21.4 二次函数的应用(1)
二次函数的应用(生活中的抛物线)教案
二次函数的应用----生活中的抛物线
主备人：王新龙
一、课程名称：21.4二次函数的应用---生活中的抛物线
二、课时：共2个课时，第2课时
三、课型：新授课
四、教学方法：先学后教，讲练结合
五、教学目标：
1、知识与技能
通过建模学会用二次函数的知识解决有关的实际问题
2、过程与方法
掌握数学建模的思想，体会数学来源于生活，又服务于生活
3、情感、态度与价值观
培养学生的独立思考能力和合作学习的精神，在动手、交流中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的提高。
六、重点与难点
重点：根据情境建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点
难点：如何根据情境建立合适的平面直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
七、教学过程
（一）新课引入
思考：
（1）用待定系数法设函数解析式有哪几种形式？分别为？
（2）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面宽度为8米时，桥洞顶部离水面的距离为 米。
老师：要解决此题，需要求出抛物线的函数解析式，而求抛物线的解析式，离不开建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，那么如何建立合适的平面直角坐标系呢？不同的直角坐标系中，点的坐标不同，用待定系数法该设定何种形式的函数解析式呢？
给一定时间让学生相互讨论， 让学生思考再由老师予以总结和说明。.
（二）讲授新课
1、总结如下：
建立平面直角坐标系的方法有如下几种： 方法一：以A为坐标原点，以AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系
此时A(0,0),B(12,0),顶点为（6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？
让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
（方法一）（方法二）
方法二：以B为坐标原点，以AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系
此时A(-12,0),B(0,0),顶点为（-6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？
沪科版九年级上册数学教案：21.4二次函数与一元二次方程
课
题 21.4二次函数与一元二次方程
第一课时
教
学
目
标 1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。
2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。
重
点
难
点 1、体会方程与函数之间的联系.
2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.
教
法
教
具 情境引入法
直尺
课时
安排 一课时
课
前
准
备 对一元二次方程有全面的认识和了解
教
学
过
一、复习
1、一元二次方程-5x2+40x=0的根为： 。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方程 ； 当△﹤0时，方程 。
3、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
二、创设问题情境,引入新课
师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2
程
y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.
三、活动探究
二次函数的应用题(含答案)
二次函数的应用题(含答案)
1．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，
问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
3．如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．
①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
4．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
二次函数和一次函数的应用
二次函数和一次函数的应用
二次函数和一次函数是高中数学中的重要内容，也是实际生活中广泛应用的数学概念。本文将重点探讨二次函数和一次函数在实际问题中的应用，并通过实例详细说明其应用方式和意义。
一、二次函数的应用
二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a≠0，其图像为抛物线。二次函数在现实生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。
1. 抛物线运动
二次函数最典型的应用之一就是描述抛物线运动。例如，一个抛出的物体在空中运动的轨迹就可以用二次函数来描述。具体来说，假设抛物线的顶点为(x₀, y₀)，则可以得到二次函数的标准式为y=a(x-x₀)²+y₀。这个公式能够帮助我们确定抛物线的形状、方向和顶点位置，从而更好地理解和分析抛物线运动。
2. 自由落体
自由落体是物体只受重力作用下自由下落的运动方式。当一个物体从高处自由落下时，其下落的距离可以用二次函数来描述。通过测量物体下落过程中的时间和距离，我们可以建立二次函数模型，从而预测未来的位置，并计算出物体达到地面所需的时间。
3. 优化问题 在实际问题中，我们经常需要寻找最优解。例如，在生产成本与销售利润之间寻找平衡点，寻找某个函数的最大值或最小值等。这些问题往往可以转化为二次函数的优化问题。通过求解二次函数的极值点，我们可以找到问题的最优解。
二、一次函数的应用
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b为常数。一次函数的图像是一条直线，其在实际生活中的应用也非常广泛。
1. 直线运动
一次函数经常用于描述物体的直线运动。例如，在汽车行驶过程中，行驶的距离与所用的时间之间的关系可以用一次函数来描述。通过观察和测量物体的运动情况，我们可以建立一次函数模型，从而预测未来的位置和时间。
2. 费用和收益
在商业领域，一次函数可以用于描述企业的成本和收入之间的关系。例如，某企业的生产成本可以表示为y=kx+b，其中x为生产数量，y为成本。通过分析一次函数模型，我们可以找到成本与生产数量的关系，从而进行成本控制和利润分析。
2024年中考数学《二次函数的实际应用》真题含解析版
1二次函数的实际应用(21题)
一、单选题
1(2024·天津·中考真题)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单
位：s)之间的关系式是h=30t-5t20≤t≤6．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．
其中，正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令�=0解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把t=2
和t=5代入计算即可判断③．
【详解】解：令�=0，则30t-5t2=0，解得：t
1=0，t
2=6，
∴小球从抛出到落地需要6s，故①正确；
∵�=30t-5t2=-5x-32+45，
∴最大高度为45m，
∴小球运动中的高度可以是30m，故②正确；
当t=2时，�=30×2-5×22=40；当t=5时，�=30×5-5×52=25；
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误；
故选C．
2(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同
时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也
随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x0
EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是()
A.
B.
2
C.
D.
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间
的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当HG与BC重合时，及当x≤4时图象的走
势，和当x>4时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：
∴EF=EH=2x，BE=12-x，
在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，∴2x2+2x2=12-x2，
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用
二次函数在生活中的应用
二次函数是高中数学中的一大重点，是研究量与量之间的关系的一种数学工具。在生活中，二次函数的应用非常广泛，与我们的日常生活息息相关。本文将从多个方面介绍二次函数在生活中的应用。
1. 物理学中的应用
在物理学中，二次函数是研究运动的重要工具。当物体处于自由落体状态，其下落距离随时间的变化关系就可以用二次函数来表示，这个函数就是常见的自由落体公式：
y = -1/2 g t² + v₀t + y₀
其中，y 表示下落距离，g 表示重力加速度，t 表示时间，v₀ 表示物体的初速度，y₀ 表示物体的初始高度。
二次函数还可以用来描述物体的抛物线运动。例如，一个抛出的物体的高度与水平距离之间的关系就是一个二次函数。这个函数被称为抛物线，可以用以下形式表示：
y = ax² + bx + c
其中，a 表示抛物线的形状，b 表示抛物线的位置，c
表示抛物线的高度。
2. 经济学中的应用 在经济学中，二次函数也被广泛应用。例如，一家公司的成本与生产量之间的关系可以用一个二次函数来表示。成本由固定成本和可变成本组成，其中固定成本不随生产量变化，可变成本与生产量成二次函数关系。其函数关系式为：
C = a + bx + cx²
其中，C 表示总成本，x 表示生产量，a 表示固定成本，b 和 c 是常数。
二次函数还可以应用在市场调研中。例如，研究一个新产品的销售量与价格之间的关系，就可以用一个二次函数来表示：
y = -ax² + bx + c
其中，y 表示销售量，x 表示价格，a、b、c 为常数。这个函数就是常见的需求函数，有助于制定合理的价格策略。
3. 工程中的应用
在工程中，二次函数也有很多应用。例如，一个建筑物的荷载与塔高之间的关系就可以用二次函数来表示，这个函数被称为荷载曲线。
荷载曲线可以用以下形式表示：
y = ax² + bx + c 其中，y 表示荷载，x 表示塔高，a 表示荷载的变化率，b 和 c 是常数。荷载曲线有助于设计和施工中对建筑物的稳定性进行评估。
二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)
二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）
高中必备知识点1：平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
典型考题
【典型例题】 如图，抛物线经过两点，顶点为D．
求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．
【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【解析】 代入， 得：，解得：．
，
抛物线顶点D的坐标为．
将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线为，即． 若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2， 新抛物线必过点，
，
解得：舍去； 若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2， 新抛物线必过点．
， 解得：舍去． 将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【变式训练】 已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【答案】向上平移3个单位．
【解析】 由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为， 则， 代入抛物线方程得：， 舍去．
所以向上平移3个单位．
【能力提升】
已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；
（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
高职考复习二次函数的应用(一)
函数的应用面积问题
1.某开心农场要用一段长为40m的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD，若设菜园的边长AB为xm，菜园的面积为y2m。
（1）求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，菜园面积最大？并求出最大值？
2.某广告公司设计一块周长为8米的距形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，高距形一边长为x米，面积为S平方米。
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围。
（2）为使广告牌费用最多；广告牌的长和宽分别设计为多少米？此时广告费为多少？
3.现在阳台种菜成为部分人的爱好．如图所示，一块种菜的小菜地一面靠墙
（墙长度为1.2米），另外三面由总长为2米的栅栏围成，设宽为x米，面积为y平方米，
（1）求菜地的另一边的长（用x表示）；
（2）求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，菜地的面积最大？并求出最大值．
4.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的略函数关系式（写出自变量x的取值范围）．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
5.如图所示，计划用12m的材料建一个窗框，
(1)求窗框面积y与窗框长度x之间的函数关系式；
(2)求窗框的长与宽各为多少米时，窗户的透光面最大？最大面积是多少？
6.有长20米的铝条材料，做成一个如图所示的日字型框（制作中耗材不计），当窗框的长和宽为多少米时，达到最大的进光量，并求出最大进光面积。
7.有一批材料可以建成长为200米的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），求围成的矩形的最大面积.
8.杭州动物园欲围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙（长度够用），其他各面用钢筋网围成，如图。现有可围36米长的钢筋网材料，设每间虎笼的长为x米。
二次函数的应用（解析版）
集合与函数 第 1 页 共 5 页
一、集合
1.集合的概念：由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素，一般采用大写英文字母A,B,C…表示集合，小写英文字母a,b,c…表示集合的元素．
2.元素的性质： (1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；只要
构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合相等。
(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；
(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.
3.常用的数集： （1）所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N．
（2）所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N或+Ζ．
（3）所有整数组成的集合叫做整数集，记作Z．
（4）所有有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q．
（5）所有实数组成的集合叫做实数集，记作R．
（6）不含任何元素的集合叫做空集，记作．例如，方程x2+1=0
的实数解的集合里不含有任何元素，所以这个解集就是空集。
4.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法
5.集合的基本关系：
（1）元素与集合：aA；aA．
（2）集合与集合：包含关系（子集），AB或BA(A包含于B，B含于A，A>B）
6. 子集：
（1）任何一个集合A都是它自身的子集，即AA．
（2）规定：空集是任何集合的子集，即A．
（3）如果AB，同时BA，那么集合B的元素都属于集合A，同时集合A的元素都属于集合B，因此集合A与集合B的元素完全相同，由集合相等的定义知AB
（4）如果集合BA，但存在元素BxAx且,，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。
（5）如果AB，同时BA，则 AB。
（6）空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
7.集合的基本运算：（1）并集：A⫋B＝{x|x⫋A，或x⫋B};
（2）交集：A∩B＝{x|x⫋A，且x⫋B}．
二次函数的图像性质及应用
二次函数的图像性质及应用
二次函数是一种代数函数，由形如f(x) = ax^2 + bx + c 的方程定义，其中a、b、c为实数且a不等于0，x为自变量，f(x)为因变量的值。在二次函数的图像性质及应用方面，可以从以下几个角度来进行解析。
一、图像性质
1. 平移性质：二次函数的图像可以根据a、b、c的值进行平移。当c不为0时，图像沿y轴平移c个单位；当b不为0时，图像沿x轴平移-b/2a个单位；当a不为0时，图像的开口方向取决于a的正负性，开口向上（a>0）或者开口向下（a<0）。
2. 对称性质：二次函数的图像关于y轴对称。这是因为二次函数的方程中只有x的二次项没有一次项，故图像关于y轴对称。
3. 零点性质：二次函数的零点是指函数值为0的x值。对于一般的二次函数，它将有两个零点，除非它开口向上或开口向下且顶点位于x轴上，此时则只有一个零点。
4. 首项分类：当a>0时，二次函数的图像开口向上，称为正二次函数；当a<0时，二次函数的图像开口向下，称为负二次函数。首项a的正负性决定了二次函数的凹凸性。
二、应用
1. 自然科学中的运动学问题：二次函数可以用来描述自然界中物体的运动状态。例如，自由落体运动中物体的下落高度与时间的关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的成本与收益问题：在经济学中，很多问题可以用二次函数来建模。例如，成本与产量之间的关系、价格与需求之间的关系等。
3. 地理学中的地形分析：地理学中，二次函数可以用来描述地形的变化。例如，山谷河流的横断面、地势的坡度等。
4. 工程学中的建模问题：在工程学中，二次函数可以应用于许多建模问题，如桥梁设计、弹道分析等。
总结起来，二次函数的图像性质包括平移性质、对称性质、零点性质和首项分类。而其应用领域广泛，包括自然科学中的运动学问题、经济学中的成本与收益问题、地理学中的地形分析以及工程学中的建模问题等。通过对二次函数的图像性质及应用的深入理解，可以更好地应用于实际问题的建模与求解。