时间序列模型讲义

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§9.1 序列相关理论
第6章在对扰动项ut的一系列假设下，讨论了古典线 性回归模型的估计、检验及预测问题。如果线性回归方 程的扰动项ut 满足古典回归假设，使用OLS所得到的估 计量是线性无偏最优的。
但是如果扰动项ut不满足古典回归假设，回归方程的 估计结果会发生怎样的变化呢？理论与实践均证明，扰 动项ut关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归 方程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须 建立相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带 来的模型估计问题。
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2 . 相关图和Q -统计量 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自
相关和偏自相关系数（在本章9.2.4节给出相应的公 式），以及Ljung-Box Q - 统计量来检验序列相关。 Q - 统计量的表达式为：
QLB T
T 2
p rj2 j1 T j
(9.1.7)
其中：rj是残差序列的 j 阶自相关系数，T是观测值的
第九章 时间序列模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在 前面的章节讨论过了，本章着重于时间序列模型的估 计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法。
这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是运 用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加权和 建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。
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主要内容
§9.1 序列相关理论 §9.2 平稳时间序列建模 §9.3 非平稳时间序列建模 §9.4 协整和误差修正模型
特别的，如果仅存在
(9.1.4)
E(ut , ut1 ) 0
t 1,2, , T
(9.1.5)
称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。
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如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。 可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
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T
(uˆt uˆt1)2
D.W . t2 T
2(1 ˆ )
uˆt2
t 1
如果序列不相关，D.W.值在2附近。
如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。
如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。
正序列相关最为普遍。根据经验，对于有大于50 个观测值和较少解释变量的方程，D.W.值小于1.5的情 况，说明残差序列存在强的正一阶序列相关。
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Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足：
1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再 有效。 3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。
其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和BreushGodfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。
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§9.1.1 序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
yt 0 1x1t 2 x2t k xkt ut
(9.1.1)
随机误差项之间不相关，即无序列相关的基本假设为
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T
如果扰动项序列ut表现为：
cov(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T
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反之，如果在某一滞后阶数p，Q - 统计量超过设定 的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序列 存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来估 算，因此，一个较大的样本容量是保证Q- 统计量有效的 重要因素。
在EViews软件中的操作方法：
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics 。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函 数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果 残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关 值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
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EViews提供了以下几种检测序列相关的方法。
1．D.W.统计量检验
Durbin-Watson 统计量（简称D.W.统计量）用于 检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线 性联系。对ut1 t
(9.1.6)
D.W.统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
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例9.1:利用相关图检验残差序列的相关性
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计 的简单消费函数的结果：
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浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并 且拟合得很好。但是，如果误差项是序列相关的， 那么估计OLS标准误差将是无效的，并且估计系数 由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。 在这种情况下D-W统计量作为序列相关的检验是不 合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。 选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会 产生如下情况：
(9.1.2) (9.1.3)
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即对于不同的样本点，随机扰动项之间不再是完全相互 独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关 性（serial correlation）。由于通常假设随机扰动项都服 从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以 表示为：
E(ut ,uts ) 0 s 0 , t 1 , 2 , , T
个数，p是设定的滞后阶数 。
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p阶滞后的Q - 统计量的原假设是：序列不存在 p阶自相关；备选假设为：序列存在p阶自相关。
如果Q - 统计量在某一滞后阶数显著不为零， 则说明序列存在某种程度上的序列相关。在实际的 检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q - 统计量、 自相关系数和偏自相关系数。如果各阶Q - 统计量 都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值，则 不拒绝原假设，即不存在序列相关，并且此时，各 阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。
①在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
②使用OLS公式计算出的标准差不正确，相应的显 著性水平的检验不再可信 ；
③如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏 的且不一致。
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§9.1.2 序列相关的检验方法
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但 首先必须排除虚假序列相关。虚假序列相关是指模型 的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的。 例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要 的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。 由于资本在时间上的连续性，以及对产出影响的连续 性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情 况下，要把显著的变量引入到解释变量中。