第13讲 非线性规划电子教案
数学建模---非线性规划
基础部数学教研室
数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
求得当 x1 值y
10.6511。
0.5522, x2
1.2033, x3
0.9478 时，最小
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数学 建模
其中 f ( x ) 是目标函数， A, b, Aeq , beq , lb, ub 是相应维数的 矩阵和向量， c( x ), ceq( x ) 是非线性向量函数。
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数学 建模
Matlab 中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n,options) x 的返回值是决策向量 x 的取值，fval 返回的是目标函 数的取值。fun 是用 M 文件定义的函数 f ( x ) ；x0 是 x 的初 始 值 ， 可 以 任 意 选 取 ； A,b,Aeq,beq 定 义 了 线 性 约 束 Ax b, Aeq x beq ， 如 果 没 有 线 性 约 束 ， 则 A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]；lb 和 ub 是变量 x 的下界和上界， 如果上界和下界没有约束，即 x 无下界也无上界，则 lb=[]， ub=[]，也可以写成 lb 的各分量都为-inf，ub 的各分量都为 inf ； nonlcon 是 用 M 文 件 定 义 的 非 线 性 向 量 函 数 c( x ), ceq( x ) ；options 定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
hj ( x ) gi ( x )
北师版高数必修五第13讲：简单线性规划
二元一次不等式组及其线性规划__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 了解二元一次不等式组表示的平面区域，二元一次不等式的解集所表示的平面区域，了解线性规划问题；教学难点： 理解简单的线性规划问题及图像的判断。
1. 二元一次不等式（组）（1） 二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，其一般形式为()00Ax By C ++>≥或()00Ax By C ++<≤（2） 二元一次不等式组由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式构成的不等式组称为二元一次不等式组。
2. 二元一次不等式（组）所表示的平面区域（1） 开半平面与闭半平面直线:0l Ax Bx C ++=把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面；（2） 不等式表示的区域以不等式的解(),x y 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图像（3） 二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组中所有不等式所表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的平面区域。
3. 线性规划问题的相关概念（1） 线性约束条件：如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件； （2） 线性目标函数：如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，其一般式为z ax by =+（其中,a b 为常数，且,a b 不同时为0）；（3） 线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题； （4） 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ； （5） 可行域：由所有可行解组成的集合；（6） 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，最优解必是可行解，最优解必在可行域内。
运筹学——非线性规划
非线性规划
0.618法（近似黄金分割法）
函数 (t ) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个t * [a, b] ，使得 (t ) 在[a, t * ] 上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为 (t ) 的单 谷区间。
非线性规划
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点
第3步
计算 t k1
tk
(tk (tk
) )
，如果
t k 1
tk
，停止迭代，输出 t k1 。否则
k : k 1，转第 2 步。
非线性规划
基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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关于凸函数的一些结论
定理: 设S Rn是非空凸集
(1)若f是S上的凸函数， 0，则f是S上的凸函数；
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 定理: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
f ( x1 )（f ( x1 ),f ( x1 )）T是函数在点x1处的梯度。
x1
xn
（2）f是S上的严格凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ), x1, x2S, x1 x2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
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第三章非线性规划
第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。
一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。
而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。
例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。
已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。
试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i ==-最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i ==-上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。
可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t. =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)( ==其中T n x x x ][1=称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i =和),,1(q j h j =称为约束函数。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
非线性规划讲解
定理 4.2.4 设 S R n 是非空开凸集， f : S R 二阶连续可导，则 f 是
S 上的凸函数的充要条件是 f 的 Hesse 矩阵 2 f ( x) 在 S 上是半正定的。
当 2 f ( x) 在 S 上是正定矩阵时，f 是 S 上的严格凸函数。
（注意：该逆命题不成立。）
2 f (x) 2 f (x)
展g ( 开 t) ( t k ) 式 ( t k )t ( t k ) ： 1 2 ( t k )t ( t k ) 2
g(t)的最小点即 0的导点 ,求 数导 为 : 得
tk1tk((ttkk))
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➢解题步骤：
给定初始点t1和精度
否
||(t1)||
是 停止，输出t1
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1、0.618法（近似黄金分割法） ➢单谷函数
如果 t [a,b]使 , 得(函 t)在 [a数 ,t]上严格 , 递减 且[t在 ,b]上严格 ,称 (递 t)为 [a增 ,b]上的单谷函
[a,b]称为 (t)的单谷区间。
显然 t为 此 (t)在 时 [a,b]上唯一的极小
c1 c2t e c3t
(*)
其中 c1 ， c2 ， c3 是待定参数。现通过测
试获得 n 组 与 t 之间的实验数据(t i , i ) ，
i=1，2，…,n。试确定参数 c1 ， c2 ， c3 ，
使理论曲线(*)尽可能地与 n 个测试点
t
(ti ,i ) 拟合。
n
min[ i (c1c2ti ec3ti)2] i1
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➢假定：已经确定了单谷区间[a,b]
mi n(t) t0 min(t) 0ttmax
非线性规划模型PPT课件
且提供数据如表5所示：
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表5 数据表
石油的
种类
ai
1
9
bi
hi
ti
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间
T 24
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代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
27 x1
0.25x1
20 x2
0.10x2
s.t. 2x1 4x2 24
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变的问题 P1：
min f1( x) f1 s.t. gi ( x) 0,i 1, 2, , m
的最优解 x(1)及最优值 f1，再求问题 P2：
min
f2(1
的最优解 x(2)及最优值
f
2
，即
min xR
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① 适当选取初始点 x0，令k 0. ② 检验 xk 是否满足停止迭代的条件，如是，则停 止迭代，用 xk 来近似问题的最优解，否则转至③. ③ 按某种规则确定 xk 处的搜索方向.
④ 从 xk 出发，沿方向dk ，按某种方法确定步长k ，
使得：
f (xk kdk ) f (xk ) ⑤ 令 xk1 xk kdk ，然后置k k 1，返回②.
h( x) i fi ( x)作为新的目标函数，成为评价（目标） i 1
函数，再求解问题
p
min h( x) i fi ( x) i 1
s.t. gi ( x) 0,i 1,2, , m
得最优解 x(0)，取 x x(0)作为多目标规划问题的解.
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在一定条件下，用线性加权求和法求得的最 优解必是原多目标规划问题的有效解或弱有效 解.
数学实验课件--线性与非线性规划共62页
15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
数学实验课件--线性与非线性 规划
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
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信息与计算科学系
数学 建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，
所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量
（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。
因此，其数学模型为
max Q
n
bi xi
i1ห้องสมุดไป่ตู้
，
n
ai xi
i1
n
s.t.
0
ai xi
i1
A,
xi (1 xi ) 0, i 1, , n.
13
信息与计算科学系
数学 建模
可以验证 点(1,0)是极小值点，对应的极小值 f (1,0) 5； 点(1,2)，( 3,0)不是极值点； 点( 3,2)是极大值点，对应的极大值 f ( 3,2) 31。
x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2;
x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
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（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
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min f ( x) x12 x22 x32 8，
s.t. x12 x2 x32 0，
x1 x22 x33 20，
x1 x22 2 0，
x2 2x32 3，
x1, x2 , x3 0.
（2）编写M函数fun2.m定义非线性约束条件
function [g,h]=fun2(x); g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2；
( j 1, ,q)称为不等式约束。
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数学
建模 3.1.2 非线性规划的Matlab解法
Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 min f ( x)， A x b, Aeq x beq,
s.t. c( x) 0, ceq( x) 0, lb x ub.
其中 f ( x)是标量函数， A,b, Aeq,beq,lb,ub是相应维数的 矩阵和向量，c( x),ceq( x)是非线性向量函数。
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数学 建模
在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大 值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这 类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
min f ( x)，
s.t. hj ( x) 0, j 1, , q, （3.1） gi ( x) 0, i 1, , p.
其中 x [x1, , xn]T 称为模型（3.1）的决策变量， f 称 为目标函数， gi (i 1, , p)和hj ( j 1, ,q)称为约束函 数。另外，gi ( x) 0 (i 1, , p)称为等式约束，hj ( x) 0
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建模 Matlab 中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco
n,options)
x 的返回值是决策向量 x的取值，fval 返回的是目标函 数的取值，其中 fun 是用 M 文件定义的函数 f ( x)；x0 是 x的 初始值；A,b,Aeq,beq 定义了线性约束 Ax b, Aeq x beq， 如果没有线性约束，则 A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]；lb 和 ub 是变量 x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即 x无 下界也无上界，则 lb=[]，ub=[]，也可以写成 lb 的各分量 都为-inf，ub 的各分量都为 inf；nonlcon 是用 M 文件定义 的非线性向量函数c( x),ceq( x)；options 定义了优化参数， 可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
0， 决定不投资第i个项目
n
n
则投资总额为 ai xi ，投资总收益为 bi xi 。
i1
i1
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因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投
资金额不能超过总资金 A，故有限制条件
n
0
ai xi A，
i1
另外，由于 xi (i 1, , n)只取值 0 或 1，所以还有 xi (1 xi ) 0, i 1, , n.
求得当 x1 0.5522, x2 1.2033, x3 0.9478时，最小 值 y 10.6511。
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建模 3.2 无约束问题的 Matlab 解法 3.2.1 无约束极值问题的符号解
例 3.3 求多元函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x
的极值。
解 先解方程组 fx(x, y) 3x2 6x 9 0 fy(x, y) 3 y2 6 y 0
求得驻点为(1,0)，(1,2)，( 3,0)，( 3, 2)。
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建模 再求出 Hessian 阵
2f
2f
x2
x y 6 6x
0，
2f
2f
0 6 6y
x y y2
如果在驻点处 Hessian 阵为正定阵，则在该点取极 小值；如果在驻点处 Hessian 阵为负定阵，则在该点取 极大值；如果在驻点处 Hessian 阵为不定阵，则该驻点 不是极值点。
第13讲 非线性规划
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建模 3.1 非线性规划模型 3.1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就 称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线 性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不像线 性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没 有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的 适用范围。
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数学
建模
例 3.2 求下列非线性规划
min f ( x) x12 x22 x32 8， s.t. x12 x2 x32 0，
x1 x22 x33 20， x1 x22 2 0，
x2 2x32 3， x1, x2 , x3 0.
解 （1）编写 M 函数 fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
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数学 建模
例 3.1 （投资决策问题）某企业有n个项目可供选择
投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有
总资金 A元，投资于第i(i 1, ,n)个项目需花资金ai 元， 并预计可收益bi 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
xi
1, 决定投资第i个项目 ，i 1, , n，