第6讲整数规划、非线性规划模型

一、模型准备 该问题是在原料数量一定的限制条件下，求商店生产三种口味 蛋糕各多少时，可获得最大收益． 二、模型假设 1．假设在生产过程中没有材料的浪费． 2． 假设生产的面包能全部售出， 且不考虑影响销售价格的因素． 三、变量假设 设商店生产草莓、蓝莓、柠檬三种口味的蛋糕的数量分别为
x1 , x2 , x3 ，获得的总收益为 R 元．
x=intvar(1,2); C=[240 378]; a=[1 0;0 1;1 1];b=[8 6 10]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b')+set(96*x(1)+120*x(2)>=720); solvesdp(F,f) double(f)
double(x)
整
数
规
划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。 如果决策变量的取值只能为0或1，则这样的 规划问题称为0－1规划。
double(f)
double(x)
非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min
f ( x) h j ( x) 0, j 1, 2, , l.
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m,
其中， x E n ，
f (x) 为目标函数，
g i ( x), h j ( x) 为约束函数，这些函数中至少有
最优化模型（2）
一、一般的线性规划模型 二、整数规划模型
三、非线性规划模型
运用最优化方法解决最优化问题的一般 方法步骤如下：
①前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件， 并确立最优化的目标。
②定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函 数和约束条件。 ③针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。 ④编写程序，利用计算机求解。 ⑤对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性， 算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与 误差等。
三、模型的分析与建立 目标：获得的总收益最大． 目标函数：总收益为 R 2 x1 3x2 4 x3 ． 约束条件： 1．受面粉数量的限制： 20x1 30x2 40x3 6000 2．受鸡蛋数量的限制： 5x1 8x2 12x3 2000
综上分析，得到该问题的线性规划模型
用YALMIP编程求解程序如下：
x=intvar(1,3); f=sum(0.2*(x.^2)')+sum(50*x)+[12 8 4]*x'-1280; A=[1 0 0;1 1 0;1 1 1];b=[40 100 180]; F=set(0<=x<=100); F=F+(A*x'>=b'); solvesdp(F,f); double(f) double(x)
练习： 【汽车安排模型】 丰顺汽车运输队有 8 辆载重量为 6t 的 A 型卡车与 6 辆载重量为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员。 此车队承包了每天至少搬运 720t 蔬菜的任务。已 知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 16 次，B 型卡车 12 次。每辆卡车每天往返的成本费为 A 型 车 240 元，B 型车 378 元。则每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆运输队所花的成本最低。
C1 50 xi 0.2 xi 2 ；存贮费用： C2 4 2x1 x2 140 ．
3 i 1
约束条件： 1．受第一季度需求限制： x1 40 ； 2．受第二季度需求限制： x1 x2 100 ； 3．受第三季度需求限制： x1 x2 x3 180 ； 4． 受每季度生产能力限制： xi 100, i 1, 2,3 ．
投资最少： min
收益最大： max 约束条件为：
f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ai xi
i 1 m
m
f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) ci xi
i 1
m ai xi a i 1 x (1 x ) 0, i 1, 2,...m i i
max z k (mx1 nx2 )
ax1 c s.t. bx2 c k ( x1 x2 ) d x1 , x2 0且为整数
引例2.资源分配问题：
某个中型的百货商场要求售货人员每周工作5 天，连续休息2天，工资200元/周，已知对售货人 员的需求经过统计分析如下表，问如何安排可使 配备销售人员的总费用最少？
多目标规划
引例1.投资问题 某公司在一段时间内有a(亿元)的资金可用于建厂投资。
若可供选择的项目记为1,2,…,m。而且一旦对第i个项目投
资就用去ai亿元；而这段时间内可得收益ci亿元。问如何 确定最佳的投资方案？
1 对第i个项目投资 xi 0 不对第i个项目投资
最佳投资方案：投资最少，收益最大！
引例2：生产问题 某工厂生产两种产品，产品A每单位利润为10元，而 产品B每单位利润为8元；产品A每单位需3小时装配时间 而B为2小时，每周总装配有效时间为120小时。工厂允许 加班，但加班生产出来的产品利润要减去1元。根据最近 的合同，厂商每周最少的向用户提供两种产品各30单位。 要求：①必须遵守合同；②尽可能少加班；③利润最大。 问应怎样安排生产？ x1：每周正常时间生产得A产品的数量；
问题 1 【产品生产模型】 乐乐玩具工厂生产两种玩具，玩具车的利润为 10 元/个，洋娃娃的利润为 8 元/个；玩具车每个需 要 3 小时装配时间，而洋娃娃为 2 小时．每周总装 配有效时间为 120 小时．工厂允许加班，但加班生 产出来的玩具每个利润要减去 1 元．而两种玩具每 周的需求量均为 30 个．问应怎样安排生产才能使 工厂的总利润最大并且使得工人尽可能少加班．
例1
某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢。
第一种炼法每炉用a小时，第二种用b小时（包
括清炉时间）。假定这两种炼法，每炉出钢都是
k公斤，而炼1公斤钢的平均燃料费第一法为m元，
第二法为n元。若要求在c小时内炼钢公斤数不少
于d，试列出燃料费最省的两种方法的分配方案 的数学模型。
设用第一种炼法炼钢x1炉，第二种炼钢x2炉
一、模型准备 该问题要求在完成每周两种玩具生产任务条件 下， 对每种玩具在正常生产时间和加班时间生产的 数量作统筹安排，使得满足以下两个条件：获得的 利润最大，且加班时间尽量少． 二、模型假设 1．假设每周生产产品能全部销售． 2．不考虑生产过程中其他各种因素对加工时间 的影响．
max R 2x1 3x2 4x3
20x1 30x 2 40x3 6000 5 x 8 x 12x 2000 1 2 3 s.t. x1 , x 2 , x3 0 x1 , x 2 , x3 Z
用YALMIP编程求解程序如下：
x=intvar(1,3); %生成3个整数型变量 f=[2 3 4]*x'; %目标函数 F=set(0<=x<=inf); %非负约束条件 F=F+set([20 30 40]*x'<=6000)+set([5 8 12]*x'<=2000); %其他约束条件 solvesdp(F,-f)
一、 问题前期分析 该问题是要求在满足卡车数量，往返次数，司机数量等限制条 件下完成运输任务所需的最小运输成本。 二、 模型假设 1． 假设卡车不能超载。 2． 假设卡车往返次数不受驾驶速度等其他因素影响。 3． 假设运输成本只与车辆数量有关，与车次无关。 4. 不考虑聘请外面的驾驶员。
变量假设： 假设每天派出 x1 辆 A 型车和 x2 辆 B 型车花费成本为 C 元。 一、 模型的分析与建立 目标函数：求运输的总成本最小。 运输总成本为： C 240x1 378x2 受 A 型车数量限制： x1 8 受 B 型车数量限制： x2 6 受司机数量限制： x1 x2 10 要完成每天运输任务： 16 6 x1 12 10 x2 720
综上分析，得到该问题的线性规划模型
min C 240x1 378x2
x1 8 x 6 2 s.t. x1 x2 10 96 x 120 x 720 2 1 x1 , x2 0, x1 , x2 Z
用YALMIP编程求解程序如下：
x2：每周加班时间生产得A产品的数量；
x3：每周正常时间生产得B产品的数量； x4：每周加班时间生产得B产品的数量；
目标函数（有两个）：
max 10 x1 9 x2 8x3 7 x4 min 3x2 2 x4
x1 x2 30 x x 30 3 4 s.t. 3x1 2 x3 120 xi 0, i 1, 2,3, 4
综上分析，得到该问题的线性规划模型
min C 0.2 xi 2 58 x1 54 x2 560
i 1
3
x1 40 x x 100 1 2 s.t. ． x1 x2 x3 180 xi 100, xi Z , i 1, 2,3
一个是非线性函数。
引例 1 【季度交货模型】 彩虹电视机生产厂向阳光电器商行每季度提供彩电，按合同规定， 其交货数量和日期是：第一季度末交 40 台，第二季末交 60 台，第 三季末交 80 台．工厂的最大生产能力为每季 100 台，每季的生产 费用是 f ( x) 50x 0.2 x 2 （元） ，此处 x 为该季生产彩电的台 数．若工厂生产的多，多余的彩电可移到下季向用户交货，这样， 工厂就需支付存贮费，每台彩电每季的存贮费为 4 元．则该厂每季 应生产多少台彩电，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用 最少．