a 的值并判断x ＝2是极大值点还是极小值点； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，3]上的最值．19．（12分）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲以3：1的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望． 20．（14分）已知函数f （x ）＝alnx +x 2，（a ∈R 且a ≠0） （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）当a ＝1时，证明：f （x ）≤x 2+x ﹣1；（Ⅲ）g(x)=f(x)a −x 2a +ax ，若g （x ）≥2在x ∈（0，e 2]上恒成立，求实数a 取值范围．2022-2023学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答．有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有（ ） A ．20种B ．10种C ．21种D ．36种解：根据分类加法计数原理得：不同的选法共有3+4+3＝10（种）． 故选：B ．2．下列函数求导正确的是（ ） A ．(1x)′=1x 2B ．（cos x ）'＝sin xC ．（e ﹣x ）′＝e ﹣xD ．（2x 3+x 2）′＝6x 2+2x解：对于A ，（1x）′＝（x ﹣1）′＝﹣x ﹣2=−1x 2，A 错误； 对于B ，（cos x ）′＝﹣sin x ，B 错误； 对于C ，（e ﹣x ）′＝﹣e ﹣x ，C 错误；对于D ，（log 2x ）′=1xln2，D 正确； 故选：D ．3．已知随机变量ξ的分布列为P （ξ＝k ）＝mk （k ＝1，2，3，4，5），则实数m ＝（ ） A ．15B ．110C ．115D ．120解：∵随机变量ξ的分布列为P （ξ＝k ）＝mk （k ＝1，2，3，4，5）， ∴m +2m +3m +4m +5m ＝1，解得实数m =115． 故选：C ．4．某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A ．14种B ．48种C ．72种D ．120种解：先排最后一首歌有C 21=2，然后从剩余5个歌曲中，选3个进行排列，则共有C 21A 53=120种．故选：D ．5．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则P （B |A ）＝（ ）A ．1011B ．56C ．12D ．512解：由题知，事件A 出现的情况有6×6﹣6＝30种，事件A ，B 同时出现的情况有3×5＝15种，所以P （AB ）=1536，P （A ）=3036，P （B |A ）=P(AB)P(A)=15363036=12． 故选：C ．6．已知函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由f （x ）的图象可知，函数f （x ）先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快， 由导数的几何意义可知，f '（x ）先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A ． 故选：A ．7．在(√x −1x )n 的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32； ②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④x﹣3的系数为15．A．4B．3C．2D．1解：∵在(√x−1x)n的展开式中共有7项，∴n+1＝7，n＝6．故二项式系数之和为26＝64，故①错误．令x＝1，可得各项系数之和为0，故②正确．根据n＝6可得，当r＝3时，二项式系数最大，即第四项的二项式系数最大，故③正确．在通项公式T r+1=C6r•（﹣1）r•x3−3r2中，令3−3r2=−3，求得r＝4，可得x﹣3的系数为C64=15，故④正确．故选：B．8．下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（）A．在儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程y=28.957+0.839x中，若父亲身高每增加1cm，其儿子身高平均增加约0.839cmB．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r就越接近于1D．若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好解：对于A，父亲每增加1cm，则儿子身高平均值增加约0.838cm，故A正确，对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误，对于C，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误，对于D，R2是描述拟合效果的，R2越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误．故选：A．9．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≥4）＝0.2，则P（0＜X＜2）＝（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.8解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≥4）＝0.2，∴P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.5﹣0.2＝0.3．故选：B．10．已知可导函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）＝2023，若对任意的x∈R，都有f（x）＜f'（x），则不等式f（x）＜2023e x的解集为（）A．（0，+∞）B．(2023e2，+∞)C ．(−∞，2023e 2) D ．（﹣∞，0）解：令F （x ）=f(x)e x， F ′（x ）=f′(x)e x −e x f(x)(e x )2=f′(x)−f(x)e x， 因为对任意的x ∈R ，都有f （x ）＜f '（x ）， 所以对任意的x ∈R ，都有f '（x ）﹣f （x ）＞0，所以对任意的x ∈R ，都有F '（x ）＞0，F （x ）单调递增， 不等式f （x ）＜2023e x 可化为f(x)e x＜2023，进而可得f(x)e x＜f(0)e 0，所以F （x ）＜F （0）， 所以x ＜0， 故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸相应的横线上． 11．函数f(x)=2x−1x+2在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为 y ＝5x +2 ． 解：由f(x)=2x−1x+2，得f ′（x ）=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2， ∴f ′（﹣1）＝5， 则函数f(x)=2x−1x+2在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为y ＝5（x +1）﹣3， 即y ＝5x +2． 故答案为：y ＝5x +2．12．已知随机变量X 服从两点分布，P （X ＝1）＝2P （X ＝0），则P （X ＝0）＝ 13，若随机变量η～B（4，P （X ＝0）），则E （η）＝43．解：根据题意，随机变量X 服从两点分布，P （X ＝1）＝2P （X ＝0）， 而P （X ＝1）+P （X ＝0）＝1，解可得P （X ＝0）=13， 若随机变量η～B （4，13），则E （η）＝4×13=43． 故答案为：13；43．13．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派特1名专家．则分派方法的种数为 36 ．（用数字作答）解：4人选2人1组，有C 42种，然后进行全排列有C 42A 33=6×6＝36种，故答案为：36．14．（x +1x）（2x −1x）5的展开式中，常数项为 40 ．解：（x +1x ）（2x −1x ）5＝（x +1x ）（ 32x 5﹣80x 3+80x ﹣40•1x+10•1x 3−1x 5），∴常数项为﹣40+80＝40， 故答案为：40．15．主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85；如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水．那么主人出差回来树还活着的概率为 0.145 ． 解：由题意，邻居浇水树死的概率为0.9×（1﹣0.85）＝0.135， 邻居不浇水树死的概率为（1﹣0.9）×（1﹣0.2）＝0.08， 则树死亡的概率为0.135+0.08＝0.215，那么主人出差回来树还活着的概率为1﹣0.215＝0.785． 故答案为：0.785．16．已知函数f(x)={8x −m，x ≤12xe x −2mx +m ，x ＞12（e 是自然对数底数）在定义域R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是 （e ，4] ．解：当x ≤12时，由8x ﹣m ＝0，可得x =m8，当x ＞12时，由xe x﹣2mx +m ＝0，可得m =xe x 2x−1，令g （x ）=xe x 2x−1，x ＞12， 则g ′（x ）=(2x+1)(x−1)(2x−1)2•e x ，所以当x ∈（12，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增； 所以g （x ）极小值＝g （1）＝e ，所以当m ＞e 时，f （x ）在区间（12，+∞）上有两个零点，由于f （x ）在R 上有三个零点， 所以m 8≤12，解得m ≤4．综上所述，m 的取值范围是（e ，4]． 故答案为：（e ，4]．三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．17．（12分）今年是中国共产党建党102周年，为庆祝中国共产党成立102周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史，知奋进”党史知识克赛活动，设置一、二、三等奖若干名，为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：附：参考公式：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d（Ⅰ）完成上面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，能否认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）（Ⅱ）从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”，在某次活动中，从这6名学生中随机选取3人为宣讲员，求男生宣讲员人数ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）2×2列联表：则x2=50(4×12−14×20)224×26×18×32≈7.5＞6.635，故依据α＝0.01的独立性检验，能认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（Ⅱ）若从选修历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生，再这6名学生中随机选取3人，可得男生宣讲员人数ξ的所有取值为0，1，2，此时P(ξ=0)=C43C63=15，P(ξ=1)=C21C42C63=35，P(ξ=2)=C22C41C63=15故ξ的分布列为：则E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3−ax +4在x ＝2处有极值．（Ⅰ）求a 的值并判断x ＝2是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，3]上的最值．解：（Ⅰ）f ′（x ）＝x 2﹣a ，若函数f （x ）在x ＝2时取得极值，则f ′（2）＝4﹣a ＝0，解得：a ＝4，a ＝4时，f ′（x ）＝（x +2）（x ﹣2），令f ′（x ）＞0，解得：x ＞2或x ＜﹣2，令f ′（x ）＜0，解得：﹣2＜x ＜2，∴f （x ）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增；∴x ＝2是极小值点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f （x ）=13x 3﹣4x +4，f （x ）在[0，2）递减，在（2，3]递增，∴f （x ）在最小值是f （2）=−43，f （x ）的最大值是f （0）＝4．19．（12分）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲以3：1的比分获胜的概率；（Ⅱ）设X 表示比赛结束时进行的总局数，求X 的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）甲以3：1的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，概率为：P =C 32⋅(23)2⋅13⋅23=827；（Ⅱ）X 可能的取值为3，4，5，P(X =3)=(23)3+(13)3=13；P(X =4)=827+C 32⋅(13)2⋅23⋅13=1027；P(X =5)=1−13−1027=827； X 的分布列为：E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727． 20．（14分）已知函数f （x ）＝alnx +x 2，（a ∈R 且a ≠0）（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）当a ＝1时，证明：f （x ）≤x 2+x ﹣1；（Ⅲ）g(x)=f(x)a −x 2a +a x，若g （x ）≥2在x ∈（0，e 2]上恒成立，求实数a 取值范围． 解：（Ⅰ）f （x ）＝alnx +x 2，x ＞0，f ′（x ）=a x +2x =a+2x 2x， 当a ＞0时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当a ＜0时，令f ′（x ）＝0得x =√−2a 2或−√−2a 2（舍去）， 所以在（0，√−2a 2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 在（√−2a 2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 综上所述，当a ＞0时，f （x ）在R 上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，√−2a 2）上单调递减，在（√−2a 2，+∞）上单调递增． （Ⅱ）证明：当a ＝1时，f （x ）＝lnx +x 2，x ＞0，要证明lnx +x 2≤x 2+x ﹣1，需要证明lnx ﹣x +1≤0，令g （x ）＝lnx ﹣x +1，x ＞0，g ′（x ）=1x −1=1−xx ，令g ′（x ）＝0得x ＝1，所以在（0，1）上g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，在（1，+∞）上g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0，所以lnx ﹣x +1≤0，得证．（Ⅲ）g （x ）=f(x)a −x 2a +a x =alnx+x 2a −x 2a +a x =lnx +a x， 若g （x ）≥2在[0，e 2]上恒成立，则lnx +a x ≥2在[0，e 2]上恒成立，所以a ≥2x ﹣xlnx 在[0，e 2]上恒成立，令h （x ）＝2x ﹣xlnx ，x ∈[0，e 2]，h ′（x ）＝2﹣（lnx +x •1x ）＝2﹣（lnx +1）＝1﹣lnx ， 令h ′（x ）＝0得x ＝e ，所以在（0，e ）上h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 在（e ，+∞）上h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 所以h （x ）max ＝h （e ）＝2e ﹣elne ＝e ，所以a ≥e ，所以a 的取值范围为[e ，+∞）．。
2023-2024学年天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x ∈Z |−1<x <5}，N ={x |1<x <3}，则M ∩N =( )A. {x |−1<x <5}B. {x |1<x <3}C. {1,2,3}D. {2}2.设函数f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y =4x−3，则lim Δx→0f (1+Δx )−f (1)Δx =( )A. 1B. 2C. 3D. 43.若p:k =1，q:函数f (x )=ln kx−1x +k 为奇函数，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f (x )=2e 2x −e 3x 的图象大致为( )A. B.C. D.5.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格(单位：百元)与该商品消费者年需求量(单位：千克)的散点图.若去掉图中右下方的点A 后，下列说法正确的是( )A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小6.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )A. 93%B. 93.5%C. 94%D. 94.5%7.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是( )A. 72B. 78C. 68D. 808.已知f(x)为R上偶函数，且对∀x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，若a=f(ln1e) ,b=f(sin1),c=f(2−1.1)则( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. b<c<a9.已知函数f(x)={|4x−1|,x≤1x2−6x+8,x>1，若方程2[f(x)]2−(a+2)f(x)+a=0有7个不同的实根，则实数a的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,2]C. (−1,1)D. (−1,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市名校 高二下学期期末考试数学试题(Word版含答案)
天津市名校2021-2022学年高二下学期期末考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9题，每小题4分，共36分．━、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|20,0,1,2A x x x B ≥=-=，则AB = （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．设命题2:,0p x R x x ∀∈+≥，则p ⌝为（ ） A ．2,0x R x x ∀∈+< B ．2,0x R x x ∃∈+< C ．2,0x R x x ∀∈+≤ D ．2,0x R x x ∃∈+≥ 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．xy e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x = 4．“12x -<成立”是“()30x x -<成立”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数()22ln g x x x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ） A ．15 B ．14 C ．45 D ．1107．某学校组织学生参加英语测试，成绩频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60,[)[]60,80,80,100若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60 8．已知a 2121log ,ln 2,log 3a ebc ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>9．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ．若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．10．计算：25C =_________．11．函数()()()()1000 10x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是__________． 12．在5(1)x -的展开式中，含3x 的系数是__________．（用数字填写） 13．已知2x >，函数42y x x =+-的最小值是___________． 14．在A ，B ，C ，D 四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法_______种． 15．已知()()()0.6,0.8,0.7|P A P B P A B ===，则()|P B A =__________．三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分10分）在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中．（I ）求第3项；（II ）求含1x项的系数． 17．（本小题满分10分） 已知数字1，2，3，4，5．（I ）可以组成多少个没有重复数字的五位数； （II ）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数． 18．（本小题满分10分）某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为231,,342，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．（I ）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率． （Ⅱ）求该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列和期望． 19．（本小题满分10分）已知函数()af x x x=+有如下性质，如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（I ）如果函数()2bf x x x=+在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求实常数b 的值；（Ⅱ）设常数[]1,4c ∈，求函数()()12cf x x x x=+≤≤的最大值与最小值． 高二数学参考答案二、填空题每题5分10．10 11．12 12．10 13．6 14．12 15．1415三、解答题16．（本小题满分10分） 解．（I ）因为81822kkkk T C xx -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 2分 即22621822T C x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 3分 所以23112T x =； 4分（II ）因为81822kk k k T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()8182k k k k T C x -+=-， 6分又831k -=-，得3k =， 8分 所以311448T x +=-，即含1x项的系数为448- 10分 17﹒（本小题满分10分）（I ）由题意可得55A ，得120个； 4分 （II ）由题意可得1424C A ，得48个． 10分 18．（本小题满分10分）（I ）该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率231111134224⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 （II ）该同学取得优秀成绩的课程数X 的分布列：期望()12E X =10分 19．（本小题满分10分）（I 4,16a ==，由2,4ba b ==， 4分（Ⅱ）因为()f x 在⎡⎣上是减函数，2⎤⎦上是增函数， 6分当[)1,2c ∈时，()max min 22,2cf f =+=， 8分当[]2,4c ∈时，()max min11,f c f =+= 10分。
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年天津市部分区高二下学期期末数学试题一、单选题1．如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】D【分析】由相关系数的强弱关系求解即可【详解】由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下四组数据的相关系数最大． 故选：D2．已知2C 6n =，则n 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】()21C 6621n n n -=⇒=⨯，化简得：2120n n --=，解得：4n =或3n =-（舍去）.故选：B3．下列说法中错误的是（ ）A ．设()20,N ξσ~，且1(2)4P ξ<-=，则1(02)2P ξ<<= B ．经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x yC ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D ．若变量x 和y 满足关系10.3y x =-，且变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关 【答案】A【分析】选项A 根据正态曲线的对称性求解；选项B 由经验回归方程可以判断；选项C 根据线性相关系数的定义判断；选项D 根据两个变量的相关关系进行判断. 【详解】对于A ，正态曲线关于0x =对称，则(2)(2)P P ξξ<-=>，则1(22)12(2)2P P ξξ-<<=-<-=，则1(02)4P ξ<<=，所以A 错误； 对于B ，经验回归方程过成对样本数据的中心点(),x y ，B 正确； 对于C ，||r 越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，C 正确； 对于D ，10.3y x =-，则x 与y 负相关，所以x 与z 负相关，D 正确. 故选：A.4．下列运算正确的个数是（ ） ①ππsin cos 77'⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()155x x x -'=⋅；③()31log ln3x x '=；④()545x x '=. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.【详解】①πsin 07'⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以该运算错误；②()55ln 5x x '=，所以该运算错误；③()31log ln3x x '=，所以该运算正确；④()545x x '=，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B.5．在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（ ）A ．15B ．6C ．6-D ．15-【答案】C【分析】写出通项公式，令x 的指数为4，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()6621661C C 1--+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭kk k k kk k T x x x ，令624k -=，解得1k =，因此，展开式中4x 的系数是()116C 16⋅-=-. 故选：C.6．某校从高一、高二、高三三个年级中各选派10名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为5、6、7，观看后学校在选派的30名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为（ ） A ．730B ．13C ．1130D ．718【答案】D【分析】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:A 选取一名同学为女同学，记事件:B 选取的同学来自高三， 则()5673305P A ++==，()730P AB =，因此，()()()75730318P AB P B A P A ==⨯=. 故选：D.7．随机变量X 的分布列为若() 1.1E X =，则()D X =（ ）A ．0.49 B ．0.69 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得,n m 的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：131510n ++=，解得：12n =；()11301 1.15210E X m ∴=⨯+⨯+⨯=，2m ∴=；()()()()2221130 1.11 1.12 1.10.495210D X ∴=-⨯+-⨯+-⨯=.故选：A.8．在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（ ） A ．48B ．24C ．16D ．8【答案】C【分析】根据排列组合的特点依照题意列式即可求解【详解】有题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品一件次品，第三次又是次品，所以第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数为：111242C C C 16=种，故选：C9．已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】画出()()、-f x f x 的图象， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要使()()f x f x =-恰有5个零点， ln y x =与y ax =-的图象必需有两个交点，求出ln y x =与y ax =-相切时a 的值可得答案.【详解】因为()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以(),0ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，()(),0ln ,0ax x f x x x -≥⎧-=⎨-<⎩，因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，所以()()、-f x f x 的图象恰有5个交点，画出()()、-f x f x 的图象，由图象可得， 因为y ax =与y ax =-，ln y x =与()ln y x =-的图象关于y 轴对称， 且y ax =与y ax =-交于原点，要恰有5个零点，则y ax =与()ln y x =-，ln y x =与y ax =-的图象必有两个交点， 当ln y x =与y ax =-的图象相切时，设切点(),m n ， 此时切线的斜率为11'===ny x m m，可得1n =，1ln =m 得e m =，所以切点()e,1， 即1ea -=，交点1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题10．曲线e 1x y =+在点()0,2处的切线方程为___________. 【答案】2y x =+【分析】求导得e x y '=，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得e x y '=，故切线的斜率为0e 1=， 故切线方程为21(0)y x -=-， 即2y x =+． 故答案为：2y x =+ 11．设随机变量16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭ξ，则()2P ξ=等于___________. 【答案】1564【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得解. 【详解】解：因为随机变量16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ， 所以()242611152C 12264P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1564. 12．已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为___________. 【答案】1645【分析】根据古典概型，结合组合数公式求解即可.【详解】从10名同学中任选2人，共有210C 45=种取法，其中恰好选取1名女生的取法有1182C C 16=种，故恰好选取1名女生的概率为1645P =. 故答案为：164513．根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为9,30下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为___________. 【答案】89【分析】设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，得到()P A ，()P AB ，结合()(|)()P AB P B A P A =，即可求解. 【详解】由题意，设事件A 表示吹东风，事件B 表示下雨，则34(),()1015P A P AB ==， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为4()815(|)3()910P AB P B A P A ===. 故答案为：8914．若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有___________种不同的排法（用数字作答）. 【答案】48【分析】用捆绑法求解即可【详解】因为把甲、乙两人必须相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和其他3人进行全排列，再考虑甲乙之间的顺序，所以共有4242A A 48=种，故答案为：48 三、双空题15．已知函数()()e 1xf x x =-，则()f x 的极小值为___________；若函数()12g x mx =-，对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈-，使得()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是___________.【答案】 1- 11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用导数可求得函数()y f x =的极小值；（2）由题意可得出()()min min f x g x >，分0m >、0m <、0m =三种情况讨论，根据题意可得出关于m 的不等式，进而可求得m 的取值范围.【详解】由()()e 1xf x x =-，得()()e 1e e x x x f x x x '=-+=，令()0f x '=，得0x =，列表如下：所以，函数()y f x =的极小值为()()00e 011f =-=-；（2）[]12,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >，即()()min min f x g x >，()()min min 1g x f x ∴<=-.①当0m >时，函数()y g x =单调递增，()()min 112g x g m =-=--，112m ∴--<-，即12m >； ②当0m <时，函数()y g x =单调递减，()()min 1222g x g m ==-，1212m -∴<-，即14m <-；③当0m =时，()12g x =-，不符合题意.综上：11,,42m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-；11,,42⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.四、解答题16．为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：通过分析，发现商品的销售量y 与价格x 具有线性相关关系.(1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程；（ˆb保留两位小数）(2)根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数）附：在经验回归方程ˆˆˆybt a =+中，552122111ˆˆˆ,,386,508.5ni ii i i ini i ii x y nxyb a y bx x y x xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】(1) 1.6524.5y x =-+；(2)预测销售量为12件时的售价是7.58元.【分析】（1）根据所给数据求出ˆb，ˆa ，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【详解】(1)由题意知10x =，8y =，∴3865810= 1.65508.55100ˆb-⨯⨯≈--⨯，()8 1.651024ˆ.5a=--⨯=， ∴线性回归方程是 1.6524.5y x =-+；(2)令 1.6524.512y x =-+=， 可得7.58x ≈，∴预测销售量为12件时的售价是7.58元.17．已知函数()()22f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭(2)()max 9f x =，()min 3f x =-【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析函数()f x 在区间[]1,3-上的单调性，进而可求得函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值. 【详解】(1)解：()()23222f x x x x x =-=-，所以，()234f x x x '=-.由()2340f x x x '=->，解得0x <或43x >； 由()2320f x x x '=-<，解得403x <<， 所以()f x 的递增区间为(),0∞-、4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为40,3⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：由（1）可知，函数()f x 在[)1,0-上单调递增，在40,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()()00f x f ==极大值，()432327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值，又因为()13f -=-，()39f =，所以， 由（1）知0x =是()f x 的极大值点，43x =是()f x 的极小值点， 所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值432327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()13f -=-，()39f =，()max 9f x =，()min 3f x =-.(1)以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面22⨯列联表.(2)根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)答案见解析(2)有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 【分析】（1）由已知计算填表即可；（2）计算2χ，再由独立性检验的基本思想求解即可 【详解】(1)由以上统计数据填写下面22⨯列联表，如下(2)根据公式计算()225010271039.98 6.63537133020χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关19．已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望.【答案】分布列答案见解析，数学期望：97【分析】若选①，分别求出随机变量X 的取值为0，1，2，3的概率，即可得到分布列，计算期望；若选②，则随机变量X 服从二项分布，根据二项分布的概率公式列出分布列，计算期望. 【详解】若选①，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3()3437C 40C 35P X ===，()123437C C 181C 35P X ===，()213437C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35P X ===；所以X 的分布列为期望()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； 若选②，由题意，随机变量X 的可能值为0，1，2，3，且3~3,7X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()333640C 17343P X ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭， ()213331441C 177343P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()223331082C 177343X P ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273C 7343P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， X ∴的分布列为：期望()37793E X =⨯=. 20．设函数()3x f x e ax =-+（a R ∈）.（1）讨论函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值是4，求a 的值.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）1e -【分析】（1）求得函数的导数()x f x e a '=-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）()x f x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；无极值当0a >时，()0f x '>，解得ln x a >，由()0f x '<，解得ln x a <.函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 的极小值为()ln ln 3f a a a a =-+，无极大值综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=，即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点.①当ln 1a ≤即0a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件.②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34a f a e a a =-+=，即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()ln 0h a a '=-<，∴()h a 在()2,e e 上单调递减， 而()1h e =-，∴()h a 在()2,e e 上没有零点， 即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解.综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题.。
2022-2023学年天津市河西区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁U A＝（）A．（0，2）B．（﹣3，0）∪（2，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0]∪[2，3）2．已知p：（x+2）（x﹣3）＜0，q：|x﹣1|＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a＝log25，b＝20.3，c＝0.20.3，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（）A．y＝xln|x|B．y＝x2ln|x|C．y=(x+1x )ln|x|D．y=(x−1x)ln|x|5．若a＞﹣b，则下列不等式不恒成立的是（）A．a+b＞0B．|a|+b＞0C．1a +1b＞0D．a3+b3＞06．下面关于函数f（x）＝x2+3x+4的说法正确的是（）A．f（x）＞0恒成立B．f（x）最大值是5 C．f（x）与y轴无交点D．f（x）没有最小值7．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x），若f(−13)=13，则f(73)=（）A．−13B．13C．−53D．538．已知a＞b＞0，则a2+b2ab−b2的最小值是（）A．2+√3B．2+√5C．2D．2+2√29．已知函数f(x)={e x −ax ，x ≥0−x 2−(a +2)x +1，x ＜0（e 为自然对数的底数，a ∈R ）有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1e ，+∞)B ．（1，+∞）C ．（e 2，+∞）D ．（e ，+∞）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．若集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则集合P 的子集个数为 ． 11．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，则ab 的取值范围是12．函数f(x)=log 12(x 2−2x −8)的单调递增区间为 ．13．已知函数f （x ）＝3x +a3x+1（a ＞0）的最小值为5，则a ＝ ． 14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数满足f(a)＞f(−√2)，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数f （x ）={x 2+4x +2(x ＜0)2|x−1|(x ≥0)，则f （x ）的最小值是 ，若关于x 的方程f （x ）＝x +a有且仅有四个不同的实数解，则整数a 的取值范围是 ．三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（10分）已知2a ＝5，log 83＝b ． （Ⅰ）求4a﹣3b的值；（Ⅱ）若m ＞0，n ＞0，且m +n =(log 53)ab，求1m+2n的最小值．17．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2a +6．（Ⅰ）若函数f （x ）在[4，+∞）单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若方程f （x ）＝0有两个大于1的不等实数根，求实数a 的取值范围．18．（12分）设函数f （x ）＝ae x （x +1）（其中e 是自然对数的底数），g （x ）＝x 2+bx +2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x ≥﹣2，kf （x ）＞g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围．2022-2023学年天津市河西区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁U A＝（）A．（0，2）B．（﹣3，0）∪（2，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0]∪[2，3）解：全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|0＜x＜2}，由补集定义可知：∁U A＝{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜3}，即∁U A＝（﹣3，0]∪[2，3）．故选：D．2．已知p：（x+2）（x﹣3）＜0，q：|x﹣1|＜2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为p：（x+2）（x﹣3）＜0⇒﹣2＜x＜3；q：|x﹣1|＜2⇒﹣1＜x＜3，所以q⇒p，p推不出q，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．3．已知a＝log25，b＝20.3，c＝0.20.3，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜b＜c解：因为y＝log2x在定义域内单调递增，则log24＜log25＜log28，所以2＜a＜3，因为y＝2x在定义域内单调递增，则20＜20.3＜21，所以1＜b＜2，因为y＝0.2x在定义域内单调递减，则0.20.3＜0.20，所以c＜1，综上所述：c＜b＜a．故选：C．4．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（）A．y＝xln|x|B．y＝x2ln|x|C ．y =(x +1x)ln|x|D ．y =(x −1x)ln|x|解：由函数f （x ）＝x 2ln |x |，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称， 可得f （﹣x ）＝（﹣x ）2ln |﹣x |＝x 2ln |x |＝f （x ）， 所以函数y ＝x 2ln |x |为偶函数，所以排除B ；由函数g(x)=(x +1x)ln|x|，可得g(1e)=−(e +1e)＜−1，故排除C ；由函数ℎ(x)=(x −1x )ln|x|，当x ∈（0，1）时，可得x −1x ＜0且ln |x |＜0，则h （x ）＞0， 故排除D ．由函数φ（x ）＝xln |x |的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且φ（﹣x ）＝﹣xln |﹣x |＝﹣xln |x |＝﹣φ（x ），所以φ（x ）为奇函数，图象关于原点对称， 由x ＞0时，φ（x ）＝xlnx ，可得φ'（x ）＝lnx +1， 当x ∈（0，1e ）时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减；当x ∈(1e ，+∞)时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增，且φ（1）＝0，所以A 项符合题意． 故选：A ．5．若a ＞﹣b ，则下列不等式不恒成立的是（ ） A ．a +b ＞0B ．|a |+b ＞0C ．1a +1b＞0D ．a 3+b 3＞0解：对于A ，由a ＞﹣b 得a +b ＞0恒成立； 对于B ，由|a |≥a ＞﹣b 可知|a |+b ＞0恒成立； 对于C ，由于1a +1b=a+b ab，故当ab ＜0时，1a+1b＞0不成立，所以C 不恒成立；对于D ，由a ＞﹣b 得a 3＞﹣b 3，所以a 3+b 3＞0恒成立． 故选：C ．6．下面关于函数f （x ）＝x 2+3x +4的说法正确的是（ ） A ．f （x ）＞0恒成立 B ．f （x ）最大值是5C ．f （x ）与y 轴无交点D ．f （x ）没有最小值解：∵函数f （x ）＝x 2+3x +4＝（x +32）2+74≥74， ∴f （x ）＞0恒成立，且最小值为74，无最大值，当x ＝0时，y ＝4，即与y 轴有交点， 故选：A ．7．设f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）＝f （﹣x ），若f(−13)=13，则f(73)=（ ） A ．−13B ．13C ．−53D ．53解：∵f （x ）是定义域为R 的奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， ∵f （1+x ）＝f （﹣x ），∴f （2+x ）＝f [﹣（1+x ）]＝﹣f （1+x ）＝﹣f （﹣x ）＝f （x ）， ∴f （x ）是周期为2的周期函数， ∴f （73）＝f （13）＝﹣f （−13）=−13．故选：A ． 8．已知a ＞b ＞0，则a 2+b 2ab−b 2的最小值是（ ）A ．2+√3B ．2+√5C ．2D ．2+2√2解：因为a ＞b ＞0，所以a ﹣b ＞0， 则a 2+b 2ab−b 2=a 2+b 2b(a−b)=a+b b+2ba−b＝2+a−b b +2b a−b ≥2+2√a−b b ×2ba−b ＝2+2√2，当且仅当a =(√2+1)b 时取等号． 故选：D ．9．已知函数f(x)={e x −ax ，x ≥0−x 2−(a +2)x +1，x ＜0（e 为自然对数的底数，a ∈R ）有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1e，+∞)B ．（1，+∞）C ．（e 2，+∞）D ．（e ，+∞）解：当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2﹣（a +2）x +1， 所以Δ＝（a +2）2+4＞0，且f （0）＝1＞0，所以二次函数开口向下且在（﹣∞，0）内抛物线与x 轴只有一个交点， 所以f （x ）在（﹣∞，0）内只有一个零点， 当x ＝0时，f （0）＝1， 所以x ＝0不是f （x ）的零点，由已知得当x ≥0时，f （x ）有两个零点， 由f （x ）＝0，得a =e xx ， 令h （x ）=e xx ，即h （x ）＝a ，由题意可得函数y ＝h （x ）与y ＝a 有两个交点，又因为h ′（x ）=(x−1)e xx 2， 所以当x ∈（0，1）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 所以h （x ）min ＝h （1）＝e ，又因为函数y ＝h （x ）与y ＝a 有两个交点， 所以a ＞e ，所以a 的取值范围为（e ，+∞）． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．若集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则集合P 的子集个数为 4 ． 解：∵集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ， ∴P ＝{1，3}，∴集合P 的子集个数为：22＝4． 故答案为：4．11．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，则ab 的取值范围是 (14，32) ．解：∵2＜b ＜4，∴14＜1b＜12，又1＜a ＜3，由不等式性质可知：14＜a b＜32，则ab的取值范围是（14，32）．故答案为：（14，32）．12．函数f(x)=log 12(x 2−2x −8)的单调递增区间为 （﹣∞，﹣2） ．解：函数f(x)=log 12(x 2−2x −8)的单调递增区间，即函数y ＝x 2﹣2x ﹣8＝（x ﹣4）（x +2）在y ＞0的条件下，y 的减区间．由二次函数的性质可得，在y ＞0的条件下，y 的减区间为（﹣∞，﹣2）， 故答案为：（﹣∞，﹣2）． 13．已知函数f （x ）＝3x +a3x+1（a ＞0）的最小值为5，则a ＝ 9 ． 解：f （x ）＝3x +a 3x+1=3x +1+a3x +1−1≥2√a −1＝5，所以a ＝9，经检验，3x ＝2时等号成立． 故答案为：9．14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数满足f(a)＞f(−√2)，则实数a 的取值范围是 (−√2，√2) ．解：因f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增， 所以f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，且f(−√2)=f(√2)，由f(a)＞f(−√2)，f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，故−√2＜a ≤0， 由f(a)＞f(−√2)=f(√2)，f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，故0≤a ＜√2， 综上，−√2＜a ＜√2． 故答案为：(−√2，√2)．15．已知函数f （x ）={x 2+4x +2(x ＜0)2|x−1|(x ≥0)，则f （x ）的最小值是 ﹣2 ，若关于x 的方程f （x ）＝x +a有且仅有四个不同的实数解，则整数a 的取值范围是 {0，1} ．解：当x ＜0时，f （x ）＝x 2+4x +2＝（x +2）2﹣2，由二次函数的性质可知，当x ＝﹣2时，f （x ）取得最小值为﹣2；当x ≥0时，f （x ）＝2|x﹣1|≥20＝1；所以函数f （x ）的最小值是﹣2； 作出函数f （x ）的图象如下图所示，由图可知，当a ≤﹣1时，函数f （x ）与函数y ＝x +a 的图象无交点， 当a ＝0或a ＝1时，函数f （x ）与函数y ＝x +a 的图象有4个交点，当a ＝2时，函数f （x ）与函数y ＝x +a 的图象有3个交点，当a ＞2时，函数f （x ）与函数y ＝x +a 的图象有2个交点，则符合题意的整数a 为0或1， 故答案为：﹣2；{0，1}．三．解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（10分）已知2a ＝5，log 83＝b ． （Ⅰ）求4a﹣3b的值；（Ⅱ）若m ＞0，n ＞0，且m +n =(log 53)ab，求1m+2n的最小值．解：（Ⅰ）∵2a ＝5，log 83＝b ，∴a ＝log 25，b =13log 23， 所以a −3b =log 25−log 23=log 253，4a−3b =22log 253=2log 2259=259．（Ⅱ）由换底公式得：m +n =(log 53)ab =ln3ln5×ln5ln2×ln2ln3×3＝3， 所以1m+2n =13(m +n)(1m+2n)=13×(3+n m +2m n )≥13×（3+2√n m ⋅2m n ）＝1+2√23，当且仅当n m=2m n，即n =√2m 取等号，因此1m+2n的最小值为1+2√23． 17．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2a +6．（Ⅰ）若函数f （x ）在[4，+∞）单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若方程f （x ）＝0有两个大于1的不等实数根，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣1）x +2a +6， 则函数f （x ）的对称轴为x ＝﹣（a ﹣1）， 因为函数f （x ）在[4，+∞）单调递增， 则有﹣（a ﹣1）≤4，解得a ≥﹣3， 故实数a 的取值范围是[﹣3，+∞）；（Ⅱ）根据题意，不等式f （x ）≥0对任意x ∈R 恒成立，即f （x ）的图象全部在x 轴上方，则有Δ＝4（a ﹣1）2﹣4（2a +6）≤0， 解得﹣1≤a ≤5，实数a 的取值范围是[﹣1，5]； （Ⅲ）若方程f （x ）＝0有两个大于1的不等实数根， 即函数f （x ）与x 轴有两个交点，且交点都在x ＝1的右侧，则有{Δ＞0−(a −1)＞1f(1)＞0，解可得−54＜a ＜−1，实数a 的取值范围是（−54，﹣1）．18．（12分）设函数f （x ）＝ae x （x +1）（其中e 是自然对数的底数），g （x ）＝x 2+bx +2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ae x（x+2），g′（x）＝2x+b，∴f′（0）＝2a，g′（0）＝b，∵由题意，两函数在x＝0处有相同的切线，∴2a＝b，f（0）＝a＝g（0）＝2，∴a＝2，b＝4，∴f（x）＝2e x（x+1），g（x）＝x2+4x+2．（Ⅱ）f′（x）＝2e x（x+2），由f′（x）＞0得x＞﹣2；由f′（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣2）上单调递减，∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2，当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]上单调递减，在[﹣2，t+1]上单调递增，∴f(x)min=f(−2)=−2e−2．当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，∴f(x)min=f(1)=2e t(t+1)，∴f(x)min={−2e−2，−3＜t＜−2 2e t(t+1)，t≥−2．（Ⅲ）令F（x）＝kf（x）﹣g（x）＝2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，由题意知当x≥﹣2时，F（x）min＞0，由题意知F（0）＝2k﹣2＞0，∴k＞1．F′（x）＝2（x+2）（ke x﹣1），∵x≥﹣2，∴F（x）在[﹣2，+∞）上只可能有一个极值点ln 1 k ，①当ln 1k＜−2，即k＞e2时，F（x）在[﹣2，+∞）上单调递增，F(x)min=F(−2)=−2ke−2+2=2e2(e2−k)＜0，不满足题意；②当ln 1k=−2，即k＝e2时，由①知，F(x)min=F(−2)=2e2(e2−k)=0，不满足题意；③当ln 1k＞−2，即1＜k＜e2时，F（x）在[−2，ln1k]上单调递减，在[ln1k，+∞)上单调递增，F(x)min=F(ln 1k)=lnk(2−lnk)＞0，满足F（x）min＞0．综上所述，满足题意的实数k的取值范围为（1，e2）．。
2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题(含答案)
2023-2024学年天津市滨海新区高二下学期期末数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合U={1,3,5,7,9,11},A={1,3,9},B={3,5,9,11}，则(∁U A)∩B=( )A. {3,9}B. {5,11}C. {1,5,7,11}D. {3,5,7,9,11}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y=x2−2xB. y=log2xC. y=(12)|x|D. y=x−1x3.设a,b,c,d为实数，且c<d，则“a<b”是“a−c<b−d”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )A. 10种B. 60种C. 125种D. 243种5.三个数logπ0.5,0.5π,log2π的大小关系是( )A. logπ0.5<0.5π<log2πB. logπ0.5<log2π<0.5πC. 0.5π<logπ0.5<log2πD. log2π<0.5π<logπ0.56.如图所对应的函数的解析式可能是( )A. f(x)=e x−e−xB. f(x)=e x−e−xxD. f(x)=ln(e x+e−x)C. f(x)=e x+e−xx37.下列说法正确的个数是( )①线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强；②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系；③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；④甲、乙两个模型的决定系数R2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好．A. 1B. 2C. 3D. 48.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则P(B|A)=( )A. 35B. 25C. 13D. 1309.计算lg5+7log 72+log 23⋅log 94+lg2的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 510.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A 城市和交通拥堵不严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下2×2列联表：AB 总计认可15823不认可51217总计202040α0.100.050.0250.010.005x α2.7063.8415.0246.6357.879附：χ2=n(ad−bc )2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d),n=a +b +c +d ．根据表中的数据，下列说法中，正确的是( )A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B. 有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C. 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”11.已知函数f(x)=a x −a −x (a >0,a ≠1)，则下列结论①函数f (x )在R 上为增函数；②函数f (x )过定点(0,0)；③函数y =f (2x )2f (x )为偶函数；④当a >1时，函数f (|x |)的最小值是0．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④12.已知函数f (x )={ln x,x >03x +2,x ≤0，若方程f (x )=ax 有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1⋅ln (x 2x 3)x 2+x 3的取值范围是( )A.(21−3e,0) B.(2e1−3e,−12) C.(13−e,1−2e 3e−1) D.(13−e,1e−1)二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2023-2024学年天津市河西区高二下学期期末质量调查数学试卷
2023-2024学年天津市河西区高二下学期期末质量调查数学试卷1.已知集合，那么A．（-1,2）B．（0，1）C．（-1,0）D．（1,2）2.命题，，则为（）A．，B．，C．，D．，3.已知函数，则下列函数中与相同的函数是（）A．B．C．D．4.若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是A．B．C．D．5.设，则（）A．B．C．D．6.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．7.已知曲线C：，若过曲线C外一点引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A．B．C．2D．8.已知函数,若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9.已知函数那么不等式的解集是（）.A．B．C．D．10.函数的定义域是______.11.已知，，且，则a的取值范围是________．12.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________．13.给出下列命题：①若，则；②若，则；③若a，b是非零实数，且，则；④若，则其中正确的命题是________．（填对应序号即可）14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．15.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________________.16.求下列各式的值：(1)；(2)．17.（1）已知，求的最大值；（2）点在直线上移动，求的最小值.18.已知函数在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的极值．19.已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，有；（1）求的值；（2）判断的单调性并证明；（3）若，解不等式；20.已知函数．（1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围；（2）若存在正数，，满足，证明：．。
2022-2023学年天津市南开区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．若U ＝{x |x ＜9，x ∈N *}，A ＝{1，2，3}，B ＝{5，6，7}，则（∁U A ）∩（∁U B ）＝（ ） A ．{4，8} B ．{2，4，6，8}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，5，6，7}2．“x 2＞4”是“x ＞2”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数f(x)=x +cosxx 2的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．4．若a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝2﹣0.3，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a5．甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这3类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响．记事件A ＝“甲选择历史书”，事件B ＝“甲和乙选择的书不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．14B ．12C ．13D ．236．对两个变量x ，y 进行线性相关检验，得线性相关系数r 1＝0.8995，对两个变量u ，v 进行线性相关检验，得线性相关系数r 2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（ ）A ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量x 与y 的线性相关性较强B ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量x 与y 的线性相关性较强C ．变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v 的线性相关性较强D ．变量x 与y 负相关，变量u 与v 正相关，变量u 与v 的线性相关性较强7．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.848．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：（ ）由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为y =0.7x +a ，则当x ＝7时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.159．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种10．已知函数f （x ）是定义域为R 的函数，f （2+x ）+f （﹣x ）＝0，对任意x 1，x 2∈[1，+∞）（x 1＜x 2），均有f （x 2）﹣f （x 1）＞0，已知a ，b （a ≠b ）为关于x 的方程x 2﹣2x +t 2﹣3＝0的两个解，则关于t 的不等式f （a ）+f （b ）+f （t ）＞0的解集为（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，0）C ．（0，1）D ．（1，2）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11．在(2x 1√x)6的展开式中，常数项为 .（请用数字作答） 12．计算：log a 2+log a 0.5﹣log 325×log 34×log 59＝ ．13．某品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为 ．14．已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为 ． 15．函数f(x)=16x +14x +12x−1的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在二项式(√x 3−12√x3)n 的展开式中，前三项系数的绝对值a ，b ，c 满足a +c ＝2b ．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式中各项的系数和．17．不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m 个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为58．（1）求白球的个数m ；（2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X ，求E （X ）． 18．已知函数f （x ）＝x 3+x ﹣16．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l 为曲线y ＝f （x ）的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．19．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示甲队总得分．（1）求X ＝2的概率；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．20．已知x ＝3是函数f （x ）＝aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点． （1）求a ；（2）求函数f （x ）的单调区间；（3）若函数y ＝f （x ）﹣b 有3个零点，求b 的取值范围．2022-2023学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．若U＝{x|x＜9，x∈N*}，A＝{1，2，3}，B＝{5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{4，8}B．{2，4，6，8}C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}解：依题意，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，而A＝{1，2，3}，B＝{5，6，7}，则∁U A＝{4，5，6，7，8}，∁U B＝{1，2，3，4，8}，所以（∁U A）∩（∁U B）＝{4，8}．故选：A．2．“x2＞4”是“x＞2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：x2＞4，即x＞2或x＜﹣2，x＞2或x＜﹣2不能推出x＞2，充分性不成立，x＞2能推出x＞2或x＜﹣2，必要性成立，故“x2＞4”是“x＞2”成立的必要不充分条件．故选：B．3．函数f(x)=x+cosxx2的大致图象为（）A．B．C．D．解：由f(−x)=−x+cos(−x)(−x)2=−x+cosxx2≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由f(−π)=−π+cos(−π)(−π)2=−π+cosππ2=−π−1π2， f(−π2)=−π2+cos(−π2)(−π2)2=−π2，所以f(−π)＜f(−π2)，即可排除D ． 故选：A ．4．若a ＝log 23，b ＝log 34，c ＝2﹣0.3，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解：a ＝log 23＞log 22＝1，b ＝log 34＞log 33＝1，c ＝2﹣0.3＜20＝1，故a ＞c ，b ＞c ，又a =log 23=ln3ln2，b =log 34=ln4ln3， 令f(x)=ln(x+1)lnx，x ＞1， f ′(x)=lnx x+1−ln(x+1)x (lnx)2=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(lnx)2，令g （x ）＝xlnx ，x ＞1，则g ′（x ）＝1+lnx ＞0在（1，+∞）上恒成立，故g （x ）＝xlnx 在（1，+∞）上单调递增， ∴xlnx ﹣（x +1）ln （x +1）＜0， 则f ′(x)=xlnx−(x+1)ln(x+1)x(x+1)(lnx)2＜0在（1，+∞）上恒成立，则f(x)=ln(x+1)lnx在（1，+∞）上单调递减， 故a ＞b ， ∴a ＞b ＞c ． 故选：D ．5．甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这3类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响．记事件A ＝“甲选择历史书”，事件B ＝“甲和乙选择的书不同”，则P （B |A ）＝（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23解：事件A ＝“甲选择历史书”，则P （A ）=13， 事件B ＝“甲和乙选择的书不同”，则事件AB ＝“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”， 所以P(AB)=13×23=29， 所以P （B |A ）=P(AB)P(A)=2913=23．故选：D．6．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（）A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强解：因为线性相关系数r1＝0.8995＞0，所以x，y正相关，因为线性相关系数r2＝﹣0.9568＜0，所以u，v负相关，又因为|r1|＜|r2|，所以变量u，v的线性相关性比x，y的线性相关性强，故选：C．7．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4、0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7、0.9，则甲正点到达目的地的概率为（）A．0.78B．0.8C．0.82D．0.84解：根据题意可得，甲正点到达目的地的概率为P＝0.4×0.7+0.6×0.9＝0.82．故选：C．8．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：（）由最小二乘法得y与x的线性回归方程为y=0.7x+a，则当x＝7时，繁殖个数y的预测值为（）A．4.9B．5.25C．5.95D．6.15解：由题意得：x=14（3+4+5+6）＝4.5，y=14（2.5+3+4+4.5）＝3.5，∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入y=0.7x+a，得3.5＝0.7×4.5+a，解得a=0.35．∴y关于x的线性回归方程为y=0.7x+0.35．取x＝7，得y=0.7×7+0.35＝5.25．故选：B．9．如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法（）A．72种B．48种C．24种D．12种解：根据题意，首先涂A有C41＝4种涂法，则涂B有C31＝3种涂法，C与A、B相邻，则C有C21＝2种涂法，D只与C相邻，则D有C31＝3种涂法．所以，共有4×3×2×3＝72种涂法，故选：A．10．已知函数f（x）是定义域为R的函数，f（2+x）+f（﹣x）＝0，对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1＜x2），均有f（x2）﹣f（x1）＞0，已知a，b（a≠b）为关于x的方程x2﹣2x+t2﹣3＝0的两个解，则关于t的不等式f（a）+f（b）+f（t）＞0的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）C．（0，1）D．（1，2）解：由f（2+x）+f（﹣x）＝0，得f（1）＝0且函数f（x）关于点（1，0）对称，由对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1＜x2），均有f（x2）﹣f（x1）＞0，可知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）的定义域为R，所以函数f（x）在R上单调递增，因为a，b（a≠b）为关于x的方程x2﹣2x+t2﹣3＝0的两个解，所以Δ＝4﹣4（t2﹣3）＞0，解得﹣2＜t＜2，且a+b＝2，即b＝2﹣a，又f（2+x）+f（﹣x）＝0，令x＝﹣a，则f（a）+f（b）＝0，则由f（a）+f（b）+f（t）＞0，得f（t）＞0＝f（1），所以t＞1，综上，t的取值范围是（1，2）．故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．在(2x1√x)6的展开式中，常数项为60.（请用数字作答）解：通项公式为T r+1=C6r(2x)6−r√x )r=C6r⋅26−r⋅(−1)r x6−3r2，r＝0，1，2， (6)令6−3r2=0，解得r＝4，所以展开式的常数项为C64⋅22⋅(−1)4=60，故答案为：60．12．计算：log a2+log a0.5﹣log325×log34×log59＝﹣8log32．解：log a2+log a0.5﹣log325×log34×log59＝log a2×0.5﹣log325×log34×log59＝log a1−2lg5lg3•2lg2lg3•2lg3lg5=0−8lg2lg3=−8log32．故答案为：﹣8log32．13．某品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布．且使用寿命不少于1年的概率为0.9，使用寿命不少于9年的概率为0.1，则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4．解：由题意知P（X≥1）＝0.9，P（X≥9）＝0.1，∴P（X＜1）＝1﹣0.9＝0.1＝P（X≥9），∴正态分布曲线的对称轴为直线X=1+92=5，因为P（1≤X＜9）＝0.9﹣0.1＝0.8，∴P（5≤X＜9）=0.82=0.4，故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4．故答案为：0.4．14．已知袋中有4个白球2个黑球，现从袋中任取2个球，则取出的2个球为同色球的概率为715．解：取出的2个球共有C62=15种，若同为白球，共有C42=6种；若同为黑球，共有C22=1种；可得同色球共有6+1＝7种，所以取出的2个球为同色球的概率为P=7 15．故答案为：715．15．函数f(x)=16x+14x +12x−1的最小值为4．解；由2x＞0，根据基本不等式，得16x +14x +12x−1=(2x )4+1(2x )2+12x +12x ≥4√(2x )4⋅1(2x )2⋅12x ⋅12x 4=4， 当且仅当(2x )4=1(2x )2=12x ，即x ＝0时等号成立． 所以函数f(x)=16x +14x +12x−1的最小值为4． 故答案为：4．三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．在二项式(√x 3−12√x3)n 的展开式中，前三项系数的绝对值a ，b ，c 满足a +c ＝2b ．（1）求展开式的第四项； （2）求展开式中各项的系数和． 解：（1）因为(√x 3−12√x3)n的展开通项为：T r+1=C n r (√x 3)n−r (−12√x 3)r=C nr(−2)r x n−2r 3，r =0，1，2，⋯，n ，由题意可知：a =C n 0，b =12C n 1，c =14C n 2，且a +c ＝2b ，n ≥2， 则C n 0+14C n 2=12C n 1×2，即1+n(n−1)8=n ， 解得n ＝8或n ＝1（舍去）， 第四项T 4=C 83(−2)3x 8−2×33=−7x 23；（2）由（1）可得二项式(√x 3−12√x3)8，令x ＝1，得展开式的各项系数的和为(1−12)8=1256． 17．不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m 个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为58．（1）求白球的个数m ；（2）若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X ，求E （X ）． 解：（1）由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m 个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为58，设第一个取出的球是红球为事件A ，第二个取出的球是白球为事件B ，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=4m+4⋅mm+34m+4=m m+3=58所以mm+3=58，解得m ＝5．（2）由题意，随机变量X 可能为0，1，2， 则P(X =0)=59×59=2581， P(X =1)=49×59×2=4081， P(X =2)=49×49=1681， 所以随机变量X 的分布列为：则期望为E(X)=0×2581+1×4081+2×1681=89． 18．已知函数f （x ）＝x 3+x ﹣16．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l 为曲线y ＝f （x ）的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：（1）由f （x ）＝x 3+x ﹣16，得f ′（x ）＝3x 2+1，∴f ′（2）＝3×22+1＝13，∴曲线y ＝f （x ）在点（2，﹣6）处的切线方程为y +6＝13（x ﹣2），即13x ﹣y ﹣32＝0； （2）设切点为（x 0，x 03+x 0−16），f ′(x 0)=3x 02+1， ∴切线方程为y −(x 03+x 0−16)=(3x 02+1)(x −x 0)， ∵切线经过原点，∴−(x 03+x 0−16)=−x 0(3x 02+1)， ∴2x 03=−16，x 0＝﹣2． 则f ′（﹣2）＝13，∴所求的切线方程为y ＝13x ； 切点为（﹣2，﹣26）．19．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示甲队总得分．（1）求X ＝2的概率；（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率． 解：（1）X ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P(X =2)=34×23×(1−12)+34×(1−23)×12+(1−34)×23×12=1124； （2）设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，设乙队得分为Y ，则Y ～B(3，23)，P(X =1)=34×(1−23)×(1−12)+(1−34)×23×(1−12)+(1−34)×(1−23)×12=14， P(X =3)=34×23×12=14，P(Y =1)=C 31⋅23⋅(13)2=29，P(Y =2)=C 32⋅(23)2⋅13=49，P(Y =3)=C 33(23)3=827， ∴P （A ）＝P （X ＝1）P （Y ＝3）+P （X ＝2）P （Y ＝2）+P （X ＝3）P （Y ＝1）=14×827+1124×49+14×29=13．20．已知x ＝3是函数f （x ）＝aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点．（1）求a ；（2）求函数f （x ）的单调区间；（3）若函数y ＝f （x ）﹣b 有3个零点，求b 的取值范围．解：（1）f ′(x)=a 1+x +2x −10，因为x ＝3是函数f （x ）＝aln （1+x ）+x 2﹣10x 的一个极值点，所以f ′(3)=a 4−4=0，解得a ＝16． （2）由（1）得f （x ）＝16ln （1+x ）+x 2﹣10x ，x ∈（﹣1，+∞），f ′(x)=161+x +2x −10=2x 2−8x+6x+1=2(x−1)(x−3)x+1， 令f ′（x ）＝0，得x ＝1，x ＝3．f ′（x ）和f （x ）随x 的变化情况如下：f （x ）的增区间是（﹣1，1）和（3，+∞）；减区间是（1，3）．（3）由（2）知，f （x ）的极大值为f （1）＝16ln 2﹣9，极小值为f （3）＝32ln 2﹣21． 因为f(−12)=−16ln2+214，f(3)−f(−12)=48ln2−1054＞32−1054＞0， 所以f(−12)＜f(3)．因为f（7）＝48ln2﹣21，f（7）﹣f（1）＝32ln2﹣12＞16﹣12＞0，所以f（7）＞f（1）．函数图像如图所示，当直线y＝b与函数y＝f（x）的图像有3个交点时，函数y＝f（x）﹣b有3个零点，b的值在函数y＝f（x）的极小值和极大值之间，所以b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．。
2022-2023学年天津市和平区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U ＝{x ∈Z |x 2﹣5x ﹣6≤0}，集合A ＝{x ∈Z |x （2﹣x ）≥0}，集合B ＝{1，2，3}，则集合∁U （A ∪B ）＝（ ） A ．{1，2}B ．{0，1，2，3}C ．{﹣1，0，3，4，5，6}D ．{﹣1，4，5，6}2．已知a 为非零实数，则“a ＞1”是“a ＞1a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设某中学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x −85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y)C ．若该中学某女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kgD ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg4．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得x 2≈10.921．参照附表，下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C ．有99.99%以上的把握认为“药物有效”D ．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 5．函数f （x ）=3x 2−1x 3的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知a =212，b =(ln2)−12，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c7．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．238．若函数ℎ(x)=lnx −12ax 2−2x 在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−716，+∞) B ．（﹣1，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．(−716，+∞) 9．已知函数f(x)={x −lnx ，x ＞0x +1x，x ＜0，若y ＝f （x ）﹣kx 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(1−1e，1)B ．(1，1+1e)C ．(1，1+1e)∪(1+1e，+∞)D ．(1−1e，1)∪(1，+∞)二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）10．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若f （x ）＝f ′（1）ln （x +1）+e x ，则f ′（0）＝ ． 11．设随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），若P （X ＞2）＝0.3，则P （X ≥0）＝ ． 12．若随机变量X ～B(n ，13)，E(X)=53，则D （X ）＝ ． 13．二项式（√x −2x 2）10展开式中的常数项是 ． 14．已知x 2y 2+y 4＝1（x ，y ∈R ），则x 2+3y 2的最小值是 ．15．用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．化简求值：（1）6423+(−14)0−270.25×√34−(12)−2；（2）lg √5−212log 23−12√(lg2)2−lg2+lg5．17．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n 个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为29．（1）求n 的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．已知函数f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣bx +c 在点P （1，y 0）处的切线斜率为4，且在x ＝﹣1处取得极大值2． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣2，1]上的最大值和最小值，以及相应x 的值． 19．函数f （x ）=ax−b 9−x 2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f （1）=18． （1）确定f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在（﹣3，3）上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 20．已知函数f （x ）＝tx ﹣（t ﹣1）lnx ﹣t ；（1）当t ＝2时，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）讨论f （x ）的单调性；（3）证明：当t ≤0，且x ＞1时，f （x ）＜e x ﹣1﹣1．2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}，集合A＝{x∈Z|x（2﹣x）≥0}，集合B＝{1，2，3}，则集合∁U（A ∪B）＝（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，3，4，5，6}D．{﹣1，4，5，6}解：因为U＝{x∈Z|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤6}＝{﹣1，0，1，2，3，4，5，6}，A＝{x∈Z|x（2﹣x）≥0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，又因为B＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{﹣1，4，5，6}．故选：D．2．已知a为非零实数，则“a＞1”是“a＞1a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞1a，即a2−1a＞0，即(a−1)(a+1)a＞0，解得a＞1或﹣1＜a＜0，所以由a＞1可以推出a＞1a，故充分性成立，由a＞1a推不出a＞1，故必要性不成立，所以“a＞1”是“a＞1a”的充分不必要条件．故选：A．3．设某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，⋯，n），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kgD ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg解：因为回归直线方程为y =0.85x −85.71，所以y 与x 具有正线性相关关系，故A 正确； 又回归直线必过样本点的中心(x ，y)，故B 正确； 当x ＝160时y =0.85×160−85.71=50.29，即若该中学某女生身高为160cm ，则其体重约为50.29kg ，故C 错误； 因为回归直线方程为y =0.85x −85.71，所以若该中学某女生身高增加1cm ， 则其体重约增加0.85kg ，故D 正确． 故选：C ．4．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得x 2≈10.921．参照附表，下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C ．有99.99%以上的把握认为“药物有效”D ．有99.99%以上的把握认为“药物无效” 解：x 2≈10.921＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”． 故选：A ． 5．函数f （x ）=3x 2−1x 3的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f(x)=3x 2−1x 3的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f(−x)=3(−x)2−1(−x)3=−f(x)， 即f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当0＜x ＜√33时，3x 2﹣1＜0，x 3＞0，即f （x ）＜0，当x ＞√33时，3x 2﹣1＞0，x 3＞0，即f （x ）＞0，排除C ；而当x ＞3时，0＜3x 2−1x 3＜3x 2x3=3x ，函数y =3x 在（3，+∞）上单调递减，趋近于0，排除D ，选项B 符合题意． 故选：B ． 6．已知a =212，b=(ln2)−12，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c解：因为a =212=(12)−12＞1，又1＞ln2＞ln √e =lne 12=12，y =x −12在（0，+∞）上单调递减， 所以(12)−12＞(ln2)−12＞1−12=1， 所以a ＞b ＞1＞c ． 故选：B ．7．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件A ，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件B ，依题意共有A 66种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有A 66A 22种，所以P(B)=A 66A 22A 66=12，甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有A 55种， 所以P(AB)=A 55A 66=16，则P(A|B)=P(AB)P(B)=1612=13．故选：B ．8．若函数ℎ(x)=lnx −12ax 2−2x 在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−716，+∞)B ．（﹣1，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．(−716，+∞)解：因为h （x ）在[1，4]上单调递减，所以存在x ∈[1，4]时，h ′（x ）=1x −ax ﹣2＜0，即存在x ∈[1，4]，a ＞1x 2−2x， 令G （x ）=1x 2−2x，x ∈[1，4]， 则由题意可知，只需a ≥G （x ）min ， 而G （x ）＝（1x −1）2﹣1，因为x ∈[1，4]，所以1x∈[14，1]，所以G （x ）min ＝﹣1（此时x ＝4）， 所以a ＞﹣1，所以a 的取值范围是（﹣1，+∞）， 故选：B ．9．已知函数f(x)={x −lnx ，x ＞0x +1x ，x ＜0，若y ＝f （x ）﹣kx 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．(1−1e ，1)B ．(1，1+1e )C ．(1，1+1e)∪(1+1e，+∞)D ．(1−1e，1)∪(1，+∞)解：y ＝f （x ）﹣kx 恰有两个零点，即f （x ）﹣kx ＝0恰有两个实数根，由于x ≠0， 所以f （x ）﹣kx ＝0恰有两个实数根等价于f(x)x=k 恰有两个实数根，令g(x)=f(x)x，则g(x)={1−lnx x ，x ＞01+1x2，x ＜0， 当x ＞0时，g(x)=1−lnxx ，g′(x)=lnx−1x 2，故当x ＞e ，g ′（x ）＞0，此时g （x ）单调递增， 当0＜x ＜e ，g ′（x ）＜0，此时g （x ）单调递减，故当x ＝e 时，g （x ）取极小值也是最小值， 且当x ＞1时，lnxx＞0，∴g(x)=1−lnxx ＜1， 当x ＜0时，g(x)=1+1x 2＞1，且g （x ）单调递增， 在直角坐标系中画出g （x ）的大致图象如图：要使g （x ）＝k 有两个交点，则k ∈(1−1e，1)∪(1，+∞)， 故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）10．已知f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，若f （x ）＝f ′（1）ln （x +1）+e x ，则f ′（0）＝ 2e +1 ． 解：由题得f ′(x)=1x+1f′(1)+e x 令x ＝1得f ′(1)=11+1f′(1)+e =12f′(1)+e ， ∴f ′（1）＝2e ，f ′(x)=2ex+1+e x 所以f ′(0)=2e0+1+e 0=2e +1． 故答案为：2e +1．11．设随机变量X 服从正态分布N （1，σ2），若P （X ＞2）＝0.3，则P （X ≥0）＝ 0.7 ． 解：因为X ～N （1，σ2）且P （X ＞2）＝0.3， 所以P （X ＜0）＝P （X ＞2）＝0.3，所以P （X ≥0）＝1﹣P （X ＜0）＝1﹣0.3＝0.7． 故答案为：0.7．12．若随机变量X ～B(n ，13)，E(X)=53，则D （X ）＝ 109．解：因为随机变量X ～B(n ，13)， 所以E(X)=n3=53，解得n ＝5， 所以D(X)=5×13×(1−13)=109． 故答案为：109．13．二项式（√x −2x 2）10展开式中的常数项是 180 ． 解：二项式(√x −2x 2)10展开式的通项T r +1=C 10r ⋅(−2)r ⋅x 5−52r ， 令5−52r =0，可得r ＝2， ∴二项式(√x −2x2)10展开式中的常数项是C 102⋅(−2)2=180． 故答案为：180．14．已知x 2y 2+y 4＝1（x ，y ∈R ），则x 2+3y 2的最小值是 2√2 ． 解：∵x 2y 2+y 4＝1，∴y ≠0且x 2=1−y 4y 2， ∴x 2+3y 2=1−y 4y 2+3y 2=1y 2+2y 2≥2√1y2×2y 2=2√2，当且仅当1y2=2y 2，即x 2=√22，y 2=√22时取等号， ∴x 2+3y 2的最小值为2√2． 故答案为：2√2．15．用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 312 个．（用数字作答） 解：根据题意，分成两类情况：①四位数中没有偶数，即在1，3，5，7中任选4个，共有A 44=24种，②四位数中只有一个偶数，即在1，3，5，7中任选3个，在2，4，6种选一个，共有C 43C 31A 44=288种，故共有24+288＝312． 故答案为：312．三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．化简求值：（1）6423+(−14)0−270.25×√34−(12)−2；（2）lg √5−212log 23−12√(lg2)2−lg2+lg5．解：（1）6423+(−14)0−270.25×√34−(12)−2=(43)23+1−(33)0.25×314−22=43×23+1−334×314−4＝42+1﹣3﹣4 ＝16+1﹣3﹣4 ＝10；（2）lg √5−212log 23−12√(lg2)2−lg2+lg5 =lg512−2log 2312−12√(lg2)2−lg2+lg(102)=12lg5−312−12√(lg2)2−2lg2+1=12lg5−312−12√(lg2−1)2=12lg5−312−12(1−lg2)=12(lg5+lg2)−312−12=12lg(5×2)−312−12=−312=−√3． 17．宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n 个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为29．（1）求n 的值；（2）若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：（1）设A 为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则P(A)=C 52C n+52=20(n+5)(n+4)=29，故n ＝5或n ＝﹣14（舍）． （2）X 可取0，1，2，3，P(X =0)=C 53C 103=112，P(X =1)=C 52C 51C 103=512，P(X =2)=C 51C 52C 103=512，P(X =3)=C 53C 103=112，故X 的分布列如下：故E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=1812=32． 18．已知函数f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣bx +c 在点P （1，y 0）处的切线斜率为4，且在x ＝﹣1处取得极大值2． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣2，1]上的最大值和最小值，以及相应x 的值． 解：（1）因为f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣bx +c ，所以f ′（x ）＝3x 2﹣2ax ﹣b ， 依题意{f ′(1)=4f′(−1)=0f(−1)=2，即{3−2a −b =43+2a −b =0−1−a +b +c =2，解得{b =1a =−1c =1，所以f （x ）＝x 3+x 2﹣x +1，经检验符合题意． （2）由（1）可得f （x ）＝x 3+x 2﹣x +1，x ∈[﹣2，1]， 则f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣1＝（3x ﹣1）（x +1）， 所以当﹣2≤x ＜﹣1或13＜x ≤1时f ′（x ）＞0，当−1＜x ＜13时f ′（x ）＜0，所以f （x ）在[﹣2，﹣1），(13，1]上单调递增，在(−1，13)上单调递减，所以f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，在x =13处取得极小值，又f （﹣2）＝﹣1，f （﹣1）＝2，f(13)=2227，f （1）＝2，所以当x ＝﹣1或x ＝1时f （x ）max ＝2，当x ＝﹣2时f （x ）min ＝﹣1．19．函数f （x ）=ax−b 9−x 2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f （1）=18． （1）确定f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在（﹣3，3）上的单调性，并证明你的结论；（3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）因为f （x ）=ax−b 9−x 2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f （1）=18， 所以f （0）=−b 9=0，f （1）=a−b 8=18，所以b ＝0，a ＝1，f （x ）=x 9−x 2； （2）f （x ）在（﹣3，3）上的单调递增，理由如下：设﹣3＜x 1＜x 2＜3，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 19−x 12−x 29−x 22=(9−x 1x 2)(x 1−x 2)(9−x 12)(9−x 22)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（﹣3，3）上的单调递增；（3）∵f （x ）为定义在（﹣3，3）上的奇函数，∴由f （t ﹣1）+f （t ）＜0，得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣3，3）上单调递增，∴{−3＜t −1＜3−3＜−t ＜3t −1＜−t，解得﹣2＜t ＜12， ∴关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为（﹣2，12）． 20．已知函数f （x ）＝tx ﹣（t ﹣1）lnx ﹣t ；（1）当t ＝2时，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）讨论f （x ）的单调性；（3）证明：当t ≤0，且x ＞1时，f （x ）＜e x ﹣1﹣1．解：（1）当t＝2时f（x）＝2x﹣lnx﹣2，则f（1）＝0，f′(x)=2−1x，所以f′（1）＝1，所以切线方程为y＝x﹣1．（2）因为f（x）＝tx﹣（t﹣1）lnx﹣t的定义域为（0，+∞），则f′(x)=t−t−1x=tx−(t−1)x，当{t＞01−t≥0，即0＜t≤1时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，当{t＞01−t＜0，即t＞1时，当x＞t−1t时，f′（x）＞0，当0＜x＜t−1t时，f′（x）＜0，所以f（x）在(t−1t，+∞)上单调递增，在(0，t−1t)上单调递减；当t＝0时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，当t＜0时，当0＜x＜t−1t时，f′（x）＞0，当x＞t−1t时f′（x）＜0，所以f（x）在(0，t−1t)上单调递增，在(t−1t，+∞)上单调递减；综上可得：当0≤t≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当t＞1时，f（x）在(t−1t，+∞)上单调递增，在(0，t−1t)上单调递减；当t＜0时，f（x）在(0，t−1t)上单调递增，在(t−1t，+∞)上单调递减；（3）证明：要证f（x）＜e x﹣1﹣1，即证tx﹣（t﹣1）lnx﹣t＜e x﹣1﹣1，即证x﹣（t﹣1）lnx＜e x﹣1﹣（t﹣1）（x﹣1），即证e lnx﹣（t﹣1）lnx＜e x﹣1﹣（t﹣1）（x﹣1），令g（x）＝x﹣1﹣lnx，x≥1，则g′(x)=1−1x=x−1x≥0，所以g（x）在区间（1，+∞）单调递增，所以当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0，即当x＞1时，x﹣1＞lnx．令h（x）＝e x﹣（t﹣1）x，x＞0，则h′（x）＝e x﹣（t﹣1）＞0在t≤0时恒成立，所以当t≤0，且x＞0时，h（x）单调递增，因为x＞1时，x﹣1＞0，lnx＞0，且x﹣1＞lnx，所以当t≤0，且x＞1时，h（x﹣1）＞h（lnx），即e lnx﹣（t﹣1）lnx＜e x﹣1﹣（t﹣1）（x﹣1）．所以当t≤0，且x＞1时，f（x）＜e x﹣1﹣1．。