2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)三角函数的图象与性质1

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高考数学新版一轮复习教程学案：第27课__三角函数的图象与性质(1)

高考数学新版一轮复习教程学案____第27课__三角函数的图象与性质(1)____1. 能描绘y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，并能根据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等)．2. 了解三角函数的周期性，理解三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|及y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1. 阅读：必修4第24～33页．2. 解悟：①如何理解周期函数？三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)、y ＝A tan (ωx ＋φ)的周期各是多少？②怎样作出三角函数的图象？如何抓住其中的关键之处？③你能根据图象说出三角函数的有关性质吗？④你能领会必修4第30～33页例题的意图吗？体会每个例题的作用．3. 践习：在教材空白处，完成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.基础诊断1. 关于正弦函数y ＝sin x 有下列说法： ①图象关于原点对称； ②图象关于y 轴对称； ③关于直线x ＝π2对称；④关于(π，0)对称；⑤在[－2π，2π]上是周期函数； ⑥在第一象限是单调增函数．其中正确的是__①③④__．(填序号)2. 函数y ＝2cos 2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z ．解析：函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ，则函数y 的增区间为－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，即k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.3. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－2．解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以f(x)min ＝f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号) ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ；④y ＝sin x ＋cos x.解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，且周期为π；y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4为非奇非偶函数；y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数．范例导航考向❶ 三角函数的定义域与值域问题例1 (1) 求下列函数的定义域： ①y ＝lg ()2＋2cos x ； ②y ＝tan x － 3. (2) 求下列函数的值域： ①y ＝1－2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3； ②y ＝2＋sin x1－2sin x.【点评】结合函数图象或单位圆考察函数的定义域，可以数形结合，降低思维难度．解析：(1) ①由2＋2cos x>0得cos x>－22，所以x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－3π4，2k π＋3π4，k ∈Z. ②由tan x －3≥0，得x ∈[k π＋π3，k π＋π2)，k ∈Z.(2) ①因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以－2sin x ∈[－2，－1]，所以y ∈[－1，0]．②方法一： y ＝2＋sin x 1－2sin x ＝sin x －12＋521－2sin x＝－12＋52－4sin x ，因为sin x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12∪⎝⎛⎦⎤12，1，所以－4sin x ∈[－4，－2)∪(－2，4]，所以2－4sin x ∈[－2，0)∪(0，6]．所以y ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 方法二：y ＝2＋sin x 1－2sin x ，则sin x ＝y －22y ＋1，所以－1≤y －22y ＋1<12或12<y －22y ＋1≤1，所以y ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞.【注】有关三角函数的定义域、值域问题的求解，处理方法与其他函数大体相同，要注意的是三角函数自身有定义域和值域的限定．如： tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ；|sin x |≤1，|cos x |≤1.单位圆是处理求角、求值问题的有力的工具，要熟练掌握．当0<x <π时，求函数y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1的值域．解析：令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. 因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，所以－1<t ≤ 2.又因为sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1＝1－t 22t ＋1＝1－t 2，所以1－22≤y <1，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－22，1.考向❷ 三角函数的性质例2 已知函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x. (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1) f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以函数f(x)的最大值为1＋2，最小值为0.【注】 y ＝a sin x ＋b cos x 型的最值：f(x)max ＝a 2＋b 2，f(x)min ＝－a 2＋b 2.求解中运用的基本方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“y ＝A sin (ωx ＋φ)”的形式，将异名三角式化归成同名三角式．当x 的取值范围受限制时⎝⎛⎭⎫例如0≤x ≤π2，其值域还得进一步对自变量的取值范围仔细地考察.已知函数f(x)＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin (x ＋π8)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8，求： (1) 函数f(x)的最小正周期；(2) 函数f(x)的单调增区间．解析：f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x.(1) 函数f(x)的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2) 当2k π－π≤2x ≤2k π即k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z)时，函数f (x )＝2cos2x 是增函数，故函数f (x )的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z)．【变式题】已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求函数f (x )的单调增区间．解析：(1) 因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 由题设知πω＝π，解得ω＝1.(2) 由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，函数y ＝sin x 的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z)．考向❸ 三角函数的性质及三角求值的综合应用例3 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos (α＋π4)·cos 2α，求cos α－sin α. 解析：(1) 由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[2k π3－π4，2k π3＋π12]，k ∈Z.(2) f ⎝⎛⎭⎫α3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，即22(sin α＋cos α)＝45·22(sin α－cos α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，α是第二象限角，则α＝2k π＋3π4，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－2；当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.因为α是第二象限角，所以cos α－sin α＝－52. 综上可得，cos α－sin α＝－2或－52. 【注】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间是从ωx ＋φ到x 的运算，就是求x 的范围使得ωx ＋φ在y ＝A sin(ωx ＋φ)能够单调．自测反馈 1. 已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则ω的取值范围是__⎝⎛⎦⎤0，32__．解析：因为函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，所以0·ω≥2k π－π2且πω3≤2k π＋π2，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝0时可得0<ω≤32. 2. 设函数f(x)＝A ＋B sin x ，当B<0时，f(x)的最大值是32，最小值是－12，则A ＋B ＝__－12__．解析：由题意得⎩⎨⎧A －B ＝32，A ＋B ＝－12，所以A ＝12，B ＝－1，所以A ＋B ＝－12.3. 若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是____．解析：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，2]，因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，所以k ∈[1，2)． 4. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，若y ＝f(x －φ)(0<φ<π2)是偶函数，则φ的值为__π3__．解析：因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以y ＝f(x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6.因为y ＝f(x －φ)是偶函数，所以－2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π6，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数图象来求解．2. 三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有：①形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式；②含sin x，cos x，tan x的复合函数形式；③整体思想求解含sin x±cos x，sin x cos x形式，比如求函数y＝sin x＋cos x＋sin x cos x的值域．3. 对于形如y＝A sin(ωx＋φ)＋k函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．4. 你还有哪些体悟，写下来：。

2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)三角函数的图象与性质(一)

4.5 三角函数的图象与性质(一)巩固·夯实基础一、自主梳理注:读者自己填写.2.对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 二、点击双基1.(2010全国高考卷Ⅱ)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( )A.4π B.2πC.πD.2π解析：f(x)=|sinx+cosx|=|2sin(x+4π)|,∴T=π. 答案：C2.(2006杭州期末)若函数f(x)=sin ωx+3cos ωx,x ∈R,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于分43π式,则正数ω的值为…( ) A.31 B.32 C.34 D.23 解析:由于f(x)=sin ωx+3cos ωx=2sin(ωx+3π),又f(α)=-2,f(β)=0,所以x=α是函数图象的一条对称轴,(β,0)是函数图象的一个对称中心, 故|α-β|的最小值应等于分4T 式,其中T 是函数的最小正周期,于是有分41·ωπ2=43π,故ω=32. 答案:B3.函数y=cos(sinx)的值域是__________________. 解析：∵-1≤sinx ≤1,∴cos1≤cos(sinx)≤1. 答案：［cos1,1］4.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是___________________.解析:由cosx-sinx>0⇒cosx>sinx.由图象观察,知2k π-43π＜x ＜2k π+4π(k ∈Z). 插入图片BY73;S*2;X*2答案:2k π-43π＜x ＜2k π+4π(k ∈Z) 诱思·实例点拨【例1】 (2005广东高考)化简f(x)=cos(316+k π+2x)+cos(316-k π-2x)+23sin(3π+2x)(x ∈R,k ∈Z),求函数f(x)的值域和最小正周期.剖析:欲求f(x)的值域和最小正周期,只需把f(x)化成一个角的一个三角函数的形式. 解:f(x)=cos(2k π+3π+2x)+cos(2k π-3π-2x)+23sin(3π+2x)=2cos(3π+2x)+23sin(3π+2x) =4cos2x.函数f(x)的值域为［-4,4］; 函数f(x)的最小正周期T=ωπ2=π.讲评:本题考查化简三角函数式的能力及求值域、周期等三角函数性质. 【例2】设三角函数f(x)=sin(5k x+3π)(k ≠0), (1)写出f(x)的最大值M 、最小值m 以及最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个M 与m. 解:(1)M=1,m=-1,T=|5|2k π=||10k π(k ≠0). (2)为保证两个整数间有一个M 与m,必须使两个整数间的区间长度不少于一个周期T,由T ≤1解得k=32.讲评:本题容易出现的错误是求周期忘加绝对值,第(2)小题是周期函数的灵活运用.【例3】已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(其中A 、B 、ω是实常数,ω>0)的最小正周期为2,当x=31时,f(x)取得最大值2. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在闭区间［421,423］上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.剖析:将f(x)化成一个角的一个三角函数形式,利用三角函数的性质解之. 解:(1)f(x)=22B A +sin(ωx+φ),其中tan φ=AB .由题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=,23cos 3sin ,2,222ωωωπB A B A解得ω=π,A=3,B=1,tan φ=33,取φ=6π, ∴f(x)=2sin(πx+6π). (2)令πx+6π=k π+2π,k ∈Z,得x=k+31.由421≤k+31≤423,得1259≤k ≤1265.又∵k ∈Z,∴k=5.故在闭区间［421,423］上只有f(x)的一条对称轴,其方程为x=316.讲评:本题考查了三角函数式化简,深层次地考查了周期、最值、对称性等问题,是一个灵活性较强的题目. 链接·聚焦本题(2)是探索性问题,试总结解探索性问题的一般步骤.。

2012届高考数学一轮复习4.6三角函数的图象与性质(二)教案

4.6 三角函数的图象与性质（二）●知识梳理注：读者自己填写.2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象. ●点击双基 1.函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是 A.2πB.πC.2π D.4π解析：y =23cos2x －21sin2x +sin2x =23cos2x +21sin2x =sin （3π+2x ），T =π. 答案：B2.若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x解析：检验. 答案：B3.（2004年天津，理9）函数y =2sin （6π－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是 A.［0，3π］ B.［12π，12π7］ C.［3π，6π5］D.［6π5，π］解析：由y =2sin （6π－2x ）=－2sin （2x －6π）其增区间可由y =2sin （2x －6π）的减区间得到，即2k π+2π≤2x －6π≤2k π+2π3，k ∈Z . ∴k π+3π≤x ≤k π+6π5，k ∈Z .令k =0，故选C. 答案：C4.（2005年北京东城区高三期末检测题）把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.解析：向左平移3π个单位，即以x +3π代x ，得到函数y =sin （x +3π），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以21x 代x ，得到函数：y =sin （21x +3π）. 答案：y =sin （x +3π） y =sin （21x +3π） 5.函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______.解析：由cos x －sin x ＞0⇒cos x ＞sin x .由图象观察，知2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ）.答案：2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ） ●典例剖析【例1】（1）y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_______；（2）y =2sin （3x －4π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 剖析：（1）y =cos x +21cos x －23sin x=23cos x －23sin x =3（23cos x －21sin x ）=3sin （3π－x ）.所以y max =3.（2）T =3π2，相邻对称轴间的距离为3π. 答案：33π【例2】（1）已知f （x ）的定义域为［0，1），求f （cos x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （cos x ）的定义域. 剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cos x ≤1，（2）要使sin （cos x ）＞0，这里的cos x 以它的值充当角.解：（1）0≤cos x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）. ∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z ｝. （2）由sin （cos x ）＞0⇒2k π＜cos x ＜2k π+π（k ∈Z ）.又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1.故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z ｝. 评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.【例3】求函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值. 剖析：将原函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+B 的形式，即可求解.解：y =sin 6x +cos 6x =（sin 2x +cos 2x ）（sin 4x －sin 2x cos 2x +cos 4x ）=1－3sin 2x cos 2x =1－43sin 22x =83cos4x +85.∴T =2π. 当cos4x =1，即x =2πk （k ∈Z ）时，y max =1. 深化拓展函数y =tan （ax +θ）（a ＞0）当x 从n 变化为n +1（n ∈Z ）时，y 的值恰好由－∞变为+∞，则a =_______.分析：你知道函数的周期T 吗? 答案：π ●闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，11）若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是A.ω=1，ϕ=3πB.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6πD.ω=21，ϕ=－6π解析：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ω=21. 又当x =3π2时，y =1，∴sin （21×3π2+ϕ）=1， 3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π. 答案：C2.（2004年北京海淀区二模题）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于A.4B.－6C.－4D.－3解析：f （x ）=1+cos2x +3sin2x +a =2sin （2x +6π）+a +1. ∵x ∈［0，2π］，∴2x +6π∈［6π，6π7］. ∴f （x ）的最小值为2×（－21）+a +1=－4.∴a =－4. 答案：C3.函数y =3sin x-的定义域是_________. 解析：－sin3x ≥0⇒sin 3x ≤0⇒2k π－π≤3x≤2k π⇒6k π－3π≤x ≤6k π（k ∈Z ）. 答案：6k π－3π≤x ≤6k π（k ∈Z ）4.（2005年北京海淀区高三期末练习题）函数y =tan x －cot x 的最小正周期为____________.解析：y =x x cos sin －x x sin cos =－2cot2x ，T =2π. 答案：2π 5.（2004年全国Ⅰ，17）求函数f （x ）=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.解：f （x ）=xx xx x x cos sin 22cos sin cos sin 22222--+）（=）（x x x x cos sin 12cos sin 122--=21（1+sin x cos x ） =41sin2x +21，所以函数f （x ）的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 6.已知x ∈［4π3，2π3］，函数y =cos2x －sin x +b +1的最大值为89，试求其最小值. 解：∵y =－2（sin x +41）2+817+b ，又－1≤sin x ≤22，∴当sin x =－41时，y max =817+b =89⇒b =－1；当sin x =22时，y min =－22. 培养能力7.求使θsin 1-=2sin （2θ－4π）成立的θ的区间. 解：θsin 1-=2sin （2θ－4π）⇒22cos 2sin ）（θθ-=2（22sin 2θ－22cos 2θ）⇒｜sin 2θ－cos 2θ｜=sin 2θ－cos 2θ⇒sin 2θ≥cos 2θ⇒2k π+4π≤2θ≤2k π+4π5（k ∈Z ）.因此θ∈［4k π+2π，4k π+4π5］（k ∈Z ）. 8.已知方程sin x +cos x =k 在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围.解：原方程sin x +cos x =k ⇔2sin（x +4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x +4π）与y 2=k 的图象.对于y =2sin （x +4π），令x =0，得y =1. ∴当k ∈［1，2）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解. 评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法. 探究创新9.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f （x ）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f （x ）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期. 解：（1）实线即为f （x ）的图象.单调增区间为［2k π+4π，2k π+2π］，［2k π+4π5，2k π+2π］（k ∈Z ），单调减区间为［2k π，2k π+4π］，［2k π+2π，2k π+4π5］（k ∈Z ）， f （x ）max =1，f （x ）min =－22. （2）f （x ）为周期函数，T =2π. ●思悟小结1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.●教师下载中心教学点睛1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可. 拓展题例【例1】已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β解析：借助三角函数线易得结论. 答案：Ｄ【例2】函数f （x ）=－sin 2x +sin x +a ，若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.解：f （x ）=－sin 2x +sin x +a =－（sin x －21）2+a +41. 由1≤f （x ）≤417⇒1≤－（sin x －21）2+a +41≤417⇒a －4≤（sin x －21）2≤a －43. ①由－1≤sin x ≤1⇒－23≤sin x －21≤21⇒（sin x －21）2max =49，（sin x －21）2min =0. ∴要使①式恒成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-494304a a ⇒3≤a ≤4.。

高三数学第一轮复习第30课时—三角函数的性质(一)教案

解：由题意，∴ ，
∵ ，∴ 时，，但，∴ ，
∴原函数的值域为．
（2）∵ ，又∵ ，∴ ，∴ ，
∴函数的值域为．
（3）由得，∴ ，
这里，．
∵ ，∴ ．解得，
∴原函数的值域为．
例3．求下列函数的周期：
（1）；（2）；（3）．
解：（1），∴周期．
（2），故周期．
（3），故周期．
周期
（二）主要方法：
1．求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；
2．求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二ห้องสมุดไป่ตู้函数式；
例4．若，试求：的值．
解：∵ 的周期为12，
而，
∴ ，
∴原式．
（四）巩固练习：
1．函数的定义域为．
2．函数的最小正周期为．
五．课后作业：《高考计划》考点30，智能训练2，5，12，14．
一．课题：三角函数的性质（一）
二．教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．
三．教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
四．教学过程：
（一）主要知识：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数
定义域
值域
3．三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．

高三数学一轮复习三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。

9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。

2012年高三数学一轮复习教案4.5三角函数的图象与性质(一)

4.5 三角函数的图象与性质（一）●知识梳理1.五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.2.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.3.给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置. ●点击双基1.（2002年全国）函数y =－x cos x 的部分图象是DCBA解析：y =－x cos x 为奇函数，且当x 0+时，图象在x 轴下方. 答案：D2.（2002年全国）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 A.（4π，2π）∪（π，4π5） B.（4π，π） C.（4π，4π5）D.（4π，π）∪（4π5，2π3）解析：利用三角函数线.答案：C3.（2005年春季北京，4）如果函数f （x ）=sin （πx +θ）（0＜θ＜2π）的最小正周期是T ，且当x =2时取得最大值，那么A.T =2，θ=2π B.T =1，θ=π C.T =2，θ=πD.T =1，θ=2π 解析：T =ππ2=2，又当x =2时，sin （π·2+θ）=sin （2π+θ）=sin θ，要使上式取得最大值，可取θ=2π. 答案：A4.设函数f （x ）=A +B sin x ，若B ＜0时，f （x ）的最大值是23，最小值是－21，则A =_______，B =_______.解析：根据题意，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-2123B A B A ，可得结论.答案：21－1 5.（2004年全国，5）已知函数y =tan （2x +ϕ）的图象过点（12π，0），则ϕ可以是 A.－6π B.6π C.－12π D.12π 解析：将（12π，0）代入原函数可得，tan （6π+ϕ）=0，再将A 、B 、C 、D 代入检验即可. 答案：A●典例剖析【例1】把函数y =cos （x +3π4）的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是A.3π4 B.3π2 C.3π D.3π5 剖析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解. 向左平移ϕ个单位后的解析式为y =cos （x +3π4+ϕ），则cos （－x +3π4+ϕ）=cos （x +3π4+ϕ）， cos x cos （3π4+ϕ）+sin x sin （3π4+ϕ）=cos x cos （3π4+ϕ）－sin x sin （3π4+ϕ）. ∴sin x sin （3π4+ϕ）=0，x ∈R .∴3π4+ϕ=k π.∴ϕ=k π－3π4＞0. ∴k ＞34.∴k =2.∴ϕ=3π2. 答案：B【例2】试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象.解：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x yx y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的深化拓展还有其他变换吗?不妨试一试.答案：（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31sin2x 的图象；（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31sin x 的图象；（3）再将y =31sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的图象.【例3】（2004年重庆，17）求函数y =sin 4x +23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间.解：y =sin 4x +23sin x cos x －cos 4x =（sin 2x +cos 2x ）（sin 2x －cos 2x ）+3sin2x =3sin2x －cos2x =2sin （2x －6π）. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，3π］，［6π5，π］. 评述：把三角函数式化简为y =A sin （ωx + ）+k （ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.●闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，7）已知函数f （x ）=sin （πx －2π）－1，则下列命题正确的是 A.f （x ）是周期为1的奇函数 B.f （x ）是周期为2的偶函数C.f （x ）是周期为1的非奇非偶函数D.f （x ）是周期为2的非奇非偶函数解析：T =ππ2=2，且f （x ）=sin （πx －2π）－1=cos2x －1，∴f （x ）为偶函数. 答案：B2.（2004年全国Ⅰ，9）为了得到函数y =sin （2x －6π）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度解析：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3π2－2x ）=cos （2x －3π2）= cos ［2（x －3π）］， ∴将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度. 答案：B3.方程2sin2x =x －3的解的个数为_______. 解析：画图象. 答案：34.函数y =A sin （x +ϕ）与y =A cos （x +ϕ）在（x 0，x 0+π）上交点的个数为_______. 解析：画图象. 答案：15.（2004年上海，14）已知y =f （x ）是周期为2π的函数，当x ∈［0，2π）时，f （x ）=sin 2x ，则f （x ）=21的解集为 A.{x |x =2k π+3π，k ∈Z } B.{x |x =2k π+3π5，k ∈Z } C.{x |x =2k π±3π，k ∈Z }D.{x |x =2k π+（－1）k3π，k ∈Z } 解析：∵f （x ）=sin 2x =21，x ∈［0，2π），∴2x ∈［0，π）.∴2x =6π或6π5. ∴x =3π或3π5. ∵f （x ）是周期为2π的周期函数，∴f （x ）=21的解集为{x |x =2k π±3π，k ∈Z }. 答案：C6.画出函数y =|sin x |，y =sin|x |的图象. 解：y =sin|x |=⎩⎨⎧<-≥.0sin 0sin x x x x，培养能力7.作出函数y =｜sin x ｜+｜cos x ｜，x ∈［0，π］的图象，并写出函数的值域. 解：原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤ ⎝⎛∈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+.π2π4πsin 22π04πsin2，）（，，）（x x x x如下图：函数的值域为［1，2］.8.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中向量a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值. 分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.解：（1）依题设，f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π）.由1+2sin （2x +6π）=1－3，得sin （2x +6π）=－23.∵－3π≤x ≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即函数y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1. ∵|m |＜2π，∴m =－12π，n =1. 探究创新9.（2004年北京西城区一模题）f （x ）是定义在［－2π，2π］上的偶函数，当x ∈［0，π］时，y =f （x ）=cos x ，当x ∈（π，2π］时，f （x ）的图象是斜率为π2，在y 轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分.（1）求f （－2π），f （－3π）；（2）求f （x ），并作出图象，写出其单调区间. 解：（1）当x ∈（π，2π］时，y =f （x ）=π2x －2，又f （x ）是偶函数，∴f （－2π）=f （2π）=2. 又x ∈［0，π］时，y =f （x ）=cos x ，∴f （－3π）=f （3π）=21. （2）y =f （x ）=[)[](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈--∈--.2ππ2π2ππcos ππ22π2，，，，，x x x xx x单调区间为［－2π，－π），［0，π），［－π，0］，［π，2π］. ●思悟小结1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的.2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域.3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化. ●教师下载中心教学点睛解析式的求解中应引导学生用好图象，紧扣五点中的第一个零点，要注意图象的升降情况，注意数形结合的思想.拓展题例【例题】已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，并当x =31时，f （x ）max =2.（1）求f （x ）. （2）在闭区间［421，423］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由.解：（1）f （x ）=3sin πx +cos πx =2sin （πx +6π）. （2）令πx +6π=k π+2π，k ∈Z .∴x =k +31，421≤k +31≤423. ∴1259≤k ≤1265.∴k =5. 故在［421，423］上只有f （x ）的一条对称轴x =316.高╚考≒试╚题]库。

高三数学一轮复习第3篇三角函数的图象和性质(一)学案理

第二十九课时三角函数的图象和性质(一)课前预习案1.了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法；2.会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图；3.理解,,A ωϕ的物理意义；4.掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理．分别等于、、、、 . 3.三角函数图象的变化：（1）平移变换：sin y x =u u u u u u u u u u u u r sin()y x ϕ=+；sin y x =u u u u u u u u r sin y b x =+；特别提示：sin y x ω=u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r sin()y x ωϕ=+. （2）伸缩变换：sin y x =u u u u u u u u r sin y x ω=；sin y x =u u u u u u u u r sin y A x =.（3）三角变换：sin y x = sin()y A x ωϕ=+1．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )． A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 2．(2012·安徽)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )． A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位3．(2013·武汉质检)将函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是( )． A.(,0)2πB. (,0)4πC. (,0)9πD. (,0)16π4.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的解析式为( )． A ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4C ．y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．y ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π35．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________．课堂探究案典型例题考点1：三角函数的最值问题【典例1】已知函数()sin(2)4f x x π=-.①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间π[,]44π-上的最大值和最小值.【变式1】函数2()cos sin f x x x =+在区间π[,]44π-上的最小值是 . 2、函数()sin cos f x x x =最小值是 .考点2：三角函数的单调性与奇偶性【典例2】设函数()sin(2),2f x x x R π=-∈，则()f x 是（）A.最小周期为的奇函数B. 最小周期为的偶函数C. 最小周期为2π的奇函数 D. 最小周期为2π的偶函数【变式2】函数2sin()4y x π=-的单调区间为 .考点2 三角函数的图象识别【典例3】已知函数2()sin ()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（1）求；（2）计算(1)(2)(2014)f f f +++L ．【变式3】函数sin(2)3y x π=-在区间[,]3ππ-上的简图是( )考点4 三角函数的图象变换【典例4】函数sin 2y x =的图象向右平移（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则的最小值为（） A ．512π B ．116π C ．1112π D ．以上都不对【变式4】为得到函数cos()3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象（）.A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位1..y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是 ( ) A.(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 2.函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-C.D3. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（） A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-课后拓展案 A 组全员必做题1. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<），的最小正周期是，且(0)3f =，则（）A ．126ωϕπ==， B.123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==， D ．23ωϕπ==， 2. ]4,3[sin 2)(ππωω-=在区间是正实数，函数x x f 上递增，那么 ( )A ．230≤<ω B ．20≤<ωC ．7240≤<ω D ．2≥ω 3. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a = ．4．已知()sin tan 5,(0)(9)27f x a x b x ab f =++≠=且，则(9)f -= ．5. 已知函数)42sin()(π-=x x f ，在下列四个命题中：①)(x f 的最小正周期是π4；②)(x f 的图象可由()sin 2g x x =的图象向右平移4π个单位得到； ③若21x x ≠，且1)()(21-==x f x f ，则)0(21≠∈=-k Z k k x x 且π；④直线8π-=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴，其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．B 组提高选做题设函数()cos (3sin cos ),02f x x x x ωωωω=+<<其中. （1）若)(x f 的周期为，求当)(36x f x 时ππ≤≤-的值域；（2）若函数)(x f 图象的一条对称轴为,3π=x 求的值.参考答案预习自测1．【答案】B【解析】y ＝2sin x cos x ＋2＝sin 2x ＋2.∴T ＝2π2＝π.2．【答案】C【解析】将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位后，可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．3．【答案】A【解析】函数图像平移之后所得函数解析式为sin 2y x =，故其对称中心为A. 4．【答案】D【解析】由T 2＝－π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12＝π2，得T ＝π，∴ω＝2πT＝2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，23代入y ＝23sin(2x ＋φ)，得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝1，解得φ＝2π3.5. 【答案】2【解析】将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，因为所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，0，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈Z )，即ω＝2k (k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝2.【典例1】（1）；（2）最大值为2；最小值为1-.【变式1】（1）12；（2）12-.【典例2】B【变式2】减区间为3(2,2)()44k k k Z ππππ-+∈；增区间为37(2,2)()44k k k Z ππππ++∈.【典例3】（1）4π；（2）. 【变式3】A 【典例4】A 【变式4】C1.B2.D3.C组全员必做题1.D2.A3.-14.-175. ○3④组提高选做题212cos 212sin 23)(++=x x x f ωω.21)62sin(++=πωx （1）因为1,,==ωπ所以T ，]65,6[62,36πππππ-∈+≤≤-x x 时当，所以，)(x f 的值域为]23,0[.（2）因为)(x f 的一条对称轴为),(26)3(2,,3z k k x ∈+=+=ππππωπ所以 2123+=k ω()k z ∈,21,0,131,,20==<<-<<ωωk k 所以所以又.。

2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)函数的图象

§1.2 函数的图象考点核心整合1.要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.2.函数图象的作法有两种:一种是描点法；另一种是图象的变换法.(1)描点法作图:一般要考虑定义域,化简解析式,描出能确定图象伸展方向的几个关键点. (2)利用图象变换法作图:①平移变换:y=f(x)y=f(x-h);y=f(x)y=f(x)+k.②对称变换:y=f(x)−−→−轴关于x y=-f(x), y=f(x)−−→−轴关于y y=f(-x)；y=f(x)−−−−→−=ax 关于直线y=f(2a-x)； y=f(x)−−−−→−=xy 关于直线y=f -1(x)； y=f(x)−−−→−关于原点y=-f(-x). ③翻折变换:y=f(x)y=f(|x|);y=f(x)y=|f(x)|.④伸缩变换:y=f(x)y=f(ax);y=f(x)y=af(x).考题名师诠释【例1】)2005江西高考，)7理)已知函数y=xf ′(x)的图象如右图所示〔其中f ′(x)是函数f(x)的导函数〕，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( )解析：由图象知当0<x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0,即f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，否定A、B、D.故选C.答案：C【例2】已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2，规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x).试讨论h(x)是否有最大值或最小值,并说明理由.解：画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A、B之间,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).综上可知,y=h(x)的图象是图中的实线部分,因此h(x)有最小值-1,无最大值.【例3】(2005广东高考，19)设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.解析：(1)由f(2-x)=f(2+x)得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f(5).而f(5)≠0 f(1)≠f(-1)，即f(x)不是偶函数.又∵f(x)在［0，7］上只有f(1)=f(3)=0,∴f(0)≠0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数. (2)⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-).14()(),4()().7()7(),2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f ⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10)，从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f(3)=f(1)=0,∴f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在［0，10］和［-10，0］上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在［0，2 000］上有400个根，在［2 000，2 005］上有2个根，在［-2 000，0］上有400个根，在［-2 005，-2 000］上没有根.所以函数y=f(x)在［-2 005,2 005］上有802个根.【例4】(2005浙江高考，20文)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x. (1)求g(x)的表达式；(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;(3)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在［-1,1］上是增函数，求实数λ的取值范围. 解：(1)设y=f(x)的图象上任意一点Q(x 0,y 0)关于原点的对称点为P(x,y),则⎩⎨⎧-=-=.,00y y x x∵Q(x 0,y 0)在y=f(x)的图象上， ∴-y=x 2-2x,即y=-x 2+2x. 故g(x)=-x 2+2x.(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|可得2x 2-|x-1|≤0.当x ≥1时，2x 2-x+1≤0，此不等式无解；当x<1时，2x 2+x-1≤0，解得-1≤x ≤21. 因此原不等式的解集为［-1,21］. (3)h(x)=-(1+λ)x 2+2(1-λ)x+1.①当λ=-1时，h(x)=4x+1在［-1,1］上是增函数，∴λ=-1. ②当λ≠-1时，对称轴方程为x=λλ+-11. (ⅰ)当λ<-1时，λλ+-11≤-1,解得λ<-1； (ⅱ)当λ>-1时，λλ+-11≥-1,解得-1<λ≤0.综上,λ≤0.【例5】(2006四川高考,21文)已知函数f(x)=x 3+3ax-1,g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是f(x)的导函数.(1)对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，求实数x 的取值范围；(2)设a=-m 2，当实数m 在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. 解：(1)由题意,g(x)=3x 2-ax+3a-5. 令φ(a)=(3-x)a+3x 2-5,-1≤a ≤1.对-1≤a ≤1，恒有g(x)<0，即有φ(a)<0. ∴⎩⎨⎧<-<,0)1(,0)1(ϕϕ即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.083,02322x x x x解得-32<x<1. 故x ∈(-32,1)时，对满足-1≤a ≤1的一切a 的值，都有g(x)<0.(2)f ′(x)=3x 2-3m 2.①当m=0时，f ′(x)=x 3-1的图象与直线y=3只有一个公共点； ②当m ≠0时， x (-∞,-|m|)-|m| (-|m|,|m|)|m| (|m|,+∞)f ′(x) + 0 - 0 + f(x)↗极大↘极小↗极小又因为f(x)的值域是R ，且在(|m|,+∞)上单调递增，所以当x>|m|时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点.当x<|m|时，恒有f(x)≤f(-|m|). 由题意得，f(-|m|)<3, 即2m 2|m|-1=2|m|3-1<3. 解得m ∈(-32,0)∪(0,32). 综上，m 的取值范围是(-32,32).。

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专题三三角函数考情动态分析本专题主要内容包括三角函数的概念、图象、性质以及三角函数的恒等变形和应用，三角形中的三角函数关系等.三角函数不仅是学习立体几何、解析几何等知识的基础，也是研究相关学科的重要工具，还常与函数、方程、不等式、数列、向量、复数、参数方程等知识综合，具有一定的综合性和灵活性，研究近几年的高考试题，特别是2006全国及部分省市高考试题，可以发现，本章的内容一般以选择题、填空题的形式出现，如2005年全国卷(Ⅰ)第7题，全国卷(Ⅱ)第1题、第4题，这些题讲究通性通法，难度属中档题，也有时以解答题的形式考查，如2005年全国卷(Ⅰ)(19)题，全国卷(Ⅱ)(17)题，这些题常常是三角函数与其它知识(如不等式、数列、平面向量等)的综合，这也是近年来高考命题的趋向，解答题难度不大.本专题的内容一般占整个试卷的15%左右.展望2007年高考，对三角函数的考查仍以选择题、填空题的形式进行，且难度不大，解答题仍为中档题.因此复习时应立足课本,抓好基础,重视数学思想方法的运用,强化应用意识的训练,提高分析问题、解决问题的能力.§3.1 三角函数的图象与性质考点核心整合本课时重点内容是三角函数的图象与性质，它包含了三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，其中单调性为本节的一个难点，图象的变换及其应用是本课时的重点. 1.关于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 (1)“五点法”作图:设t=ωx+φ=0、2π、π、23π、2π,求相应的x 值及对应的y 值,描点作图.(2)变换作图:y=sinx →y=Asinx 是将y=sinx 的图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍;y=Asinx →y=Asin(x+φ)是将y=Asinx 的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位;y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)是将y=Asin(x+φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1.要明确上面后两步的先后顺序.(3)由图象求解析式y=Asin(ωx+φ):首先确定“五点法”中的第一个零点(x 0,0),需根据图象的升降情况准确判定第一个零点的位置,易求A 、ω.再由ωx 0+φ=0得φ，有y=Asin(ωx+φ). (4)图象的对称性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线x=x k (ωx k +φ=k π+2π,k ∈Z )成轴对称图形;关于点(x k ,0)(ωx k +φ=k π,k ∈Z )成中心对称图形. (5)A 、ω、φ有明确的物理意义.A 表示振幅，ωπ2表示周期，φ表示初相位. 2.三角函数的性质定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.对于单调区间,要把ωx+φ看作一个整体,如由2k π-2π≤ωx+φ≤2k π+2π(k ∈Z )解出的x 的取值区间即为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间.链接·提示当ω≠1时，y=Asin(ωx+φ)是复合函数，求其单调区间时要注意ω的符号，若ω<0，则应先利用奇偶性，把x 的系数的符号变为正的.考题名师诠释【例1】(2005全国高考Ⅲ，17)设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切. 分析：由对称轴是x=8π，可知2×8π+φ使f(x)取最值，即4π+φ=k π+2π.(k ∈Z )，从而可求φ；由sinx 的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由｜f ′(x)｜=｜2cos(2x+φ)｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为25>2说明直线和f(x)的图象不能相切. 解：(Ⅰ)解法1：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，所以sin(2·8π+φ)=±1, 则有4π+φ=k π+2π,k ∈Z .因为-π<φ<0, 所以φ=-43π. 解法2：函数y=sin 2x 图像的对称轴为 x=2πk +4π,k ∈Z . y=sin(2x+φ)的图像由y=sin 2x 的图像向左平移2ϕ得到，所以有2πk +4π-2ϕ=8π k ∈Z . ∵-π<φ<0, ∴φ=-43π. 解法3：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(8π-x)=f(8π+x).即sin ［2(8π-x)+φ］=sin ［2(8π+x)+φ］，于是有2(8π-x)+φ=2k π+2(8π+x)+φ(舍去),或［2(8π-x)+φ］+［2(8π+x)+φ］=2k π+π.因为-π<φ<0，∴φ=-43π.(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-43π,因此y=sin(2x-43π)，由题意得2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2π,(k ∈Z ),所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8πk π+85π］,k ∈Z ,解法2：由y ′=2cos(2x-43π)≥0可得，2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2πk ∈Z ,所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］ k ∈Z ,(Ⅲ)解法1：因为｜y ′｜=｜［sin(2x-43π)］′｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2,所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为［-2,2］，而直线5x-2y+c=0的斜率25>2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图象不相切. 解法2：令F(x)=sin(2x-43π)-25c x +, 则F ′(x)=2cos(2x-43π)-25,∵-1≤cos(2x-43π)≤1，∴F ′(x)≠0.则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图像不相切. 评述：本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题，第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的. 链接·提示1.依给定的对称轴x=8π，求φ：(a)不清楚对称轴一定经过f(x)的极大值点或极小值点；(b)由sin(2·8π+φ)=±1，确定4π+φ=2π或4π+φ=-2π时，没有考虑-π<φ<0这一条件.2.确定f(x)=sin(2x-43π)的单调增区间时，不清楚2x-43π所属的区间就是sinx 的单调增区间.3.f(x)=sin(2x-43π)是复合函数，有的同学求导出错. 4.｜f ′(x)｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2,不清楚任意直线如斜率大于2则直线与f(x)不可能相切.【例2】(山东临沂模拟，17)已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝若f(x)=sin πx-cos πx 在A 上是增函数，求a 的最大值.分析：由f(x)在A 上是增函数，知A 应包含于f(x)的增区间，故需化简A ，求f(x)的单调增区间.解：由｜x-a ｜<ax 得⎩⎨⎧->-<-,,ax a x ax a x∴⎩⎨⎧>+<-.)1(,)1(a x a a x a (a>0)当1-a>0，即0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<.1,1a a x aa x∴A={x ｜a a +1<x<aa-1}. f(x)=2sin(πx-4π),由2k π-2π≤πx-4π≤2k π+2π得2k-41≤x ≤2k+43.∵f(x)在A 上为增函数，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤--≥+.4321,4121k aa k a a(k ∈Z ). ∵0<a a +1<1，aa-1>1,∴k=0. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+431411a a a a∴0<a ≤73,即a 的最大值为73, 当1-a<0即a>1时，A=｛x ｜x>a a+1｝,与f(x)在A 上单调增不符；当1-a=0,即a=1时，A=｛x ｜x>aa+1｝,与f(x)在A 上单调增不符.综上得a 的最大值为73.评述：①f(x)的单调递增区间有无数多个，A 包含于哪个单增区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看A 的端点的范围.②解本题分类讨论时，应先讨论a>1的情况，因为a>1时若有最大值，则不再需讨论a ≤1的情况. 链接·拓展已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝，是否存在实数a ，使得f(x)=sin πx-cos πx 在A 上为减函数；若存在，求a 的范围；若不存在，请说明理由.(不存在)(湖北黄冈四模，17文)已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC =6，AB 与BC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ的最小值.分析：(1)要建立θ与S 之间的函数关系式，再利用余弦函数的单调性；(2)要把f(θ)化成Asin(ωx+φ)的形式.解：(1)AB ·BC =｜AB ｜·｜BC ｜cos θ=6, ①S=21｜AB ｜·｜BC ｜·sin(π-θ)=21｜AB ｜·｜BC ｜sin θ， ②由②÷①得6S =21tan θ,即tan θ=3S . 由3≤S ≤3，得33≤tan θ≤1,又θ为AB 与BC 的夹角，∴θ∈［0，π］，∴θ∈［6π，4π］. (2)f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ=1+sin2θ+2cos 2θ=2+sin2θ+cos2θ=2+2sin(2θ+4π),∵θ∈［6π,4π］,∴2θ+4π∈［127π,43π］.∴2θ+4π=43π,即θ=4π时，f(θ)的最小值为3.评述：研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路. 【例3】已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象.解：(1)f(x)=2sin 2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+2(sin2xcos4π-cos2xsin 4π)=1+2sin(2x-4π), 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+2. (2)由(1)知x -83π -8π 8π83π85π y11-211+21故函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象是评述：本题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能.研究y=asinx+bcosx 型函数的性质，一般要化成y=Asin(ωx+φ)型的函数再研究. 链接·拓展求函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)在［-4π,4π］上的最值. 提示:求2x-4π的范围,最大值为2,最小值为1-2. 【例4】把函数f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数的图象关于直线x=817π对称. (1)求m 的最小值； (2)证明当x ∈(-817π,-815π)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2)=1,求x 1+x 2的值. 分析：(1)f(x)的图象平移后关于直线x=817π对称，则x=817π使平移后的函数式取最值；(2)只需计算图象上任两点斜率的范围；(3)可求出x 1,x 2的值即可. 解：(1)f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x=22cos 1x --sin2x+3·22cos 1x+ =cos2x-sin2x+2=2cos(2x+4π)+2. 将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位得到函数g(x)=2cos ［2(x+m)+4π］+2的图象. ∵g(x)的图象关于直线x=817π对称，∴2(817π+m)+4π=k π(k ∈Z )即m=4)92(π-k (k ∈Z ),又m>0，∴m 的最小值为4π(k=5时取得). (2)∵-817π<x<-815π,∴-4π<2x+4π<-27π,∴f(x)在(-817π,-815π)上是减函数.于是x 1,x 2∈(-817π，-815π)，且x 1<x 2,便有f(x 1)>f(x 2)从而经过两点(x 1,f(x 1),(x 2,f(x 2))的斜率k=2121)()(x x x f x f --<0.(3)f(x)=1⇔cos(2x+4π)=-22,在(0，π)内满足cos(2x+4π)=-22的值为4π和2π.∵f(x 1)=f(x 2)=1.且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,∴x 1+x 2=4π+2π=43π 另法：由2x+4π=k π(k ∈Z )得x=2πk -8π ∴在(0，π)内的对称轴为x=83π和x=87π又f(x 1)=f(x 2)=1,且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,x ∈(87π,π)时f(x)≠1. ∴x 1+x 2＝2×83π=43π. 评述：本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.。