基于时间序列arma模型的分析
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
时间序列上机实验ARMA模型的建立
实验一ARMA模型建模一、实验目的学会检验序列平稳性、随机性。
学会分析时序图与自相关图。
学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，以及掌握利用ARMA模型进行预测的方法。
学会运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳：序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型：AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为：乂2『t2 川p y t p t式中：p为自回归模型的阶数i（i=1，2，，p）为模型的待定系数，t为误差，yt 为一个平稳时间序列。
MA模型：MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为：y t t 1 t 1 2 t 2 川q t q式中：q为模型的阶数；j（j=1，2，，q）为模型的待定系数；t为误差；yt为平稳时间序列。
ARMA模型：自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为：y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t 1 t 1 2 t 2 q t q三、实验内容（1）通过时序图判断序列平稳性；（2）根据相关图，初步确定移动平均阶数q 和自回归阶数p；（3）对时间序列进行建模四、实验要求学会通过各种手段检验序列的平稳性；学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q,学会利用最小二乘法等方法对ARMA 模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA 模型进行诊断，以及掌握利用ARMA 模型进行预测。
五、实验步骤1．模型识别（1）绘制时序图在Eviews 软件中,建立一个新的工作文件, 500个数据。
通过Eviews 生成随机序列“ e，再根据“ x=*x（-1）*x（-2）+e ”生成AR（2）模型序列“ x” 默认x（1）=1, x（2）=2,得到下列数据，由于篇幅有限。
基于时间序列分析的股票价格预测模型研究
基于时间序列分析的股票价格预测模型研究股票市场是一个充满风险和不确定性的地方。
投资者经常试图预测股票价格的走势，以便能够做出更明智的投资决策。
基于时间序列分析的股票价格预测模型正是为了满足这一需求而被研究和开发的。
时间序列分析是一种基于一系列观测值的统计数据分析方法。
它主要用于分析和预测时间上的模式和趋势。
对于股票价格预测来说，可以将时间作为横轴，将股票价格作为纵轴，将股票价格的历史数据转化为时间序列。
然后，基于这些时间序列数据，可以建立不同的模型来预测股票价格未来的走势。
在进行股票价格预测模型研究时，常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型(ARMA)、自回归整合移动平均模型(ARIMA)等。
这些模型的核心思想都是通过历史价格数据的分析，以及不同的数学和统计技术，来预测未来的价格趋势。
移动平均法是一种简单的时间序列分析方法。
它基于一个窗口大小，计算窗口内所有价格的平均值，并将这个平均值作为未来价格的预测。
移动平均法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它对于价格波动比较大的股票来说可能会有一定的滞后性。
指数平滑法是一种以指数权重来计算平均值的方法。
它给予较新数据更大的权重，较旧数据的权重逐渐减小。
通过不断调整权重，指数平滑法可以更好地适应价格的变化。
然而，由于该方法依赖于历史价格数据，对于极端事件的处理可能会出现问题。
自回归移动平均模型(ARMA)是一种常用的时间序列预测模型。
它结合了自回归(AR)和移动平均(MA)两种方法。
AR模型通过利用过去价格的权重来预测未来价格。
而MA模型通过利用过去预测误差的权重来预测未来价格。
ARMA模型可以有效地捕捉价格的趋势和周期性。
自回归整合移动平均模型(ARIMA)是ARMA模型的扩展。
它还包括一个整合过程，用于消除非平稳时间序列的趋势。
ARIMA模型通常用于对非平稳时间序列的预测。
它通过差分运算，将原始时间序列转化为平稳的时间序列，然后再应用ARMA模型进行预测。
时间序列分析和ARMA模型建模研究
时间序列分析和ARMA模型建模研究一、引言时间序列是一种基本的统计数据类型，它记录了随时间变化的某个现象的数值，如股票价格、气温、销售额等等。
时间序列分析是一种用来探测和预测时间序列中趋势、季节性和周期性等特征的统计方法。
ARMA模型是时间序列分析中最常用的模型之一，它将时间序列视为由自相关（AR）和移动平均（MA）两个过程混合而成的结果，可以对其进行预测和建模分析。
本文旨在介绍时间序列分析和ARMA模型建模的基本理论，包括数据分析方法、模型拟合和预测等相关内容。
二、时间序列分析1、基本概念时间序列指在时间轴上每个时刻所对应的变量值的序列，它是由许多个观察值构成的。
一个时间序列通常可以用以下公式来表示：Yt = f (t, εt)其中，Yt表示时间t时刻的变量值，f表示一个关于t和随机误差项εt的函数。
时间序列可以分为平稳和非平稳两类。
2、样本自相关函数与偏自相关函数在时间序列分析中，自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）都是非常重要的概念，它们用于刻画序列内部的相关性。
ACF是一个时间序列与其滞后版本之间的相关性度量，而PACF则是在除去其它所有的滞后版本影响下，一个时间序列与其滞后版本之间关系的度量。
3、时间序列模式的识别对于时间序列分析来说，关键任务之一就是识别出序列的模式。
模式可以分为三种：趋势、季节性和周期性。
趋势模式是指序列中长期变化的基本趋势，被认为是序列的“平滑”或“漂移”的程度。
季节性模式是指序列随时间变化的基本周期规律。
周期性模式是连续时间周期性变化的随机性模式。
三、ARMA模型建模1、ARMA模型的概念ARMA模型是时间序列中最常用的模型之一，它表示为自回归（AR）和移动平均（MA）过程的线性组合。
ARMA模型的一般表达式为：Yt = μ + εt + ΣφiYt-i + Σθjεt-j其中，μ是常数项，εt是序列的随机误差项，φi和θj是AR和MA的参数。
2、模型拟合方法在建立ARMA模型时，目标是最小化模型拟合误差。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。
下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。
自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。
AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。
AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。
移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。
MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。
自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。
ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。
下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。
基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究
基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究摘要：国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）是衡量一个国家经济总量和增长的重要指标。
本文基于ARMA模型，对我国GDP进行预测研究。
首先，通过对我国GDP的时间序列数据进行平稳性检验，确定其是否需要进行差分操作。
其次，在确定了差分次数后，使用自相关图和偏自相关图选择ARMA模型的阶数，并通过最小二乘法估计模型参数。
最后，使用选定的ARMA模型对未来几年的GDP进行预测，并对模型的拟合精度进行评估。
关键词：ARMA模型；国内生产总值；预测1.引言国内生产总值是一个国家经济发展的核心指标，对于制定经济政策和监测经济状况具有重要意义。
因此，对GDP的准确预测对于国家和企业的决策非常重要。
自上世纪80年代以来，时间序列分析作为一种主要的预测方法被广泛应用于经济领域。
ARMA模型是一种常用的时间序列预测模型，结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA），能够较好地拟合和预测时间序列数据。
2.数据描述3.平稳性检验在进行时间序列预测之前，需要对数据进行平稳性检验。
平稳性检验的目的是判断时间序列中是否存在趋势或季节性等非平稳性因素。
本研究使用ADF单位根检验对GDP数据进行平稳性检验。
4.差分操作如果平稳性检验中发现数据存在非平稳性，需要对数据进行差分操作。
差分操作的目的是消除数据中的趋势或季节性等非平稳性因素。
采用一阶差分的方式进行处理。
5.模型选择使用自相关图和偏自相关图帮助选择ARMA模型的阶数。
自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的相关性，偏自相关图展示了时间序列与其延迟值之间的纯粹相关性。
通过观察图示，可以初步确定ARMA模型的p和q的值。
6.参数估计与模型拟合通过最小二乘法对ARMA模型的参数进行估计。
利用已知的GDP数据拟合ARMA模型，并计算模型的拟合精度。
一般使用残差的均方根误差（RMSE）作为评估模型拟合精度的指标。
基于ARMA模型的___股票日收益率分析
基于ARMA模型的___股票日收益率分析引言___是中国最大的互联网公司之一，在股票市场中具有重要的地位。
了解___股票的日收益率变动对于投资者制定有效的投资策略至关重要。
本文将基于ARMA模型对___股票的日收益率进行分析，以期提供一些见解和参考。
数据分析方法ARMA模型（自回归滑动平均模型）是一种常用于时间序列预测的统计模型。
它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA），能够捕捉数据序列的长期依赖和短期波动。
本文将利用ARMA模型来分析___股票的日收益率数据。
数据来源与预处理___股票的日收益率数据可以从证券交易所或第三方数据提供商获得。
这些数据包含了___股票每天的开盘价、收盘价等信息。
首先，我们需要计算每天的日收益率，即当日收盘价与前一日收盘价之间的差异除以前一日收盘价。
然后，可以将这些日收益率数据导入ARMA模型进行分析。
模型拟合与评估ARMA模型的拟合需要确定自回归阶数（p）和滑动平均阶数（q），它们对于模型的准确性和预测能力至关重要。
常用的方法包括自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
通过观察ACF和PACF图可以初步确定p和q的取值范围。
接下来，可以使用最大似然估计方法拟合ARMA模型，并通过一些统计指标如AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）来评估模型的拟合程度和相对好坏。
结果与讨论根据ARMA模型的拟合结果，可以得到___股票日收益率的预测值。
我们可以进一步对模型进行验证，比如计算模型的残差、检验残差序列是否为白噪声等。
如果模型通过了这些验证，说明模型具有一定的预测能力。
投资者可以根据模型的预测结果和其他投资策略相结合，制定更加科学和有效的投资决策。
结论本文基于ARMA模型对___股票的日收益率进行了分析。
ARMA模型具有一定的预测能力，可以为投资者提供一些参考和见解。
然而，投资决策涉及多方面因素，仅依据ARMA模型的预测结果可能不足以制定全面的投资策略。
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针对乳制品月产量数据的时间序列分析摘要：随着经济的发展，乳制品产业对国民健康水平的影响逐渐加大。
该文从乳制品行业月产量的角度出发，采用时间序列数据分析方法，对我国自1990年至2010年以来的乳制品行业月产量进行了建模分析，并在得到模型后对其进行了预测。
从分析结果来看，我国的乳制品产量在2004年发生突变，特定的月份也会对其产生影响，并且在不同的时间，影响会发生变化。
关键词：乳制品；月份特征；产量突变；产量预测；背景：纵观自1949年发展至今，整个行业可以分为四个发展阶段：1、缓慢发展阶段（1949~1977）：这段时期，我国乳产业受国家经济状况制约发展缓慢。
2、迅速扩张阶段（1978~1992）：由于开始实行多种所有制进行奶牛饲养与奶制品加工，原奶与乳品的产量、种类、质量都有明显的提高3、结构调整阶段（1993~1998）：1993年开始，乳品供给增长明显快于消费增长速度，产能出现比较严重的过剩，乳粉出现滞积，部分乳品企业发展艰难。
4、高速增长阶段（1999~至今）：1998年起，乳制品产业经过产品结构大力调整，经济效益明显提高，随着消费需求的迅速增长，乳制品产量也连年增长，乳产业已经从一个传统产业摇身一变成为一个朝阳产业。
从市场格局上看，乳制品企业可以分为4类：1、以伊利、蒙牛为代表的全国性企业；2、以光明、三鹿、维维等为代表的区域性企业；3、以北京三元、济南佳宝为代表的本省省会企业；4、以雀巢为代表的外资企业。
在行业中，企业之间的竞争非常激烈，特别地，在近十年中市场竞争引起了市场格局的极大改变。
本文将选取1993年1月起到2010年6月的月产量数据进行时间序列分析，尝试建立该时序的时间序列模型及其详细的建立过程，并对模型结果给出必要的经济意义解释。
建立模型过程：1、建模过程使用eviews软件，将1990年1月到2010年6月总计246个月度数据输入eviews中，Yt即是产量月度序列，现作出散点图如下：通过观察上图，认为不同时间下的Yt的数值差异过大，并且波动程度也差别过大，故先将序列作取对数处理，作出散点图如下：通过观察上图，认为该序列是一个典型的结构突变的过程，突变位置始于2003年12月。
故需要加入突变虚拟变量进行检测。
从图中我们观察到，突变过程精确来说应属于渐进式的突变，但在突变区间内只有2~3个月份，相对于200多个月份来说可以忽略，故在选择突变类型时认为是水平突变，即从2003年12月开始水平突变。
由于不知是否存在斜率突变，故我们一齐将水平突变变量与斜率突变变量加入检验。
2、即建立模型：t b tu t t DL dl t c Y +-⨯+++=)(log 210βββ，检验结果如下： VariableCoefficient Std. Error t-Statistic Prob. C0.674340 0.034742 19.41010 0.0000 @TREND(1989M12)0.009680 0.000357 27.14478 0.0000 DL2.076061 0.061744 33.62361 0.0000 DL*@TREND(2003M12)0.002085 0.001182 1.763334 0.0791R-squared 0.981355 Mean dependent var 2.554138 Adjusted R-squared0.981123 S.D. dependent var 1.631446 S.E. of regression0.224148 Akaike info criterion -0.136897 Sum squared resid12.15861 Schwarz criterion -0.079899 Log likelihood20.83828 Hannan-Quinn criter. -0.113946 F-statistic4245.683 Durbin-Watson stat 0.608538 Prob(F-statistic) 0.000000可以看到，常数项、时间趋势项及水平突变三个变量均显著，而斜率突变并不显著。
故我们将其舍去，接着用模型t t u dl t c Y +++=10log ββ再做一次回归：现在可以看出，三个变量均显著。
即现在认为我们正确的加入趋势项和水平突变变量。
3、考虑到 LOGY 是一个月度数据，并且从散点图上也可以明显观察到存在着季节特征，故我们为了研究其十二个月的特征，我们继续加入11个虚拟变量i D （当月份为i 时等于1，否则为0）继续回归，结果如下：可以看到，只有d1 ，d2 ，d6三个月度变量在5%的水平下是显著的，所以我们剔除不显著变量再回归一次：现在得到的这个模型，常数项、趋势项、水平突变变量及月度变量均显著。
4、所以接下来我们要讨论的就是这个突变过程究竟是随机趋势过程还是趋势平稳过程，所以我们将采用Perron检验进行检验，即我们用该模型退势后的残差序列进行单位根检验：突变点在2003年12月，即大概在整个序列的2/3的位置，根据Perron检验表查得在%5水平下临界值应位于-3.780~-3.76之间，故我们明显可以拒绝原假设即认为该残差序列是一个平稳过程，即LOGY是一个趋势平稳序列。
所以，当确定LOGY是一个可以避免很多诸如虚假回归等问题的趋势平稳序列后，我们可以放心继续修正模型。
5、现在，我们开始研究模型中是否存在ARMA成分，故作出LOGY退势后的残差序列的自相关偏相关图如下：从图中可以看到，残差序列是一个平稳的ARMA过程，可能存在AR(1)、AR(3)、MA(1)、MA(2)、MA(3)，故我们继续将这五个ARMA成分加入模型中：发现常数项开始不显著，AR(3)显著性并不好，MA(3)很不显著，但由于常数项并非关键成分，故我们将其剔除继续尝试：现在，AR(3)与MA(3)的显著性在％５的水平下完全可以拒绝，故我们将其剔除，余下变量即模型：t u L L D D D DL t Yt L )1()621)(log 1(2216210ϕϕββββαφ++=-----+继续回归：可以看到，现在的模型中，加入的ARMA 成分都显著，接下来我们看看残差序列的自相关与偏相关图：从图中，我们观察到该模型的残差序列已经接近白噪声，即我们认为我们已经加入了正确的ARMA 成分。
所以现在的模型为;2(10.977)(log 0.017 1.010.25810.15420.0956)(10.160.19)t L Yt t dl D D D L L u ---++-=--其中t u 是白噪声。
从回归结果中我们可以看出，无论是系数的显著性，还是模型的拟合度，都令人满意。
另外经过检验，没有发现有异方差、序列相关、多重共线性等问题的存在。
6、模型的最终调整：经过尝试预测，我们发现一个不容忽视的问题，即往往1月的产量往往被低估，而6月份的产量的季节特征似乎又消失了，故我们怀疑是否D1的系数在序列后期已发生变化，而同时D6是否开始变得不显著。
解决方案：所以我们新生成一个DN1序列，DN1与D1的区别就在于2003年12月前均为0，其余不变；新生成一个序列D_6，在2003年12月前，D_6与D6一样，后期其余均为0.我们在原来模型中加入DN1，用D_6代替D6进行回归：从结果发现，月度特征果然发生了变化，1月虚拟变量的系数果然需要被调高0.102，而6月的季节特征在2004年后就不再显著。
从而验证了我们的猜想。
经过尝试预测检测，没有出现比较异常的拟合值，故认为已经得到目前最好的模型，即：t u L L D D DN D t Yt L )225.0145.01()6104.02148.01102.01293.0017.0)(log 995.01(2--=-+-+-- 模型解释：经过层层分析，我们得到最后的模型，即使一个带有结构突变、季节虚拟变量、ARMA 成分的模型：t u L L D D DN D t Yt L )225.0145.01()6104.02148.01102.01293.0017.0)(log 995.01(2--=-+-+--1、首先对于时间趋势项t,其系数为0.017，证明logYt 是有一个稳定的时间增长趋势，对于其它条件保持不变，下一月的产量相对于本月将增加0.017个百分点（可看做一个增长模型），说明我国的乳产业多年来一直保持向上增长的势头。
并且由于logYt 的线性增长，Yt 将呈现指数增长。
2、季节虚拟变量D1、D2、D6的系数分别为-0.258、-0.154、0.095，经过查验资料表明，1月、2月是产奶淡季，这时候奶牛的产量会因为气候因素而降低，但是降低的程度在2003年12月以后会减弱；而6月是一个产奶旺季，而且此时社会对乳制品的订单会迅速增加，这反过来也会刺激产量提升，但这个特征会在2003年12月以后消失。
即在2003年以前，保持其他条件不变，1月会降低产量的0.258个百分点，2月会降低产量的0.154个百分点，6月会增加0.095个百分点；在2003年12月以后，1月会发生改变，只会降低产量的0.191个百分点，6月份的季节特征会消失。
3、对水平突变变量DL，说明从04年左右开始，乳制品产量出现了一个短时间内的飞跃，这与乳产业经历数年滞积与低迷后发生迅速的行业调整有着紧密的关系。
蒙牛企业就是在04年占有的市场份额迅速增加。
4、至于模型预测：1、样本内预测：我们采用静态方法进行样本内预测，下图为预测值和真实值的点线图及误差结果：其中，logY为实际值，logYF为预测值。
我们可以看到，采用样本内静态预测得到的预测值十分接近实际值，误差比较理想。
下图是取了反函数得到Y的预测值与真实Y的值：2、接下来我们采用静态预测方法进行样本外一期预测（左序列为预测值，右序列为真实值）：预测值为184t。
通过近一年的真实数据和预测值的比较，我们发现预测值的吻合度还是相当高的，预测误差基本控制在5%以内。
通过网上查阅资料，发现2010年7月的产量179吨，预测误差为(184-179)/179=0.027，即2.7%的预测误差。
故可以认为我们得到一个预测效果很好的模型。