七年级数学竞赛专家讲座 第2讲 代数式的化简求值问题 (1)
代数式的化简求值
代数式的化简求值代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零变式练习：已知3=+y x ，2=xy ，求22y x +的值.利用“整体思想”求代数式的值例2．x =－2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x =2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a变式练习：1.已知当2018=x 时，代数式524=++c bx ax ，当2018-=x 时，代数式__________24=++c bx ax2.已知5=x 时，代数式52-+bx ax 的值是10，求5-=x 时，代数式52++bx ax 的值是多少？例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.分析：观察两个代数式的系数变式练习：1.已知87322=++y x ，则___________9642=++y x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4．已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值. 分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a所以：解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
七年级数学讲义 第二讲：代数式的化简求值问题
第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处。
二、考点分析1．利用同类项的概念求字母的值例1 如果2x 3y n+1与-3x m -2y 2是同类项，则2m +3n =＿＿＿．2．整式的加减运算例2 计算6a 2-2ab -2（3a 2+ab ）所得的结果是 （ ）. A ．-3ab B ．-ab C ．3a 2 D ．9a 23．利用整式求值例3 若3a 2-a -2=0，则5+2a -6a 2=＿＿＿．三、易错点分析误区1 整式书写不规范例1 用含有字母的式子填空：（1）a 与b 的倍的差是＿＿．（2）某商品原价为a 元，提高了20%后的价格＿．误区2 忽略1和π致错例2 （1）4π2r 2的系数是＿＿＿＿；（2）单项式a 2b 3c 的次数是＿＿＿＿． 误区3 去括号时出错例3 计算：（x -2x 2+2）-3（x 2-2+x ）.误区4 列式未加括号而出错例4 已知一个多项式与3x 2+9x 的和等于3x 2+4x -1，则这个多项式是（ ）.A ．-5x -1B ．5x +1C ．-13x -1D ．13x -1四、例题解析（一）单项式与多项式【例1】下列说法正确的是( )A ．单项式的系数是B ．单项式的指数是C ．是单项式 D ．单项式可能不含有字母 1214354-23x -3-3242π2ab -71x【例2】多项式是次项式，关于字母的最高次数项是，关于字母的最高次项的系数，把多项式按的降幂排列。
【例3】已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值。
【例4】若和都是五次多项式，则( )A ．一定是多项式B ．一定是单项式C ．是次数不高于的整式D ．是次数不低于的整式【例5】若、都是自然数，多项式的次数是( )A ．B ．C ．D ．、中较大的数【例6】同时都含有字母、、，且系数为的次单项式共有()个。
初中数学竞赛辅导专题2：化简求值
初中数学竞赛辅导专题（二）竞赛专题： 化简求值 讲座日期：“化简求值”讲义稿1．计算)32452)(32440)(32428)(32416)(3244()32458)(32446)(32434)(32422)(32410(4444444444++++++++++2．已知01585234=+-+-x x x x ，求xx 1+的值3．已知实数x 、y 满足013461210522=+---+y x xy y x ，求y x +的值4．已知实数x 、y 、z 满足4=-y x ，042=++z xy 求y x +的值5．实数x 、y 满足1≥≥y x ，04522=++--y x xy x ，求y x +的值6．设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则ba ba -+的值为（ ） A. 3B. 6C. 2D. 37．已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a≠b 2，求21ab a + 的值．8．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值.“化简求值”课后练习（一）9．计算=+⋯⋯+++++⋯⋯++++)441()417)(413)(49)(45()439()415)(411)(47)(43(4444444444________________10．若0132=+-a a ，则331a a +的值为______11．若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求baa b +之值.12．已知实数x 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________13．(2011年全国初中数学竞赛)若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y+的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92（D ）112“化简求值”课后练习（二）14．(2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区))黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选择2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ） （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）9915．已知，关于x 的方程22112()1x x x x +++=，那么11x x++的值为 .16．未知数x ，y 满足(x 2＋y 2)m 2-2y(x+n)m+y 2+n 2=0， 其中m ，n 表示非零已知数，求x+y 的值．17．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a . 18．如果x 和y 是非零实数，使得3=+y x 和03=+x y x ，那么x +y 等于（ ）. （A ）3 （B ）13 （C ）2131- （D ）134-参考答案讲义部分1．373；2．2或3； 3．5；4．0； 5．4；6．A ； 详解： 因为(a+b)2=6ab ，(a-b)2=2ab ，因为a<b<0，得ab b a ab b a 26-=--=+，，故3=-+ba ba . 7．－1； 详解：∵21a +1a －1=0， ∴（1a ）2+1a－1=0．又∵b 4+b 2－1=0，∴（b 2）2+b 2－1=0．∴1a 、b 2是方程x 2+x －1=0的两个根．∴1a +b 2=－1，1a ×b 2=－1．∴21ab a +=b 2+1a=－1．8．； 详解：由已知有 ④ ③ ② ① x a d x d c x c b x b a =+=+=+=+1111课后练习（一）9．1353； 解析：10．18； 解析：依题意知，0≠a ，由0132=+-a a 得a a 312=+，对此方程两边同时除以a 得31=+aa353 1 1 42 1 2 1 42 1 40 1 8 1 6 1 4 1 40 1 38 1 6 1 4 1 2 ]1 ) 1 ][( 1 ) 1 [( )2 2 )( 2 2 ( ) 2 ( ) 2( 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 = + + = + + ⋯ + + + + + ⋯ + + + ∴ + - + + = + - + + = - + = + ））（ （ ） ）（ ）（ （ ） ）（ （ ） ）（ ）（ （ 原式＝x x x x x x x x x 2 2 0 x 02 0 0 ) 2 )( ( 1 0 1 ) 2 ( ) 1 ( 11 11 2 3 3 2 3 2 2 ± = = = = = - ∴ ≠ - = - - = + = + + - - + - = + - - - - - - = - = x x c a x x a d x x a d ax ad ad x a d x ad dx x dax x a x ax x a x c a x b ， ，矛盾。
七年级数学上册 第2章 代数式 专题强化一 整式的化简、求值课件
10．已知多项式(2x2＋mx－12y＋3)－(3x－2y＋1－nx2)的值与字母 x 的取值
无关，求多项式(m＋2n)－(2m－n)的值．
解：2x2＋mx－12y＋3－3x＋2y－1－nx2 ＝(2＋n)x2＋(m－3)x＋32y＋2 因为多项式的值与字母 x 无关，则关于 x 的项的系数为 0. 所以 2＋n＝0，m－3＝0，即：n＝－2，m＝3. (m＋2n)－(2m－n) ＝－m＋3n. 当 n＝－2，m＝3 时， －m＋3n ＝－3＋3×(－2) ＝－9.
第九页，共十页。
第2章 代数式。＜
内容(nèiróng)总结
第十页，共十页。
2018年秋
七年级 数学(shùxué) 上册•X
第2章 代数式
专题强化(qiánghuà)一 整式的化简、求 值
第一页，共十页。
强化角度 1 去括号，合并同类项 1．化简：m－{n－2m＋[3m－(6m＋3n)－5n]}． 解：原式＝m－[n－2m＋(3m－6m－3n－5n)]＝m－(n－2m＋3m－6m－3n －5n)＝m－n＋2m－3m＋6m＋3n＋5n＝(1＋2－3＋6)m＋(－1＋3＋5)n＝ 6m＋7n. 2．化简：13ab＋14a2－13a2－(－23ab)． 解：原式＝31ab＋14a2－13a2＋32ab＝(13＋23)ab＋(14－13)a2＝ab－112a2.
强化角度 4 整体代入法求值
7．已知 xy＝2，x＋y＝3，求(3xy＋10y)＋[5x－(2xy＋2y－3x)]的值． 解：原式＝3xy＋10y＋(5x－2xy－2y＋3x)
＝3xy＋10y＋5x－2xy－2y＋3x
＝3xy＋(10－2)y＋(5＋3)x－2xy
＝3xy－2xy＋8y＋8x
最新初一数学代数式知识
2007222323++a a 初一数学基础知识讲义第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
分析： 因为8635=-++cx bx ax当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，所以146822235-=--=++c b a当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.分析：观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932=+x x整体代人，42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a所以：20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
代数式的化简与求值
代数式的化简与求值二、方法剖析与提炼 例1．已知12322--+=x xy x A ，12-+-=xy x B ，且3A +6B 的值与x 无关，求y 的值。
【解答】3A +6B＝()9615--x y∴当y =_________________时，3A +6B 的值与x 无关。
【解析】由已知3A +6B 与x 无关，只能说3A +6B 中不含有x 。
【解法】求3A +6B 表示的代数式，用整体代入求得关于x ，y 的代数式9615--x xy ，因3A +6B 与x 无关问题就转化为当y 为何值时9615--x xy 中不含有x 。
∵当15y -6=0时，9615--x xy 中不含有x 。
∴当y =52时，3A +6B 中不含有x 。
【解释】（1）3A +6B 的式子也即将12322--+=x xy x A 与12-+-=xy x B 整体代入后化简的结果；（2）3A +6B 与x 无关的问题转化为“式中应不含有x ”,如何当代数式9615--x xy 中不含有x 呢？那可以这样处理：把y 作为常数，让字母x 的系数为0即可。
例2．若201632=+y x ，则代数式()_______)9()(232=+-+---y x y x y x【解答】())9()(232y x y x y x +-+---＝4032.【解析】首先化简代数式())9()(232y x y x y x +-+---得：y x 64+，再观察y x 64+与y x 32+的关系，若看不出来，也可对y x 64+进行因式分解： y x 64+＝()y x 322+，可得y x 64+是y x 32+的2倍。
【解法】对代数式()()()2232y y x y x x -+---化简后得23129x x -+，再将241x x -=整体代入求解，具有一般性解法。
此题也可以由241x x -=，得：241x x =+，代入化简化的代数式y x 64+求值，这种方法叫消元代入法。
初一数学代数式化简及求值
初一数学训练二-----代数式及其化简求值一、代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。
如：1、学习代数式应掌握什么技能？掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。
例练：一个数的1/8与这个数的和；m 与n 的和的平方与m 与n 的积的和例练：用代数式表示出来（1）x 的343倍 （2）x 除以y 与z 的积的商 例练：代数式3a+b 可表示的实际意义是_______________________二、代数式的书写格式： 1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“• ”代替，更不能省略不写。
2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。
3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如：4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。
5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。
6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。
如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本三、同类项及合并同类项1、同类项具备的条件① ②2、同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关例练：下列各题中的两项是不是同类项？为什么（1）2x 2y 与5x 2y （2）2ab 3与2a 3b （3）4abc 与4ab (4)3mn 与-nm （5）-5与+3例练：⑴若单项式x m y 4 与-2x 3y n －2是同类项，则m=____，n=____3、关于同类项中的概念（1单项式： 特征：数字和字母相乘。
单项式的系数 ： 数字为系数 ；单项式的次数： 所含字母的指数和味单项式的次数（2）多项式：特征：几个单项式的和。
七年级苏教版数学复习要点考点专题二：整式化简求值及应用(教师用,附答案分析)
七年级苏教版数学复习要点考点专题二：整式化简求值及应用知识点一 整式化简求值1.求代数式的值的一般方法（1）直接代入法：直接将字母的值代入代数式进行计算.（2）间接代入法：先计算出对应的字母的值，再把求得的值代入代数式进行计算.（3）整体代入法：先求出含一个字母或多个字母的整体值，然后将代数式变形为含有此整体的代数式并进行计算.注意：化简求值的扩充方法 ①设k 法遇到连等式、连续比例式的题，解决这类题型的最佳方法是设k 法． ②赋值法在解题过程中，对于难以化简求值问题，我们也可以通过给未知数赋一些特殊值来解决问题． 例1（玄武区期中）已知223A x mx x =+-，21B x mx =-++，其中m 为常数，若2A B +的值与x 的取值无关，则m 的值为( ) A ．0B ．5C ．15D ．15-【解答】解：已知223A x mx x =+-，21B x mx =-++，222232(1)A B x mx x x mx +=+-+-++， 2223222x mx x x mx =+--++，52mx x =-+因为2A B +的值与x 的取值无关，所以510m -=解得15m =．故选：C ． 例2（溧水区期中）已知代数式2x y +的值是2，则代数式124x y --的值是( ) A ．1- B ．3- C ．5- D ．8-【解答】解：根据题意得：22x y +=， 方程两边同时乘以2-得：244x y --=-，方程两边同时加上1得：124143x y --=-=-，故选：B ．知识点二 整式运算应用一、常见找规律基本类型 1．等差型规律相邻两项之差（后减前）等于定值的数列．例如：4，10，16，22，28…，增幅是6，第一位数是4，所以，第n 位数为：()41662n n +-⨯=-． 2．等比型规律相邻两项之比（后比前）等于定值的数列．例如：3，6，12，24，48…，比值是2，第一位数是3，所以，第n 位数为：132n -⨯． 3．符号型规律符号型数列的特点是，正数与负数交替出现；解决方法：先不考虑符号，找到数列的规律，并用含n 的式子表示，然后再乘以()1n-或()11n +-．补充：①平方型规律；②求和型规律；③周期型规律二、定义新运算：是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算． 在定义新运算中的※，，∆……与+、-、⨯、÷是有严格区别的．解答定义新运算问题，必须先理解新定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的 +、-、⨯、÷运算问题．注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．三、程序框图运算：程序框图运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 注意：程序框图中的运算是由前到后．．．．依次进行的，不存在先乘除后加减的问题．例1（建邺区期中）一组有规律排列的数：1、3、7、______、31⋯⋯，在下列四个数中，填在横线上最合理的是( )A ．9B ．11C ．13D ．15 【解答】解：3121=⨯+，7321=⨯+，15721=⨯+，311521=⨯+， ∴后一个数是它前一个数的2倍加上1，故选：D ． 例2（鼓楼区期末）小红在计算2320201111()()()4444+++⋯+时，拿出1张等边三角形纸片按如图所示方式进行操作．①如图1，把1个等边三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第1次操作；②如图2，再把①中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，完成第2次操作；③如图3，再把②中最上面的三角形等分成4个完全相同的等边三角形，⋯依次重复上述操作．可得2320201111()()()4444+++⋯+的值最接近的数是( )A ．13B ．12C ．23D ．1【解答】解：设2320201111()()()4444S =+++⋯+，则232019111141()()()4444S =++++⋯+， 2020141()4S S -=-，2020131()4S =-，202011()1433S -=≈，故选：A ． 例3（建邺区期中）有一列数1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，n a ⋯，从第二个数开始，等于1与它前面的那个数的差的倒数，若13a =，则2019a 为( )A．2019B．23C．12-D．3【解答】解：依题意得：13a=，211132a==--，3121312a==+，413213a==-；∴周期为3；20193673÷=所以2019323a a==．故选：B．例4（溧水区期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A、B、A、B、C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是4个边长为bm的小正方形组成的正方形．（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（3）如果40a m=，20b m=，求整个长方形运动场的面积．【解答】解：（1）2[()()]2()4()a b a b a b a b a m++-=++-=（2）2[()()]2()8()a ab a a b a a b a a b a m++++-=++++-=（3）解：(22)(22)4()()S a b a b a b a b=-⨯+=+-m，当40a=，20b=时原式4(4020)(4020)4800=+-=m，答：整个长方形运动场的面积为4800 m．【提优训练】一、单选题（共6小题）1．（苍溪县期末）已知一个多项式与239x x+的和等于2341x x+-，则此多项式是() A．2651x x---B．51x--C．2651x x-++D．51x-+【解答】解：由题意得：22341(39)x x x x+--+，2234139x x x x=+---，51x=--．故选：B．2．（常熟市期中）已知代数式2245x x-+的值为9，则272x x-+的值为()A．5B．6C．7D．8【解答】解：根据题意得：22459x x-+=，方程两边同时减去5得：2244x x-=，方程两边同时乘以12-得：222x x-+=-，方程两边同时加上7得：272725x x-+=-=，故选：A．3．（江阴市期中）已知2a b-=，2d b-=-，则2()a d-的值为()A．2B．4C．9D．16【解答】解：2a b-=，2d b-=-，()()4a b d b∴---=，则4a b d b--+=，4a d-=，2()16a d∴-=．故选：D．4．（姑苏区期末）如果a 和14b -互为相反数，那么多项式2(210)7(23)b a a b -++--的值是( ) A ．4- B ．2- C ．2 D ．4【解答】解：由题意可知：140a b +-=，41a b ∴-=-，∴原式242071421b a a b =-++-- 3121a b =--3(4)1a b =--31=--4=-，故选：A ．5．（路北区三模）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n 、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是( )A ．6()m n -B ．3()m n +C ．4nD ．4m 【解答】解：设小矩形的长为a ，宽为()b a b >，则3a b n +=，阴影部分的周长为22()2(3)222264224n m a m b n m a m b m n n m +-+-=+-+-=+-=，故选：D ． 6．（宿豫区期中）下列图形都是由同样大小〇的按一定的规律组成的，其中第1个图形一共有4个〇，第2个图形一共有9个〇，第3个图形一共有15个〇，⋯则第70个图形中〇的个数为( )A ．280B ．349C ．2485D ．2695【解答】解：第①个图形中基本图形的个数1(11)4312⨯+=⨯+， 第②个图形中基本图形的个数2(21)8322⨯+=⨯+， 第③个图形中基本图形的个数3(31)11332⨯+=⨯+， ⋯∴第n 个图形中基本图形的个数为(1)32n n n ++当70n =时，707137026952⨯⨯+=，故选：D ．二、填空题（共5小题）7．（海州区期中）如果23x x -的值是1-，则代数式2396x x -+-的值是 ． 【解答】解：根据题意得：231x x -=-， 方程两边同时乘以3-得：393x x -+=，方程两边同时减去6得：396363x x -+-=-=-，故答案为：3-． 8．（邗江区一模）若1m n -=-，则2()22m n m n --+= ．【解答】解：1m n -=-，2()22m n m n ∴--+2()2()m n m n =---2(1)2(1)=--⨯-12=+3=．9．（无锡期末）若代数式22x x -的值为5，则代数式2363x x --的值为 ． 【解答】解：2363x x --23(2)3x x =--225x x -=，∴原式353=⨯-12=．故答案为：1210．（凤山县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，⋯，则第2019次输出的结果为 ．【解答】解：由设计的程序，知依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1⋯，发现从8开始循环．则201942015-=，201545033÷=⋯，故第2019次输出的结果是2．故答案为：2 11．（秦淮区期中）如图所示的数表是由从1开始的连续自然数组成的．观察数表特征，第n 行最中间的数可以表示为 ．（用含n 的代数式表示）【解答】解：由图中的数字可知，第n 行第一个数字是2(1)1n -+，最后一个数字是2n ，则第n 行最中间的数可以表示为：222(1)112n n n n -++=-+，故答案为：21n n -+．三、解答题（共2小题）12．（海州区期中）化简或求值 （1）化简：3(2)2(3)a b a b --+（2）先化简，再求值：22225(3)4(3)a b ab ab a b --+；其中1a =，12b =-．【解答】解：（1）原式(63)(26)632649a b a b a b a b a b =--+=---=-；（2）原式22222215541239a b ab ab a b a b ab =---=-，当1a =，12b =-时，原式3915244=--=-．13．（玄武区期中）如图是小江家的住房户型结构图．根据结构图提供的信息，解答下列问题： （1）用含a 、b 的代数式表示小江家的住房总面积S ；（2）小江家准备给房间重新铺设地砖．若卧室所用的地砖价格为每平方米50元；卫生间、厨房和客厅所用的地砖价格为每平方米40元．请用含a 、b 的代数式表示铺设地砖的总费用W ； （3）在（2）的条件下，当6a =，4b =时，求W 的值．【解答】解：（1）小江家的住房总面积：83S a b =-；（2）3(8)508(3)40W b a =-⨯+-⨯1200150320960b a =-+-320150240a b =-+； （3）当6a =，4b =时32061504240W =⨯-⨯+1920600240=-+1560=．。
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第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，
求()[]
m m m m +---45222的值. 分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零
因为()
()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx 所以 m=4
将m=4代人，()[]
44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m
利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
分析： 因为8635=-++cx bx ax
当x=-2时，8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a ，
所以14682223
5-=--=++c b a
当x=2时，635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a 例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值.
分析：观察两个代数式的系数
2008
20071200720072007
2222323=+=++=+++=++a a a a a a a 2008
2007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 由7532=++x x 得232=+x x ，利用方程同解原理，得6932
=+x x
整体代人，42932=-+x x
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.
分析：解法一（整体代人）：由012=-+a a 得 023=-+a a a
所以： 解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
由012
=-+a a ，得a a -=12， 所以：
解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、、减项）
20082007
12007
2007
)(2007
2007
222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a
例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）
第一年：A 公司 10000； B 公司 5000+5050=10050
第二年：A 公司 10200； B 公司 5100+5150=10250
第n 年：A 公司 10000+200(n-1）；
B 公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。
解：因为abc<0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c>0，所以a 、b 、c 中只有一个是负数。
不妨设a<0，b>0，c>0
则ab<0，ac<0，bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
同理，当b<0，c<0时，x=0。
另：观察代数式 bc
bc ac ac ab ab c c b b a a +++++，交换a 、b 、c 的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a 、b 、c 再讨论。
有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆
时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________． 分析：OA 上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， 归纳得到，这列数可以表示为6n-5 因为17=3×6-1，所以17在射线OE 上。
因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD 上
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25
L L L
根据上面规律，2007应在
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列
分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找
第三列数： 3，11，19，27，L 规律为8n-5
因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；
②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使k n
2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例
如，取n ＝26，则：
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F ”的第二种运算，即当n 为偶数时，结果为k n
2
（其中k 是使k n
2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F ①”变为1352；1352是偶数，经过“F ②”变为169，
169是奇数，经过“F ①”变为512，512是偶数，经过“F ②”变为1，
1是奇数，经过“F ①”变为8，8是偶数，经过“F ②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。
因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，
所以，结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。
希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …。