幅值裕量和相位裕量

一般来说，)(ωj G 的轨迹越接近与包围-1+j001j +-点，系统响应的震荡性越大。

因此，)(ωj G 的轨迹对01j +-点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。

在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。

Re
Positive Phase Margin
Negative Gain Margin
Negative Stable System
Unstable System
(ωj G
64
ω
Log ω
Log ω
Log ω
Log ︒-90︒
-270︒-180Positive Gain Margin
Positive Phase Margin Negative Gain Margin
Negative Phase Margin Stable System
Unstable System
dB ︒
-90︒
-270︒-1800
dB
图1 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度
相位裕度、相角裕度(Phase Margin)γ
设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω
1)()()(==c c c j H j G j A ωωω
定义相角裕度为
)()(180c c j H j G ωωγ+︒=
相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ度，则系统将变为临界稳定。

当0>γ 时，相位裕量相位裕度为正值；当0<γ时，相位裕度为负值。

为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。

在极坐标图上的临界点为0分
贝和-180度。

︒-180
增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency)
πωωωϕ)12()()()(+==
k j H j G x x x ，Λ,1,0±=k
定义幅值裕度为
)
()(1
x x j H j G h ωω=
幅值裕度h 的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。

若以分贝表示，则有
)()(log 20)(x x j H j G dB h ωω-=
当增益裕度以分贝表示时，如果1>h ，则0)(>dB h 增益裕度为正值；如果1<h ，则0)(<dB h 增益裕度为负值。

正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。

对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。

对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。

一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。

因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。

当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。

如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。

关于相位裕度和增益裕度的几点说明
控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。

因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。

只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。

为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。

对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。

负的裕度表示系统不稳定。

适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。

为了得到满意的性能，相位裕度应当在︒︒6030与之间，增益裕度应当大于6分贝。

例1已知一单位反馈系统的开环传递函数为)
05.01)(2.01()(s s s K
s G ++=。

试求：①K=1时系统的相位裕度和增益裕度。

②要求通过增益K 的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB ，相位裕度︒≥40γ。

解：① ︒-==180)()()(x x x j H j G ωωωϕ 1)()(=c c j H j G ωω
︒-=--︒-=18005.02.090)(x x x arctg arctg ωωωϕ
即︒=+9005.02.0x x arctg arctg ωω 2
12
1211)(θθθθθθtg tg tg tg tg μ±=
±
∞=⨯-+x
x x
x ωωωω05.02.0105.02.0 →005.02.01=⨯-x x ωω →10=x ω
在x ω处的开环对数幅值为
)
()(log 20)(x x j H j G dB h ωω-=)
05.01)(2.01(1
log
20x x x ωωωj j j ++-=22)1005.0(1log 20)102.0(1log 2010log 20⨯++⨯++=
dB 281720=++=
根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency)为c ω
1)()(=c c j H j G ωω )
05.01)(2.01(1
)(c c c c ωωωωj j j j G ++=
1)
0025.01)(04.01(1
2
2c
=++=
c c ωωω 1c =ω
︒-=--︒-=10405.02.090)(c c c arctg arctg ωωωϕ
︒=︒-︒=+︒=76104180)(180c ωϕγ
② 由题意知10=h 1.0)(=x j G ω
1.0)
0025.01)(04.01(22x
=++x x K
ωωω 5.225.0141101.0=++⨯=K
验证是否满足相位裕度的要求。

根据︒≥40γ的要求，则得：
︒-=︒+︒-=--︒-=1404018005.02.090)(c c c arctg arctg ωωωϕ
︒=+5005.02.0c c arctg arctg ωω
2.105.02.0105.02.0=⨯-+c
c c
c ωωωω 4=c ω
1)
0025.01)(04.01(2
2c
=++c c K
ωωω
2.502.128.14=⨯⨯=K
不难看出，5.2=K 就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。

Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P h a s e (d e g )
M a g n i t u d e (d B )-100-80-60-40-200
2010
10
1
10
2
-270
-225-180-135
-90
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
P h a s e (d e g )
M a g n i t u d e (d B )-40-30-20-10010
2010
10
1
-225
-180
-135
-90
图2幅值裕度和相位裕度示意图
例2 设一单位反馈系统对数幅频特性如图3所示(最小相位系统)。

写出系统的开环传递函数 判别系统的稳定性●如果系统是稳定的，则求t t r )(时的稳态误差。

10
10
10
10
10
10
图3最小相位系统的开环对数幅频特性ω 解： 由图得
)5
1)(01.01()
1
.01()(ω
ωωω
ωj j
j j
K j G +++=
1lg 20)5
1
(1lg 20)01.01(1lg 20)1.01(
1lg 20lg 20222=+-+-++K 11
10010
=⨯⨯K （近似计算） 10=K )2.01)(1001()101(10)(s s s s s G +++=
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度γ是否大于零来判断系统的稳定性。

由图可知1=c ω。

在c ω处
︒-=--+︒-=4.1065
101.011.0190)(arctg arctg arctg
c ωϕ 则得︒=+︒=6.73)(180c ωϕγ>>0 系统稳定 单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1.010
1
1===
v ss K e。