清华大学数学实验-实验9-非线性规划1资料
实验9_非线性规划
0 fv = -750 ef = 4 out = iterations: 9 funcCount: 63 lssteplength: 1 stepsize: 6.2424e-007 algorithm: [1x44 char] firstorderopt: 2.4805e-006 constrviolation: 2.4031e-007 message: [1x766 char] lag = lower: [6x1 double] upper: [6x1 double] eqlin: [0x1 double] eqnonlin: 11.25 ineqlin: [0x1 double] ineqnonlin: [7x1 double] 此结果表示，当A的最大市场需求量为100t时，公司应进货甲50t,乙150t,丙0t。将甲与乙 混合后完全用于生产B产品，不加丙原料直接成品。最大利润为75万元。
4.2.3.2
A的最大市场需求量为600t
改动程序数值后，如设定初值为x0=[0 0 0 0 0 0]'，输出结果如下： Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 3 5 5 6 6 7 x= 50 150 5.3864e-016 200 -1.2119e-015 0 fv = -750 ef = 4 out =
4.1 模型分析
这是一个规划问题。首先按题目要求写出决策变量、目标函数、约束条件。
4.1.1 决策变量
决策变量是各原料、混合液体的用量。 设公司取甲原料 （量为a） 、 乙原料 （量为b） 用于生产混合液体。 将混合液体 （量为c） 、 丙原料（量为e）用于生产A。将混合液体（量为d）、丙原料（量为f）用于生产B。
高教数学建模与数学实验第 非线性规划PPT课件
(3)
以
X
k 1
D0为初始点，求解min X D 0
I
X
,
rk
，其中
X
D0的
最优解设为 X k = X rk D0；
(4)
检验是否满足
r
m
ln
i=1
gi
Xk
或
rk
m
i=1gi
1
X
，若满
足，停止迭代，令 X * X k ；否则取rk1 = rk ，令k = k 1，
返回
罚函数法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
第5页/共43页
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.
k j
j = 1,L, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验 X k1对原约束是否可行.若 X k1对原约束可行，则转
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
=
k j
j =1,L,n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若
k j
j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当X D 时，满足
各 gi X 0, hi X = 0 ，故罚项为0，不受惩罚．当X D 时,必
有约束条件 gi X 0或hi X 0 ，故罚项大于0，要受惩罚．
第十讲非线性规划一运筹学清华大学林谦
·凸函数：定义在凸集上的函数f(X)称为凸函数，条件是 对于每一对x1，x2及每一个a，0≤a≤1存在：
f(ax1+(1－a)x2)≤a f(x1)+1(1－a)f(x2)
上式中，若≤变为<，则称为严格凸函数。
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B) 对于所有d，则dT▽2 f(X*)·d≥0
ii)判断极小点的充分条件
命题（二阶充分条件——无约束）：设f(X)C2 是定义在 以X*为内点的一个区域上的函数，若
A) ▽f(X*)=0 B) Hess阵H(X*)正定（或负定）
则X*是f(X)的严格极小点（或极大点）
page 11 3 August 2019
目标函数 约束条件
page 3 3 August 2019
max：f(X) =30x1+450x2
0.5x1+2x2+0.25x22≤800
x1≥0，x2≥0
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Operations Research
第二十一讲
§2 非线性规划的数学模型及 特点 （1）
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Operations Research
第二十一讲
§4 非线性规划求解方法分类（1）
1．一维最优化 ①斐波那契（Fibonacci）法 ②黄金分割法（0.618法） ③牛顿法（切线法） ④抛物线逼近法 ⑤成功和失败法
实验9 非线性规划
数学实验（非线性规划）郭明钊 2012011880 化21一、 生产安排问题1、 问题分析：根据题目的要求可以知道这个问题的目标是使公司获得的利润最大，要做的决策就是如何安排生产，约束的条有：原料供应量，市场的需求量，产品的含硫量。
根据这些条件列出约束方程，运用LINGO 就可以很方便的解出最优解。
2、 建立模型：用(11,2)ij x i j ==，2，3；表示第i 种原料（这里1,2,3分别代表甲，乙，丙）用于生产第j 种产品（这里1,2分别代表A ，B 两种产品）。
目标函数：设公司获利为Z 千元，则目标函数为：33232121231111191561610i i j j j i i j j j MaxZ x x x x x ======+---∑∑∑∑∑（总利润=总的售价-总的成本）约束条件：甲、乙、丙三种原料的供应量都不超过500t ，所以有)3,2,1(50021=≤∑=i xj ijA 、B 两种产品的产量分别不能超过100t ，200t 。
所以有311100i i x=≤∑和321200i i x =≤∑ 产品A ，B 的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，且已知甲、乙、丙三种原料的含硫量分别是3%，1%，2%，于是就有1121311121313%1%2% 2.5%x x x x x x ++≤++ （1） 1222321222323%1%2% 1.5%x x x x x x ++≤++ （2） 由（1）（2）两式进一步化简可得1121310.5 1.50.50,x x x --≤和1222321.50.50.50x x x -+≤另外还有，按照生产工艺要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A ，B 。
所以在A ，B 两种产品中甲，乙两种原料的相对含量是相同的。
于是就有11211222::x x x x =3、 LINGO 求解（1） 对于第一问，直接根据上面模型在lingo 中输入以下内容：max=9*(x11+x21+x31)+15*(x12+x22+x32)-6*(x11+x12)-16*(x21+x22)-10*(x31+x32); x11+x12<=500;x21+x22<=500;x31+x32<=500;x11+x21+x31<=100;x12+x22+x32<=200;x11*x22-x21*x12=0;0.5*x11-1.5*x21-0.5*x31<=0;1.5*x12-0.5*x22+0.5*x32<=0;得到如下结果：Global optimal solution found.Objective value: 400.0000Objective bound: 400.0000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 2Total solver iterations: 131Model Class: NLPTotal variables: 6Nonlinear variables: 4Integer variables: 0Total constraints: 9Nonlinear constraints: 1Total nonzeros: 28Nonlinear nonzeros: 4Variable Value Reduced Cost X11 0.000000 0.000000X21 0.000000 4.000000X31 0.000000 0.000000X12 0.000000 2.000000X22 100.0000 0.000000X32 100.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 400.0000 1.0000002 500.0000 0.0000003 400.0000 0.0000004 400.0000 0.0000005 100.0000 0.0000006 0.000000 2.0000007 0.000000 0.2000000E-018 0.000000 2.0000009 0.000000 6.000000于是可以得出结论，在第一问的条件下，最优的生产安排应该是用100t的乙原料和100t的丙原料混合，生成200t产品B，所得的最大利润为40万元（400千元）。
实验九(非线性规划)
大学数学实验实验报告——非线性规划2 大学数学实验 实验报告 | 2014/5/22x3A +x3B ≤500;xA ≤100; xB ≤200;x1A ,x2A ,x3A ,x1B ,x2B ,x3B ,xA ,xB ≥0;针对于不同的情况，改变约束条件中的相关参数，就可以进行优化求解了。
解决方案：针对第一问，直接按照上面的不等式利用LINGO 软件直接编写程序求解： max =-6*x1A-16*x2A-10*x3A-6*x1B-16*x2B-10*x3B+9*xA+15*xB; x1A+x2A+x3A=xA; x1B+x2B+x3B=xB;3*x1A+x2A+2*x3A<=2.5*xA; 3*x1B+x2B+2*x3B<=1.5*xB; x1A*x2B=x2A*x1B; x1A+x1B<=500; x2A+x2B<=500; x3A+x3B<=500; xA<=100; xB<=200; 非负约束省略。
运行得到优化结果报告的部分内容如下： Global optimal solution found.Objective value: 400.0000 Objective bound: 400.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 134Model Class: NLPVariable Value Reduced Cost X1A 0.000000 0.000000 X2A 0.000000 4.000000 X3A 0.000000 0.000000 X1B 0.000000 2.0000003大学数学实验 实验报告 | 2014/5/2X2B 100.0000 0.000000 X3B 100.0000 0.000000 XA 0.000000 0.000000 XB 200.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 400.0000 1.000000 2 0.000000 -14.00000 3 0.000000 -22.00000 4 0.000000 2.000000 5 0.000000 6.000000 6 0.000000 0.2000000E-01 7 500.0000 0.000000 8 400.0000 0.000000 9 400.0000 0.000000 10 100.0000 0.000000 11 0.000000 2.000000从这份报告可以看出，当用乙、丙各100t 来生产200t 的B 时利润最大为40（万元）。
第十讲 非线性规划(一)(运筹学基础-清华大学,王永县)
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第二十一讲
§2 非线性规划的数学模型及 特点 （3）
[例4-4]非线性规划为
min f(X)=(x1－2)2+(x2－2)2 h(X)=x1+x2－6≤0
显然，此时的最优解为C点(x1*=x2*=2 ，f(X*)=0)，该点落在可 行或内部，其边界约束失去作用。
从前面例中看出，非线性规划的最优解（如果存在）可在其 可行域上任一点达到。因而，非线性规划数学模型可以没有 约束条件，即存在无约束最优化问题。
page 6 22 January 2020
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Operations Research
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第二十一讲
§1 非线性规划问题的现实来 源－问题的提出 （1）
在规划模型中，如果在目标函数或在约束条件中有一个或 多个是自变量的非线性函数，则称这种规划为非线性规划 问题。
就现实问题，严格讲来，基本属于非线性规划模型。
现举例说明非线性规划的现实背景。
[例4-1]某公司经营两种设备。第一种设备每件售价为30元， 第二种设备每件售价为450元。且知，售出第一、二种设 备分别需时为每件约0.5小时和（2+0.25x2）小时，其中x2 为第二种设备售出数量。公司的总营业时间为800小时。
显然，与直线AB相切的点必 为最优解。
图 4-1(a) 中 的 D 点 即 为 最 优 点，此时目标函数值为：
f(X*)=2，x1*=x*2=3
x1 6
A
f(X)=4
3
D
2C
f(X)=2
非线性规划共58页
2.不等式约束问题的最优性条件
考 虑 问 题 ： s m .t.in g j( fX (X )) 0i 1 ,2,m .( 2 )
定理3 (KuhnTucker必要条件)设X*是问题(2)的可行解，
f , gi (i I)在X*可微.gi (i I)在X*连续，再假设gi (X *)(i I)
9
3、等式和不等约束问题的最优性条件
考虑问题：
min f(X)
s.t.ghjj((XX))00
i 1,2 i 1,2
,m ,l
（3）
10
定理3 (Kuhn Tuc ker 必要条件)设X*是问题(3)的可行解，
f , gi (i I )在X*可微.gi (i I )在X*连续，h j ( j 1, 2,...l)
)
0,
X
D
表
示
在
可
行
点
X
起
约
束
作
用
的
指
标
集。 11
非线性规划的基本解法
1、罚函数法
SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
返回 12
罚函数法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法． 其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点法．
l
f (X*) *jhj(X*) 0(xL(X*) 0,L(X*) hj(X*) 0,) j1
其中L(X,) f (X)Th(X)称为Lagran函 ge数。
定2： 理 (二阶充 )设 X分 * En是 条问 件 (1)的 题 可f行 ,hj(j 解 1,2,.， l.).,
非线性规划基础.pptx
定理13.10 若目标函数f(x)是Rn上的连续可微凸函数，
则 f (x的) 充0分必要条件 为无x 约束优化问题
（13.4）的全局最优点和局部最优点。
第19页/共35页
• 例13.5 求函数f(x)的最优值点，即。
m in
xR n
f
(
x
)
(
x12
1)2
x12
x22
2x1
解： f (x) 0 x (1,0)T
凹函数
第8页/共35页
非凸非凹函数
凸函数具有如下性质
第9页/共35页
二、凸函数的判断
• 一元函数凸性的判断
f (x) 0 f (x1) f (x2 ) f (x2 )(x1 x2 )
第10页/共35页
• 多元函数凸性的判断
梯度：
f (x) ( f (x) ,, f (x) )T
x1
xn
H(
x1,x2
)
6x1 3
23
• 判定正定的方法：当一个n×n矩阵A的任意k阶顺
序主子式大于0时，则该矩阵为正定的。
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
x12
x1x2
x1xk
2 f (x)
H
(
k
x)
x2x1
2 f (x) x22
2 f (x) x2xk
2 f (x) 2 f (x) 2 f (x)
第13页/共35页
• 例13.4 判别下列函数的凸凹性
1） f (x1, x2 ) 2x12 x22 2x1x2 x1 1
2） f (x1, x2 ) x12 x22
解： 1）
H(
x1,x2
大学数学实验九_非线性规划
0
z_x4_x2 =
99/5
z_x4_x3 =
(-360)*x3
z_x4_x4 =
1001/5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2、练习建立实际问题的非线性规划模型。
【实验内容】
1 对问题
3, 1)，求解非线性规划：
（1）
；
（2）
（3）
增加以下条件，并分别取初值(-3, -1, -3, -1)和(3, 1, ；
再取不同的初值或用分析梯度计算，比较计算结果，你能从中得到什么启示？
1.1 目标函数的 M 文件的编写 设
ห้องสมุดไป่ตู้
现在需要求 的梯度。下面利用 MATLAB 的 diff 命令求函数 的梯度。 --------------------------------------------------编写程序如下-------------------------------------------------syms x1 x2 x3 x4; z=100*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2+90*(x4-x3^2)^2+(1-x3)^2+10.1*[(1-x2)^2+(1-x4)^2]+19.8*(x2-1)*(x 4-1);
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2+90*(x(4)-x(3)^2)^2+(1-x(3))^2+10.1*[(1-x(2))^2+(1-x(4))^2]+19.8
数学实验非线性规划.docx
《大学数学实验》作业非线性规划班级:姓名:学号: 日期:目录【实验目的】 (3)【实验内容】 (3)题目1 （课本习题第九章第4题） (3)【第（1）问求解】 (3)【第（2）问求解】 (7)【第（3）问求解】 (7)【拓展实验、思考、对比、分析】 (8)【木题小结】 (10)题目2（课本习题第九章第8题） (10)【模型建立】 (11)【模型求解】 (14)【第（1）问求解】 (14)【第（2）问求解】 (20)【第（3）问求解】 (22)【拓展实验、思考、对比、分析】 (23)【本题小结】 (25)【实验心得、体会】 (25)注：本实验作业脚本文件均以ex9_4_l形式命名，其中ex代表作业，9_4_1表示第九章第四小题第一个程序。
自编函数均以exf9_4_l形式命名，exf代表作业函数，9_4_1 表示第九章第四题第一个自编函数。
【实验目的】1.掌握用MATLAB优化工具箱和LINGO解非线性规划的方法；2.练习建立实际问题的非线性规划模型。
【实验内容】题目1 （课本习题第九章第4题）某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A, B）。
按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合牛产A, Bo已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%, 1%, 2%,进货价格分别为6千元/t, 16千元/t, 10千元/t；产品A, B的含硫量分别不能超过2.5%, 1.5%,售价分别为9千元/t, 15千元/t。
根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t；产品A, B的最大市场需求量分别为100t, 200to（1）应如何安排生产？⑵如果产品A的最大市场需求量增长为600t,应如何安排生产？⑶如果乙的进货价格下降为13千元/t,应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情况进行讨论。
【第（1）问求解】【模型建立】⑴模型该题为带约束非线性规划问题，其模型包含决策变量、FI标函数和约束条件。
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清华大学数学实验-实验9-非线性规划1实验9 非线性规划实验目的：1）掌握用matlab优化工具箱解非线性规划的方法2）练习建立实际问题的非线性规划模型实验内容：4.某公司将3种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙）混合生产两种产品（分别记为A，B）.按照生产工艺的要求，原料甲、乙必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别于原料丙生产A，B.已知原料甲、乙、丙的含硫量分别是3%，1%，2%，进货价格分别为6千元/t，16千元/t，10千元/t；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9千元/t，15千元/t.根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量都不能超过500t;产品A，B的最大市场需求量分别为100t，200t.（1）应如何安排生产？（2）如果产品A的最大市场需求量增长为600t，应如何安排生产？（3）如果乙的进货价格下降为13千元/t，应如何安排生产？分别对（1）、（2）两种情况进行讨论.解：（1）问题的建模设利用x1吨甲，x2吨乙，x3吨丙制造y1吨A；利用x2吨甲，x4吨乙，x6吨丙制造y2吨B；总收益是z千元。
则有以下方程与不等式：质量守恒：y1=x1+x3+x5y2=x2+x4+x6总收益：z=9y1+15y2-6(x1+x2)-16(x3+x4)-10(x5+x6)化简得：z=3x1+9x2+3x3+9x4-x5+5x6含硫量约束：3%x1+1%x3+2%x5≤2.5%y13%x2+1%x4+2%x6≤1.5%y2化简得：0.5 x1-1.5x3-0.5x5≤01.5x2-0.5x4+0.5x6≤0供应量约束：（x1+x2）,(x3+x4),(x5+x6)≤500需求量约束：y1≤100；y2≤200化简得：x1+x3+ x5≤100x2+x4+ x6≤200甲乙混合，比例相同：x1 x3=x2 x4整理得：x1x4-x2x3=0;模型的求解：该问题是一个带约束非线性规划问题，编写源程序如下：M文件：函数文件：function z = lab94fun( x)z=-(3*x(1)+9*x(2)-7*x(3)-x(4)-x(5)+5*x(6));end非线性约束条件文件：function [ c,ceq ] = lab94con( x )c=0;ceq=x(1)*x(4)-x(2)*x(3);end主文件：A=[0.5 0 -1.5 0 -0.5 00 1.5 0 -0.5 0 0.51 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 0 1 11 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 ]b=[0 0 500 500 500 100 200]'x0=[20 20 20 20 30 30]; %已验证在可行域中v1=[0 0 0 0 0 0][x,z,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(@lab94fun,x0,A,b,[],[],v1,[],@lab94con); xz运算结果为：x =0.0000 0 -0.0000 100.0000 0 100.0000z =-400因此，此时应购买100吨乙，100吨丙来生产200吨B，总共收益是400千元（2）问题的建模：修改x1+x3+ x5≤100为：x1+x3+ x5≤600，其余不变。
模型的求解：主文件：将b变为：b=[0 0 500 500 500 600 200]'在实际运行时发现，在初值为x0=[150 10 10 10 150 10]（也有其他初值）时，总收益最大。
结果为：x =300.0000 0.0000 0 -0.0000 300.0000 0.0000z =-600因此，这时应该购入100吨甲和100吨丙来生产A，总收益是600千元。
（3）问题的建模：总收益变为：z=3x1+9x2-4x3+2x4-x5+5x6其余不变。
模型的求解：将函数文件修改为：z=-(3*x(1)+9*x(2)-4*x(3)+2*x(4)-x(5)+5*x(6));其余不变。
对（1），结果为：（修改初值是x0=[30 10 10 100 30 10]）x =0.0000 50.0000 -0.0000 150.0000 0 0z =-750.0000对（2），结果为：（修改初值是x0=[30 10 10 100 30 10]）0.0000 50.0000 -0.0000 150.0000 0 0z =-750.0000可见，二者结果相同。
因此，应购买50吨甲，150吨乙，生产200吨B，总收益是750千元。
（本题初值对结果有一定影响，有时初值不同、结果不同，因此应该多选初值进行尝试。
）9.8.美国某三种股票（A，B，C）12年（1943-1954年）的价格（已经包括了分红在内）每年的增长情况如下表所示（表中还给出了相应年份的500种股票的价格指数的增长情况）.例如，表中第一个数据1.300倍，即收益为30%，其余数据的含义以此类推.假设你在1955年时有一笔资金准备投资这三种股票，并期望年收益率至少达到15%，那么你应当如何投资？此外，考虑一下问题：（1）当期望的年收益率在10%~100%变化时，投资组合和相应的风险如何变化？（2）假设除了上述三种股票外，投资人还有一种无风险的投资方式，如购买国库券.假设国库券的年收益率为5%，如何考虑该投资问题？（3）假设你手上目前握有的股票比例为：股票A占50%，B占35%，C占15%.这个比例与你得到的最优解可能有所不同，但实际股票市场上每次股票买卖通常总有交易费，例如按交易额的1%收取交易费，这时你是否仍需要对手上的股票进行买卖（换手），以便满足“最优解”的要求？1944 1.103 1.290 1.260 1.197526 1945 1.216 1.216 1.419 1.364361 1946 0.954 0.728 0.922 0.919287 1947 0.929 1.144 1.169 1.057080 1948 1.056 1.107 0.965 1.055012 1949 1.038 1.321 1.133 1.187925 1950 1.089 1.305 1.732 1.3171301952 1.083 1.390 1.131 1.183675 1953 1.035 0.928 1.006 0.990108 1954 1.176 1.715 1.908 1.526236 解：问题的建模：为方便建模及程序编写，先将各值计算出来。
令EA,EB,EC为各股票的期望，DA,DB,DC为各股票的方差，rAB、rAC、rBC分别为每两支股票之间的相关系数。
可以计算得：EA=1.0891;EB=1.2137;EC=1.2346DA=0.0108;DB=0.0584;DC=0.0942rAB=0.4939;rAC=0.4097;rBC=0.7472同时可计算出每两种股票的协方差为：cov(A,B)=rAB√DA√DB=0.01240387cov(A,C)=rAC√DA√DC=0.01306782cov(B,C)=rBC√DB√DC=0.05542028令投资A,B,C三种股票每种所占的比例分别为x1、x2、x3因此，投资的总期望收益是：Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3投资总收益的方差为Z2=x12DA+x22DB+x32DC+2x1x2cov(A,B)+2x1x3cov(A,C)+2x2x3cov(B,C)=0.0108x12+0.0584x22+0.0942x32+0.01240387x1x2+0.01306782x1x3 +0.05532028x2x3年收益率至少要达到15%：1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3≥1.15其他约束：x1+x2+x3=1x1,x2,x3≥0模型的求解：源程序如下：函数文件：function f=lab98fun(x)f=0.0108*x(1)^2+0.0584*x(2)^2+0.0942*x(3)^2+0.01240387*x(1)*x(2)+0.01306782*x(1)*x(3)+0.05 532028*x(2)*x(3);end约束条件文件：function [c,ceq]=lab98con(x)c=1.15-1.0891*x(1)-1.2137*x(2)-1.2346*x(3);ceq=x(1)+x(2)+x(3)-1;end主程序：x0=[0.1 0.1 0.1];v1=[0 0 0];v2=[1 1 1];[x,fv,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(@lab98fun,x0,[],[],[],[],v1,v2,@lab98con);运行结果为：x =0.5394 0.2928 0.1678fv =0.0167所以选择投资A54%，B29%，C17%左右，可使方差最小，收益率的方差为1.67%。
由表中数据所示，当期望年收益率低的时候，多投资A股一些可以减小风险。
随着期望年收益率的不断增高，投资A股的份额不断减小，而B股和C股的份额在增大，同时风险也在增大，当期望年收益率更高时，B股的股份也下降，转而都投资C股，同时风险进一步加大。
由此可以看出，高收益总是伴随着高风险。
（2）问题的建模：只是要改变相应的约束条件。
ED=1.05 DD=0投资的总期望收益变为Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3+1.05x4投资总收益的方差不变其余约束条件变为x1+x2+x3+x4=1x1,x2,x3,x4≥0根据问题要求，变为1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3+1.05x4≥1.15模型的求解：解为：x =0.2463 0.3268 0.1997 0.2272fv =0.0159因此，应投资的比例分别为A24.6%，B32.7%，C20%，D22.7%左右，收益率的方差为1.59%（3）问题的建模：需要改变收益的方程为Z1=x1EA+x2EB+x3EC=1.0891x1+1.2137x2+1.2346x3−0.01（|0.5−x1|+|0.35−x2|+|0.15−x3|）模型的求解：将收益的语句改为c=1.15-1.0891*x(1)-1.2137*x(2)-1.2346*x(3)+0.01*(abs(0.5-x(1))+abs(0.35-x(2))+abs(0.15-x(3)));运行后可得x =0.5314 0.3187 0.1500fv =0.0169因此，应投资的比例分别为A53.14%，B31.87%，C15%，收益率的方差为1.69%也就是适当改变A,B的持股比例，C股不变即可（本题没有用quadprog语句求解，最终结果与课本答案有偏差）。