数学建模非线性规划

min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 T 2 -2 x1 2 x1 1 1、写成标准形式： min z ( x , x )
例1
2
1
2
s.t.
2、 输入命令：
21
（二）使用临时料场的情形
使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i的运送量 为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的 条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题. 线性规划模 2 6 型为：
第六章 非线性规划
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
目标函数 约 束 条 件
min s.t.
决策变量
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性
.
x
1
2 (4 x1
2 2 x2
4 x1x2 2 x2 1)
x1+x2=0 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 –10 0
1．先建立M文件 fun4.m,定义目标函数:
function f=fun4(x); f=exp(x(1)) *(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
1．先建立M-文件fun.m定义目标函数: function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);
2．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon2(x) g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];
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3. 主程序fxx.m为: x0=[3;2.5]; VLB=[0 0];VUB=[5 10]; [x,fval,exitflag,output] =fmincon('fun',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon2')
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例2
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2 2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0
1、写成标准形式：
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2
s.t.
2 x1 3x2 6 0 x1 4 x2 5 0 0 x1 0 x2
ˆ I I ˆ ˆ G G A A j j j j j j j 1
尽可能的小
3
n
例1、大学生就业问题 为了计算的简便，上述的问题的目标函数可以写 成以下形式：
G G ˆ j j j 1
n
n


2
ˆ Ij I j

2
ˆ Aj A j
2016/10/3 1
引 例
例1、大学生就业问题 某大学希望为它的毕业生安排工作位置。为简单 起见，假设每个毕业生接受政府部门、工业界或科 学院中的一个位置。令： Nj=第j年毕业的人数（j=1,2,…,n) 并令：Gj、Ij和Aj(Gj+Ij+Aj=Nj)分别为第j年进入政府、 工业界或科学院的人数。
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)
3、运算结果为： x =0.8 1.2
z = -7.2
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标准型为： min F(X) 0 s.t AX<=b G(X) Aeq X beq X VUB Ceq(X)=0 VLB
2、一般非线性规划
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用 Matlab求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
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2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
3、再建立主程序youh2.m： x0=[1;1]; A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4、运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294 MATLAB(youh2)
MATLAB(fxx(fun))
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4. 运算结果为: x= 4.0000 3.0000 fval =-11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: [1x44 char] firstorderopt: [] cgiterations: []
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
2
4 x2 6 x2
H=[2 -2; -2 4]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
2
例1、大学生就业问题 假设给出每年学生人数参加各部门的比例，设分 布为λi(i=1,2,3)，则在第j年可估计出参加各种工作 的人数为：
ˆ N , I ˆ N ˆ N , A G j 1 j j 2 j j 3 j
为衡量模型的可靠性，必须要求n年中进入这三 个部门的实际人数与预测人数之间的总差别不能太 大，即
6
例2、投资问题 解 设投资决策变量
1, 若对第j个项目投资 xj ( j 1, 2,, n) 0, 若不对第j个项目投资
则该问题的优化模型为
max f ( x1 , x2 ,, xn ) c j x j
j 1
n
a x
j 1 j
n
j
n 非线性整数规划 a j x j b s.t. j 1 x 0(或1)( j 1, 2, , n) j
7
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
8
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX<=b
Aeq X beq
VLB≤X≤VUB 用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
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应用实例： 供应与选址
某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系 a，b表示，距离单位：千米 ）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目 前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从 料场到工地之间均有直线道路相连。 （1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运 送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。 （2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两 个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？
工地位置（a，b）及水泥日用量 d 2 3 4 8.75 0.5 5.75 0.75 4.75 5 5 4 7
a b d
1 1.25 1.25 3
5 3 6.5 6
6 7.25 7.25 11
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（一）、建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为 (xj，yj)，日储量为ej，j=1,2；从料场j向工地i的运送量为Xij。
x=quadprog(H,C,A,b); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); [x,fval]=quaprog(...); [x,fval,exitflag]=quaprog(...); [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...); 9
2．再建立M文件mycon.m定义非线性约束：
function [g,ceq]=mycon(x) g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
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3．主程序youh3.m为: x0=[-1;1]; A=[];b=[]; Aeq=[1 1];beq=[0]; vlb=[];vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')