时间序列分析讲义第章差分方程

第一章 差分方程

差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程

t w 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ

1=t ：10101w y y ++=φφ

t t =：t t t w y y ++=-110φφ

依次进行叠代可以得到：

i t

i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)

上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态

19.0=∂∂t

t I w ，72.01=φ 从而可以得到二阶乘子为：

注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较

微弱的。

定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：

j t j

t j w y L 1φ=∂∂=+， ,1,0=j (1.5)

显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。

1||1>φt y ∑∞

=+0

j j t j y β (1.6)

如果t w 发生一个单位的变化，而t s w s >,不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：

∑∑∑∞=∞=+∞=+-==∂∂=∂∂00011/)(j j j j t j t j j t j t j w y w y φβφββ

β，1||<φβ

上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果t w 发生一个单位的变化，而且其后的t s w s >,也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于)(j t +时刻的j t y +的影响乘数是：

0111111φφφ+++=∂∂++∂∂+∂∂-+++++ j j j

t j t t t t j

t w y w y w y (1.7) 当1||1<φ时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：

t 以后 如果在方程当中允许t y 依赖它的p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述p 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：

t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211 (1.10) 为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：

t t t v F +=-1ξξ (1.11)

其中：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+---121p t t t t t y y y y ξ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-0001000000100011321

p p F φφφφφ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000 t t w v 其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其

0j t j t t j t j t j j t v v F v F v F F +-++--+++++++=11111 ξξ (1.14) 类似地，表示成为单方程形式：

j t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11 (1.15)

利用上述表达式，可以得到p 阶差分方程的动态反应乘子为：

)(11j t j

t j f w y L =∂∂=+， ,1,0=j

由此可见，动态反应乘子主要由矩阵j F 的首个元素确定。

例1.4 在p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：

命题1.1 距阵F 的特征根满足下述方程，此方程也称为p 阶线性差分方程的特征方程： 证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：

对上述行列式进行初等变化，将第p 列乘以)/1(λ加到第1-p 列，然后将第1-p 列乘以)/1(λ加到第2-p 列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：

这便是所求的p 阶线性差分方程的特征方程。 END 如果知道p 阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。

1.2.1 具有相异特征根的p 阶线性差分方程的通解

根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T 将其

j t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11 (1.15)

中可以得到动态乘子为：

j p p j j j t j

t j c c c f w y L λλλ+++==∂∂=+ 2211)(11， ,1,0=j (1.21)

究竟系数序列j c 取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。