人教版高中数学选修4-4《第一讲坐标系：2极坐标系》
归纳总结
根据以上2题，独立总结相应规律
并落实在导学案上 2min
合作探究
完成导学案例3 （独立思考4min
小组6人讨论2min）
讨论提前结束的小组可坐下进行整理 小组代表展示
归纳总结
结合导学案学习目标 同桌两人相互提问
时间3min
课堂检测
独立完成导学案课堂检测
时间3min
本堂小结：回扣目标
1.理解极坐标系的概念，理解极坐标 的不唯一性（θ不唯一， 可正可负）；
2.能够应用公式进行极坐标与直角坐 标的互化； 3.会用极坐标求两点间的距离，会求 简单的极坐标方程.
学习目标：
1.理解极坐标系、极坐标的概念，了 可 解极坐标 的不唯一性（θ不唯一， 正可负）； 2.能够应用公式进行极坐标与直角坐 标的互化； 3.会用极坐标求两点间距离、会求简 单的曲线的极坐标方程.
自主学习
推导极坐标与直角坐标的互化公式,
然后完成导学案探究点一 .
自主学习
完成导学案例4,例5,例6。
交流展示
全体起立，以小组为单位，交流例6的解 题思想和解题方法。
本堂小结：回扣目标
小组内两人一组，一个人根据学案本堂小结 部分谈自己本节课的收获，一个人倾听补充。
作业： 1.同学们自己试着画一画笛卡尔的心形 线； 2.完成训练案部分。
笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死 病的低吼他流浪到瑞典，认识了18岁的瑞典公主 克里斯丁，成为她的数学老师，日日相处使他们 彼此产生爱慕。国王知道后勃然大怒，下令将笛 卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里 斯丁也被父亲软禁起来。笛卡尔回国后不久染上 重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里 斯丁一直没有收到笛卡尔的心。笛卡尔在给克里 斯丁基础第十三封信后气绝身亡。这第十三封信 内容只有短短的一个公式：。国王看不懂，觉得 他们之间并不总是说情话的，大发慈悲就把这封 信交给了一直闷闷不乐的克里斯丁，公主看后， 立即明了恋人的意图，马上招收把方程的图形画 出来，看到图形，她开心极了，他知道恋人仍然 爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也 就是著名的“心形线”。 据说这封享誉世界的 另类情书还保存在欧洲笛 卡尔的纪念馆里。
10 ) ( 1, 3 （1）若 2 4 ，则M点的极坐标为_______; 2 ) ( 1, 3 （2）若 2 0 ，则M点的极坐标为_______;
4 例3.已知点M（1，3 ）
（3）若 0,0 2 ，则M点的极坐标为
( -1, 3 ) ________.
某同学在教学楼处
基点（参照点）
东偏北 60 方向走120就一定能到达图书馆。
方向
距离
选定基点后，这种用方向和距离来 表示平面上一点的位置的思想就是 极坐标的基本思想.
自主学习
默读课 本P9,勾画关键词,然后默写完成导学案
基础知识探究 .
自主学习
完成导学案例1.例2。
交流展示
完成思考题：小组内两人讨论，把答案 写到学案上。
r a(1 sin )
a(1 sin )
复习回顾：
y
y
M(x,y)
平面直角坐标系：
0
x
x
特别地：原点坐标是（0,0）
思考：
1.极点的极坐标是什么？ 2.任意一点的极坐标唯一吗？ 3.如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外， 平面内任意一点的极坐标唯一吗？ 4.规定极径互为相反数的两个点关于极点对 称.
一封情书：
a(1 sin )
第一讲坐标系：极坐标系
学习目标
阅读导学案学习目标 （默读，勾画关键词，20S）
翻开课本P9,阅读第一个思考题， 能够口答的同学请举手.
某同学在教学楼处
基点（参照点）
东偏北 60 方向走120m一定就能到达图书馆吗？
方向
距离
翻开课本P9,阅读第一个思考题， 能够口答的同学请举手.
课后思考：
自主学习
• 独立完成 例1 时间2分钟 任意抽取同学展示
• 独立完成 例2 可以抢答
练习1.在极坐标系中，画出下列点的位置： A(1, 4 ) C(3, ) 4 3 9 B (2, ) D(4, ) 2 4
求出线段AB,AC,AD的长度.
4 练习2.已知点M(1, ) 3 (1)若 2 4 ，则M点的极坐标为________; (2)若 3 ，则M点的极坐标为________; (3)若 2 0 ，则M点的极坐标为________; (4)若 ，则M点的极坐标为________; (5)若 0, 0 2 ，则M点的极坐标为________; (6)若 0, 2 0 ，则M点的极坐标为________;
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四 柱坐标系与球坐标系简介
最新人教版高三数学选修4－4电子 课本课件【全册】
第二讲 参数方程
最新人教版高三数学选修4－4电子 课本课件【全册】目录
0002页 0066页 0118页 0187页 0243页 0338页
引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ 于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 1.2 极坐标系课件 新人教A版选修4-4
或
4,-
29π 3
.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得在极坐标系中,同一个点的极坐标可以有多种表示形式, 它们之间可以相互转化,但要注意互化规则.本题中由于对各种表 示形式的等价性理解不清,导致错误.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
在极坐标系中,下列各点中与
π 2, 6
不表示同一个点
的是( )
A.
2,-
11π 6
所以 ρ= 32 + (- 3)2=2 3,tan θ=- 33,
而点 A 在第四象限,且 θ∈[0,2π),因此 θ=116π.
故点 A 的极坐标为
2
3,
11π 6
.
由于 x
=
35,tan θ 不存在,
而点 B 在 y 轴正半轴上,且 θ∈[0,2π),因此 θ=π2.
探究二
思维辨析
极坐标与直角坐标的互化
【例 2】(1)已知点的极坐标分别为 A
3,-
π 4
,B
2,-
2π 3
,C
3 2
,-π
,D
4,-
π 2
,求它们的直角坐标;
(2)已知点的直角坐标分别为 A(3,-
3),B
0,
5 3
,求它们的极坐标,
其中极径 ρ>0,极角 θ∈[0,2π).
分析：直接利用直角坐标与极坐标的互化公式即可.
故点 B 的极坐标为
5 3
,
π 2
.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.将点的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)时,需要求角θ的 余弦值和正弦值,因此应熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用 三角恒等变换公式进行求解.
人教版高中数学选修4-4《§1.2极坐标系》
没有说明 时 ≥0
O
x
例 在图中,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育 馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极 实验楼 坐标系,写出各点的极坐标. 图书馆
D
解： A0,0
B60,0
C
C 120, D 60 3, 3 2
基点 参照方向和角
实验楼
D
距离
图书馆
C
办公楼
E
45
60m B 教学楼 体育馆
A
60
(一) 极 坐 标 系：
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样建立了 一个极坐标系.
O
x
极坐标系内点的极坐标 |OM| ∠xOM (,) 极径 极角 M的极坐标
120, 4 3
120, 2 3
M (,)
极坐标(,)与(,+2k)(k) 表示同一个点
极点(0,) )( R)
给定和就可以在平面内惟一确定点M；
O
x
但给定平面内一点M,却有无数个极坐标与之对应
当规定>0,0≤<2,那么除极点外,平面内的点 可用惟一的极坐标(,)表示;而极坐标(,)表 示的点也是惟一确定.
数学家笛卡尔
瑞典公主克里斯汀
1 sin
作业
课本第12页习题1.2
y x y , tan x 0（直角坐标化极坐标） x
2 2 2
2 例1: 将点M的极坐标 5, 3
化成直角坐标 .
2018年数学(人教版选修4-4)课件：第1讲 2 极坐标系
• 2．点的极坐标 • 每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置． 其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． • 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多 个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对 于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两 类，一类为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，另一类为(－ ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．
求点的极坐标
•
写出图中A、B、C、D、E、F、G各 点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)，最内层圆的半径 为1，且各圆半径相差1.
• [思路点拨 ]确定极径、极角即可． 解：对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，
因此这些点的极坐标为
π 3π 7π 7π A7，6， B4， 4 ， C5， 6 ， D6， 4 ，
• 在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时， 就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐 标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点． 但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一 的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上 的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是 极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ＞ 0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面上的点就与 它的极坐标构成一一对应的关系．
第一讲 坐标系
二
极坐标系
• 1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值 性．(难点、易错点) • 2．掌握极坐标与直角坐标的互化．(重点) • 3．掌握极坐标系的简单应用．(难点)
• 1．极坐标系的概念 • (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O 极轴 ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox长度单位 ，叫做 ______；再选定一个________、一个角度单 位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，这样就建立了一个极坐标系．
人教A版高中数学选修4-4课件 极坐标系的概念(人教A 版)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
人民教育出版社 高中/选修4-4
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
5 M(-2, 5)
6
6
O°
x
° O
x•
•M(-2, 5) M (, )
6
小结： 从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作,
将射线OP“反向延长”.
2
3•
F
5
6 B•
A•
2
D
•
。 O1
- 人民教育出版社 高中/选修4-4
A( 4,0)
4
B(3, 56)
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
在极坐标系中解题。
人民教育出版社 高中/选修4-4
数学运用
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标：
最新人教版高中数学选修4-4《坐标系》本章概览
第一讲 坐标系本章概览内容提要1.平面直角坐标系.2.平面直角坐标系中的伸缩变换:点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧>∙='>∙=')0(),0(μμλλy y x x 的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.3.极坐标系:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位,及其正方向,这样即建立了一个极坐标系.4.极坐标和直角坐标互化:x=ρcosθ,y=ρsinθ,即ρ2=x 2+y 2,tanθ=xy (x≠0). 5.圆的极坐标方程:ρ=2acosθ是圆心在C(a,0)(a>0),半径为a 的圆的极坐标方程.6.柱坐标系:有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标,记作P(ρ,θ,z),其中ρ≥0,0≤θ<2π,z ∈(-∞,+∞),它与直角坐标的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ柱坐标系又称半极坐标系.7.球坐标系:有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标,记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.它与直角坐标(x,y,z)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x .学法指导1.学会利用不同的坐标系把问题简化.2.掌握各种坐标系的建立方法.3.熟练掌握并能灵活应用各种坐标系中的坐标与平面坐标的转换.4.要牢记特殊形式的极坐标方程.5.学习过程中要善于提问题,重在理解本讲的主要思想,加强数学思想方法的训练.。
人教版数学高二A版选修4-4第一讲二极坐标系
更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析： 因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )A.(3,4)B.(223,22) C.(-3,-4) D.(512,512)思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］） 思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________.思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-, 去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得.8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|） 思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC=52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯. 综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧•=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则 ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π. ∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tanα=289，tanβ=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49. 所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极 坐 标 系
或
x2＋y2 ，
y x
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x≠0.
预习 思考
1.写出下图中各点的极坐标：
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π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习 思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐 标 系
1.2 极 坐 标 系
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1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
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标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
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1．极坐标系的建立． 在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
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题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
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分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
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为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式 训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：