高教版《数学建模与数学实验第3版》第6讲非线性规划
非线性规划(数学建模)
1.023
1.031 1.073 1.311 1.080 1.150 1.213 1.156 1.023 1.076 1.142 1.083 1.161 1.076 1.110 0.965
1.048
1.226 0.977 0.981 1.237 1.074 1.562 1.694 1.246 1.283 1.105 0.766 1.121 0.878 1.326 1.078
m ax ( 1)R (X)Q (X), st .. x xn 1 1 x 2 x i 0 i 1 ,2 , ,n
3个模型均为非线性规划模型。
引 例
投资选择问题
某公司在一个时期内可用于投资的总资本为 b万元, 可供选择
的项目有n个。假定对第i个项目的投资总额为ai万元，收益总额为
2.212
1.296 0.688 1.084 0.872 0.825 1.006 1.216 1.244 0.861 0.977 0.922 0.958 0.926 1.146 0.990
引 例
收益和风险
每个投资项目的收益率可以看成一个随机变量,其均值可
以用样本均值(历史均值)来近似.因此, 预计第j种投资的平 均收益率为
0.978
0.947 1.003 1.465 0.985 1.159 1.366 1.309 0.925 1.086 1.212 1.054 1.193 1.079 1.217 0.889
1.184
1.323 0.949 1.215 1.224 1.061 1.316 1.186 1.052 1.165 1.316 0.968 1.304 1.076 1.100 1.012
max s.t.
R( X ) Q( X ) x1 x2 x8 1, xi 0
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
第六章 非线性规划
第六章 非线性规划由前几章知道，线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。
第一节 基本概念一、 非线性规划的数学模型非线性规划数学模型的一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≥==),,2,1(0)(),,2,1(0)()(min l j x g m i x h x f ji （6.1）其中，X=（n χχχ,,,21 ）T 是n 维欧氏空间E n 中的点（向量），目标函数)(X f 和约束函数)()(X j X i g h 、为X 的实函数。
有时，也将非线性规划的数学模型写成 ⎩⎨⎧=≥),,2,1(0)()(min l j X g X f j (6.2)即约束条件中不出现等式，如果有某一约束条件为等式0)(=X g j ，则可用如下两个不等式约束替代它： ⎩⎨⎧≥-≥0)(0)(X g X g jj模型（6.2）也常表示成另一种形式：{}⎩⎨⎧=≥=⊂∈),,2,1(,0)(|),(min l j X g X R E R X X f j n (6.3)上式中R 为问题的可行域。
若某个约束条件氏“≤”不等式的形式，只需用“-1”乘这个约束的两端，即可将其变成“≥”的形式。
此外，由于[])(m in )(m ax x f X f --=，且这两种情况下求出的最优解相同（如有最优解存在），故当需使目标函数极大化时，只需求其负函数极小化即可。
二、二维问题的图解当只有两个自变量时，求解非线性规划也可像对线性规划那样借助于图解法。
考虑非线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+=-+-+-=000505)1()2()(min 212122212221x x x x x x x x x X f (6.4)如对线性规划所作的那样，在21Ox x 坐标平面画出目标函数的等值线，它是以点（2.1）为圆心的同心圆，再根据约束条件画出可行域，它是抛物线段ABCD （图6-1）。
数学建摸优秀讲座之非线性规划
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
X D，且 X X * ，都有 f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X*时，若 f X * f X ，
函数，简记：
f : E n E l ,gi : E n E l ,hj : E n E l
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 X * D ,对任意的X D ,都有 f X * f X
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
X X* 时，若f X * f X ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值点
(1) x=fmincon(@fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,lb,ub)
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
.hgji((XX
) )
0 0
i j
1,2,...,m; 1,2,...,l.
数学建模算法非线性规划
第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i ==-最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i ==-上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t. =≤ (NP)p i x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x ][1=称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
高教版数学建模与数学实验第3版第6讲_非线性规划.ppt
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
注意：
[1] fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法．默认 时: 若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置 为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函 数将选择大型算法．当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型 算法．
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1),设 X * D ,若存在 0 ,使得对一切
X D ,且 X X * ,都有 f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当X X* 时，若
f X * f X ,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
1112x1 x22 2
0 0
x1 x2
c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3．运算结果为：
步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
=
k j
j = 1,L, n，返
回步骤(3)，重解当前的线性规划问题；
5)
判断精度：若
k j
j =1,L,n，则点 X k1为近似最优解；
否则，令
k 1 j
=
k j
j =1,L,n，k=k+1，返回步骤(2)． 返回
数学建模中的非线性规划问题
数学建模中的非线性规划问题在数学建模领域中，非线性规划问题是一类重要且常见的问题，它在实际应用中具有广泛的意义和价值。
非线性规划问题的研究和解决，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
非线性规划问题可以简单地理解为在约束条件下寻找一个或多个使目标函数最优化的变量取值。
与线性规划问题不同，非线性规划问题在目标函数和约束条件中可能存在非线性项，因此其求解难度较大。
不同于线性规划问题的凸性、单调性等属性，非线性规划问题涉及到更多的数学工具和分析方法。
在实际应用中，非线性规划问题的出现非常普遍。
例如，在生产中，企业需要在有限的资源条件下使利润最大化，这就需要解决一个非线性规划问题。
除此之外，非线性规划问题还广泛应用于交通、能源、金融等领域。
不仅如此，非线性规划问题还可以用于统计数据拟合、函数逼近等问题的求解。
因此，研究和解决非线性规划问题具有非常重要的实际意义。
在解决非线性规划问题时，常用的方法主要包括精确解法和近似解法。
精确解法主要包括拉格朗日乘子法、KKT条件等，通过求解一系列方程和方程组来确定最优解。
这类方法通常适用于问题结构相对简单、目标函数和约束条件有良好性质的情况。
然而，对于问题结构复杂、目标函数和约束条件非常复杂的情况，精确解法往往效率较低，难以求解。
因此，在实际应用中，近似解法更为常见。
近似解法主要包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
这些方法通常基于局部优化思想，通过不断迭代和优化，逐步靠近最优解。
这类方法适用于一般性的非线性规划问题，具有较强的鲁棒性和适应性。
但是，这些方法也有其局限性，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。
除了上述方法外，还有一些新的研究方法和算法被提出，如混合整数非线性规划、次梯度法、粒子群优化等。
这些方法在某些特定问题中表现出较好的运用效果，并有望在未来的研究中得到更广泛的应用。
总之，非线性规划问题在数学建模中占据重要地位，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
数学教案数学建模中的非线性规划问题
数学教案数学建模中的非线性规划问题一、引言在实际生活和工程领域中，我们经常会遇到各种非线性规划问题。
非线性规划是一种优化问题，它的目标函数和约束条件都是非线性的。
解决非线性规划问题可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，同时也可以提高我们的实际问题解决能力。
本教案旨在介绍数学建模中的非线性规划问题，并探究如何求解这类问题。
二、背景知识1. 非线性规划的基本概念非线性规划是在目标函数和约束条件中存在非线性项的优化问题。
目标函数和约束条件可以是非线性的多项式、指数函数、对数函数等形式。
2. 非线性规划的求解方法目前，常用的非线性规划求解方法有梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法都是基于局部优化的思想，通过迭代逼近全局最优解。
三、教学内容1. 非线性规划问题的数学建模非线性规划问题通常可以通过建立数学模型来描述。
在建模过程中，需要确定目标函数和约束条件，并根据实际问题选择适当的变量和参数。
2. 求解非线性规划问题的基本步骤求解非线性规划问题通常需要经过以下步骤：a. 确定问题的数学模型；b. 将目标函数和约束条件转化为数学表达式；c. 选择合适的求解方法，并考虑收敛性和计算复杂度等因素；d. 编写相应的计算程序，并进行数值计算；e. 对结果进行分析和解释，给出合理的结论。
3. 实际问题的案例分析通过实际问题的案例分析，引导学生了解非线性规划问题的应用场景，并培养学生解决实际问题的能力。
四、教学设计1. 概念讲解通过讲解非线性规划的基本概念和相关知识，引导学生了解非线性规划问题的特点和求解方法。
2. 理论讲解分析非线性规划问题的常见形式，并介绍求解非线性规划问题的基本步骤和方法。
3. 数学建模实践设计几个实际问题的数学建模例子，引导学生通过建立数学模型并求解，解决实际问题。
4. 计算实验利用数学软件（如MATLAB）进行计算实验，演示非线性规划问题的求解过程，并分析计算结果。
5. 案例分析讨论选取一些典型的非线性规划问题的案例，进行讨论和分析，引导学生理解非线性规划问题的应用价值。
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m inIX,r得X（ k r） .
0
XD
k
k
高教版《数学建模与数学实验第3
版》第6讲非线性规划
内点法的迭代步骤
( 1 ) 给 定 允 许 误 差 0 ， 取 r 1 0 , 0 1 ；
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X 0 D0，令k = 1；
(3)
以
X
k 1
D0为初始点，求解min X D 0
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( Rn )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
{ } D = X | gi X 0, hj X = 0, X Rn
问题(1)可简记为 minfX． XD
定义2 对于问题(1),设 X* D ,若存在 0 ,使得对一切
（1）
其中 X = x1, x2,L, xn T Rn，f , gi,hj 是定义在 Rn 上的实值函数，
简记:
f : Rn R1, gi : Rn R1, h j : Rn R1
其它情况: 求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
有约束条件 g iX 0 或 h iX 0，故罚项大于0，要受惩罚．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤
1．任意给定初始点 X0，取M1>1，给定允许误差 0，令k=1；
m X 2iR n ．nT 求无X ,约M 束极=T 值(问X 题k,M m Xik Rn)nT；X,M的最优解，设Xk=X(Mk)，即
解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，
可能导致错误．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
SUTM内点法（障碍函数法）
考 虑 问 题 ： s m .ti.ng fiX X 0 i= 1 ,2 ,...,m (1 )
设 集 合 D 0= {X |gX 0 ,i= 1 ,2 , ,m } ， D 0 是 i
j= 1
将 问 题 （ 1 ） 转 化 为 无 约 束 问 题 ： m i n T X , M ( 3 ) X R n
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当X D 时，满足
各 g iX 0 ,h iX = 0，故罚项为0，不受惩罚．当X D 时,必
XD ,且 X X* ,都有 fX*fX,则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当 X X* 时，若
fX*fX,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
优解）．
定义3 对于问题(1),设 X* D ,若对任意的 XD,都有f X* f X ,
可 行 域 中 所 有 严 格 内 点 的 集 合 .
构造障碍函数
m
I X , r ：I X , r= f X r lngi X 或
i =1
I ( X , r) =
f
(X ) r
m i =1
1
gi X
m
其中称r lngi X 或
i =1
m
r
i =1
g
i
1
X
为障碍项，
r为障碍因子.
这 样 问 题 （ 1） 就 转 化 为 求 一 系 列 极 值 问 题 ：
3．若存在 i1im，使 gi Xk ,则取Mk>M(M k1=M ,=1)0,
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X* Xk．
m
计算时也可将收敛性判别准则 gi Xk 改为 M min0,giX2 0．
i=1
罚函数法的缺点：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而
只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在
非线性规划
非线性规划的基本概念 *非线性规划的基本解法
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
返回
非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
mifn X
s.t.hgij
X X
=
0 0
i = 1,2,..., m; j = 1,2,...,l.
2． 近似规划法
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
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罚函数法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X 和约束条件 g i X 0 ( i = 1 , . . . , m ) ;h j X = 0 ( j = 1 ,, l )
I
X
,
rk
，其中
X
D0的
最优解设为 X k = X rk D0；
(4)
检验是否满足
r
m
ln
i=1
gi
Xk
或
rk
m
i=1gi
1
X
，若满
足，停止迭代，令 X * X k ；否则取rk1 = rk ，令k = k 1，
返回(3）．
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近似规划法
数学建模与数学实验
非线性规划
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
实验目的 实验内容
1． 直观了解非线性规划的基本内容． 2． 掌握用数学软件求解优化问题．
1．非线性规划的基本理论． 2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型． 4．实验作业．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
SUTM外点法
对 一 般 的 非 线 性 规 划 ：m infX
s.t. h g jiX X =0 0
i= 1 ,2 ,...,m ; j= 1 ,2 ,...,l.
(1 )
m
l
可T 设 X ,M = ： fX Mm 0 ,i g in X 2 Mh jX 2 (2 )
i= 1
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地,当
X X* 时，若 fX*fX,则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点（严格全局最优解）．
高教版《数学建模与数学实验第3 版》第6讲非线性规划
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非线性规划的基本解法
1． 罚函数法
SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法）